《线段、射线、直线》典型例题

《线段、射线、直线》典型例题

例1 如图，图中有几条射线？能用字母表示出来的有几条？将它们分别表示出来．

例2 如图所示，你知道图中共有几条直线、几条射线？（不添加字母，直接可以读出）几条线段？它们分别是什么？

例3 如图，以点A、B、C、D、E、F为端点的线段共有几条？分别把它们写出来．

例4 如图，比较线段AB与AC、AD与AE，AE与AC的大小．

例5 如图，已知点C、D在线段AB上，线段AC=10 cm，BC=4 cm，取线段AC、BC的中点D、E．

（1）请你计算线段DE的长是多少？

（2）观察DE的大小与线段AB的关系，你能用一句简洁的话将这种关系表述出来吗？

（3）若点C为直线AB上的一点，其他条件不变，线段DE的长会改变吗？如果改变，请你求出新的结果．

例6 已知AB＝16cm，C是AB上一点，且AC＝10cm，D为AC的中点，E是

1 / 6

BC的中点，求线段DE的长．

例7 （1）过一个已知点可以画多少条直线？ （2）过两个已知点可以画多少条直线？

（3）过平面上三点A、B、C中的任意两点可以画多少条直线？

（4）试猜想过平面上四点A、B、C、D中的任意两点可以画多少条直线？ 例8 如图，A、B是两个车站，若要在公路l上修建一个加油站，如何使它到车站A、B的离和最小，请在公路l上标出点P的位置，并说明理由．

A

l

B

2 / 6

参考答案

例1 分析：直线上的一点将直线分成两条射线，因此以A为端点的射线有两条，同样道理以B、C为端点的射线也分别有两条．因此共有6条射线，能用图中字母表示出来的有4条．

解：图中共有6条射线，能用图中字母表示出来的有4条，分别为：射线AB、射线BC、射线BA、射线、CA．

说明：要抓住直线上一点将直线分成两条射线，数射线时不能重复或遗漏，抓住端点和方向，表示射线时，要将端点的字母写在前面．

例2 解：图中有2条直线，分别是直线BC、直线DC．图中有6条可以直接读出的射线，分别是射线CD、DC、CB、BC、AB、DB． 图中有6条线段，分别是线段AD、BD、AB、CA、CD、CB．

说明：（1）直线是最基本、简单、抽象的几何图形．直线到底是什么形状呢？可以借助“孙悟空的金箍棒”想象一下，直线没有端点，可以向两方无限延伸；“手电筒发出的光”给我们以射线的形象，射线有一个端点，它可以向一方无限延伸；“一枝铅笔”可以抽象成一条线段，线段有两个端点，它不可延伸，直线和射线都没有长度，线段有长度；

（2）直线有两种表示方法（如图1），可以先在直线上任取两个点A、B，这条直线可记作直线AB（或直线BA），也可以用一个小写字母表示，如直线l；射线的两种表示方法分别为射线AB、射线l（如图2），要注意射线AB与射线BA表示不同的射线；线段的两种表示方法分别为线段AB（或线段BA）、线段a（如图3）；

（3）数直线时应注意直线BC与直线CB是同一条直线；数射线时要注意射线的两个特征：端点与方向，所以射线AD与射线AB是相同的射线，射线AB与射线DB是不同的射线，因为它们的端点不同，射线DA与射线DB也是不同的射线，因为它们的方向不同；数线段时注意寻求规律，做到不重不漏．如线段CA、CD、CB属不同直线上的三条线段，而线段AD、BD、AB属同一条直线上的三条线段，同一条直线上的线段的数法有两种：①以始点计：AD、AB、DB；②以组成计：单个线段：AB、BC；两条线段组成的：AC．

3 / 6

图1 图2 图3

另外在同一条直线上的线段总条数s与直线上点的个数n之间有如下关系：

S123(n2)(n1)n(n1)． 2例3 分析：在一个三角形中，由于交点众多，为做到不遗漏，不重复，可以按字母的先后顺序找出图中的线段．

解：图中共有14条线段，分别为线段AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF．

说明：当点众多时，可以以字母的顺序寻找线段，可以避免出错． 例4 分析：比较线段的长度可用度量法和重合法． 解法1：用度量法，用直尺测量各线段的长度． 比较得：AB＞AC，AD＜AE，AE＝AC． 解法2：用叠合法，可用圆规截取比较得： AB＞AC、AD＜AE，AE＝AC．

说明：比较线段的大小，就是用度量法和叠合法，但是可以根据题目的的特点选择合适的方法．

例5 解：（1）∵AC=10，BC=4， ∴AB=AC+BC=14

又∵点D是AC中点，点E是BC中点，

11AC,ECBC， 221111∴DEDCCEACBC(ACBC)AB7（cm）．

22221（2）由（1）知DEAB，即：线段上任一点把线段分成两部分，这两部分中

2∴DC点间的距离等于原线段长度的一半． （3）DE的长会改变． 可分两种情形考虑： 当点C在线段AB上时DE1AB7（cm）． 2当点C在线段AB外时（如图），

4 / 6

DEDCCE1111ACBC(ACBC)(104)3（cm）． 2222∴DE的长为7 cm或3 cm．

说明：（1）本题先通过特殊的数值求出线段DE的长，在求解过程中通过观察、猜测，发现了一般性的结论，我们称之为规律．在学知识或是解题时，不要局限于问题表面，而是要多思考、多总结，从而在更深层次上认识所学内容． （2）此题通过C点的位置由特殊到一般，由在线段上运动到在直线上运动的变化过程，只要抓住不变量，即DEDCCE，就可以以不变应万变．另外随着条件的逐步开放，结论也发生了变化，有时由于C点的位置考虑不全面，导致丢解．如果遇到没给出图形的问题，解答时一定要先画图，并全面考虑到所有可能情形．

（3）利用中点的性质进行线段长度的计算是解题的关键，若C是AB的中点，则它的表达式为AB2AC或AB2BC,AC情况下选择不同的表达式，可使书写简洁． 例6 分析：根据线段中点的特点，DC故可根据题设解出DE的长．

解：因为D是AC的中点，而E是BC的中点，因此有：DC而DEDCCE,ACBCAB． 即DEDCCE11111ACBC(ACBC)AB168(cm). 2222211AC,CEBC.2211AB或BCAB,ACBC，不同2211AC,CEBD，而DEDCCE，22说明：充分利用线段中点的特点，将所求线段转移到线段长度上去． 例7 解：（1）过一点可以画无数条直线； （2）过两点可以画一条直线；

（3）当 A、B、C三点不共线时可以画三条直线，当 A、B、C三点共线时只能画一条直线；

（4）当 A、B、C、D四个点在同一条直线上时，只能画一条直线（如图1）；当 A、B、C、D四个点中有三个点在同一条直线上时，可以画四条直线（如图2）；当 A、B、C、D四个点中任意三点都不在同一条直线上时，可以画六条直

5 / 6

线（如图3）．

图1 图2 图3

说明：题（1）（3）和（4）中没有明确平面上三点、四点是否在一条直线上，解答时要分各种情况，即分类讨论；（2）由此题可知，过平面上三个点中的任意两点最多可以画三条直线，过平面上四个点中的任意两点最多可以画六条直线，如果过平面上n个点中的任意两点，最多可以画多少条直线呢？

分析：根据连接两点的线中，线段最短，只需在A、B间作一条线段、与l的交点，便是它到A、B两点距离和最小的点．

例8 解：连接A、B作线段，与l的交点P为所求建加油站的点．因为两点之间，线段最短．

A C l

B

说明：利用线段公理，两点之间，线段最短．

6 / 6