（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题分共2分） 1．计算sin45°＝（ ）
A．
B．1
C．
D．
2．方程2x2+5＝7x根的情况是（ ） A．有两个不等的实数根 C．有一个实数根
B．有两个相等的实数根 D．没有实数根
3．若数a在数轴上对应的点的位置在原点的左侧，则下列各式中有意义的是（ ） A．
B．
C． D．
4．如图，在四个4×4的正方形网格中，三角形相似的是（ ）
A．①和②
B．②和④
C．②和③
D．①和③
5．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为M（ ，2），那么cosα的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．将 化简，正确的结果是（ ） A．
B．
C．
D． 7．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则AO：AD的值为（ ）
A．2：3
B．2：5
C．4：9
D．4：13
8．为宣传“扫黑除恶”专项行动，社区准备制作一幅宣传版面，喷绘时为了美观，要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边，已知图案的长为2米，宽为1米，图案面积占整幅宣传版面面积的90%，若设白边的宽为x米，则根据题意可列出方程（ ）
A．90%×（2+x）（1+x）＝2×1 C．90%×（2﹣2x）（1﹣2x）＝2×1 二、填空题（每小题3分，共18分）
9．已知 ，则锐角α的度数是 ．
10．如图是一块等腰三角形空地ABC，已知点D、E分别是边AB、AC的中点，量得AC＝10米，AB＝BC＝6米，若用篱笆围成四边形BCED来放养小鸡，则需要篱笆的长是 米．
B．90%×（2+2x）（1+2x）＝2×1 D．（2+2x）（1+2x）＝2×1×90%
11．若关于x的方程x2+（m2﹣2）x﹣15＝0有一个根是x＝3，则m的值是 ． 12．能使 与 是同类二次根式的x的最小正整数是 ．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点连结DE，若△CDE的周长为21，则BC＝ ．
14．如图，△ABC是面积为27cm2的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等份，则图中阴影部分的面积为 cm2．
三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15．计算： （2 ）（2 ）． 16．选用适当方法解方程：x2+4x﹣2＝0． 17．计算：2tan60°+tan45°﹣4cos30°．
18．（7分）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m﹣2＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，且方程的根都是负整数，求m的值． 19．（7分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA
．求cosA，sinB，tanB的值．
20．（7分）如图，△ABC在平面直角坐标系中，网格中每个小正方形的边长均为1，三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（4，0），C（4，6）．
（1）画出△ABC向左平移2个单位长度得到的△A1B1C1，并写出点B1的坐标； （2）以点O为位似中心，在第三象限画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为1：2，直接写出点C2的坐标．
21．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，以AC为边作△ACE，∠ACE＝90°，AC＝CE，延长BC至点D，使CD＝5，连接DE．求证：△ABC∽△CED．
22．（9分）如图，某校宣传栏BC后面12米处种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即BC∥ED，且相邻两棵树的间隔为2米，一人站在距宣传栏前面的A处正好看到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住．已知AF⊥BC，AF＝3米，BC＝10米，求该宣传栏后DE处共有多少棵树？（不计宣传栏的厚度）．
23．先阅读下列材料，然后解答问题．
材料：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线例如：如图①，AD把△ABC分成△ABD与△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的完美分割线． 解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠B＝40°，AD是△ABC的完美分割线，且△ABD是以AD
为底边的等腰三角形， 则∠CAD＝ 度．
（2）在△ABC中，∠B＝42°，AD是△ABC的完美分割线，且△ABD是等腰三角形，求∠BAC的度数．
24．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ． （1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）试探究t为何值时，△BPQ是等腰三角形； （3）试探究t为何值时，CP＝CQ；
（4）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
2019-2020学年吉林省长春市名校调研（市命题八十六）九年级
（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题分共2分） 1．计算sin45°＝（ ） A．
B．1
C．
D．
【解答】解：sin45° ， 故选：C．
2．方程2x2+5＝7x根的情况是（ ） A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根
D．没有实数根
【解答】解：方程化为2x2﹣7x+5＝0， 因为△＝（﹣7）2﹣4×2×5＝9＞0， 所以方程有两个不相等的实数根． 故选：A．
