统计物理部分课后答案

解: 根据式（6.6.9），处在能量为s的量子态s上的平均粒子数为

fses. （1）

以N表示系统的粒子数，粒子处在量子态s上的概率为

显然，Ps满足归一化条件

式中

esesPs. （2）

NZ1P1, （3）

sss是对粒子的所有可能的量子态求和. 粒子的平均能量可以表示为

EPss. （4）

s根据式（7.1.13），定域系统的熵为

SNklnZ1lnZ1NklnZ1s

NkPslnZ1s

最后一步用了式（2），即

熵等于kNkPslnPs. （5）

slnPslnZ1s. （6）

式（5）的熵表达式是颇具启发性的. 熵是广延量，具有相加性. 式（5）意味着一个粒子的

PlnP. 它取决于粒子处在各个可能状态的概率

sssPs. 如果粒子肯定处在某个状态r，即Pssr，粒子的熵等于零. 反之，当粒子可能处在

多个微观状态时，粒子的熵大于零. 这与熵是无序度的量度的理解自然是一致的. 如果换一个角度考虑，粒子的状态完全确定意味着我们对它有完全的信息，粒子以一定的概率处在各个可能的微观状态意味着我们对它缺乏完全的信息. 所以，也可以将熵理解为信息缺乏的量度. 第九章补充题5还将证明，在正则系综理论中熵也有类似的表达式. 沙农（Shannon）在更普遍的意义上引进了信息熵的概念，成为通信理论的出发点. 甄尼斯（Jaynes）提出将熵当作统计力学的基本假设，请参看第九章补充题5.

对于满足经典极限条件的非定域系统，式（7.1.13′）给出

SNklnZ1lnZ1klnN!,

上式可表为

其中

SNkPslnPsS0, （7）

sS0klnN!NklnN1.

因为

fsNPs,

将式（7）用fs表出，并注意

fssN,

可得

SkfslnfsNk. （8）

s这是满足玻耳兹曼分布的非定域系统的熵的一个表达式. 请与习题8.2的结果比较. 习题7.8气体以恒定的速度沿Z方向作整体运动。试证明，在平衡状态下分子动量的最概

然分布为

e2pxpy2(pxp0)22mVdpxdpydpzh3

证： 设能级l这样构成：同一l中，pZ相同，而px与py在变化，于是有：

Nalal0(1) Elalppzala0(2)

pa0(3)(ppap)

llzlzl0参照教材玻耳兹曼分布证明；有

lnNE-pz, 其中 l1222 （pxpypZ）2mVpzdpxdpydpzN 由(1)知: 3eh将l代入 并配方得:

(xy)(pz2pz)V2mdpxdpydpz 3eh(V2 =3ehm2)(xy)2m(pzm)2dpxdpydpzN

2pypx其中 x,y2m2m2

对比page238式（7.2.4）得： e(m2)2Nh2h22()n()2 V2mkT2mkT33整个体积内，分布在pxpxdpx,pypydpy,pzpzdpz 内分子数为：

(xy)(pz)12m2N()edpxdpydpzf(px,py,pz)dpxdpydpz 2mkT3m2由条件（3）知 pzf(px,py,pz)dpxdpydpzNp0 计算得

1mm2m(pzyx2)edpxedpy(pz)e (2mkT(pz1m(xy)2m2)edpxdpy()e =(2mkT33m)2dpz

m2)dpz

=mfdpxdpydpzN\"p02mp0

2m代入得出分布： epxpy2(pzp0)2Vdpxdpydpzh3

m2mp0 其中 ,2'习题7.13试证明，单位时间内碰到单位面积上，速率介于v与vdv之间的分子数为：

m3/22kT3dn()evdv

2kT证： 在斜圆柱体内,分速度为vz的v方向的分子数为: dn*mv2nf(vx,vy,vz)V圆柱;Vdsvzdt

mm3/22kT(vx2v2yvz2)*)evzdvxdvydvzdsdt dnnfvzdsdtn(2kT 对于

vx,vy从,对vz从0积分得:

dt时间碰撞到ds面积上的分子数（vvdv）

m3\\2*nn()

2kT =n(e0mv22kTm22(vxv2yvz)2kTvzdvxdvydvzdsdt

m3\\2)2kT2/2e00v3cosdvdddsdt

得到：若只计算介于vvdv分子数则为：（只对,积分）

v2m3/22kT)2(1/2)ev3dv nn(2kT*mv2mm3/22kT3n()evdv

2kT习题7.15已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为：

1222(pxpypz)ax2bx其中a,b是常数，求粒子的平均能量。 2m

p2bxb2b22a(x)解： 2ma4a24a1b2b2222(pxpypz)a(x);(四个平方项,据均分律) 2m2a4ab2b22kT 4*(1/2)Tk 4a4a

习题8.1试证明:对于玻色系统或费米系统,玻耳兹曼关系成立，即Skln。 解：对于理想费米系统，与分布al相应的系统的微观状态数为 l! a!(a)!llll取对数，并应用斯特令近似公式，得ln另

