2016年福建省福州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、（共12小题，每小题3分，满分36分，每小题只有一个正确选项） 1．（3分）（2016•福州）下列实数中的无理数是（ ） A．0.7 B．
C．π
D．﹣8
【解答】解：∵无理数就是无限不循环小数，
且0.7为有限小数，为有限小数，﹣8为正数，都属于有理数，
π为无限不循环小数， ∴π为无理数． 故选：C． 2．（3分）（2016•福州）如图是3个相同的小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（
A． B． C． D．
【解答】解：人站在几何体的正面，从上往下看，正方形个数从左到右依次为2，1， 故选：C． 3．（3分）（2016•福州）如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是（ ）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角
【解答】解：直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是内错角． 故选B．
4．（3分）（2016•福州）下列算式中，结果等于a6的是（ ） A．a4+a2 B．a2+a2+a2 C．a2•a3 D．a2•a2•a2 【解答】解：∵a4+a2≠a6， ∴选项A的结果不等于a6；
∵a2+a2+a2=3a2，
∴选项B的结果不等于a6；
∵a2•a3=a5，
∴选项C的结果不等于a6；
）
∵a2•a2•a2=a6，
∴选项D的结果等于a6． 故选：D．
5．（3分）（2016•福州）不等式组的解集是（ ） A．x＞﹣1
B．x＞3 C．﹣1＜x＜3
D．x＜3
【解答】解：
解不等式①，得 x＞﹣1，
解不等式②，得 x＞3，
由①②可得，x＞3，
故原不等式组的解集是x＞3． 故选B． 6．（3分）（2016•福州）下列说法中，正确的是（ ） A．不可能事件发生的概率为0 B．随机事件发生的概率为
C．概率很小的事件不可能发生
D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次 【解答】解：A、不可能事件发生的概率为0，所以A选项正确； B、随机事件发生的概率在0与1之间，所以B选项错误；
C、概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，所以C选项错误；
D、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数可能为50次，所以D选项错误． 故选A． 7．（3分）（2016•福州）A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（ A． B． C． D． 【解答】解：表示互为相反数的点，必须要满足在数轴原点0的左右两侧，
从四个答案观察发现，只有B选项的线段AB符合，其余答案的线段都在原点0的同一侧， 所以可以得出答案为B． 故选：B 8．（3分）（2016•福州）平面直角坐标系中，已知▱ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B（2，﹣C（﹣m，﹣n），则点D的坐标是（ ） A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2） 【解答】解：∵A（m，n），C（﹣m，﹣n）， ∴点A和点C关于原点对称， ∵四边形ABCD是平行四边形，
） 1），
∴D和B关于原点对称， ∵B（2，﹣1），
∴点D的坐标是（﹣2，1）． 故选：A．
9．（3分）（2016•福州）如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（ ）
上一点（不
A．（sinα，sinα） B．（cosα，cosα） C．（cosα，sinα） D．（sinα，cosα） 【解答】解：过P作PQ⊥OB，交OB于点Q， 在Rt△OPQ中，OP=1，∠POQ=α， ∴sinα=
，cosα=
，即PQ=sinα，OQ=cosα，
则P的坐标为（cosα，sinα）， 故选C．
10．（3分）（2016•福州）下表是某校合唱团成员的年龄分布 年龄/岁 13 14 15 16 频数 5 15 x 10﹣x 对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ） A．平均数、中位数 B．众数、中位数 C．平均数、方差 D．中位数、方差
【解答】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10﹣x=10， 则总人数为：5+15+10=30，
故该组数据的众数为14岁，中位数为：
=14岁，
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数， 故选：B． 11．（3分）（2016•福州）已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（ ）
A． B． C．
D．
【解答】解：∵点A（﹣1，m），B（1，m）， ∴A与B关于y轴对称，故A，B错误； ∵B（1，m），C（2，m+1），
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，故C正确，D错误． 故选C． 12．（3分）（2016•福州）下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是（ ） A．a＞0 B．a=0 C．c＞0 D．c=0
【解答】解：∵一元二次方程有实数根， ∴△=（﹣4）2﹣4ac=16﹣4ac≥0，且a≠0， ∴ac≤4，且a≠0；
A、若a＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误； B、a=0不符合一元二次方程的定义，此选项错误； C、若c＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误； D、若c=0，则ac=0≤4，此选项正确； 故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 13．（4分）（2016•福州）分解因式：x2﹣4= （x+2）（x﹣2） ． 【解答】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）． 故答案为：（x+2）（x﹣2）． 14．（4分）（2016•福州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥﹣1 ． 【解答】解：若二次根式在实数范围内有意义，则：x+1≥0，解得x≥﹣1． 故答案为：x≥﹣1．
15．（4分）（2016•福州）已知四个点的坐标分别是（﹣1，1），（2，2），（，），（﹣5，﹣），从中随机选取一个点，在反比例函数y=图象上的概率是 【解答】解：∵﹣1×1=﹣1， 2×2=4， ×=1，
（﹣5）×（﹣）=1，
∴2个点的坐标在反比例函数y=图象上， ∴在反比例函数y=图象上的概率是2÷4=． 故答案为：．
16．（4分）（2016•福州）如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为r上，下方的弧半径为r下，则r上 ＜ r下．（填“＜”“=”“＜”）
．
【解答】解：如图，r上＜r下．
故答案为＜．
17．（4分）（2016•福州）若x+y=10，xy=1，则x3y+xy3的值是 98 ． 【解答】解：x3y+xy3 =xy（x2+y2）
=xy[（x+y）2﹣2xy] =1×（102﹣2×1） =98．
故答案为：98． 18．（4分）（2016•福州）如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是
