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2018-2019学年九年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A．
B．
2
C． D．
2．（3分）一元二次方程（x﹣9）＝0的解是（ ） A．x1＝x2＝9
B．x1＝x2＝3
C．x1＝9，x2＝﹣9 D．x1＝3，x2＝﹣3
3．（3分）小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
4．（3分）小兵身高1.4m，他的影长是2.1m，若此时学校旗杆的影长是18m，那么旗杆的高度是（ ） A．9m
B．11 m
C．12 m
D．27m
5．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠ABC＝120°，则∠ADB的度数为（ ）
A．15°
B．30°
2
C．45° D．60°
6．（3分）如图是二次函数y＝﹣（x﹣2）+3的图象，使y≥1成立的x的取值范围是（ ）
A．﹣1≤x≤4
B．x≤0
C．x≥1
D．0≤x≤4
7．（3分）一张面积为240的长方形彩纸，长比宽大8，设它的宽为x，可列方程（ ） A．8x＝240
B．x（x﹣8）＝240 C．x（x+8）＝240 D．8（8+x）＝240
2
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x﹣h）与x轴只有一个交点M，与平
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行于x轴的直线l交于点A、B，若AB＝4，则点M到直线l的距离为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
二、填空题（每小题3分，共18分） 9．（3分）比较大小：
3（填“＞”、“＝”或“＜”）．
10．（3分）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点O、A、B都在格点上，则tan∠AOB的值为 ．
11．（3分）已知点（2，y1），（﹣3，y2）均在抛物线y＝x﹣1上，则y1、y2的大小关系为 ． 12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，则
的长为 ．
2
13．（3分）如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3），
M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径为 ．
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14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x+4绕点A（2，0）旋转180°，则旋转后的抛物线所对应的函数表达式为 ．
2
三、解答题（本大题共9小题，共78分） 15．（6分）计算：（3﹣
）（3+
）+
（2﹣
）
16．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字1，2，3，每个小球除数字不同外其余均相同．小平从口袋中随机摸出一个小球，记录下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球，记下数字．用画树状图（或列表）的方法，求小平两次摸出的小球上的数字之和为奇数的概率．
17．（6分）如图，点A、B在⊙O上，CB为⊙O的切线，AC＝BC，求证：AC为⊙O的切线．
18．（7分）如图，抛物线y＝﹣x+x+c经过点（﹣2，2），求c的值及函数的最大值．
2
19．（7分）如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5m．
（1）当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，求吊臂AB的长；
（2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计，计算结果精确到0.1m，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）
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20．（7分）如图，抛物线y＝﹣x+2x+3与y轴交于点C，点A为x轴上方的抛物线上任意一点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，设点A的横坐标为m． （1）直接写出点C的坐标；
（2）当四边形ABOC为平行四边形时，求m的值．
2
21．（8分）如图，AB与⊙O相切于点C，OA、OB分别交⊙O于点D、E、弧CD＝弧CE （1）求证：∠A＝∠B； （2）已知AC＝2
，OA＝4，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）
22．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝8，点P在AB上，点Q在AC或AC的延长线上，AQ＝AP，以AP、AQ为邻边作菱形APRQ，设AP的长为x，菱形APRQ与△ABC重影部分图形的面积为y（平方单位）， （1）求sinA的值；
（2）当x为何值时，点R落在BC上；
