初中数学竞赛辅导资料全

第一部分 基本方法

1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。

例如：方程 2x＋6＝0， x（x－1）=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解 分别是： x=－3, x=0或x=1, x=±6, 所有的数，无解。 2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b后， 讨论它的解：当a≠0时，有唯一的解 x=当a=0且b≠0时，无解；

当a=0且b＝0时，有无数多解。（∵不论x取什么值，0x＝0都成立） 3. 求方程ax=b(a≠0)的整数解、正整数解、正数解 当a｜b时，方程有整数解；

当a｜b，且a、b同号时，方程有正整数解； 当a、b同号时，方程的解是正数。

综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b 第二部分 典例精析

例1 a取什么值时，方程a(a－2)x=4(a－2) ①有唯一的解②无解 ③有无数多解④是正数解

b； a 例2 k取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数②（1－x）k=6的解是负整数

例3 己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a 无解。问a和b应满足什么关系

例4 a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解

第三部分 典题精练

1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：

① (x+1)=0, ②x=9, ③|x|=9， ④|x|=－3, ⑤3x+1=3x－1, ⑥x+2=2+x

2. 关于x的方程ax=x+2无解，那么a__________ 3. 在方程a(a－3)x=a中，

当a取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a＿＿＿时无解； 当a＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a＿＿＿＿时,解是负数。 4. k取什么整数值时，下列等式中的x是整数

① x=

2

62k33k24 ②x= ③x= ④x=

k1kk1k5. k取什么值时，方程x－k=6x的解是 ①正数 ②是非负数

6. m取什么值时，方程3（m+x）=2m－1的解 ①是零 ②是正数

7. 己知方程

3x6a2的根是正数，那么a、b应满足什么关系 142

8. m取什么整数值时，方程(

9. 己知方程

x21)m1m的解是整数 33b3(x1)1ax有无数多解，求a、b的值。 22

第二篇 二元一次方程的整数解

第一部分 基本方法

1. 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，

若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即 如果（a,b）|c 则方程ax+by=c有整数解

显然a,b互质时一定有整数解。

例如方程3x+5y=1, 5x－2y=7, 9x+3y=6都有整数解。 返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x－2y=1都没有整数解， ∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。 一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。 2. 二元一次方程整数解的求法：

若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）。k叫做参变数。

方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解

111y1y10y1y=2y (1) , 5551y 设，则y=1－5k (2) , k(k是整数）

5解：x=

把（2）代入（1）得x=k－2 (1－5k)=11k－2

x11k2∴原方程所有的整数解是（k是整数）

y15k方法二，公式法： 设ax+by=c有整数解

xx0xx0bk则通解是（x0,y0可用观察法） yy0yy0ak1， 求二元一次方程的正整数解：

① 出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值 ② 用观察法直接写出。

第二部分 典例精析

例1 求方程5x－9y=18整数解的能通解

例2 求方程5x+6y=100的正整数解

例3 甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本

第三部分 典题精练 1. 求下列方程的整数解

①公式法：x+7y=4, 5x－11y=3 ②整除法：3x+10y=1, 11x+3y=4

2. 求方程的正整数解：①5x+7y=87, ②5x+3y=110

3. 一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材

4. 兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁数。

5. 下列方程中没有整数解的是哪几个答： （填编号）

③ 4x＋2y=11, ②10x－5y=70, ③9x+3y=111, ④18x－9y=98, ⑤91x－13y=169, ⑥120x+121y=324.

6. 一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同

学得48分，他最多得几分

7. 用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解：

y= x=1 4 －2 17y 3

第三篇 二元一次方程组解的讨论

第一部分 基本方法

a1xb1yc11. 二元一次方程组的解的情况有以下三种：

axbyc222① 当

a1b1c1时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效） a2b2c2a1b1c1时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的） a2b2c2a1b1（即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解： a2b2② 当

