河北省辛集中学2022届高三数学模拟考试试题（三）理
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数A．2．已知sA．
（i是虚数单位），则＝（ ）
B．，则B．
C．＝（ ）
C．
D．
A．﹣1 B．
C．1 D．
＝
，则称x1，x2，x3成一个“β等
D．
3．若集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6，8}，则集合A∪B＝（ ） A．{1，2，3，4，5，6，8} C．{1，3，5，6，8}
B．{2，3，4，5，6} D．{2，4}
9．若三个非零且互不相等的实数x1，x2，x3成等差数列且满足
差数列”．已知集合M＝{x||x|≤100，x∈Z}，则由M中的三个元素组成的所有数列中，“β等差数列”的个数为（ ） A．25
B．50
C．51
D．100
，则该棱锥内切球的表面积是（ ）
4．某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4，若两人考试相互，则甲未通过而乙通过的概率为（ ） A．0.28
B．0.12
C．0.42
D．0.16
＝（ ） D．1
2
2
2
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，an+an+1＝2n+1，则A．1009 6．已知椭圆
B．1008
C．2
10．如图，某棱锥的正视图和侧视图都是等边三角形，该棱锥的体积为
的左焦点F1，过点F1作倾斜角为30°的直线与圆x+y＝b相交的弦长为
，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
A．
7．将函数y＝sin（2x+φ）的图象向右平移个周期后，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（ ） A．
B．π
C．
D．2π
的值是（ ）
B．
C．
D．
11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是正方A1B1C1D1的中心，则异面直线AD1与BO所成角为（ ） A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
8．定义运算a⊗b为执行如图所示的程序框图输出的S值，则式子
12．对于曲线C所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角θ，使得θ≥∠AOB对于曲线C上的任意两个不同点A、B恒成立，则称θ为曲线C相对于O的“界角”，并称最小的“界角”为曲线C相对于O的“确界角”，已知曲线M：y＝界角”为（ ） A．
B．
C．
D．
，（其中e为自然对数的底数），O为坐标原点，则曲线M相对于O的“确
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．在（x﹣x+1）的展开式中，x的系数为 ． - 1 - / 7
2
5
3
14．△ABC中，D为△ABC重心，以15．已知A是双曲线C：
，为一组基底，可表示＝ ．
19．第31届夏季奥林匹克运动会将于202X年8月5日﹣21日在巴西里约热内卢举行，下表是近五届奥运会
（a＞0，b＞0）的右顶点，过左焦点F与y轴平行的直线交双曲线C于P、
中国代表团获得的金牌数的统计表（单位：枚） 届次
第26届（亚特 第27届（悉第28届（雅典） 第29届（北第30届（伦敦）
兰大）
序号x
1 16
尼） 2 28
3 32
京） 4 51
5 38
＝5.0857x+14.514，据此
Q两点，若△APQ是锐角三角形，则双曲线C的离心率的范围 ．
16．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，当n≥2时，则
的最小值是 ．
，且a1＝1，设
，
金牌数y
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 17．已知f（x）＝
cos2x+2sin（π+x）sin（π﹣x）．
（1）某同学利用地1、2、3、5四组数据建立金牌数关于序号x的回归方程为
回归方程预测第31届夏季奥运会中国队获得的金牌数（计算结果四舍五入，保留整数）； （2）试根据上述五组数据建立金牌数
，a＝3，求△ABC周长的最大
