高中数学必修五考试题(总8页)
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必修五阶段测试四(本册综合测试)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 3x－1
1．不等式≥1的解集是( )
2－x D．{x|x<2}
2．(2017·存瑞中学质检)△ABC中，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC外接圆的直径为( ) A．43 B．5 C．52 D．62
3．若a<0，则关于x的不等式x－4ax－5a>0的解为( )
A．x>5a或x<－a B．x>－a或x<5a C．－a 2 2 ab B．10 C．40 D．80 5．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，a3＝5，Sk＋2－Sk＝36，则k的值为( ) A．8 B．7 C．6 D．5 6．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( ) < >2 >1 1 bbbc2＋1 D．a|c|>b|c| 7．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为( ) A．12 B．8 C．6 D．4 x＋y≤8，2y－x≤4， 8．若变量x，y满足约束条件x≥0， y≥0， 是( ) 且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a—b的值 A．48 B．30 C．24 D．16 17Sn－S2n* 9．设{an}是等比数列，公比q＝2，Sn为{an}的前n项和，记Tn＝(n∈N)，设Tn0为数列{Tn}的 an＋1 最大项，则n0＝( ) A．2 B．3 C．4 D．5 12 22 10．设全集U＝R，A＝{x|2(x－1)<2}，B＝{x|log(x＋x＋1)>－log2(x＋2)}， 2则图中阴影部分表示的集合为( ) 2 A．{x|1≤x<2} B．{x|x≥1} C．{x|0 1 12．(2017·山西朔州期末)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n＋1，设数列的前n项和为Sn，若Sn A．(3，＋∞) B．[3，＋∞) C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．(2017·福建莆田二十四中期末)已知数列{an}为等比数列，前n项的和为Sn，且a5＝4S4＋3，a6＝4S5 ＋3，则此数列的公比q＝________. 14．(2017·唐山一中期末)若x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是________． 15．如右图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于3a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°.灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为________． 16．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－ b)sinC，则△ABC面积的最大值为________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)(2017·山西太原期末)若关于x的不等式ax＋3x－1>0的解集是x(1)求a的值； (2)求不等式ax－3x＋a＋1>0的解集． 1→→ 18.(12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知BA·BC＝2，cosB＝，b＝3. 3求： (1)a和c的值； (2)cos(B－C)的值． 1 19．(12分)(2017·辽宁沈阳二中月考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝. 3 2 2 2 1 (1)求sin 2 B＋C2 ＋cos2A的值； (2)若a＝3，求bc的最大值． 20.(12分)(2017·长春十一高中期末)设数列{an}的各项都是正数，且对于n∈N，都有a1＋a2＋a3＋…＋an＝Sn，其中Sn为数列{an}的前n项和． (1)求a2； (2)求数列{an}的通项公式． 2 * 3 3 3 3 x＋2y≤2n， 21．(12分)已知点(x，y)是区域x≥0， y≥0 (1)证明：数列{an－2}为等比数列； (2)求数列{Sn}的前n项和Tn. (n∈N＋)内的点，目标函数z＝x＋y，z的最大值记作 zn.