第三节 利用空间向量求异面直线所成角及直线与平面所成角

设AB、CD为异面直线，所成角为 则cosABCDABCD

练习：如图，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，DC1 则OE和FD1所成角的余弦值为________.

A1 B1E

D F C O

探讨：如图,正四面体A-BCD中，E、F分别是BC、AD的中点， A B 求AE和CF所成角的余弦值。 A

F

B D

E 例1、如图，ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，

C （1）求证BD平面ACC1A1 （2）若二面角C1-BD-C的大小为60，

求异面直线BC1与AC所成角大小 。（06北京文）

二、直线与平面所成角

D1 A1 C1

B1 D C B A 1、法向量：如表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a。如果a，那么向量a叫平面的法向量。

例2，如图所示，ABCD是直角梯形AD//BC ，ABC90 SA平面ABCD ，SA=AB=BC=1 ，AD=（1） 求平面SBC的一个法向量；

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S 1， 2B C A D （2） 求平面SCD的一个法向量； （3） 求平面SAD的一个法向量； （4） 求平面ABCD的一个法向量。

2，若AB是平面的一条斜线 ，n是的一个法向量，

设AB与所成角为，则sin=ABn。

A ABnB C A1 例3，如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，

求AC1与平面BB1C1C所成角。

练习：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是棱 B1C1、AD的中点，求直线A1D1与平面BMD1N所成角 A1 的余弦值。

D

N A

A

例4，如图，AB平面BCD，BCCD，AB=BC，AD与 平面BCD所成角为30°。

（1） 求AD与平面ABC所成的角； （2） AC与平面ABD所成角。

B C

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B1 C1 D1 M C1 B1 C B D 作业：1.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中BC=

2， 2B1 A1 D1 CD大小。

14，DD15，求A1C和B1D1所成角的 2C1 A D B D1 B1 D C C1 E 2．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是CC1的中点， 求BE与平面B1BD所成角的余弦值。

A1 C B A E B D A 3.已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=AC ，F为BB1上的 一点，BF=BC=2a ，FB1=a，

（1）若D为BC中点，E为AD上不同于A、D的任意一点， 求证EFFC1；

（2）若A1B1=3a，求FC1与平面AA1B1B所成角的大小。

4，如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形 ，AD//BC， BAD90，PA底面ABCD 且PA=AD=AB=2BC ，M、N 分别为PC、PB中点，

（1） 求证：PBDM；

（2） 求CD与平面ADMN所成角。（06浙江）

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C F A1 C1 B1 P N A M D B C 5、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形， BAD90 ，AD//BC AB=BC=a ，AD=2a，且 PA底面AC，PD与底面成30°角

（1）若AEPD ，E为垂足，求证：BEPD； （2）求异面直线AE和CD所成角大小。 B

P E A C D 6、如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧棱C1C上的一点，CP=m （1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为32；

（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你D1 C1 的结论。（06湖北）

A1 P B1

D C B A 7.如图，在三棱锥P-ABC中，ABBC，AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC 。 （1）求证：OD//平面PAB； （2）当k1时，求直线PA与平面PBC所成角大小； 2（3）当k取何值时，O在平面PBC内射影恰好为△PBC的重心？ P O A

B

8，三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3 （1） 求证：ABBC；

（2） 设AB=BC=23，求AC与平面PBC所成角大小。（04全国）

11 D C P A C B