高一数学函数解析式、定义域、值域解题方法(含答案)

学而优教育培训中心 个 性 化 辅 导 教 案 授课时间： 科目： 数学 教学 目标 授课时段： 课题： 函数 学生： 授课老师： M 听课及知识掌握情况反馈： 课堂检测 教学需：加快□ 保持□ 放慢□ 增加内容□ 教学反思及下节课内容安排 学生意见 教学过程（内容） 高一数学函数解析式、定义域、值域解题方法 一. 求函数的定义域与值域的常用方法 求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值 二. 求函数的解析式 3、求函数解析式的一般方法有： （1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。 （2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值； （3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之； （4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式； （5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。 （二）求函数定义域 1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示； 2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题； 3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等； 第 1 页 共 10 页

学而优教育培训中心 4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域； 5、分段函数的定义域是各个区间的并集； 6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明； 7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域； 一：求函数解析式 1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。 x1x2x1f()2xx例1. 已知，试求f(x)。 x11tx22f(t)tt1f(x)xx1,x1。xt1解：设，则，代入条件式可得：，t≠1。故得： 说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。 2、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。 1f(x)2f()3x24x5x例2. （1）已知，试求f(x)； 2f(x)2f(x)3x4x5，试求f(x)； （2）已知1111f()2f(x)3245xxx解：（1）由条件式，以x代x，则得，与条件式联立，消去284x5fx2x2x3x33。 得：1fx，则2f(x)2f(x)3x4x5，与条件式联立，消去fx，则得：（2）由条件式，以－x代x则得：fxx24x53。 说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。 例4. 求下列函数的解析式： （1）已知f(x)是二次函数，且f(0)2,f(x1)f(x)x1，求f(x)； 2（2）已知f(x1)x2x，求f(x)，f(x1)，f(x)； x1x211)，求f(x)； （3）已知f(xxx2（4）已知3f(x)2f(x)x3，求f(x)。 【思路分析】 【题意分析】（1）由已知f(x)是二次函数，所以可设f(x)axbxc(a0)，设法求出a,b,c即可。 （2）若能将x2x适当变形，用x1的式子表示就容易解决了。 2第 2 页 共 10 页

学而优教育培训中心 x1为一个整体，不妨设为t，然后用t表示x，代入原表达式求解。 x（4）x，x同时使得f(x)有意义，用x代替x建立关于f(x)，f(x)的两个方程就行了。 2【解题过程】⑴设f(x)axbxc(a0)，由f(0)2,得c2， 13由f(x1)f(x)x1，得恒等式2axabx1，得a,b。 22123故所求函数的解析式为f(x)xx2。 2222（2）f(x1)x2x(x)2x11(x1)1， （3）设2又x0,x11,f(x)x1(x1)。 x11t,则x,t1， xt1x1x2111122)11(t1)(t1)tt1 则f(t)f(22xxxxx2所以f(x)xx1(x1)。 （4）因为3f(x)2f(x)x3 ① 用x代替x得3f(x)2f(x)x3 ② 3解①②式得f(x)x。 5（3）设【题后思考】求函数解析式常见的题型有： （1）解析式类型已知的，如本例⑴，一般用待定系数法。对于二次函数问题要注意一般式yax2bxc(a0)，顶点式ya(xh)2k和标根式ya(xx1)(xx2)的选择； （2）已知f[g(x)]求f(x)的问题，方法一是配凑法，方法二是换元法，如本例（2）（3）； （3）函数方程问题，需建立关于f(x)的方程组，如本例（4）。若函数方程中同时出现f(x)，f()，则一般将式中的x用1x1代替，构造另一方程。 x特别注意：求函数的解析式时均应严格考虑函数的定义域。 第 3 页 共 10 页