若数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且点(Sn，an)在直线zn＝x＋y上． 22.(12分)某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f(n)表示前n年的纯利润总和(f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额)． (1)该厂从第几年起开始盈利？ (2)若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方法：①年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案更合算？ 答案与解析 1．B 由 3x－13x－13x－1－2－x≥1，可得－1≥0，所以2－x2－x2－x≥0，即 4x－3 ≥0，所以2－xx－2≤0，34x－3 解得≤x<2. 4x－2≠0， 故选B. 1 2．C ∵S△ABC＝acsinB＝2， 212 ∴×1×c＝2，∴c＝42， 22 2 ∴b＝c＋a－2accosB＝32＋1－2×1×42×＝25， 2 2 2 2 4 ∴b＝5，∴外接圆的直径为 bsinB＝ 522 ＝52，故选C. 3．B (x＋a)(x－5a)>0. ∵a<0, ∴－a>5a. ∴x>－a或x<5a，故选B. 1 4．C 若lg(a＋b)＝－1，则a＋b＝， 101111 ∴＋＝10＋(a＋b)＝ abab 102＋＋≥10(2＋2)＝40. ab1 当a＝b＝时，“＝”成立，故选C. 20 5－1 5．A ∵a1＝1，a3＝5，∴公差d＝＝2， 2∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1， ba Sk＋2－Sk＝ak＋2＋ak＋1＝2(k＋2)－1＋2(k＋1)－1＝4k＋4＝36，∴k＝8，故选A. 6．C ∵a>b， 1ab>0，∴>，故选C. c2＋1c2＋1c2＋1 7．B 由等差数列的性质知，a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32， ∴a8＝8.又am＝8，∴m＝8. 8．C 如图所示，当直线z＝5y－x经过A点时z最大，即a＝16，经过C点时z最小，即b＝－8，∴a－b＝24，故选C. 9．A Sn＝∴Tn＝ a12n－1 2－1 ＝a1(2－1)，S2n＝ nna122n－1 2－1 ＝a1(2－1)，an＋1＝a1·2， 2nn17Sn－S2nan＋1 17a12－1－a12－1＝ a1·2n2n＝17－2＋ n16 n≤17－8＝9，当且仅当n＝2时取等2 号，∴数列{Tn}的最大项为T2，则n 0＝2，故选A. 10．A 由2(x－1)<2，得(x－1)<1.解得0 2 2 2 5 得log2(x＋x＋1) 则x＋2>0， 2 x＋x＋1 2 x2＋x＋1>0， 解得x<1. ∴B＝{x|x<1}．∴∁UB＝{x|x≥1}． ∴阴影部分表示的集合为 (∁UB)∩A＝{x|1≤x<2}． 1 11．D 设数列{an}的公比为q，则a2＝a1q＝1，∴q＝， a1 12 ∴S3＝a1＋a2＋a3＝a1＋a1q＋a1q＝a1＋1＋，当a1>0时，S3≥1＋2 a1 a1·＝3，当且仅当a1＝1时，a1 1 取等号；当a1<0时，S3≤1－2＝－1，当且仅当a1＝－1时，取等号． 故S3的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 12．D a1＝1，an＋1－an＝n＋1， an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝(n－1＋1)＋(n－2＋1)＋…＋(1＋1)＋1 ＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝当n＝1时，也满足上式， ∴an＝1 nn＋1 2 ， nn＋1 2 ， 112－＝＝2， annn＋1nn＋1111111－＋－＋…＋－∴Sn＝2＝ nn＋122321－ 1. n＋1 ∵Sn 解析：∵x＋2y＋2xy＝8， 又2xy≤ x＋2y2， 2 6 x＋2y2 ∴x＋2y＋≥8， 2 12 ∴(x＋2y)＋x＋2y－8≥0， 4∴x＋2y≥4， 当且仅当x＝2y＝2时，等号成立． ∴x＋2y的最小值为4. km 解析：由题意知，∠ACB＝120°， ∴AB＝3a＋3a－23a×3acos120°＝9a ∴AB＝3a km. 解析：由正弦定理及(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，得(2＋b)(a－b)＝(c－b)c，又a＝2， ∴b＋c－a＝bc.