数学运算之时钟问题专题

数学运算之时钟问题专题

解时钟方面的问题一般是做两面钟的时差或者速度比

（一）基本思路：封闭曲线上的追及问题。

关键问题：

①确定分针与时针的初始位置；

②确定分针与时针的路程差；

（二）基本方法：

①分格方法：

时钟的钟面圆周被均匀分成60小格，每小格我们称为1分格。分针每小时走60分格，即一周；而时针只走5分格，故分针每分钟走1分格，时针每分钟走1／12分格，故分针和时针的速度差为11/12分格/分钟。

②度数方法：

从角度观点看，钟面圆周一周是360°，分针每分钟转360/60度，即6°，时针每分钟转360/12*60度，即0.5度，故分针和时针的角速度差为5.5°/分钟。

（三）坏表问题（快钟慢钟问题）——本质上：比例问题

找准坏表的“标准比”，然后按比例进行计算。

【例题】有一只钟，每小时慢 3 分钟，早晨 4 点 30 分的时候，把钟对准了标准时间，则钟走到当天上午 10 点 50 分的时候，标准时间是多少?（ ）

A.11 点整 B.11 点 5 分 C.11 点 10 分 D.11点15分

【答案】C

【解析】设此时的标准时间为 y时，得到下表：

标准钟 慢钟

时刻Ⅰ 4 4

时刻Ⅱ y 10

两次时间差 y4 104

标准比 60 57

根据比例原则：标准钟的两次时间差/标准比=慢钟的两次时间差/标准比，解得 y＝ 10

即此时的标准时间为 11时10 分。

［注一］ 为了方便读者阅读，解析之中没有把分数化简，实际做题时应使用最简分数。

［注二］ 很多考生直接这么计算：从4 点 30分到 10点 50 分共经过了 6小时 20分，此钟每小时慢3分钟，因此一共慢了 19 分钟，所以标准时间应该是 11点9 分。这种做法是不对的，因为所谓“经过了6小时20分”是通过慢钟来反映出来的，所以并不是标准时间。

【例 2】（05中央）一个快钟每小时比标准时间快 1 分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢 3 分钟。如将 两个钟同时调到标准时间，结果在 24 小时内，快钟显示 10 点整时，慢钟恰好显示 9 点整。 则此时的标准时间是多少？（ ）

A.9 点 15 分 B.9 点 30 分 C.9 点 35 分 D.9 点 45 分

解：快钟和慢钟与标准之差是3：1，标准钟一定在慢钟与快钟之间，所以，10-15分钟或者9+45分钟。答案是D

关于增长率：先以同增长率增加，再以同增长率减少，最后是减少（基数改变）：“同增同减，最后减少”

——同类型：每小时钟比标准时间快1分钟，表比钟时间慢1分钟（基数变），表一定是比标准钟慢，每小时慢1秒。

（四）钟面问题——本质上：追及问题

1想象法和代入排除法，或者手表（非电子表）

2钟面问题本质上是追及问题，t =t0+t0/11（t为追及时间，即分针和时针要“达到条件要求”的真实时间 t0 为静态时间，即假设时针不动，分针和时针“达到条件要求”的时间）

3一小时有两种情况垂直，当追及问题涉及到垂直问题，分两种讨论。

4时针的速度是分针速度的1/12，所以分针每分钟比时针多走11/12格。

【例 3】时针与分针在 5 点多少分第一次垂直？

解：第一次垂直，就不用考虑第二次了，T=10+10/11。就是5点10分

例如：某时刻钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后的分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为（ ）

A.10点15分 B.10点19分 C.10点20分 D.10点25分

解：直接代入排除，答案到问题更加容易。

【例1】现在是3点，什么时候时针与分针第一次重合？

[分析]3点时分针与时针相差15格，要使分针与时针重合，即分针要比时针多走15格，才能追上时针。而分针每分钟比时针多走11/12格，所以15/（11/12）=16又4/11

（分） .