关于序号x的回归方程，并据求得的回归方程预测第31届夏季奥林匹
（1）求函数f（x）最小正周期及其图象的对称轴方程；
（2）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）＝﹣值．
18．在四棱锥S﹣ABCD中，平面SAB⊥平面ABCD，平面SAD⊥平面ABCD． （Ⅰ）证明：SA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若底面ABCD为矩形，SA＝2AD＝3AB，F为SC的中点，值．
，求直线EF与平面SCD所成角的正弦
克运动会中国队获得的金牌数（计算结果四舍五入，保留整数）； （3）利用（2）的结论填写下表（结算结果四舍五入，保留整数）：
届次
第26届（亚 第27届（悉 第28届（雅 第29届（北 第30届（伦
特兰大）
序号x 金牌数y 预测值 y﹣如果|y﹣
1 16
尼） 2 28
典） 3 32
京） 4 51
敦） 5 38
|≤4，则称（2）中的方程对该届夏季奥林匹克运动会中国队获得金牌数是“特效”的，否则称为
“非特效”的，现从上述五届奥运会中任取三届，记（2）中的回归直线方程为“特效”的届数为X，求X的分布列和数学期望．
参考公式：＝＝，＝﹣．
- 2 - / 7
20．已知抛物线E：x＝2py（p＞0）上一点M的纵坐标为6，且点M到焦点F的距离为7． （1）求抛物线E的方程；
（2）设l1，l2为过焦点F且互相垂直的两条直线，直线l1与抛物线E相交于A，B两点，直线l2与抛物线E相交于C，D两点，若直线l1的斜率为k（k≠0），且S△OAB•S△OCD＝8，试求k的值．
21．已知函数f（x）＝e﹣ax﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e为自然对数的底数．
（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y＝（e﹣1）x﹣1，求实数a及b的值； （2）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值； （3）若f（1）＝0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρcosθ＝3，曲线
- 3 - / 7
x2
2
C2：ρ＝4cosθ（
（1）求C1与C2交点的极坐标； （2）设点Q在C2上，
）．
，求动点P的极坐标方程．
23. ．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣2|x| （Ⅰ）求不等式f（x）≤﹣6的解集；
（Ⅱ）若f（x）的图象与直线y＝a围成图形的面积不小于14，求实数a的取值范围．
数学理科解析
1：B．2：B．3：A．4：B．5：A．6：B．7：B．8：D．9：
B．10：C．11：D．
12解：画出函数f（x）的图象，过点O作出两条直线与曲线无限接近，设它们的方程分别为y＝k1x，y＝k2x， 当x≤0时，曲线y＝
与直线y＝k1x无限接近，即
为双曲线的渐近线，故k1＝﹣3； 当x＞0时，y′＝ex﹣1
+xex﹣1
，设切点为（m，n），则n＝k2m，
n＝mem﹣1+1，k122＝em﹣+mem﹣1，即有mem﹣1＝1，
由x2ex﹣1
（x＞0）为增函数，且x＝1成立，故m＝1，k2＝2，
由两直线的夹角公式得，tanθ＝||＝1， 故曲线C相对于点O的“确界角”为．
故选：B． 13：﹣30． 14：
+
15：
（1，2） 16解：∵a2
n＝Sn﹣Sn﹣1，（an﹣Sn﹣1）＝SnSn﹣1， ∴（S2
2
2
n﹣2Sn﹣1）＝SnSn﹣1， ∴Sn+4Sn﹣1
＝5SnSn﹣1，
∴Sn＝Sn﹣1，或Sn＝4Sn﹣1，
∵正项数列{an}的前n项和为Sn，∴Sn≠Sn﹣1，∴Sn＝4Sn﹣1，
∵Sn﹣1
1＝a1＝1， ∴{Sn}是以1为首项，以4为公比的等比数列， ∴Sn＝4，
当n＝1时，S1＝a1＝1， 当n≥2时，an+1＝Sn+1﹣Sn＝4n﹣4n﹣1
＝3×4
n﹣1
，
∴
＝log24
n﹣1
＝2n﹣2，
则＝＝，
设t＝n+1，则n＝t﹣1， 可得
＝
＝＝t+﹣3≥2﹣3＝9，
当且仅当t＝6即n＝5时，等号成立， 则
的最小值是9．
故答案为：9． 17解：（1）f（x）＝
＝
＝
＝所以
，
令
，解得
，
所以函数f（x）图象的对称轴方程为．
