时间：60分钟 满分：100分
x2y2
1．(2010·宁夏模拟)双曲线－＝1的焦距为 ( )
102
A．32 B．42 C．33 D．43 答案：D
解析：由已知有c2＝a2＋b2＝12，所以c＝23，故双曲线的焦距为43.故选D.
x2y2
2．(2009·福建，4)若双曲线2－＝1(a＞0)的离心率为2，则a等于 ( )
a3
3
A．2 B.3 C. D．1
2
答案：D
x2y2
解析：∵2－＝1(a＞0)，∴b2＝3，
a3
22
c2a＋b3222
∴c＝a＋b，∴2＝2＝1＋2＝4，∴a2＝1.故选D.
aaa
6
3．(2009·安徽，6)下列双曲线中离心率为的是 ( )
2
x2y2x2y2x2y2x2y2A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 244246410答案：B
22
c2a＋b3b212
解析：由已知e＝2＝2＝得2＝，即a2＝2b2，观察选项，故选B.
aa2a2
x2y2
4．(2009·宁夏、海南4)双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为 ( )
412
A．23 B．2 C.3 D．1 答案：A
x2y2
解析：双曲线－＝1的焦点为(4,0)、(－4,0)．渐近线方程为y＝±3x.由双曲线的对称
412
|43＋0|
性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等．d＝＝23.
3＋1
x2y2
5．如果双曲线－＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是
42
( )
4626A. B. C．26 D．23
33答案：A
命题意图：考查双曲线的基本定义．
4
解析：依题意知P在右支上，准线l：x＝，
6
一、选择题(8×5＝40分)
6. 2
设P到l的距离为d，由第二定义可知， |PF|26
＝＝， dd2
4∴d＝.
6
444
故P到y轴的距离为＋＝6，故选A.
6632xy2x2y2
6．(2009·湖北，5)已知双曲线－＝1的准线经过椭圆＋2＝1(b＞0)的焦点，则b＝
224b
( )
A．3 B.5 C.3 D.2 答案：C
解析：已知双曲线的准线方程为
a22x＝±＝±＝±1，
c2＋2
∴椭圆的焦点坐标为(±1,0)，即c＝1. ∴b2＝4－1＝3，∴b＝3.故选C. 7．(2009·山东临沂一模)已知双曲线的两个焦点F1(－10，0)，F2(10，0)，M是此双曲
→→→→
线上的一点，且MF1·MF2＝0，|MF1|·|MF2|＝2，则该双曲线的方程是 ( )
222222xyxyxyA.－y2＝1 B．x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1 993773答案：A
→→→→
解析：∵MF1·MF2＝0，∴MF1⊥MF2.
→→
∵||MF1|－|MF2||＝2a，
→→
∴|MF1|2＋|MF2|2＝40.
→→∴|MF1|·|MF2|＝20－2a2＝2，∴a2＝9，
x222
b＝1，∴所求双曲线的方程为－y＝1.
9
x2y2
8．(2010·辽宁省东北育才模拟)若双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一个焦点到一条渐近线的
ab
1
距离等于焦距的，则该双曲线的离心率是 ( )
4
623
A.5 B. C．2 D.
23
答案：D
1112c2423222232
解析：由已知得b＝×2c＝c，∴b＝c－a＝c，∴a＝c，∴2＝，∴e＝，故4244a33
选D.
二、填空题(4×5＝20分)
22y9．双曲线x－＝1的焦点坐标为________；若曲线x2－my2＝1有一条准线方程为x＝2，3
则实数m为________．
右焦点F：(6，0)，离心率e＝4
答案：(±2,0) m＝－
32y
解析：∵x2－＝1，
3
∴a＝1，b＝3，c＝2，∴焦点坐标为(±2,0)．
a222
若曲线x－my＝1为双曲线，则准线方程x＝＜2，故不符．则曲线为椭圆，m＜0，a2
c
1114
＝1，b2＝－，c2＝1＋，x＝＝2，∴m＝－. mm311＋m
10．(2009·浙江宁波一模)已知双曲线的右焦点为(5,0)，一条渐近线方程为2x－y＝0，则此双曲线的标准方程是________．
x2y2
答案：－＝1
520
x2y2
解析：设双曲线的标准方程为2－2＝1，
ab
bb
c＝5，y＝±x，＝2，又c2＝a2＋b2，
aa
x2y222
∴a＝5，b＝20，∴所求双曲线的标准方程是－＝1.
520
22xy
11．已知圆C过双曲线－＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心
916
到双曲线中心的距离是________．
16答案： 3
解析：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心
4716
的横坐标为4，故圆心坐标为(4，±)，易求它到中心的距离为.
