一、选择题
1．下面双曲线中有相同离心率，相同渐近线的是()
22222xxyxx222
A.－y＝1，－＝1B.－y＝1，y－＝139333
222xyxy2x2222
C．y－＝1，x－＝1D.－y＝1，－＝133339
解析：选A.B中渐近线相同但e不同；C中e相同，渐近线不同；D中e不同，渐近线相同．故选A.
x2y2
2．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则△ABF2的周长是()
925A．20B．12C．10D．6
解析：选A.∵AB过F1，∴由椭圆定义知|BF1|＋|BF2|＝2a，|AF1|＋|AF2|＝2a，
∴|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝20.
x2y2
3．已知椭圆＋＝1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于()
10－mm－2
A．4B．5C．7D．8
4解析：选D.焦距为4，则m－2－(10－m)＝22，∴m＝8.
4．椭圆的两焦点为F1(－4,0)、F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为()
22xyx2y2x2y2x2y2
A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝11692592516254
1
解析：选B.S△PF1F2＝×8b＝12，∴b＝3，
2
22
又∵c＝4，∴a＝b＋c2＝25，
x2y2
∴椭圆的标准方程为＋＝1.259
5．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0)，(0,2)，则此椭圆的方程是()
2
xy2x2y2x2y2x2y2x2y2A.＋＝1或＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝14161644161641620
x2y2
解析：选C.由已知a＝4，b＝2，椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆方程是＋＝1.故选C.
164
22xy6．椭圆＋＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是()
259A．8,2B．5,4C．5,1D．9,1
7．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为()
2356A.B.C.D.2233解析：选A.如图所示，四边形B1F2B2F1为正方形，则△B2OF2为等腰直
角三角形，
c2∴＝.a2
8．(2010年高考广东卷)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()
4321A.B.C.D.5555
222
解析：选B.由题意知2b＝a＋c，又b＝a－c，
2222
∴4(a－c)＝a＋c＋2ac.
2222
∴3a－2ac－5c＝0.∴5c＋2ac－3a＝0.
3
∴5e2＋2e－3＝0.∴e＝或e＝－1(舍去)．
5
22
9．双曲线与椭圆4x＋y＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为()
22222222
A．y－3x＝36B．x－3y＝36C．3y－x＝36D．3x－y＝36
22xy3
解析：选A.椭圆4x2＋y2＝64即＋＝1，焦点为(0，±43)，离心率为，所以双曲线166422
的焦点在y轴上，c＝43，e＝，所以a＝6，b2＝12，所以双曲线方程为y2－3x2＝36.
322
10．双曲线mx＋y＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为()
11A．－B．－4C．4D.44
2x2222
解析：选A.由双曲线方程mx＋y＝1，知m<0，则双曲线方程可化为y－1＝1，则a＝1，
－ma＝1，
又虚轴长是实轴长的2倍，
1
∴b＝2，∴－＝b2＝4，
m1
∴m＝－，故选A.
4
11．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为()
222yxxy2y2x2x2y2A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝144444984解析：选A.2a＋2b＝2·2c，即a＋b＝2c，∴a2＋2ab＋b2＝2(a2＋b2)，∴(a－b)2＝0，即a＝b.∵一个顶点坐标为(0,2)，
y2x22222
∴a＝b＝4，∴y－x＝4，即－＝1.44
22xy12．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心
ab率e为()
45
A．2B．3C.D.
33
解析：选D.依题意，2a＋2c＝2·2b，∴a2＋2ac＋c2＝4(c2－a2)，即3c2－2ac－5a2＝0，
5
∴3e2－2e－5＝0，∴e＝或e＝－1(舍)．故选D.
3
2
13．抛物线y＝ax的准线方程是y＝2，则实数a的值为()
A.181B．－8
C．8D．－8
11122
解析：选B.由y＝ax，得x＝y，＝－2，a＝－.a4a82
14．已知P(8，a)在抛物线y＝4px上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为()
A．2B．4C．8D．16
解析：选B.准线方程为x＝－p，∴8＋p＝10，p＝2.∴焦点到准线的距离为2p＝4.4．(2010年高考陕西卷)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为()
1A.B．1C．2D．42
p解析：选C.由抛物线的标准方程得准线方程为x＝－.2
2222
由x＋y－6x－7＝0得(x－3)＋y＝16.
p∵准线与圆相切，∴3＋＝4，∴p＝2.