（2）由（1）可得，即，
因为，所以，
所以
，所以
．
由余弦定理可知a2
＝b2
+c2
﹣2bccosA＝b2
+c2
﹣bc ＝
＝，
当且仅当b＝c时等号成立．
于是b+c≤2a＝6．故△ABC周长的最大值为9．
18（Ⅰ）证法1：在平面ABCD内过点C作两条直线l1，l2，使得l1⊥AB，l2⊥AD． 因为AB∩AD＝A，所以l1，l2为两条相交直线．
因为平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB∩平面ABCD＝AB，l1⊂平面ABCD，l1⊥AB， 所以l1⊥平面SAB． 所以l1⊥SA．
同理可证l2⊥SA．
又因为l1⊂平面ABCD，l2⊂平面ABCD，l1∩l2＝C，
所以SA⊥平面ABCD．
证法2：在平面SAB内过点S作l1⊥AB，在平面SAD内过点S作l2⊥AD．
因为平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB∩平面ABCD＝AB，l1⊂平面SAB，l1⊥AB，所以l1⊥平面ABCD．同理可证l2⊥平面ABCD． - 4 - / 7
而过点S作平面ABCD的垂线有且仅有一条， 所以l1与l2重合．所以l1⊂平面SAD． 所以，直线l1为平面SAB与平面SAD的交线． 所以，直线l1与直线SA重合．所以SA⊥平面ABCD． （Ⅱ）如图，分别以
、
、
所在方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系A﹣xyz．
x＝6，＝6.7×6+12.9≈53，
预测第31届夏季奥林匹克运动会中国队获得的金牌数53； （3）利用（2）的结论填写下表（结算结果四舍五入，保留整数）：
届次
第26届（亚特兰 第27届（悉尼） 第28届（雅典） 第29届（北京） 第30届（伦敦）
大）
设SA＝6，则AB＝2，AD＝3，B（2，0，0），C（2，3，0），D（0，3，0），S（0，0，6）． 由F为SC的中点，得；
由，得E（2，2，0）．
所以
，
，．
设平面SCD的一个法向量为
，
则，即．
取z＝1，则y＝2，x＝0．所以．
所以
＝
＝
＝
．
所以，直线EF与平面SCD所成角的正弦值为．
19解：（1）根据金牌数关于序号x的回归方程为
＝5.0857x+14.514，
所以x＝6时，
＝5.0857×6+14.514≈45，
据此回归方程预测第31届夏季奥运会中国队获得的金牌数45； （2）根据上述五组数据，计算＝×（1+2+3+4+5）＝3， ＝×（16+28+32+51+38）＝33；
＝
＝6.7，
＝﹣＝33﹣6.7×3＝12.9． 金牌数
关于序号x的回归方程
＝6.7x+12.9，
序号x 1 2 3 4 5 金牌数y 16 28 32 51 38 预测值
19 26 33 40 46 y﹣ ﹣3
2
﹣1
11
﹣8
满足|y﹣
|≤4的数据有3组，即获得金牌数是“特效”的有3组，则X的取值可能为1，2，3；
计算P（X＝1）＝品数X的可能值为1，2，3．
P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，
所以X的分布列为
X 1 2 3 P
X的数学期望为EX＝1×
+2×+3×
＝．
20解：（1）抛物线E：x2
＝2py的准线方程为y＝﹣，
由题意可得|MF|＝6+＝7，解得p＝2， 即x2
＝4y；
（2）设l1：y＝kx+，即y＝kx+1， 联立x2
＝4y，可得x2
﹣4kx﹣4＝0，
即有x1+x2＝4k，x1x2＝4， 则|AB|＝
•
＝
•
＝4（1+k2
），
- 5 - / 7
且O到直线l1的距离为，
则S△OAB＝•
•4（1+k2
）＝2
，
由于直线l2与l1垂直，且都过F，可得S△OCD＝2
，
由S△OAB•S△OCD＝8，可得
•
＝2，
即k4﹣2k2
+1＝0，解得k＝±1．
21解：（1）由f（x）＝ex﹣ax2
﹣bx﹣1，得f′（x）＝ex﹣2ax﹣b， ∴f（1）＝e﹣a﹣b﹣1，f′（1）＝e﹣2a﹣b，
∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y﹣（e﹣a﹣b﹣1）＝（e﹣2a﹣b）（x﹣1），由切线的方程y＝（e﹣1）x﹣1，可得e﹣a﹣b﹣1＝e﹣1﹣1，e﹣2a﹣b＝e﹣1， 解得a＝0，b＝1；
（2）由f（x）＝ex﹣ax2