3322xy
12．(2009·北京宣武)已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P
ab
在双曲线的右支上，|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值是______________．
5答案： 3
解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由定义得： m－n＝2a，
8am＝，3
由已知m＝4n，解得
2an＝，
3
在△PF1F2中，由余弦定理得 (2c)2＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2
8a2a8a2a4c2＝()2＋()2－2···cos∠F1PF2
3333
178
整理得：e2＝－cos∠F1PF2，
99
255
当cos∠F1PF2＝－1时，e2最大为，∴e最大为. 93
x2y2
13．(2009·成都检测)由双曲线－＝1上的一点P与左、右两焦点
94
F1、F2构成△PF1F2，求△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点坐标．
解析：由双曲线方程知a＝3，b＝2，c＝13.
如右图，根据从圆外一点引圆的两条切线长相等及双曲线定义可得 |PF1|－|PF2|＝2a.
由于|NF1|－|NF2|＝|PF1|－|PF2|＝2a .① |NF1|＋|NF2|＝2c. ②
2a＋2c
由①②得|NF1|＝＝a＋c.
2
∴|ON|＝|NF1|－|OF1|＝a＋c－c＝a＝3. 故切点N的坐标为(3,0)．
根据对称性，当P在双曲线左支上时，切点N的坐标为(－3,0)． 14．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2，且过点P(4，－10)． (1)求双曲线方程；
→→
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1·MF2＝0； (3)求ΔF1MF2的面积．
解析：(1)解：∵e＝2，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)． ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明：方法一：由(1)可知，双曲线中a＝b＝6， ∴c＝23，∴F1(－23，0)，F2(23，0)，
mm
∴kMF1＝，kMF2＝，
3＋233－23m2m2
kMF1·kMF2＝＝－. 39－12
∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3， 故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2， →→∴MF1·MF2＝0.
→
方法二：∵MF1＝(－3－23，－m)， →
MF2＝(23－3，－m)， →→∴MF1·MF2＝(3＋23)×(3－23)＋m2＝－3＋m2. ∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0， →→∴MF1·MF2＝0.
(3)解：ΔF1MF2的底|F1F2|＝43，
ΔF1MF2的高h＝|m|＝3，∴SΔF1MF2＝6.
15．直线l：y＝kx＋1与双曲线C: 2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B. (1)求实数k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
解析：(1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程2x2－y2＝1后，整理得
三、解答题(4×10＝40分)
(k2－2)x2＋2kx＋2＝0 依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，
①
Δ＝(2k)－8(k－2)＞02k故－＞0
k－22k－2＞0
2
2
22k2－2≠0
，
解得k的取值范围为－2＜k＜－2. (2)设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
2k
x1＋x2＝
2－k2则由①式得，
2
x1·x2＝2k－2
②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)，则由FA⊥FB得
(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0.
即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0. 整理得：
(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0 ③
6
把②式及c＝代入③式化简得5k2＋26k－9＝0.
26＋66－6
解得k＝－或k＝∉(－2，－2)(舍去)．
556＋6
可知k＝－使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．
5
x22
16．(2009·上海，21)已知双曲线C：－y＝1，设过点A(－32，0)的直线l的方向向量
2
e＝(1，k)．
(1)当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；
2
(2)证明：当k＞时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为6.
2
x
解析：(1)双曲线C的渐近线m：±y＝0，即x±2y＝0，
2
∴直线l的方程x±2y＋32＝0.
|32|
∴直线l与m的距离d＝2＝6. 2
1＋(2)
(2)证法一：设过原点且平行于l的直线b：kx－y＝0，
32|k|
则直线l与b的距离d＝，
1＋k22当k＞时，d＞6.
2
又双曲线C的渐近线为x±2y＝0， ∴双曲线C的右支在直线b的右下方．
∴双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于6.故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为6.
证法二：假设双曲线C右支上存在点Q(x0，y0)到直线l的距离为6，
|kx－y＋32k|002＝6， (1)
1＋k则2－2y2x00＝2， (2)
由(1)得y0＝kx0＋32k±6·1＋k2， 设t＝32k±6·1＋k2，
2
当k＞时，t＝32k＋6·1＋k2＞0，
2
2k2－12t＝32k－6·1＋k＝6×＞0.
3k2＋1＋k22
将y0＝kx0＋t代入(2)得(1－2k2)x20－4ktx0－2(t＋1)＝0，
2
∵k＞，t＞0，∴1－2k2＜0，－4kt＜0，－2(t2＋1)＜0，
2∴方程()不存在正根，即假设不成立，故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为6.
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