（3）当菱形APRQ与△ABC重叠部分的图形为四边形时，求y与x的函数关系式； （4）直接写出当x为何值时，经过三角形顶点的直线同时将菱形、三角形的面积二等分．
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23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝
2
+2分别交x轴、y轴于点A、B，
抛物线y＝﹣x+bx+c经过点A、B．点P是x轴上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．设点P的横坐标为m． （1）点A的坐标为 ．
（2）求这条抛物线所对应的函数表达式．
（3）点P在线段OA上时，若以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似，求m的值． （4）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），称E、
F、P三点为“共谐点”．直接写出E、F、P三点成为“共谐点”时m的值．
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参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含有能开的尽方的因式或因数，被开方数不含有分数），判断即可． 【解答】解：A、
＝2
，故本选项错误；
B、C、D、
＝，故本选项错误；
是最简根式，故本选项正确； ＝
，故本选项错误；
故选：C．
2．（3分）一元二次方程（x﹣9）＝0的解是（ ） A．x1＝x2＝9
B．x1＝x2＝3
C．x1＝9，x2＝﹣9 D．x1＝3，x2＝﹣3
2
【分析】直接开平方即可，x﹣9＝0，从而得出x的值． 【解答】解：开方得，x﹣9＝0， 解得x＝9． 即x1＝x2＝9， 故选：A．
3．（3分）小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】由一共有10种等可能的结果，小军能一次打开该旅行箱的只有1种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵一共有10种等可能的结果0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，小军能一次打开该旅行箱的只有1种情况， ∴小军能一次打开该旅行箱的概率是：故选：A．
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．
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4．（3分）小兵身高1.4m，他的影长是2.1m，若此时学校旗杆的影长是18m，那么旗杆的高度是（ ） A．9m
B．11 m
C．12 m
D．27m
【分析】由于光线是平行的，影长都在地面上，那么可得身高与影长构成的三角形和旗杆和影长构成的三角形相似，利用对应边成比例可得旗杆的高度． 【解答】解：设旗杆的高度为xm， 根据题意得：解得：x＝12， 即旗杆的高度为12m， 故选：C．
5．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠ABC＝120°，则∠ADB的度数为（ ）
＝
，
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
【分析】由等腰三角形的性质∠C＝∠BAC＝30°，再由圆周角定理即可得出答案． 【解答】解：∵AB＝BC，∠ABC＝120°， ∴∠C＝∠BAC＝30°， ∴∠ADB＝∠C＝30°， 故选：B．
6．（3分）如图是二次函数y＝﹣（x﹣2）+3的图象，使y≥1成立的x的取值范围是（ ）
2
A．﹣1≤x≤4
B．x≤0
C．x≥1
D．0≤x≤4
【分析】根据二次函数的解析式和二次函数的图象，可以得到y≥1成立的x的取值范围，
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本题得以解决．
【解答】解：当y＝1时， 1＝﹣（x﹣2）+3， 解得，x1＝0，x2＝4，
∵二次函数y＝﹣（x﹣2）+3，
∴该函数图象开口向下，对称轴是直线x＝2， ∴y≥1成立的x的取值范围是0≤x≤4， 故选：D．
7．（3分）一张面积为240的长方形彩纸，长比宽大8，设它的宽为x，可列方程（ ） A．8x＝240
B．x（x﹣8）＝240 C．x（x+8）＝240 D．8（8+x）＝240
2
2
【分析】设它的宽为x，则长为（x+8），根据长方形的面积公式结合彩纸的面积为240，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设它的宽为x，则长为（x+8）， 根据题意得：x（x+8）＝240． 故选：C．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x﹣h）与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于点A、B，若AB＝4，则点M到直线l的距离为（ ）
2
A．2
B．3
C．4
D．5
2
【分析】函数顶点坐标M为（h，0），设：点M到直线l的距离为a，则：y＝（x﹣h）＝a，求出A、B坐标即可求解．
【解答】解：函数顶点坐标M为（h，0）， 设：点M到直线l的距离为a， 则：y＝（x﹣h）＝a，解得：x＝h即：A（h﹣