．
【解答】解：如图，连接EA，EC，设菱形的边长为a，由题意得∠AEF=30°，∠BEF=60°，AE=∴∠AEB=90°， ∴tan∠ABC=故答案为
．
=
=
．
a，EB=2a
三、解答题（共9小题，满分90分） 19．（7分）（2016•福州）计算：|﹣1|﹣【解答】解：|﹣1|﹣=1﹣2+1
+（﹣2016）0．
+（﹣2016）0
=0．
20．（7分）（2016•福州）化简：a﹣b﹣
．
【解答】解：原式=a﹣b﹣（a+b） =a﹣b﹣a﹣b =﹣2b． 21．（8分）（2016•福州）一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC．
【解答】证明：在△ABC和△ADC中，有
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC=∠DAC． 22．（8分）（2016•福州）列方程（组）解应用题：
某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名学生购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？
【解答】解：设甲种票买了x张，乙种票买了y张． 根据题意得：解得：
．
．
答：甲种票买了20张，乙种票买了15张． 23．（10分）（2016•福州）福州市2011﹣2015年常住人口数统计如图所示． 根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）福州市常住人口数，2015年比2014年增加了 7 万人；
（2）与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是 2014 ；
（3）预测2016年福州市常住人口数大约为多少万人？请用所学的统计知识说明理由．
【解答】解：（1）福州市常住人口数，2015年比2014年增加了750﹣743=7（万人）；
（2）由图可知2012年增加：2013年增加：2014年增加：2015年增加：
×100%≈0.98%，
×100%≈0.97%， ×100%≈1.2%， ×100%≈0.94%，
故与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是2014年； （3）预测2016年福州市常住人口数大约为757万人，
理由：从统计图可知，福州市常住人口每年增加的数量的众数是7万人，由此可以预测2016年福州市常住人口数大约为757万人． 故答案为：（1）7；（2）2014．
24．（12分）（2016•福州）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为（1）求证：BM=CM； （2）当⊙O的半径为2时，求
的长．
中点，连接BM，CM．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=CD， ∴
=
， 中点， ， =
+
，即
=
，
∵M为∴∴
=+
∴BM=CM；
（2）解：∵⊙O的半径为2， ∴⊙O的周长为4π， ∴
25．（12分）（2016•福州）如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系； （2）求∠ABD的度数．
，在AC边上截取AD=BC，连接
的长=×4π=π．
【解答】解：（1）∵AB=BC=1，BC=∴AD=∴AD2=
，DC=1﹣
=
=
．
=
．
，
，AC•CD=1×
∴AD2=AC•CD．
（2）∵AD=BD，AD2=AC•CD， ∴BD2=AC•CD，即又∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ABC． ∴
，∠DBC=∠A．
．
∴DB=CB=AD．
∴∠A=∠ABD，∠C=∠D．
设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x． ∵∠A+∠ABC+∠C=180°， ∴x+2x+2x=180°． 解得：x=36°． ∴∠ABD=36°． 26．（13分）（2016•福州）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．
（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；
（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；
（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．
【解答】解：（1）由折叠性质得：△ANM≌△ADM， ∴∠MAN=∠DAM，
∵AN平分∠MAB，∠MAN=∠NAB， ∴∠DAM=∠MAN=∠NAB， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90°， ∴∠DAM=30°，
∴DM=AD•tan∠DAM=3×tan30°=3×=；
（2）延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥DC，
∴∠DMA=∠MAQ，
由折叠性质得：△ANM≌△ADM，
∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1， ∴∠MAQ=∠AMQ， ∴MQ=AQ，
设NQ=x，则AQ=MQ=1+x， ∵∠ANM=90°， ∴∠ANQ=90°，
在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2， ∴（x+1）2=32+x2， 解得：x=4，
∴NQ=4，AQ=5， ∵AB=4，AQ=5，
∴S△NAB=S△NAQ=×AN•NQ=××3×4=
；
（3）过点A作AH⊥BF于点H，如图2所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥DC，
∴∠HBA=∠BFC， ∵∠AHB=∠BCF=90°， ∴△ABH∽△BFC， ∴
=
，
∵AH≤AN=3，AB=4，
∴当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图3所示： 由折叠性质得：AD=AH， ∵AD=BC， ∴AH=BC，
在△ABH和△BFC中，∴△ABH≌△BFC（AAS）， ∴CF=BH， 由勾股定理得：BH=∴CF=，
∴DF的最大值=DC﹣CF=4﹣
=
=
，
，
．
27．（13分）（2016•福州）已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）． （1）当h=1，k=2时，求抛物线的解析式；
（2）若抛物线y=tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式； （3）当点A在抛物线y=x2﹣x上，且﹣2≤h＜1时，求a的取值范围． 【解答】解：（1）∵顶点为A（1，2），设抛物线为y=a（x﹣1）2+2， ∵抛物线经过原点， ∴0=a（0﹣1）2+2， ∴a=﹣2，
∴抛物线解析式为y=﹣2x2+4x． （2）∵抛物线经过原点， ∴设抛物线为y=ax2+bx， ∵h=﹣
，
∴b=﹣2ah， ∴y=ax2﹣2ahx， ∵顶点A（h，k）， ∴k=ah2﹣2ah2=﹣ah2，
抛物线y=tx2也经过A（h，k）， ∴k=th2，
∴th2=ah2﹣2ah2， ∴t=﹣a，
（3）∵点A在抛物线y=x2﹣x上， ∴k=h2﹣h，又k=ah2﹣2ah2， ∴h=
，
∵﹣2≤h＜1， ∴﹣2≤
＜1，
①当1+a＞0时，即a＞﹣1时，，解得a＞0，
②当1+a＜0时，即a＜﹣1时，解得a≤﹣，
综上所述，a的取值范围a＞0或a≤﹣．
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