历年高考文科数学真题汇编+答案解析(3)：三角函数与解三角形

考查频率：一般为3个小题（2019年3卷为1个小题1个大题，2017年1卷为2个小题）考试分值：15分~17分知识点分布：必修4、必修5一、选择题和填空题（每题5分）

1．（2019全国I卷文7）tan255°=A．23

B．23





C．23



D．23tan45tan30

【解析】tan255tan(18075)tan75tan(4530)231tan45tan30.【答案】D【考点】必修4正切函数，三角恒等变换2．（2019全国I卷文11）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA-bsinB=4csinC，cosA=

则14，bc=B．5C．42

2

2

2

A．6D．32

2

【解析】∵asinA-bsinB=4csinC，∴由正弦定理可得ab4c，即ab4c.又由余弦定理有：bb2c2a2b2c24c2b23c23c1

cosA=，∴6.c2bc2bc2bc2b4【答案】A【考点】必修5解三角形3．（2019全国I卷文15）函数f(x)sin(2x【解析】函数f(x)sin(2x

3π

)3cosx的最小值为___________．23π

)3cosxcos2x3cosx2cos2x3cosx1，2∵cosx[1,1]，∴当cosx1时，f(x)取最小值，即f(x)min2314.【答案】−4-1-【考点】必修4三角恒等变换4．（2019全国II卷文8）若x1=A．2，x2=是函数f(x)=sinx(>0)两个相邻的极值点，则=4431B．C．1D．2232)，所以2.44T【解析】由正弦函数的图像可知，函数f(x)=sinx(>0)两个相邻的极值点的差值等于函数周期的一半，即函数f(x)=sinx(>0)的周期T2(

【答案】A【考点】必修4三角函数的图象和性质5．（2019全国II卷文11）已知a∈（0，A．15π），2sin2α=cos2α+1，则sinα=2B．55C．33D．255【解析】利用三角公式2sin2cos21化简得4sincos2cos22sincos所以cot2，设α所对得边为1，则临边为2，斜边为5，所以sin

【答案】B【考点】必修4三角恒等变换6.（2019全国II卷文15）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinA+acosB=0，则B=__________.【解析】由正弦定理有asinBbsinA，∵bsinAacosB0，∴asinBacosB0，即sinBcosB0.由此可得tanB1.∵B(0,)，∴B

【考点】必修5解三角形7．（2019全国III卷文5）函数f(x)2sinxsin2x在[0，2π]的零点个数为A．2B．3C．4D．55.5

3.4

【解析】解法一：由f(x)2sinxsin2x2sinx2sinxcosx2sinx(1cosx)0得sinx0或cosx1.∵x[0,2π]，∴x0、xπ或x2π.即函数f(x)在[0，2π]内有3个零点.解法二：设y12sinx，y2sin2x，画出函数y1与y2的图像，如图所示，函数f(x)的零点个数-2-即为y1与y2图像的交点个数，由此可知函数f(x)在[0，2π]内有3个零点.【答案】B【考点】必修4三角函数的图象和性质，三角恒等变换22

8．（2018全国I卷文8）已知函数fx2cosxsinx2，则A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4【解析】∵fx2cos2x(1cos2x)23cos2x13

∴f(x)的最小正周期为【答案】B【考点】必修4三角恒等变换、三角函数的性质cos2x135

，1cos2x

222

2π35

π，最大值为4.222a，9．（2018全国I卷文11）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A1，B2，b，且cos2，则ab

A．2315B．55C．255D．1【解析】有题意可知，cos0，且tana

b

，∴b2a.2

cos2sin21tan21a2222

∴cos2cossin，2222cossin1tan1a351

即33a222a2，解得a2，即|a|.555∴ab|a2a||a|.5-3-【答案】B【考点】必修4三角恒等变换、三角函数的性质C的对边分别为a，b，c，已知10．（2018全国I卷文16）△ABC的内角A，B，bsinCcsinB4asinBsinC，b2c2a28，则△ABC的面积为________．【解析】由正弦定理可得sinBsinCsinCsinB4sinAsinBsinC，由于0Bπ，0Cπ，即sinBsinC0，∴sinA2221π5π，∴A或A.266b2c2a284cosA∵bca8，∴.2bc2bcbc①当A3483123πcosAbcSbcsinA时，，解得，∴ABC.2bc323634835πcosAbc②当A时，，解得（不合题意），舍去.2bc36故△ABC的面积为【答案】23.3233C5，BC1，AC5，则AB25【考点】必修5解三角形11．（2018全国II卷文7）在△ABC中，cosA．42B．30C．29D．25a2b2c2125c226c2【解析】设边BC、AC、AB分别为a、b、c，则由余弦定理有cosC.2ab21510