2
15．(2010年高考湖南卷)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()
A．4B．6C．8D．12
解析：选B.如图所示，抛物线的焦点为F(2,0)，准线方程为x＝－2，由抛物线的定义知：|PF|＝|PE|＝4＋2＝6.二、填空题
1．椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________．解析：∵2a＝8，∴a＝4，
2
∵2c＝215，∴c＝15，∴b＝1.
y2
即椭圆的标准方程为＋x2＝1.
16
2y2
答案：＋x＝1
16
x2y2
2．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1259
sinA＋sinC上，则＝________.sinBsinA＋sinC|BC|＋|AB|105
解析：由题意知，|AC|＝8，|AB|＋|BC|＝10.所以，＝＝＝.sinB|AC|84
5答案：4
x2y2
3．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．
5－kk－3
5－k>0，
解析：由题意知k－3>0，
5－k≠k－3，
解得3 4．已知双曲线2－2＝1的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的焦 ab259 点坐标为________；渐近线方程为________． 解析：∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，∴c＝4. c∵e＝＝2，∴a＝2，∴b2＝12，∴b＝23.a∵焦点在x轴上，∴焦点坐标为(±4,0)， b渐近线方程为y＝±x， a即y＝±3x，化为一般式为3x±y＝0.答案：(±4,0)3x±y＝0 y22 5．与双曲线x－＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是________． 4 y22 解析：依题意设双曲线的方程为x－＝λ(λ≠0)， 4 将点(2,2)代入求得λ＝3， x2y2 所以所求双曲线的标准方程为－＝1.312 x2y2 答案：－＝1312 6．抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝43，则焦点F到直线AB的距离为________． y2A22 解析：由抛物线的方程可知F(1,0)，由|AB|＝43且AB⊥x轴得yA＝(23)＝12，∴xA＝ 4 ＝3， ∴所求距离为3－1＝2.答案：27．动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则点P的轨迹方程为________． 解析：由抛物线定义知，点P的轨迹是以点F(2,0)为焦点，x＝－2为准线的抛物线，则其方程为y2＝8x. 答案：y2＝8x三、解答题 228xy1．已知椭圆＋＝1上一点M的纵坐标为2. 8136 x2y2 (1)求M的横坐标；(2)求过M且与＋＝1共焦点的椭圆的方程． 942228xy8x4 解：(1)把M的纵坐标代入＋＝1，得＋＝1，即x2＝9. 81368136 ∴x＝±3.即M的横坐标为3或－3. x2y2x2y22 (2)对于椭圆＋＝1，焦点在x轴上且c＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为2＋2＝94aa－5 2 1(a>5)， 942 把M点坐标代入得2＋2＝1，解得a＝15. aa－5x2y2 故所求椭圆的方程为＋＝1.1510 2．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程． x2y2 解：设所求椭圆的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)． ab设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)． →→ ∵F1A⊥F2A，∴F1A·F2A＝0，→ 而F1A＝(－4＋c,3)，→ F2A＝(－4－c,3)， ∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，2 ∴c＝25，即c＝5.∴F1(－5,0)，F2(5,0)．∴2a＝|AF1|＋|AF2| ＝(－4＋5)2＋32＋(－4－5)2＋32＝10＋90＝410.∴a＝210，∴b2＝a2－c2＝(210)2－52＝15. x2y2 ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.4015 3．已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)、F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.(1)求此椭圆方程；(2)若点P满足∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积．解：(1)由已知得|F1F2|＝2，∴|PF1|＋|PF2|＝4＝2a， ∴a＝2.