由余弦定理得 2 2 2 2 2 2 2, b2＋c2－a2bc1 cosA＝＝＝，∴A＝60°. 2bc2bc2 又2＝b＋c－2bccos60°＝b＋c－bc≥2bc－bc， ∴bc≤4.当且仅当b＝c时取等号． 113 ∴S△ABC＝bcsinA≤×4×＝3. 222 12 17．解：(1)依题意，可知方程ax＋3x－1＝0的两个实数根为和1， 21311 ∴＋1＝－且×1＝－解得a＝－2， 2a2a∴a的值为－2， (2)由(1)可知，不等式为－2x－3x＋5>0，即2x＋3x－5<0， 52 ∵方程2x＋3x－5＝0的两根为x1＝1，x2＝－， 2 2 2 2 2 2 2 2 5 ∴不等式ax－3x＋a＋1>0的解集为x－ 2 2 1→→ 18．解：(1)由BA·BC＝2得c·acosB＝2，又cosB＝，所以ac＝6. 3由余弦定理，得a＋c＝b＋2accosB. 又b＝3，所以a＋c＝9＋2×2＝13. 2 22 2 2 7 解 ac＝6， 得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2. 22 a＋c＝13， 因a>c，所以a＝3，c＝2. (2)在△ABC中，sinB＝1－cosB＝ 212221－＝， 33 c22242 由正弦定理，得sinC＝sinB＝×＝. b339 因a＝b>c，所以C是锐角，因此cosC＝1－sinC＝ 21－ 4227 ＝. 99 17224223 于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝×＋×＝. 393927 1 19.解：(1)在△ABC中，∵cosA＝， 3∴sin 2 B＋C11122 ＋cos2A＝[1－cos(B＋C)]＋2cosA－1＝(1＋cosA)＋2cosA－1＝－. 2229 2 2 2 (2)由余弦定理知a＝b＋c－2bccosA， 22422 ∴3＝b＋c－bc≥2bc－bc＝bc， 33393 ∴bc≤，当且仅当b＝c＝时，等号成立， 429 ∴bc的最大值为. 4 20．解：(1)在已知式中，当n＝1时，a1＝a1，∵a1>0，∴a1＝1， 当n≥2时，a1＋a2＋a3＋…＋an＝Sn，① 3332 a31＋a2＋a3＋…＋an－1＝Sn－1，② 3 3 3 3 2 3 2 ①－②得an＝an(2a1＋2a2＋…＋2an－1＋an)． ∵an>0，∴an＝2a1＋2a2＋…＋2an－1＋an，即an＝2Sn－an， ∴a2＝2(1＋a2)－a2，解得a2＝－1或a2＝2， ∵an>0，∴a2＝2. (2)由(1)知an＝2Sn－an(n∈N)，③ 当n≥2时，an－1＝2Sn－1－an－1，④ ③－④得an－an－1＝2(Sn－Sn－1)－an＋an－1＝2an－an＋an－1＝an＋an－1. ∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1，∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1，可得an＝n. 2 222 * 2 2 2 3 8 21.解：(1)证明：由已知当直线过点(2n,0)时，目标函数取得最大值，故zn＝2n. ∴方程为x＋y＝2n. ∵(Sn，an)在直线zn＝x＋y上，∴Sn＋an＝2n.① ∴Sn－1＋an－1＝2(n－1)，n≥2.② 由①－②得，2an－an－1＝2，n≥2.∴an－1＝2an－2，n≥2. 又∵ an－2an－2an－21 ＝＝＝，n≥2，a1－2＝－1， an－1－22an－2－22an－22 1 ∴数列{an－2}是以－1为首项，为公比的等比数列． 2 1n－11n－1 (2)由(1)得an－2＝－，∴an＝2－. 221n－1 ∵Sn＋an＝2n，∴Sn＝2n－an＝2n－2＋. 2 1011n－1 ∴Tn＝0＋＋2＋＋…＋2n－2＋ 222 1011n－1 ＝[0＋2＋…＋(2n－2)]＋＋＋…＋ 2221n1－ 1n－1n2n－222 ＝＋＝n－n＋2－. 212 1－ 2 22．解：由题意知f(n)＝50n－12n＋ 2 nn－1 2 ×4－72＝－2n2＋40n－72. (1)由f(n)>0，即－2n＋40n－72>0，解得2 fn36 ＝40－2n＋， nn nn×＝12，当且仅当n＝6时取等号， n∴ fn≤40－2×12＝16. n因此方案①共获利16×6＋48＝144(万元)，此时n＝6. 方案②：f(n)＝－2(n－10)2＋128.从而方案②共获利128＋16＝144(万元)．比较两种方案，获利都是144万元，但由于第一方案只需6年，而第②种方案需要10年，因此，选择第①种方案更合算． 9 10 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容