﹣bx﹣1得f′（x）＝ex﹣2ax﹣b， ∴g（x）＝f′（x）＝ex﹣2ax﹣b， ∴g′（x）＝ex﹣2a．
当2a≤0即a≤0时，ex﹣2a＞0对一切x∈[0，1]恒成立， ∴g（x）在[0，1]内单调递增，
∴g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）＝1﹣b； 当2a＞0即a＞0时，令g′（x）＝0，得x＝ln（2a）， 从而有①当ln（2a）≤0即0＜a≤时，列表如下：
x 0 （0，1） 1 g′（x）
+
g（x） 1﹣b 增
e﹣2a﹣b
依表格知g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）＝1﹣b；
②当0＜ln（2a）＜1即＜a＜时，列表如下：
x
0 （0，lnln（2a） （ln（2a），
1
（2a））
1）
g′（x）
﹣ 0
+
g（x） 1﹣b 减
2a﹣2aln（2a）﹣b
增
e﹣2a﹣b
依表格知g（x）在[0，1]上的最小值是g（ln（2a））＝2a﹣2aln（2a）﹣b；
③当ln（2a）≥1即a≥时，列表如下：
x
0 （0，1） 1 g′（x）
+
g（x） 1﹣b 增
e﹣2a﹣b
依表格知g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）＝e﹣2a﹣b． 综上所述：
当a≤时，g（x）在[0，1]上的最小值是1﹣b；
当＜a＜时，g（x）在[0，1]上的最小值是2a﹣2aln（2a）﹣b； 当a≥时，g（x）在[0，1]上的最小值是e﹣2a﹣b．
（3）f（x）＝ex﹣ax2
﹣bx﹣1，g（x）＝f′（x）＝ex﹣2ax﹣b， 由f（1）＝0，即有e﹣a﹣b﹣1＝0，可得b＝e﹣a﹣1， ∴g（x）＝ex﹣2ax﹣e+a+1，又f（0）＝0． 若函数f（x）在区间（0，1）内有零点， 设x0为f（x）在区间（0，1）内的一个零点， 则由f（0）＝f（x0）＝0可知，
f（x）在区间（0，x0）内不可能单调递增，也不可能单调递减．
则g（x）在区间（0，x0）内不可能恒为正，也不可能恒为负．
故g（x）在区间（0，x0）内存在零点x1．同理g（x）在区间（x0，1）内存在零点x2．故函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，
g（x）在区间（0，1）内至少有两个零点．
由（2）知当a≤或a≥时，函数g（x）即f′（x）在区间[0，1]内单调， - 6 - / 7
不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求．
若＜a＜，此时g（x）在区间（0，ln（2a））内单调递减，在区间（ln（2a），1）内单调递增． 因此x1∈（0，ln（2a）），x2∈（ln（2a），1），
又g（x）min＝g（ln（2a））＝2a﹣2aln（2a）﹣e+a+1＝3a﹣2aln（2a）﹣e+1， 令h（x）＝3x﹣2xln（2x）﹣e+1（＜x＜）， 则h′（x）＝3﹣2ln（2x）﹣2x••2＝1﹣2ln（2x），
令h′（x）＝0得x＝
，列表如下：
x
（，
（
，）
）
h′（x） + 0 ﹣ h（x）
增
﹣e+1
减
依表格知：当＜x＜时，h（x）min＝
﹣e+1＜0，
∴g（x）min＝3a﹣2aln（2a）﹣e+1＜0恒成立， 于是，函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间
⇔⇔⇔e﹣2＜a＜1．
综上所述：a的取值范围为（e﹣2，1）．
22解：（1）曲线C1：ρcosθ＝3，曲线C2：ρ＝4cosθ（）．
联立：，解得：
，
∵
，
，
， ∴所求交点的极坐标
．
（2）设P（ρ，θ），Q（ρ0，θ0）且ρ0＝4cosθ0，
，
由已知，
得
∴，
点P的极坐标方程为ρ＝10cosθ，．
23解：（Ⅰ）f（x）≤﹣6， 即
或
或
，
解得：x≥5或x≤﹣7，
故不等式的解集是{x|x≥5或x≤﹣7}；
（Ⅱ）f（x）＝
，
画出函数f（x）的图象，如图示： S△ADE＝×4×3＝6，
若f（x）的图象与直线y＝a围成图形的面积不小于14，则SABCD＝（﹣2a+4）（•﹣a﹣2）≥14﹣6， 解得：a≤﹣2
．
- 7 - / 7
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