胡不归

专题04胡不归问题的求解

竞业园

闫菲

胡不归问题：

古老的“胡不归”传说，说的是：从前有一个身在Ａ地当学徒的小伙子，当他得知在家乡Ｂ地的年老父亲病危的消息后，便立即向掌柜告了假借了些钱启程赶路，由于思念心切，他挑选了全是砂砾地带的直线路径AB（如图），他认为走近路必定是最省时，因此，他放弃了沿驿道AC先走一程的想法。当他气喘吁吁地来到父亲跟前时，老人刚刚咽气，小伙子不禁失声痛哭。邻舍闻声前来全为，有人告诉小伙子，老人弥留之际还不断喃喃的叨念“胡不归？胡不归？……”并且怜惜的问道：“你为什么不向掌柜借用一下马车，沿驿道先走一程呢？”

由上述古老的传说，引起人们的思索，若小伙子要提前抵达家门，这是否有可能呢？若有可能，则有应该选择一条什么样的路线呢？这就是曾经风靡千年的“胡不归”问题。

此问题可以转化为数学问题，设在驿道上行走的速度是砂砾地带的两倍，在驿道的何处拐弯，到家时间最短？

分析：∵V驿=2V砂∴S驿的一半与S砂的时间相同构造∠α=30°的直线l

过点B作直线l的垂线段BD，交驿道AC与点D，

1

则DEAE，则点E即为所求。

2总结：构造直角三角形，转化为“垂线段最短”的问题。

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例1.（2016·江苏徐州）如图，在平面直角

2

坐标系中，二次函数y=ax+bx+c的图象经过A（-1,0）、B（0，3）C（2,0）。对称轴与x轴相交于点D。

（1）求二次函数关系式及顶点坐标；

（2）若P为y轴上一个动点，连接PD，则1

PBPD的最小值为；2

（3）若M（s，t）为抛物线对称轴上一个动点，

①若平面内存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是菱形的点N共有个；②连接MA、MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围。

3

解：(1)yx1x22

193

顶点2,8



（2）分析：关键是如何转化PB的一半，根据上述胡不

归问题的分析，只要过点B做一条直线与y轴成30°角，再过点D作垂线段即可。由题意得，∠ABO=30°，所以过点作AB的垂线段，垂足为E，DE即为所求。lAB：y3x3

DE

334

(3)①5个

②取点F（1,0），连接BF，则△ABF为正三角形

1

△ABF的外接圆圆H交直线x与N，N1

2

1

作HG⊥直线x垂足为G

2

231239

在Rt△HGN中，GN

326

2∴

339339

t3633

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例2．（2015•山东日照，第22题14分）如图，抛物线y

1

yx3交于A，B两点，交x轴与D、C两点，连接AC、BC，

2

已知A（0，3），C（3，0）．

（1）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（2）在（1）条件下：

①P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

②设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段

12xmxn与直线2

DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒2个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？解：（1）y

125

xx322

tanBAC

1

3

13141744,󰀁󰀁󰀁󰀁,（2）①P(11,36)󰀁󰀁󰀁󰀁3939

②2

AE与ED的时间相同，过点A作l平行于x轴，2

过点D作AF⊥l，垂足为F，交AC于点E，故D、E、F三点共线时，用时最短。则点E即为所求。E（2,1）

例3：（2015内江27题12分）如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）试说明CE是⊙O的切线；

（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；

（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．解：（1）连接OC，如图1，∵CA=CE，∠CAE=30°，

∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，∴∠OCE=90°，∴CE是⊙O的切线；

（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，

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由题可得CH=h．

在Rt△OHC中，CH=OC•sin∠COH，∴h=OC•sin60°=∴OC=

=

h，h；

OC，

∴AB=2OC=

1

（3）构造CD，因为∠A=30°，所以过点C作AE的平行线CP，过点O作OH

2

1

⊥CP与H，交AC与点D，则有DHCD，

2

点D即为所求。

1

由垂线段最短可知，CDOD的最小值为

2

OH=6

在Rt△HOC中，OC2∴直径AB=83

6

433

例4：（09年北京25题）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A6,0，B6,0，C0,43，延长AC到点D,使CD=作DE∥AB交BC的延长线于点E.（1）求D点的坐标；

（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线ykxb将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；

（3）设G为y轴上一点，点P从直线ykxb与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）解：（1）D（3，63）（2）B（6,0）M（0，63）

1

AC,过点D2

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lBM：y3x631

（3）MG与AG的时间相同，故A、G、H三点共

2线时，用时最短。

过点A作AH⊥BM，垂足为H，交y轴于点G，则点G即为所求。lAH:y

3x233

∴G0,23

练习1：抛物线y=x-2x-3与x轴交于A、B两点，多过点B的直线交抛物线与

4

E，且tan∠EBA=。一只蚂蚁从Ａ出发以１单位／秒的速度沿直线AD爬到BE

3

上的D处，再以1.25单位/秒的速度沿DE爬至E觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间为。２

练习2：B（-4,0）C（1,0），以BC为直径作圆M交y轴正半轴于点A，过A、B、C三点作对称轴平行于y轴的抛物线。（1）求A点的坐标（2）求抛物线的解析式

（3）P（x，y）为抛物线上一动点，若∠BPC为锐角，求x的取值范围

（4）E点为抛物线的顶点，点F从E出发，沿线段EM以速度V1运动到Q后，再以速度V2沿直线向点C运动。若V1：V2=41：4，要使点F从点E到C的用时最短，求Q点坐标。

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练习3：【2016梁溪区二模】如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，则AP＋BP＋CP的最小值为…（

A．2＋5cmDP）

C．4

D．32B．2＋6

ABC-6-居高临下浅入深出