华中科技大学数学建模试卷2010(答案)

2010～2011学年度第一学期 成绩 学号 专业 班级 姓名

一、 怎一 二 三 四 五 六 合计 样解决下分数 10 10 20 20 20 20 100 面的实际问题，包括需要哪些数据资料，要作些什么观察、试验以及建立什么样的数学模型等。（10分）

（1）估计一批电饭煲的寿命；

（2）一高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，试制订合理的运行计划。 解：

（1）从一批电饭煲中取一定数量的样本，测得其平均寿命，可作为该批电饭煲寿命的估计值。为衡量估计的精度，需要从样本寿命确定该批电饭煲寿命的概率分布，即可得到估计值的置信区间。还可试验用提高电压的办法加速寿命测试，以缩短测量时间。 ⑤

（2）统计在各层上班的人数，通过数据或计算确定电梯运行时间，以等待的人数与时间乘积为目标，建立优化模型，确定每部电梯运行的楼层（有的从大厅直接运行到高层）。

⑤

二、学校共有1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用以下方法分别分配各宿舍的委员数。（10分） 1.Hamilton方法

1

2.Q值方法

3.其它方法或你自己提出的方法

解：1.Hamilton方法:

宿舍 学生人数 A 235 B 333 C 432 总计 1000 按比例分配 参照惯例 2.35 3 3.33 3 4.32 4 10 10 ③

2.Q值法: 先按比例计算结果将整数部分的9席分配，

n12,n23,n34 ①

2p12352Q19204.17n1n112212p23332再用Q值法分配第十席：Q29240.75 ③

n2n213312p34322Q39331.20n3n31441 Q3最大，第十席分配给C宿舍，即：n12,n23,n35。 ①

3.略 ②

三、人体注射葡萄糖溶液时，血液中葡萄糖浓度g(t)的增长率与注射速率r成正比，与人

2

体血液容积V成反比，而由于人体组织的吸收作用，g(t)的减少率与g(t)本身成正比。分别在以下假设下建立模型，并讨论稳定情况。（20分） （1）人体血液容积V不变；

（2）由于排泄等因数V的增加有极限值，即

常数。

解：（1）V为常数时： 基本模型为： 令：fgk1dgtrk1k2g k10,k20 为常数 ③ dtVdVtdtV1V，其中0,V10均为

krrk2g0 平衡解：g01 ② Vk2Vk1r是稳定的。 ② k2Vfg0k20 ∴平衡点g0dgtrk1k2gdtV（2） ②

dVtV1Vdtrk2g0krV令： 平衡点：g0,V01,V1 ④

k2V1Fg,VV1V0fg,Vk1afgg0,V0k2cFgg0,V00bfVg0,V0k1dFVg0,V0rV12k2 A0k1rV12 ④

pk20qk20

kr∴平衡点g0,V01,V1是稳定的。 ③

k2V1

四、某甲（农民）有一块土地，若从事农业生产可收入1万元；若将土地租给某乙（企

3

业家）用于手工业生产，可收入2万元；若租给某丙（旅店老板）收入达3万元；当旅店老板请企业家参与经营时，收入达4万元。为促成最高收入的实现，试用Shapley值方法分配各人的所得。（20分） 解：此问题为3人合作对策。I1,2,3 ②

定义特征函数：计算 1：

v0,v11,v2v30,v1,22,v1,33,v2,30,vI4 ④

s ｛1｝ ｛1,2｝ ｛1,3｝ ｛1,2,3｝ v(s) 1 2 3 4 v(s-｛1｝) 0 0 0 0 v(s)-v(s-｛1｝) 1 2 3 4 ︱s︱ 1 2 2 3 w(︱s︱) 1/3 1/6 1/6 1/3 w(︱s︱)〔v(s)-v(s-｛1｝)〕 1/3 1/3 1/2 4/3 1vsS1wsvsvs111142.5 ④ 3323计算 2：

s ｛2｝ ｛1,2｝ ｛2,3｝ ｛1,2,3｝ v(s) 0 2 0 4 v(s-｛2｝) 0 1 0 3 v(s)-v(s-｛2｝) 0 1 0 1 ︱s︱ 1 2 2 3 w(︱s︱) 1/3 1/6 1/6 1/3 w(︱s︱)〔v(s)-v(s-｛2｝)〕 0 1/6 0 1/3 2vsS2wsvsvs2110.5 ④ 63计算 3：

s ｛3｝ ｛1,3｝ ｛2,3｝ ｛1,2,3｝ v(s) 0 3 0 4 v(s-｛3｝) 0 1 0 2 v(s)-v(s-｛3｝) 0 2 0 2 ︱s︱ 1 2 2 3 w(︱s︱) 1/3 1/6 1/6 1/3 w(︱s︱)〔v(s)-v(s-｛3｝)〕 0 1/3 0 2/3 3vsS3wsvsvs3121 ④ 33分配向量为：v2.5,0.5,1

即：甲应分得25000元，乙应分得5000元，丙应分得10000元。# ②

4

五、雨滴的速度v与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数。用量纲分析法给出速度v的表达式。（20分）

解：解法一：设fv,,,g0,m4 ②

量纲：vLT1,L3M,L1MT1,gLT2

1311量纲矩阵：A0110r3 01211311y10110y21012y0 3y4有m-r = 4-3=1个基本解。 Ty1,13,13,13 1即：v313g13 v3g λ为无量纲常数。#

解法二：设v12g3 λ为无量纲常数。 则：LT1L31M1L2M2T2L3T23 LT1L3123M12T223 31112313比较方程两边： 1120解出：2 22313 313即：v11133g33g #

5

⑩

②

④

② ②

⑩

⑥

②

六、赛艇是一种靠桨手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。T. A. McMahon收集了各种赛艇1964—1970年四次2000米比赛的最好成绩（包括1964年和1968年的两次奥运会和两次世界锦标赛），他认为比赛成绩与桨手数量之间存在着某种联系，即tn，其中t为比赛成绩，n为桨手数量。试用以下数据对T. A. McMahon的模型进行检验，并完成模型。（20分）

艇种（n） 单人 双人 四人 八人 1 7.16 6.87 6.33 5.87 2000米成绩t(min) 2 3 4 7.25 7.28 7.17 6.92 6.95 6.77 6.42 6.48 6.13 5.92 5.82 5.73 平均 7.21 6.88 6.32 5.84 19解：设 tn α、β为待定常数 ③

lntlnlnnYabX ③

艇种（n） 单人 双人 四人 八人 2000米成绩t(min) X Y 1 2 3 4 平均 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21 0.0000 1.9755 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88 0.6931 1.9286 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32 1.3863 1.8437 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84 2.0794 1.7647 均值 均值 1.0397 1.8781 XX YY -1.0397 -0.3466 0.3466 1.0397 0.0974 0.0505 -0.0344 -0.1134 4XiXYiY0.2485ˆi10.1035 4b22.4023a、b的估计值为:  ⑧ XiXi1ˆ1.87810.1035 1.03971.9857ˆYbXa

ˆ eae1.98577.2845,ˆ0.1035 ④ bt7.2845n0.1035 10.1111 ，可见拟合的结果与原模型吻合得较好。# ② 9

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