学而优教育培训中心 二：求函数定义域 1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。 yx2例3. 求x3x4的定义域。 x20x4，从而解得：x>－2且x≠±4.故所求定义域为： 解：由题意知：{x|x>－2且x≠±4}。 例2. 求下列函数的定义域： （1）f(x)5x； （2）f(x)x11x x3【思路分析】 【题意分析】求函数的定义域就是求自变量的取值范围，应考虑使函数解析式有意义，这里需考虑分母不为零，开偶次方被开方数为非负数。 xx3,或3x3,或3x5。 （2）要使函数有意义，则5x0x5【解题过程】（1）要使函数有意义，则，在数轴上标出，即,即x30x3x3,或3x3,或3x5。故函数的定义域为(,3)(3,3)(3,5].当然也可表示为x10x1,即,所以x1，从而函数的定义域为x|x1。 1x0x1【题后思考】求函数的定义域的问题可以归纳为解不等式的问题，如果一个函数有几个限制条件时，那么定义域为解各限制条件所得的x的范围的交集，利用数轴可便于解决问题。求函数的定义域时不应化简解析式；定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接。 2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。 例4. 已知函数由下表给出，求其定义域 X 1 2 3 4 35 Y 22 3 14 解：{1，2，3，4，5，6}。 5 －6 6 17 3、求与复合函数有关的定义域：由外函数f（u）的定义域可以确定内函数g（x）的范围，从而解得x∈I1，又由g（x）定义域可以解得x∈I2.则I1∩I2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。 例8 已知f(x)x3,g(x)xx4x32,求yf(g(x))的定义域.x 由f(x)x3x3g(x)3解：又由于x2－4x＋3>0 ** 联立*、**两式可解得： x4x323  第 4 页 共 10 页

学而优教育培训中心 933933x1或3x44933933故所求定义域为x|x1或3x44 例9. 若函数f（2x）的定义域是［－1，1］，求f（log2x）的定义域。 －－解：由f（2x）的定义域是［－1，1］可知：21≤2x≤2，所以f（x）的定义域为［21，2］，故log2x∈［2－12,4。 2x4，2］，解得，故定义域为 三：求函数的值域与最值 求函数的值域和最值的方法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。 1、分离变量法 y例11. 求函数2x3x1的值域。 y解：说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量x，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。 2、配方法 例12. 求函数y＝2x2＋4x的值域。 解：y＝2x2＋4x＝2（x2＋2x＋1）－2＝2（x＋1）2－2≥－2，故值域为{y|y≥－2}。 说明：这是一个二次函数，可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如y＝af2（x）＋bf（x）＋c。 3、判别式法 2x32x111120x1x1x1，因为x1，故y≠2，所以值域为{y|y≠2}。 x22x3例13. 求函数y的值域。 24x5x6x22x3y24x5x6可变形为：解：（4y－1）x2＋（5y－2）x＋6y－3＝0，由Δ≥0可解得：26632663y,7171。 说明：对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。要注意两点：第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此法求解值域；第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个关于x的一元二次方程后，该方程的解集就是原函数的定义域，故Δ≥0。 第 5 页 共 10 页

学而优教育培训中心 4、单调性法 例14. 求函数y23，x∈［4，5］的值域。 x2y3513x解：由于函数为增函数，故当x＝4时，ymin＝；当x＝5时，ymax＝，所以函数的值域25513,25。 为 5、换元法 例15. 求函数y2x41x的值域。 解：令t1x0，则y＝－2t2＋4t＋2＝－（t－1）2＋4，t≥0，故所求值域为{y|y≤4}。 例3. 求下列函数的值域： 1,2,3,4,5 （1）y2x1,x（2）yx1 1x2（3）y 1x22（4）yx2x3,(5x2) 【思路分析】 【题意分析】求函数的值域问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A上的函数yf(x)，其值域就是指集合Cyyf(x),xA；二是函数的定义域，对应关系是确定函数值的依据。 【解题过程】 （1）将x1,2,3,4,5分别代入y2x1中计算，得出函数的值域为3,5,7，9,11。 （2）x0,x11，即所求函数的值域为[1,)或用换元法，令tx(t0),yt1(t0)的值域为[1,)。 1x221,函数的定义域为R。 （3）<方法一>y221x1x1x21,022,y(1,1]。 1x21x2222yyx1x(1y)x1y <方法二>y21x1yx20,得到y(1,1]。 1y故所求函数的值域为（－1，1]。 （4）<构造法>yx2x3(x1)4,5x2,4x11 221(x1)216,124(x1)23.所以函数的值域为[－12，3]。 【题后思考】求函数的值域问题关键是将函数的解析式变形，通过观察或利用熟知的基本函数的值域，逐步推出所求函数的值域，有时还需要结合函数的图象进行分析。 第 6 页 共 10 页