3．若数a在数轴上对应的点的位置在原点的左侧，则下列各式中有意义的是（ A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵数a在数轴上对应的点的位置在原点的左侧， ∴a＜0，
∴﹣a2＜0，a3＜0，
∴ 、 、 无意义， 有意义， 故选：B．
4．如图，在四个4×4的正方形网格中，三角形相似的是（ ）
A．①和②
B．②和④
C．②和③
D．①和③ ）
【解答】解：如图①，该三角形的三条边长分别是： 、2、 ． 如图②，该三角形的三条边长分别是： 、 、3 如图③，该三角形的三条边长分别是：2、2 、2 ． 如图④，该三角形的三条边长分别是：3、 、5．
只有图③中的三角形的三条边与图①中的三条边对应成比例， 故选：D．
5．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为M（ ，2），那么cosα的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图，作MH⊥x轴于H．
∵M（ ，2）， ∴OH ，MH＝2， ∴OM 3， ∴cosα ， 故选：D．
6．将 化简，正确的结果是（ ） A．
B．
C．
D．
【解答】解： 10 ， 故选：A．
7．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积
的，则AO：AD的值为（ ）
A．2：3
B．2：5
C．4：9
D．4：13
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，
∴∴∴
，AC∥DF，
，
．
故选：B．
8．为宣传“扫黑除恶”专项行动，社区准备制作一幅宣传版面，喷绘时为了美观，要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边，已知图案的长为2米，宽为1米，图案面积占整幅宣传版面面积的90%，若设白边的宽为x米，则根据题意可列出方程（ ）
A．90%×（2+x）（1+x）＝2×1 C．90%×（2﹣2x）（1﹣2x）＝2×1
B．90%×（2+2x）（1+2x）＝2×1 D．（2+2x）（1+2x）＝2×1×90%
【解答】解：设白边的宽为x米，则整幅宣传版面的长为（2+2x）米、宽为（1+2x）米， 根据题意得：90%（2+2x）（1+2x）＝2×1． 故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．已知 ，则锐角α的度数是 30° ． 【解答】解：由题意得，tanα ∴α＝30°．
， 故答案为：30°．
10．如图是一块等腰三角形空地ABC，已知点D、E分别是边AB、AC的中点，量得AC＝10米，AB＝BC＝6米，若用篱笆围成四边形BCED来放养小鸡，则需要篱笆的长是 17 米．
【解答】解：∵点E，D分别是边AB，AC的中点，BC＝6米， ∴DE＝3米，
∴DB＝3米，EC＝5米，
∴篱笆的长＝DE+BC+CE+DB＝3+6+3+5＝17米． 故答案为：17．
11．若关于x的方程x2+（m2﹣2）x﹣15＝0有一个根是x＝3，则m的值是 2或﹣2 ． 【解答】解：把x＝3代入x2+（m2﹣2）x﹣15＝0得9﹣3m2﹣6﹣15＝0， 整理得m2＝4，解得m＝±2． 故答案为2或﹣2．
12．能使 与 是同类二次根式的x的最小正整数是 4 ． 【解答】解：由于x+2＞0， ∴x＞﹣2，
∵ 与 是同类二次根式， ∴当x＝4时， ， 故答案为：4．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点连结DE，若△CDE的周长为21，则BC＝ 12 ．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵点E为AC的中点， ∴DE＝CE AC ， ∵△CDE的周长为21， ∴CD＝6， ∴BC＝2CD＝12． 故答案为：12．
14．如图，△ABC是面积为27cm2的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等份，则图中阴影部分的面积为 9 cm2．
【解答】解：∵△ABC是面积为27cm2的等边三角形， ∴S△ABC＝27cm2， ∵矩形平行于BC， ∴EH∥FG∥BC，
∴△AEH∽△AFG∽△ABC， ∵AB被截成三等分， ∴AF＝2AE，AB＝3AE，
∴S△AEH：S△AFG：S△ABC＝1：4：9， ∴S△AEH：S四边形EFGH：S四边形FBCG＝1：3：5，
∴图中阴影部分的面积S四边形EFGH 27cm2＝9cm2， 故答案为：9
三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15．计算： （2 ）（2 ）． 【解答】解：原式 4﹣5
1 ＝﹣1．
16．选用适当方法解方程：x2+4x﹣2＝0． 【解答】解：方程移项得：x2+4x＝2， 配方得：x2+4x+4＝6，即（x+2）2＝6， 开方得：x+2＝± ，
解得：x1＝﹣2 ，x2＝﹣2 ． 17．计算：2tan60°+tan45°﹣4cos30°． 【解答】解：原式＝2 1﹣4 ＝2 1﹣2 ， ＝1．
18．（7分）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m﹣2＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，且方程的根都是负整数，求m的值． 【解答】解：（1）由题意，得△＝（2m）2﹣4（m2+m﹣2）≥0， ∴m≤2；
（2）∵m≤2，且m为正整数， ∴m＝1或2，
当m＝1时，方程x2+2x＝0 的根x1＝﹣2，x2＝0．不符合题意； 当m＝2时，方程x2+4x+4＝0 的根x1＝x2＝﹣2．符合题意； 综上所述，m＝2．
19．（7分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA ．求cosA，sinB，tanB的值．
，
【解答】解：∵sinA ， ∴设AB＝13x，BC＝12x，
由勾股定理得：AC 5x， ∴cosA ，
sinB＝cosA tanB
，