C326c23

1，∴，解得c42.又∵cosC2cos251052【答案】A【考点】必修5解三角形12．（2018全国II卷文10）若f(x)cosxsinx在[0,a]是减函数，则a的最大值是A．π4B．π2C．3π4D．ππ

【解析】∵f(x)cosxsinx2sin(x)，4∴x

ππππ3π

[2kπ,2kπ](kZ)，即x[2kπ,2kπ](kZ)时，f(x)为减函数.42244-4-π3π

取k0，得到f(x)的一个减区间为[,].44∴a

【答案】C【考点】必修4三角恒等变换、三角函数的性质13.（2018全国II卷文15）已知tan(α【解析】tan(α【答案】5π1)，则tanα__________．453π3π

，即a的最大值为.44

5ππtanα113)tan(α)，解得tanα.44tanα152

3

2

【考点】必修4三角恒等变换、三角函数的性质14．（2018全国III卷文4）若sin

A．1

，则cos2α3

C．

89B．7979D．

892

【解析】cos2α12sinα1

27.99

【答案】B【考点】必修4三角恒等变换15．（2018全国III卷文6）函数f(x)

A．tanx

的最小正周期为1tan2xC．

D．2

4B．2tanxtanxcos2xsinxcosx1

sinxcosxsin2x，【解析】∵f(x)222221tanx(1tanx)cosxcosxsinx2∴f(x)的最小正周期为π.【答案】C【考点】必修4三角恒等变换a2b2c2

16．（2018全国III卷文11）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，4则C=-5-A．2B．3C．4D．61a2b2c2222

【解析】由已知和△ABC的面积公式有，absinC，解得abc2absinC.24a2b2c22absinC

∴cosCsinC，2ab2ab又∵sin2Ccos2C1，∴cosCsinC【答案】C【考点】必修5解三角形17．（2017全国I卷文11）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知sinBsinA(sinCcosC)0，a=2，c=2，则C=A．2π

，C.42π

12B．π6C．π4D．π3【解析】∵Bπ(AC)，∴sinBsin(AC)，∵sinBsinA(sinCcosC)0，∴sin(AC)sinA(sinCcosC)0，即sinAcosCcosAsinCsinAsinCsinAcosC0，化简得(cosAsinA)sinC0.∵0Cπ，∴sinC0，cosAsinA0，即tanA1，∵0Aπ，∴A

3π.4c221π5π

（舍去，ACπ）.sinA，∴C或C

a22266由正弦定理有，sinC

【答案】B【考点】必修5解三角形ππ

)=__________.24πsin2，即sin2cos，【解析】∵a(0，)，tanα=2，∴2cos18．（2017全国I卷文15）已知a(0，)，tanα=2，则cos(

又∵sin2cos21，解得sin255，cos.55∴cos(

πππ2235310)coscossinsin(cossin).44422510

-6-【答案】31010π

)的最小正周期为3

C．π

D．【考点】必修4三角恒等变换19．（2017全国II卷文3）函数f(x)sin(2x

A．4π【解析】T【答案】C【考点】必修4三角函数的性质20．（2017全国II卷文13）函数f(x)2cosxsinx的最大值为【解析】∵f(x)2cosxsinx

.B．2π

π22π



2π

π.2

5(2551

cosxsinx)5cos(x)，其中tan，552

∴函数f(x)的最大值为5.【答案】5【考点】必修4三角恒等变换21．（2017全国II卷文16）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosBacosCccosA,则B

.【解析】由正弦定理得，2sinBcosBsinAcosCsinCcosA，即2sinBcosBsin(AC).∵Bπ(AC)，∴2sinBcosBsin(AC)sinB.∵0Bπ，∴sinB0，cosB

【答案】π

3

1π，∴B.23【考点】必修5解三角形22．（2017全国III卷文4）已知sincos

A．

4

，则sin2=3

C．79B．

2929D．79【解析】∵sincos

1647

，∴(sincos)212sincos1sin2，∴sin2.993-7-【答案】A【考点】必修4三角恒等变换23．（2017全国III卷文6）函数f(x)sin(x