∴b2＝a2－c2＝4－1＝3， x2y2 ∴椭圆的标准方程为＋＝1.43 (2)在△PF1F2中，由余弦定理得 |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos120°， 2 即4＝(|PF1|＋|PF2|)－|PF1||PF2|， 2 ∴4＝(2a)－|PF1||PF2|＝16－|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|＝12， 113 ∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin120°＝×12×＝33. 222 11．如图所示，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标 2 等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．3解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c.则焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)， 2 M点的坐标为(c，b)， 3 则△MF1F2为直角三角形．在Rt△MF1F2中， |F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2， 4 即4c2＋b2＝|MF1|2. 9 42 4c2＋b2＋b＝2a，而|MF1|＋|MF2|＝ 93 22 整理得3c＝3a－2ab. b24222 又c＝a－b，所以3b＝2a.所以2＝.a9 222ca－b∴e2＝2＝2 aab25＝1－2＝，a95∴e＝.3 法二：设椭圆方程为x2y2 ＋2＝1(a>b>0)，2 ab2 则M(c，b)． 3 c24b2 代入椭圆方程，得2＋2＝1，a9b2 c5所以2＝，a9c55所以＝，即e＝.a33 4．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝顶点坐标． 2 yx解：椭圆方程可化为＋＝1.mmm＋3 mm(m＋2)m因为m－＝>0，所以m>.m＋3m＋3m＋3 mm(m＋2)2222 即a＝m，b＝，c＝a－b＝.m＋3m＋33m＋23由e＝，得＝，解得m＝1. 2m(m＋3)2 2y1 所以a＝1，b＝，椭圆的标准方程为x2＋＝1.12 4 所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1，四个顶点的坐标分别为 11 A1(－1,0)，A2(1,0)，B1(0，－)，B2(0，)．22 22 5．已知双曲线C：2x－y＝2与点P(1,2)． (1)求过点P(1,2)的直线l的斜率k的取值范围，使l与C只有一个交点；(2)是否存在过点P的弦AB，使AB的中点为P?解：(1)设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，代入双曲线C的方程，整理得 (2－k2)x2＋2(k2－2k)x－k2＋4k－6＝0(*) ①当2－k2＝0，即k＝±2时，直线与双曲线的渐近线平行，此时只有一个交点． 3 ②当2－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝.此时只有一个公共点．2 又点(1,2)与双曲线的右顶点(1,0)在直线x＝1上，而x＝1为双曲线的一条切线．∴当k不存在时，直线与双曲线只有一个公共点． 3 综上所述，当k＝±2或k＝或k不存在时，l与C只有一个交点． 2 (2)假设以P为中点的弦AB存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程(*)的两根， 2 3，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长及2 2(k2－2k) 则由根与系数的关系，得＝1，∴k＝1. 2(k2－2) ∴这样的弦存在，方程为y＝x＋1(－1≤x≤3)，即x－y＋1＝0(－1≤x≤3)． y2x2 16.（本小题10分）设双曲线：2−=1的焦点为F1,F2.离心率为2。 3a（1）求此双曲线渐近线L1,L2的方程； （2）若A,B分别为L1,L2上的动点，且2AB=5F1F2,求线段AB中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 a2+3 16、解：（1）由已知双曲线的离心率为2得：=2解得a=1,所以双曲线的方程为 ax2xx2 =0和y+＝0y−=1，所以渐近线L,L的方程为y− 333（2）c＝a＋b＝4，得c＝2，所以F1F2=2c=4，又2AB=5F1F2所以AB=10 2 1 2 2 2 2 设A在L1上，B在L2上，设A（x1， x13 )，B(x，－ 2 x23 ) 所以 (x1−x2)2+( x13+ x2 1 )2=10即(x1−x2)2+(x1+x2)2=10 33设AB的中点M的坐标为（x，y），则x＝ x1+x2 2 ，y＝ x1−x2232 2 x3y1 所以x1＋x2＝2x，x1－x2＝23y所以(23y)+×4x2=10整理得：+=1 37525 2 x23y2 所以线段AB中点M的轨迹方程为：+=1，轨迹是椭圆。 7525 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容