，0），B（h+
，0），
2
，
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∵AB＝4， ∴h+
﹣（h﹣
）＝4，
解得：a＝4， 故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分） 9．（3分）比较大小：【分析】求出2【解答】解：∵2∴2
＜3，
＝＝
＜ 3（填“＞”、“＝”或“＜”）． ，3＝，3＝
，再比较即可． ，
故答案为：＜．
10．（3分）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点O、A、B都在格点上，则tan∠AOB的值为 1 ．
【分析】连接AC，可得出三角形AOC为等腰直角三角形，利用锐角三角函数定义求出所求即可．
【解答】解：连接AC，可得OC＝AC＝∵OA＝
2
2
，
，
2
∴OA＝OC+AC， ∴∠ACO＝90°，
在Rt△AOC中，tan∠AOB＝1， 故答案为：1
11．（3分）已知点（2，y1），（﹣3，y2）均在抛物线y＝x﹣1上，则y1、y2的大小关系为
2
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y1＜y2 ．
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x＝0，然后比较两个点离直线x＝0的远近得到y1、y2的大小关系． 【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝x﹣1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝0， ∵（2，y1）、B（﹣3，y2），
∴点（﹣3，y2）离直线x＝0远，点（2，y1）离直线x＝0近， 而抛物线开口向上， ∴y1＜y2． 故答案为y1＜y2．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，则
的长为
．
2
【分析】由点A（1，1），可得OA＝
＝
，点A在第一象限的角平分线上，那
么∠AOB＝45°，再根据弧长公式计算即可． 【解答】解：∵点A（1，1）， ∴OA＝
＝
，点A在第一象限的角平分线上，
∵以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置， ∴∠AOB＝45°， ∴
的长为
．
＝
．
故答案为
13．（3分）如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3），
M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径为 3 ．
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【分析】根据圆内接四边形的对角互补求出∠A的度数，得到∠ABO的度数，根据直角三角形的性质求出AB的长，得到答案． 【解答】解：∵点A的坐标为（0，3）， ∴OA＝3，
∵四边形ABMO是圆内接四边形， ∴∠BMO+∠A＝180°，又∠BMO＝120°， ∴∠A＝60°，则∠ABO＝30°， ∴AB＝2OA＝6， 则则⊙C的半径为3， 故答案为：3．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x+4绕点A（2，0）旋转180°，则旋转后的抛物线所对应的函数表达式为 y＝（x﹣4）﹣4 ．
22
【分析】根据抛物线的顶点变换规律得到新抛物线解析式的顶点坐标，由此写出旋转后的抛物线所对应的函数表达式．
【解答】解：抛物线y＝﹣x+4的顶点坐标（0，4），该顶点关于A（2，0）对称的点的坐标是（4，﹣4）．
根据旋转的性质，旋转后的抛物线所对应的函数表达式为y＝（x﹣4）﹣4． 故答案是：y＝（x﹣4）﹣4． 三、解答题（本大题共9小题，共78分）
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2
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15．（6分）计算：（3﹣）（3+）+（2﹣）
【分析】利用平方差公式和二次根式的乘法法则运算． 【解答】解：原式＝9﹣7+2＝2
．
﹣2
16．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字1，2，3，每个小球除数字不同外其余均相同．小平从口袋中随机摸出一个小球，记录下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球，记下数字．用画树状图（或列表）的方法，求小平两次摸出的小球上的数字之和为奇数的概率．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出的两个小球上的数字之和为奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，摸出的两个小球上的数字之和为奇数的有4种情况， ∴摸出的两个小球上的数字之和为奇数的概率＝．
17．（6分）如图，点A、B在⊙O上，CB为⊙O的切线，AC＝BC，求证：AC为⊙O的切线．
【分析】连接OC，由SSS证明△OAC≌△OBC，得出∠OAC＝∠OBC＝90°，即可得出结论． 【解答】证明：连接OC，如图所示： ∵点A、B在⊙O上， ∴OA＝OB， ∵CB为⊙O的切线， ∴∠OBC＝90°，
