八年级菱形的性质与判定讲义

菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等．

③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．

菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．

点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定

判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形．

【例题精析】:

例1如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm若墙上钉子间的距离ABBC16cm，则

1 度．

ABC1图2例2如图，E是菱形ABCD的边AD的中点，EFAC于H，交CB的延长线于F，交AB于

分

P，

D证明：AB与EF互相

平

．

EHAPFBC

例3图3，在菱形ABCD中，A110，E、F分别是边AB和BC的中点，EPCD于点P，则FPC（ ）

A．35 B．45 C．50 D．55

DAEBF图3PC

例4如图1所示，菱形ABCD中，对角线AC、菱形ABCDBD相交于点O，H为AD边中点，的周长为24，则OH的长等于 ．

AHBOC图1D

例5图2，在菱形ABCD中，AC6，BD8，则菱形的边长为（ ）

A．5 B．10 C．6 D．8

AD

B图2C【课堂巩固练习】:

1.已知，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若AEAFEFAB，求C的度数．

ABECFD

2.如图，在ABC中，BD平分ABC，BD的中垂线交AB于点E，交BC于点F，求证：四边形BEDF是菱形

AEDBFC

3.如图，ABC中，ACB90，AD是BAC的平分线，交BC于D，CH是AB边上的高，交AD于F，DEAB于E，求证：四边形CDEF是菱形．

CDFAHEB

【数学小故事】:

现代著名数学家 陈景润 有一次上数学课, 老师讲了一个故事: ２００ 年前, 有一位名叫哥德巴赫的德国数学家提出了一个猜想: 凡是大於２ 的偶数一定可以表示为兩个素数之和．比如４＝２ ２, ６=３ ３, ８=３ ５, ......哥氏本人虽然对許多偶数进行了验证, 都說明是确实的, 但他本人却无法进行逻辑证明．他写信向著名的数学大师欧拉请教, 欧拉花了多年的精力, 到死也没有证明出來．从此這道世界难题就吸引了成千上万的数学家, 但始终没有人能攻下來, 因此, 它被称为数学皇冠上的明珠．

自从听了這个故事后, 哥德巴赫猜想就时常萦绕在陈景润的脑海中．他常想: 那颗明珠究竟会落到什么人之手？中国人, 还是欧洲人？应该是中国人拿下這道难题．他暗暗下了决心, 从此更加发愤学习数学, 有时简直到了如痴如迷的程度．

【当堂小测验】:

一．选择题

1．（2011•包头）已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（ ） A、163

B、16

C、83

D、8

2．（2010•肇庆）菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（ ） A．2 B．

C．1

D．

3．（2010•襄阳）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（ ） A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1

4．（2010•宜昌）如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（ ）

A．15

B．

C．7.5 D．

5.（2011山东济南）如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（ ） A．2 B．23 二．填空题（共15小题）

6．（2011•铜仁地区）已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是 _________ cm．

7．（2011•綦江县）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH= _________ ． 8．（2011•南京）如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为 cm．

2

2

C．4

D．43 7题图 8题图 9题图

9．（2011•鞍山）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为 _________ ．

10．（2010•嘉兴）如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO= _________ 度．

11如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，

DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．

对

【快乐作业】:

1．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．

（1）求∠ABD的度数； （2）求线段BE的长．

2.已知：菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为 ______ ．

3.已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为 _________ cm．

4.已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是 _________ cm．

2

2