A．15)cos(x)的最大值为36C．6

5B．135D．15【解析】∵cos(x)cos(x)cos[(x)]sin(x)，ππππ662316∴f(x)sin(x)cos(x)sin(x)，536536∴函数f(x)的最大值为.5π3【答案】A【考点】必修4三角函数的诱导公式、三角函数的性质24．（2017全国III卷文15）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=6，c=3，则A=_________.bsinC6sin602【解析】由正弦定理得，sinB，∵0B120，∴B45.c32∴A180604575.【答案】75°【考点】必修5解三角形25.（2016全国I卷文4）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a5，c=2，cosA则b=A.2，32B.3C.2D.3b2c2a2b24521

，解得b3或b（舍去）.【解析】由余弦定理有cosA2bc4b33

【答案】D【考点】必修5解三角形26.（2016全国I卷文6）若将函数y2sin(2x)的图像向右平移A.y2sin(2x)C.y2sin(2x)π4π6B.y2sin(2x)D.y2sin(2x)π31个周期后，所得图像对应的函数为4π4π3-8-【解析】函数y2sin(2x)的周期为Tπ，∴函数y2sin(2x)的图像向右平移π6π61个周期后所得图像对应的函数为4πππy2sin[2(x)]2sin(2x).463【答案】D【考点】必修4三角函数的图象变换27（2016全国I卷文14）已知θ是第四象限角，且sin(【解析】∵θ是第四象限角，∴

则

πππ

2kπ<2kπ(kZ)，444

π3π4

∵sin()，∴cos()，4545πππππ3

∴cos()cos()cos[()]sin()，442445πππππ4

sin()sin()sin[()]cos()，442445π4

tan()∴.43

4

【答案】

3

【考点】必修4三角函数的诱导公式28.（2016全国II卷文3）函数y=Asin(x)的部分图像如图所示，则π

2kπ<2kπ(kZ)，2

π3π)，则tan()=454.A.y2sin(2x)C.y2sin(2x+)

6B.y2sin(2x)D.y2sin(2x+)

363-9-【解析】由函数图像可以得到振幅A=2，周期T2

ππ

π，即2，∴y2sin(2x).36

2πππ，.326

∵函数图像过点，2，∴y|

【答案】A【考点】必修4三角函数的图象π

3

πx32，即29.（2016全国II卷文11）函数f(x)cos2x6cosA.4B.5πx的最大值为2D.72C.6311π2【解析】函数f(x)cos2x6cosx12sinx6sinx2sinx.222

∵sinx[1,1]，∴当sinx1时，函数取最大值，f(x)max【答案】B【考点】必修4三角恒等变换30（2016全国II卷文15）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA则b=____________.【解析】∵sinA311

215.22

245，cosC，a=1，513

3123541263，，sinC，∴sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC51351351365asinBsinA1636521.3135由正弦定理得b【答案】2113【考点】必修5解三角形31.（2016全国III卷文6）若tanθ=A.

45B.

151

，则cos2θ=3

C.15D.45【解析】cos22cos21

224

.11211tan519【答案】D-10-【考点】必修4三角恒等变换32.（2016全国III卷文9）在△ABC中，B

A.π1

，BC边上的高等于BC，则sinA4331010310∵B

B.1010C.55D.【解析】设BC边上的高为AD，且AD=a，则BC=3a.π

，根据勾股定理可得，AB4122a，AC5a.由△ABC的面积可得ADBC1ACABsinA，即a3a5a2asinA，解得2sinA

【答案】D【考点】必修5解三角形310.10

33.（2016全国III卷文14）函数ysinx3cosx的图像可由函数y=2sinx的图像至少向右平移______个单位长度得到.【解析】∵ysinx3cosx2sin(x)，且其周期为2π，∴函数y=2sinx的图像至少向右平移位长度即可得到函数ysinx3cosx的图像.【答案】π3π个单3π3【考点】必修4三角恒等变换、三角函数的图象二、简答题（每题12分）

34．（2019全国III卷文18）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知asin（1）求B；ACbsinA．2（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．【解析】（1）由题设及正弦定理得sinAsin因为sinA0，所以sinACsinBsinA．2ACsinB．2ACBBBB

由ABC180，可得sincos，故cos2sincos．22222BB1

因为cos0，故sin，因此B=60°．222

-11-（2）由题设及（1）知△ABC的面积S△ABC

13acsinBa．由正弦定理得24acsinAsin120Csin120cosCcos120sinCsinCsinCsinC31cosCsinC3122．sinC2tanC2由于△ABC为锐角三角形，故0°22tanC28428233

．8,2

因此，△ABC面积的取值范围是

【考点】必修5解三角形-12-