学而优教育培训中心 【模拟试题】(答题时间：30分钟) 一. 选择题 1、函数y＝f（x）的值域是［－2，2］，则函数y＝f（x＋1）的值域是（ ） A. ［－1，3］ B. ［－3，1］ C. ［－2，2］ D. ［－1，1］ 解∵函数y=f（x）的值域是[-2，2]， ∴y=f（x）的最大值为2，最小值为-2 又∵函数y=f（x+1）的图象是由y=f（x）向左平移1个单位而得 ∴函数y=f（x+1）最大值是2，最小值是-2 所以函数y=f（x+1）的值域仍是[-2，2] 故选C 2、已知函数f（x）＝x2－2x，则函数f（x）在区间［－2，2］上的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 解答：二次函数求最值 3、一等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，那么其解析式和定义域是（ ） A. y＝20－2x（x≤10） B. y＝20－2x（x<10） C. y＝20－2x（4≤x<10） D. y＝20－2x（50，即20-2X>0，X<10， 两边之和大于第三边， 2X>Y， 即2X>20-2X 4X>20 X>5。 本题定义域较难，很容易忽略X>5。 ∴5 4、二次函数y＝x2－4x＋4的定义域为［a，b］（a学而优教育培训中心 7、（2007安徽）图中的图像所表示的函数的解析式是（ ） 333x1(0x2) B.yx1(0x2)2223C.yx1(0x2) D.y1x1(0x2)2 A.y 二. 填空题 8、若f（x）＝（x＋a）3对任意x∈R都有f（1＋x）＝－f（1－x），则f（2）＋f（－2）＝ ； 解：∵对任意x∈R，总有f（1+x）=-f（1-x）， ∴当x=0时，有f（1+0）=-f（1-0）， 即f（1）=-f（1）．∴f（1）=0． 又∵f（x）=（x+a）3，∴f（1）=（1+a）3． 故有（1+a）3=0，解得a=-1． ∴f（x）=（x-1）3． ∴f（2）+f（-2）=（2-1）3+（-2-1）3=13+（-3）3=-26． f(x)9、若函数 解： 2/(x-2)≤-1/3 => 1/3≤2/(2-x) 当x>2时,2/(2-x) 6≥2-x => x≥-4 ∴定义域：[-4,2) 三. 解答题 12,3，则其定义域为 ； x2的值域为y10、求函数 5x3x4x2的定义域。 2x2x1,x2f(x)x,x211、已知，若f（a）＝3，求a的值。 12、已知函数f（x）满足2f（x）－f（－x）＝－x2＋4x，试求f（x）的表达式。 解： 2f(-x)-f(x)=-x²-4x 4f(x)-2f(-x)=-2x²+8x 第 8 页 共 10 页

相加得 f(x)=-x²+4x/3 学而优教育培训中心 习题讲解： log2(1x),x01.定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2009）的值为( ) f(x1)f(x2),x0A.-1 B. 0 C.1 D. 2 答案:C. 【解析】:由已知得f(1)log221,f(0)0,f(1)f(0)f(1)1, f(2)f(1)f(0)1,f(3)f(2)f(1)1(1)0, f(4)f(3)f(2)0(1)1,f(5)f(4)f(3)1,f(6)f(5)f(4)0, 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C. 【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算. x24x6,x02.设函数f(x)则不等式f(x)f(1)的解集是（ ） x6,x0A (3,1)(3,) B (3,1)(2,) C (1,1)(3,) D (,3)(1,3) 答案：A 【解析】由已知，函数先增后减再增 当x0，f(x)2f(1)3令f(x)3, 解得x1,x3。 当x0，x63,x3 故f(x)f(1)3 ，解得3x1或x3 【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。 3.已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x1)(1x)f(x)，则f()的值是 A. 0 B. 答案：A 【解析】若x≠0，则有f(x1)5215 C. 1 D. 22 1x1f(x)，取x，则有： x2第 9 页 共 10 页

学而优教育培训中心 1112f(1)f(1)f(1)（∵f(x)是偶函数，则f(1)f(1) ）由此 f()f(1)1222222221得f()0 23111532f(3)5f(3)5f(11)5[2]f(1)5f(1)0 于是，f()f(1)3222323231222214.若f(x)xa是奇函数，则a ． 211答案 2112xaa,f(x)f(x) 【解析】解法1f(x)xx21122x112x1a(a)2a1故a 12x2x112x12x23x,x1,5.已知函数f(x)若f(x)2，则x . x,x1,答案log32 .w【解析】5.u.c本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值. 属于基础知识、基本运算的考查. x1x1xlog32，由x无解，故应填log32. x2x23216.记f(x)log3(x1)的反函数为yf(x)，则方程f1(x)8的解x ． 答案2 1y1【解法1】由yf(x)log3(x1)，得x3，即f(x)3x1，于是由3x18，解得x2 【解法2】因为f1(x)8，所以xf(8)log3(81)2 第 10 页 共 10 页