③ 当

c1b2c2b1xa1b2a2b1  （这个解可用加减消元法求得）

cacay2112a1b2a2b12． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按

二元一次方程整数解的求法进行。

3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解

含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3） 第二部分 典例精析

例1. 选择一组a,c值使方程组

例2. a取什么值时，方程组

5xy7

ax2ycxya 的解是正数

5x3y31

2xmy4例3. m取何整数值时，方程组的解x和y都是整数

x4y1

例4. （古代问题）用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。问桃，李，榄橄各买几粒

第三部分 典题精练

1. 不解方程组，判定下列方程组解的情况：

3x5y1x2y32xy3①  ② ③

3x5y13x6y94x2y3

2x3yaa11． a取什么值时方程组的解是正数

29x6y9a2a2

2． a取哪些正整数值，方程组

3． 要使方程组

x2y5a的解x和y都是正整数

3x4y2axkyk的解都是整数， k应取哪些整数值

x2y1

4． （古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，

鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少

第四篇 用交集解题

第一部分 基本方法

1. 某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素。例如6的正约数集合记作｛6的正约数｝＝｛1，2，3，6｝，它有4个元素1，2，3，6；除以3余1的正整数集合是个无限集，记作｛除以3余1的正整数｝＝｛1，4，7，10……｝，它的个元素有无数多个。

1． 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集

例如6的正约数集合A＝｛1，2，3，6｝，10的正约数集合B＝｛1，2，5，10｝，6与10的公约数集合C＝｛1，2｝，集合C是集合A和集合B的交集。 2． 几个集合的交集可用图形形象地表示， 右图中左边的椭圆表示正数集合， 右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆 的公共部分，是它们的交集――正整数集。

不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。 例如不等式组正数集正整数集整数集2x6(1)解的集合就是

x2(2)不等式（1）的解集x>3和不等式（2）的解集x＞2的交集，x>3. 如数轴所示： 0 2 3

4．一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。 有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案。（如例2）

第二部分 典例精析

例1. 一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个自然数的最小值。

例2. 有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数。

例3. 数学兴趣小组中订阅A种刊物的有28人，订阅B种刊物的有21人，其中6人两种都订，只有一人两种都没有订，问只订A种、只订B种的各几人数学兴趣小组共有几人

［公式一］N＝N+ N（A）+N（B）－N（AB）。

例4. 在40名同学中调查，会玩乒乓球的有24人，篮球有18人，排球有10人，同时会玩乒乓球和篮球的有6人，同时会玩乒乓球和排球的有4人，三种球都会的只有1人， 问：有多少人①只会打乒乓球 ②同时会打篮球和排球 ③只会打排球

A24AB 6ACABC 4 1C 10B18A＝28只A22ABB＝216只B15

例5. 十进制中，六位数19xy87能被33整除，求x和y的值

第三部分 典题精练

1. 负数集合与分数集合的交集是 . 等腰直角三角形集合是 三角形集合与 三角形集合的交集。

2. 12的正约数集合A＝｛ ｝，30的正约数集合B＝｛ ｝ 12和30的公约数集合C＝｛ ｝，集合C是集合A和集合B的＿＿ 3. 某数除以3余1，除以5余1，除以7余2，求某数的最小值。

4. 九张纸各写着1到9中的一个自然数（不重复），甲拿的两张数字和是10，乙拿的两张数字差是1，丙拿的两张数字积是24，丁拿的两张数字商是3，问剩下的一张是多少

5. 求符合如下三条件的两位数：①能被3整除②它的平方、立方的个位数都不变③两个数位上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同。

6. 据30名学生统计，会打篮球的有22人，其中5人还会打排球；有2人两种球都不会打。那么①会打排球有几人②只会打排球是几人

7. 100名学生代表选举学生会正付主席，对侯选人A和B进行表决，赞成A的有52票，赞成B的有60票，其中A、B都赞成的有36人，问对A、B都不赞成的有几人

8. 数、理、化三科竞赛，参加人数按单科统计，数学24人，物理18人，化学10人；按两科统计，参加数理、数化、理化分别是13、4、5人，没有三科都参加的人。求参赛的总人数，只参加数学科的人数。（本题如果改为有2人三科都参加呢）

9. xy3xy50

10. 十进制中，六位数1xy285能被21整除，求x,y的值（仿例5）

第五篇 用枚举法解题

第一部分 基本方法

有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律。列举解答要注意： ① 按一定的顺序，有系统地进行； ② 分类列举时，要做到既不重复又不违漏；

③ 遇到较大数字或抽象的字母，可从较小数字入手，由列举中找到规律。 第二部分 典例精析 例1. 如图由西向东走，从A处到B处有几种走法

例2. 写出由字母X，Y，Z中的一个或几个组成的非同类项（系数为1）的所有四次单项式。

例3. 讨论不等式ax例4. 如图把等边三角形各边4等分，分别连结对应点，试计算图中所有的三角形个数

第三部分 典题精练

1. 己知x，y都是整数，且xy=6，那么适合等式解共 个，它们是 . 2. a+b=37,适合等式的非负整数解共 组，它们是 . 3. xyz=6,写出所有的正整数解有： .