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在△OAC和△OBC中，∴△OAC≌△OBC（SSS）， ∴∠OAC＝∠OBC＝90°， ∵OA是⊙O的半径， ∴AC为⊙O的切线．
，
18．（7分）如图，抛物线y＝﹣x+x+c经过点（﹣2，2），求c的值及函数的最大值．
2
【分析】利用待定系数法，把点代入即可求得c，然后把函数解析式化成顶点是即可得到函数的最大值．
【解答】解：把点（﹣2，2）代入y＝﹣x+x+c中得：﹣﹣+c＝2 解得c＝
，
2
2
所以这个二次函数的关系式为y＝﹣x+x+（2）∵y＝﹣x+x+
2
．
＝﹣（x﹣1）+5，
2
∴抛物线的开口向下，当x＝1时，函数有最大值5．
19．（7分）如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5m．
（1）当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，求吊臂AB的长；
（2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计，计算结果精确到0.1m，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）
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【分析】（1）根据直角三角形的性质和三角函数解答即可；
（2）过点D作DH⊥地面于H，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中， ∵∠BAC＝64°，AC＝5m， ∴AB＝
≈5÷0.44≈11.4（m）；
故答案为：11.4；
（2）过点D作DH⊥地面于H，交水平线于点E， 在Rt△ADE中，
∵AD＝20m，∠DAE＝64°，EH＝1.5m， ∴DE＝sin64°×AD≈20×0.9≈18（m）， 即DH＝DE+EH＝18+1.5＝19.5（m），
答：如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是19.5m．
20．（7分）如图，抛物线y＝﹣x+2x+3与y轴交于点C，点A为x轴上方的抛物线上任意一点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，设点A的横坐标为m． （1）直接写出点C的坐标；
（2）当四边形ABOC为平行四边形时，求m的值．
2
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【分析】（1）求出x＝0时y的值可得点C的坐标；
（2）由四边形ABOC为平行四边形知AB＝3，据此求解可得． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝3， ∴点C的坐标为（0，3）；
（2）当四边形ABOC是平行四边形时，AB＝3， 当AB＝3时，﹣x+2x+3＝3， 解得x1＝0，x2＝2，
∴点A的坐标为（2，3），即m＝2．
21．（8分）如图，AB与⊙O相切于点C，OA、OB分别交⊙O于点D、E、弧CD＝弧CE （1）求证：∠A＝∠B； （2）已知AC＝2
，OA＝4，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）
2
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质求出∠OCA＝∠OCB＝90°，根据弧CD＝弧CE推出∠AOC＝∠BOC，再根据三角形的内角和定理求出即可；
（2）求出∠AOB的度数和线段OC长，再根据三角形面积公式和扇形的面积公式求出即可．
【解答】（1）证明：连接OC，
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∵弧CD＝弧CE， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵AB与⊙O相切于点C， ∴OC⊥AB，
∴∠OCA＝∠OCB＝90°，
∵∠A＝180°﹣∠OCA﹣∠AOC，∠B＝180°﹣∠OCB﹣∠BOC， ∴∠A＝∠B；
（2）解：∵∠A＝∠B， ∴OA＝OB， ∵OC⊥AB， ∵AC＝2
，OA＝4，
，OA＝OB＝4，AB＝4
＝2，
，
∴BC＝AC＝2
由勾股定理得：OC＝∴OA＝2OC， ∴∠A＝30°， ∴∠AOC＝60°， 即∠AOB＝120°，
∴阴影部分的面积S＝S△AOB﹣S扇形DOE＝4×2﹣＝4﹣π．
22．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝8，点P在AB上，点Q在AC或AC的延长线上，AQ＝AP，以AP、AQ为邻边作菱形APRQ，设AP的长为x，菱形APRQ与△ABC重影部分图形的面积为y（平方单位）， （1）求sinA的值；
（2）当x为何值时，点R落在BC上；
（3）当菱形APRQ与△ABC重叠部分的图形为四边形时，求y与x的函数关系式；
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（4）直接写出当x为何值时，经过三角形顶点的直线同时将菱形、三角形的面积二等分．
【分析】（1）如图1中，作CD⊥AB于D．根据等腰三角形的性质以及勾股定理求出CD即可解决问题． （2）由QR∥BC，可得
＝
，由此构建方程即可解决问题．
时，重叠部分是菱形APRQ．②如图3中，当5≤x＜8
（3）分两种情形：①当0＜x≤