． 20．（7分）如图，△ABC在平面直角坐标系中，网格中每个小正方形的边长均为1，三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（4，0），C（4，6）．
（1）画出△ABC向左平移2个单位长度得到的△A1B1C1，并写出点B1的坐标； （2）以点O为位似中心，在第三象限画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为1：2，直接写出点C2的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．B1（2，0）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．C2（﹣2，﹣3）．
21．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，以AC为边作△ACE，∠ACE＝90°，AC＝CE，延长BC至点D，使CD＝5，连接DE．求证：△ABC∽△CED．
【解答】证明：∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝2， ∴AC 2 ， ∵CE＝AC， ∴CE＝2 ， ∵CD＝5，
∵ ， ，
∴
，
∵∠B＝90°，∠ACE＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，∠BCA+∠DCE＝90°． ∴∠BAC＝∠DCE． ∴△ABC∽△CED．
22．（9分）如图，某校宣传栏BC后面12米处种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即BC∥ED，且相邻两棵树的间隔为2米，一人站在距宣传栏前面的A处正好看到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住．已知AF⊥BC，AF＝3米，BC＝10米，求该宣传栏后DE处共有多少棵树？（不计宣传栏的厚度）．
【解答】解：如图由图可知， ∵BC∥ED， ∴△ABC∽△ADE， ∴
，
又BC＝10米，AF＝3，FG＝12米， ∴AG＝AF+FG＝15米
即
，
∴DE＝50，
50÷2＝25，25+1＝26， 答：DE处共有26棵树．
23．先阅读下列材料，然后解答问题．
材料：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线例如：如图①，AD把△ABC分成△ABD与△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的完美分割线． 解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠B＝40°，AD是△ABC的完美分割线，且△ABD是以AD为底边的等腰三角形， 则∠CAD＝ 40 度．
（2）在△ABC中，∠B＝42°，AD是△ABC的完美分割线，且△ABD是等腰三角形，求∠BAC的度数．
【解答】解：（1）∵AD是△ABC的完美分割线， ∴△DAC∽△ABC ∴∠CAD＝∠B＝40° 故答案为：40 （2）若BD＝AD，
∵AD是△ABC的完美分割线， ∴△DAC∽△ABC ∴∠CAD＝∠B＝42° ∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠BAD＝42° ∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝84° 若AB＝BD，
∴∠BAD＝69°＝∠BDA ∵AD是△ABC的完美分割线， ∴△DAC∽△ABC ∴∠CAD＝∠B＝42°
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝42°+69°＝111° 若AB＝AD， ∴∠B＝∠ADB＝42°
∵AD是△ABC的完美分割线， ∴△DAC∽△ABC ∴∠CAD＝∠B＝42°
∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝42°+∠C≠42° ∴不存在AB＝AD，
综上所述：∠BAC的度数为84°或111°
24．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ． （1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）试探究t为何值时，△BPQ是等腰三角形； （3）试探究t为何值时，CP＝CQ；
（4）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm， ∴AB 10cm； 分两种情况讨论： ①当△BPQ∽△BAC时，
，
∵BP＝5t，QC＝4t，AB＝10，BC＝8， ∴
，解得，t＝1，
②当△BPQ∽△BCA时，∴
，
，解得，t
； ∴t＝1或时，△BPQ∽△BCA；
（2）分三种情况：
①当PB＝PQ时，如图1，过P作PH⊥BQ， 则BH BQ＝4﹣2t，PB＝5t， ∴PH∥AC， ∴
，即
解得：t ，
②当PB＝BQ时，即5t＝8﹣4t， 解得：t ，
③当BQ＝PQ时，如图2，过Q作QG⊥AB于G， 则BG PB t，BQ＝8﹣4t， ∵△BGQ∽△ACB， ∴
解得：t ．
即
，
综上所述：△BPQ是等腰三角形时t的值为：或或
．
（3）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图3所示：则PB＝5t， ∵AC⊥BC
∴△PMB∽△ACB， ∴
∴PM＝3t，MC＝8﹣4t，CQ＝4t，
根据勾股定理得，CP2＝PM2+MC2＝25t2﹣64t+64， ∵CP＝CQ
∴25t2﹣64t+64＝16t2， ∴t
（舍），或t ． ∴CP＝CQ时，t
（4）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图3所示 则PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t，
∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°， ∴∠NAC＝∠PCM， ∵∠ACQ＝∠PMC， ∴△ACQ∽△CMP， ∴∴
，
，解得t ．
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容