【例2】在10点与11点之间，钟面上时针与分针在什么时刻垂直？

[分析]（1）、第一种情况：10点时分针与时针相差10格，要使分针与时针垂直，分针要比时针相差15格才行，所以分针要多走5格后才能与时针垂直。

5/（11/12）=5又5/11(分）

（2）、第二种情况：第二次垂直，分针要比时针多走50-15=35格，所以35/(11/12)=38又2/11(分）

【例3】在9点与10点之间的什么时刻，分针与时针在一条直线上？

[分析]分针与时针成180度角时，分针与时针相差30格，而9点时分针与时针相差15格，所以要分针多走15格。

15/（11/12）=16又4/11（分）

【例题1】从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有：

A．1次 B．2次 C．3次 D．4次

【解析】时针与分针成直角，即时针与分针的角度差为90度或者为270度，理论上讲应为２次，还要验证：

根据角度差/速度差 =分钟数，可得 90/5．5= 16又4/11＜60，表示经过16又4/11分钟，时针与分针第一次垂直；同理，270/5．5 = 49又1/11＜60，表示经过49又1/11分钟，时针与分针第二次垂直。经验证，选B可以。

【例题2】在某时刻，某钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后的分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为

A．10点15分：

B．10点19分

C．10点20分

D．10点25分

【解法1】时针10―11点之间的刻度应和分针20―25分钟的刻度相对，所以要想时针与分针成一条直线，则分针必在这一范围，而选项中加上6分钟后在这一范围的只有10点15分，所以答案为A。

【解法2】常规方法

设此时刻为X分钟。则6分钟后分针转的角度为6（X+6）度，则此时刻3分钟前的时针转的角度为0．5（Ｘ＋3）度，以0点为起始来算此时时针的角度为0．5（Ｘ―3）+10×30度。所谓“时针与分针成一条直线”即0．5（Ｘ―3）+10×30―6（Ｘ+6）=180度，解得Ｘ=15分钟。

【例题3】 现在是2点，什么时候时针与分针第一次重合？

解析：2点的时候分针和时针的角度差为60°，而分针和时针的角速度差巍为5.5°/分钟，所以时间为60/5.5=120/11 分。即经过120/11分钟后时针与分针第一次重合。

【例题4】 在7点与8点之间，时针与分针在什么时刻相互垂直？

解析：在7点与8点之间，时针与分针会有两次垂直的机会。在7点的时候，分针与时针的角度为210°，第一次垂直时分针需要追及的角度为120°，则时间为120/5.5=240/11分，第二次垂直时分针需要追及的角度为300°，则时间为300/5.5=600/11分。

【例题5】晚上7点到8点之间电视里播出一部动画片，开始时分针与时针正好成一条直线，结束时两针正好重合。这部动画片播出了多长时间？

解析：7点的时候分针与时针的角度差为210°，重合的时候分针追及的角度为30°，则时间为30/5.5=60/11 分钟。重合的时候分针追及的角度为210°，则时间为210/5.5=420/11，时间差为360/11分钟。

【例题6】3点过多少分时，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两边？

解析：时针和分针离3的距离相等，即时针和分针与3的角度相等。列方程如下：0.5X=90-6X X=180/13分钟。

【例题7】小王去开会，会前会后都看了表，发现前后时针和分针位置刚好互换，问会开了1小时几分（）

A.51 B 49 C47 D45

解析：时间大于1小时小于两小时，又因为时针和分针的位置互换，则分针与时针共同转过的角度和为720°，则时间为720/6.5=1440/13约等于1小时51分钟。

【例题8】会议开始时,小李看了一下表,会议结束时,又看了一下表,结果分针与时针恰好对调了位置.会议在3点至4点之间召开,5点至6点之间结束,请问会议何时召开?

【解析】会议在3点至4点之间召开,5点至6点之间结束。

那么会议开始的大致时间我们可以得到是3点25-30之间。会议结束的时间大致是5点15-20分。会议结束时时针的位置就是会议开始时分钟的位置，15-20分，时针转的格数是15/12-20/12=5/4-5/3之间，那么分钟就在这个位置。5点位置分针是25分，加上5/4-5/3就是分钟的位置。

常规解法：会议持续的时间为720/6.5=1440/13分钟=24/13小时

假设会议开始的时间为3点X分。那么会议开始时时针的格数为15+1/12 *X格

会议结束时时针的格数为X格。得X=15+X/12+5*(24/13)