4. 如图线段AF上有B，C，D，E四点,试分别写出以A，B，C，D，E为一端且不重复的所有线段，并统计总条数.

A B C D E F

5. 写出以a,b,c中的一个或几个字母组成的非同类项（系数为1）的 所有三次单项式 。

6. 除以4余1 两位数共有几个

7. 从1到10这十个自然数中每次取两个，其和要大于10，共有几种不同取法

8. 把 边长等于4的正方形各边4等分，连结各对应点成16个小正方形，试用枚举法，计算共有几个正方形如果改为 5等分呢10等分呢

9. 右图是街道的一部分，纵横各有5条路，如果从A到B(只能从北向南，从西向东)，有几种走法

10. 一个正整数加上3是5的倍数，减去3是6的倍数，

则这个正整数的最小值是 .

BA第六篇 经验归纳法

第一部分 基本方法

1．通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。

通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。例如

①由 ( － 1) ＝ 1 ，（－ 1 ） ＝－ 1 ，（－ 1 ） ＝ 1 ，……， 归纳出 － 1 的奇次幂是－ 1，而－ 1 的偶次幂 是 1 。 ②由两位数从10 到 99共 90 个（ 9 × 10 ），

三位数从 100 到 999 共900个（9×10），

2

2

3

4

四位数有9×10＝9000个（9×10）， …………

归纳出n 位数共有9×10

2

2

33

n－1

(个)

2

③ 由1+3=2, 1+3+5=3, 1+3+5+7=4…… 推断出从1开始的n个连续奇数的和等于n等。

可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。

2. 经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行足够次数的试验。

由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。（到高中，大都是用数学归纳法证明）

第二部分 典例精析

例1 平面内n条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点

例2．符号n！表示正整数从1到n的连乘积，读作n的阶乘。例如 5！＝1×2×3×4×5。试比较3与（n+1）！的大小（n 是正整数）

例3．求适合等式x1+x2+x3＋…+x2003=x1x2x3…x2003的正整数解。

n2

丙练习14

1． 除以3余1的正整数中，一位数有＿＿个，二位数有＿＿个，三位数有＿＿个，n位数

有＿＿＿＿个。

2． 十进制的两位数a1a2可记作10a1＋a2,三位数a1a2a3记作100a1+10a2+a3,四位数

a1a2a3a4记作＿＿＿＿，n位数＿＿＿记作＿＿＿＿＿＿

3． 由1＋2＝（1＋2），1＋2＋3＝（1＋2＋3），1＋2＋3＋4 ＝（＿＿＿）,1＋＿＿＿＿＿＿＝15，1＋2＋…＋n=( )。 4． 用经验归纳法猜想下列各数的结论（是什么正整数的平方）

①111－22212＝（＿＿＿）；1111－2222＝（ ＿＿）。

2；

2

2

3

2

3

3

3

2

3

3

2

3

3

3

2

3

3

3

3

10个15个22

2n个1n个22

②11156＝（＿＿＿＿）；11115556＝（＿＿＿）1559位9位n位n位

5． 把自然数1到100一个个地排下去：123……91011……99100

① 这是一个几位数②这个数的各位上的各个数字和是多少 6．计算

1111＋＋＋…＋＝

1112121313141920a+1

a （提示把每个分数写成两个分数的差）

7．a是正整数，试比较a和(a+1)的大小. 8．. 如图把长方形的四条边涂上红色，然 后把宽3等分，把长8等分，分成24个 小长方形，那么这24个长方形中，

两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个。

本题如果改为把宽m等分,长n等分(m,n都是大于1的自然数)那么这mn个长方形中，两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个

9．把表面涂有红色的正方体的各棱都4等分，切成64个小正方体，那么这64个中，三面涂色的有＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿＿＿个。

本题如果改为把长m等分,宽n等分,高p等分，（m,n,p都是大于2的自然数）那么这mnp个正方体中，三面涂色的有＿＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿＿＿＿个。

10．一个西瓜按横，纵，垂直三个方向各切三刀，共分成＿＿＿块，其中不带皮的有＿＿块。 11．已知两个正整数的积等于，它们分别是＿＿＿，＿＿＿。