时，重叠部分是四边形APMC，作MH⊥PB于H．分别求解即可．
（4）分两种情形：连接AR，PQ交于点O，当点O在△ABC的中线BM上时，满足条件．如图4中，作OH∥AB交AC于H．如图5中，当点O落在中线AD上时，满足条件．分别利用平行线分线段成比例定理，构建方程即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中，作CD⊥AB于D．
∵CA＝CB＝5，CD⊥AB， ∴AD＝DB＝4，∠ADC＝90°， ∴CD＝∴sinA＝
（2）如图2中，当点R落在BC上时，
＝＝，
＝3．
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∵QR∥BC， ∴∴∴x＝
（3）①当0＜x≤
时，重叠部分是菱形APRQ，S＝PA•AQ•sinA＝x•x＝x．
2
＝，
＝， ．
②如图3中，当5≤x＜8时，重叠部分是四边形APMC，作MH⊥PB于H．
在Rt△MPH中，PH＝BH＝
，
MH＝PH•tan∠MPH＝•
•＝﹣
S＝S△ABC﹣S△PBM＝×8×5﹣•（8﹣x）•
x+3x+8．
2
（4）连接AR，PQ交于点O，当点O在△ABC的中线BM上时，满足条件．如图4中，作
OH∥AB交AC于H．
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∵OQ＝OP，OH∥PA，
∴AH＝HQ＝x，OH＝PA＝x， ∵OH∥AB， ∴
＝
，
∴＝，
解得x＝
．
如图5中，当点O落在中线AD上时，满足条件．
∵OH∥AD， ∴
＝
，
∴＝
，
，
解得x＝
综上所述，满足条件的x的值为或．
+2分别交x轴、y轴于点A、B，
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝
2
抛物线y＝﹣x+bx+c经过点A、B．点P是x轴上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线
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吉林省长春市名校调研（市命题一）2018-2019年九年级（下）第一次月考数学试卷 解析
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分别交抛物线和直线AB于点E和点F．设点P的横坐标为m． （1）点A的坐标为 （4，0） ． （2）求这条抛物线所对应的函数表达式．
（3）点P在线段OA上时，若以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似，求m的值． （4）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），称E、
F、P三点为“共谐点”．直接写出E、F、P三点成为“共谐点”时m的值．
【分析】（1）解方程即可得到A点的坐标； （2）利用待定系数法即可求得函数解析式；
（3）由M点坐标可表示P、N的坐标，从而可表示出MA、MP、PN、PB的长，分∠NBP＝90°和∠BNP＝90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得
m的值；
（4）用m可表示出P、F、E的坐标，由题意可知有F为线段PE的中点、P为线段EF的中点或E为线段PF的中点，可分别得到关于m的方程，可求得m的值． 【解答】解：（1）在y＝∴A（4，0）； 故答案为：（4，0）；
（2）∵在y＝∴B（0，2），
把A（4，0），B（0，2）代入y＝﹣x+bx+c，得b＝， ∴这条抛物线所对应的函数表达式为y＝﹣x+x+2；
2
2
+2中，令y＝0，则x＝4，
+2中，令x＝0，则y＝2，
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（3）∵P（m，0），E（m，﹣m+m+2），F（m，﹣m+2）， ∵△BEF和△APF相似，且∠BFE＝∠AEP， ∴∠BEP＝∠APF＝90°或∠EBF＝∠APF＝90°， 当∠BEF＝90°时，则有BE⊥PE， ∴E点的纵坐标为2，
∴﹣m+m+2＝2，解得m＝0（舍去）或m＝， 如图1，当∠EBF＝90°时，过点E作EC⊥y轴于点C， 则∠EBC+∠BEC＝90°，EC＝m，BC＝﹣m+m+2﹣2＝﹣m+m， ∵∠EBF＝90°， ∴∠EBC+∠ABO＝90°， ∴∠ABO＝∠BEC， ∴Rt△ECB∽Rt△BOA， ∴
＝
，
2
2
2
2
∴＝解得，m＝，
，解得m＝0（舍去）或m＝，
综上所述，以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似，m的值＝，；
（4）由（1）知，P（m，0），E（m，﹣m+m+2），F（m，﹣m+2）， ∵E、F、P三点为“共谐点”，
∴有F为线段PE的中点、P为线段FE的中点或E为线段PF的中点，
当F为线段PE的中点时，则有2（﹣m+2）＝﹣m+m+2，解得m＝4（三点重合，舍去）或m＝；
当P为线段FE的中点时，则有﹣m+2+（﹣m+m+2）＝0，解得m＝4（舍去）或m＝﹣1；
当E为线段FP的中点时，则有﹣m+2＝2（﹣m+m+2），解得m＝4（舍去）或m＝﹣；
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综上可知当E、F、P三点成为“共谐点”时m的值为﹣1或﹣或．
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