一

方

面

，

根

据

理

lnalnaalna

lllllllll想费米系统的熵为

lnlnSklnklnNU

klnlal

l其中费米巨配分函数的对数为 lnln1ellal

由费米分布 al得 1elel1l

llalllal和 llnlalal

所以 lnllnl

laSkllnallnlllalll

两式比较可知：Skln。

kllnlallnallallnlall习题8-2 试证明，理想玻色和费米系统的熵可表示为：

SB.Ekfslnfs1fsln1fs，

lSF.Dkfslnfs1fsln1fs

l其中fs为量子态s上的平均粒子数，

s对粒子的所有量子态求和。

解：我们先讨论理想费米系统的情形。根据上题有，理想费米系统的熵可表示为 SF.Dklnalnaalna

lllllllll klalalalnalnll llll kl1lalalln1llalalln llal 式中

s表示对粒子各能级求和。以fsl表示在能量为l的量子态s上的平均粒子

数，并将对能级l求和改为对量子态s求和，注意到 SF.Dklls，上式可改写为

flslnfs1fsln1fs

由于fs1，计及前面的负号，上式的两项都是非负的。

对于理想玻色系统，通过类似的步骤可以证明SB.Ekfls lnfs1fsln1fs，

由于玻色系统fs0，计及前面的负号，式中的第一项可以取负值，第二项是非负的，由于在绝对值上第二项大于第一项，熵不会取负值。 在fs所以在fs1的情形，上面两式中的1fsln1fs1fsfsfs 1的情形下，有

SB.ESF.Dk注意到

fsslnfsfs

fssN，上式也可表示为

SB.ESF.DkfslnfNk

s

习题8.3求弱简并理想费米（玻色）气体的压强和熵。

311Nh22解：弱简并费米（玻色）气体的内能为UNkT15，式中上面的22gV2mkT2符号适用于费米气体，下面的符号适用于玻色气体。利用理想气体压强与内能的关系

3p2U，可直接求出弱简并气体的压强为 3V311h22 pnkT15n 2g2mkT2 式中nN是粒子数密度。 V3311h22U 定容热容量为CVn Nk172g2mkTTV22 参照热力学中熵的积分表达式可将熵表示为 SCVTdTS0V

232 于是可得S311hNklnTNk7nS0V 2g22mkT23 式中的函数S0可通过下述条件确定：在n体趋于理想气体。

NhV2mkT2321的极限下，弱简并气

习题8.4 试证明，在热力学极限下均匀的二维理想玻色气体不会发生玻色-爱因斯坦凝聚。 证明：令玻色气体降温到某有限温度TC，气体的化学势将趋于0。在TTC时，将有宏观

量级的粒子凝聚在0的基态，称为玻色-爱因斯坦凝聚。临界温度TC由条件

Dde1kTc0n 确定。

2L2md代入得： 将二维自由粒子的状态密度Dd2h2L2d 2mn 0kThec1二维理想玻色气体的凝聚温度TC由上式确定。令xdx2L2n 2mkTCx0e1hkTC，上式可改写为

将被积函数展开有：

11xx2xe1eeex1ex1ex

则

0dx111xe1231是发散的，这意味着在有限温度下二维理想玻色气体n1n的化学势不可能趋于零。换句话说，在有限温度下二维理想玻色气体不会发生玻色-爱因斯坦凝聚。

习题8.7计算温度为T时，在体积V内光子气体的平均总光子数，并据此估算： （1）温度为1000K时的平衡辐射和；

（2）温度为3K的宇宙背景辐射中光子的数密度。

解：在体积V内，在到d的圆频率范围内光子数为Dd 温度为T时平均光子数为

V2d 23cN,TdDdehkT1

因此温度为T时，在体积V内光子气体的平均光子数为

V2d NT23h

0kTce1 引入变量xh，上式可表示为 kT3VkT NT23ch0x2dxk33 2.404VTx233e1chk33或 nT2.404233T

ch 在1000K下，有n210m。 在3K下，有n5.510m。

习题8.8试据普朗克公式求平衡辐射内能密度按波长的分布：u证明，使辐射内能密度取极大的波长m满足方程xhc831638hcd5ekThc1，并据此

： 5exx5

mkT这个方程的数值解为x4.9651。因此 mThc

4.9651km温度增加向短波方向移动。

1h3d 证：平衡辐射内能按圆频率的分布为u,Td23hcekT1 根据圆频率与波长的关系2c，有

d

2c2d

于是内能按波长的分布可得：u,Td8hcd5e1hkT

令xhc使u,T取极大的波长m由下式确定： kTdx5 0

dxex1于是有： 55exx

利用图解法可以解出x，精确的数值解给出x4.9651。 所以使u,T为极大的m满足mThc2.898103mK右方是常量，说

4.9651k明m随温度的增加向短波方向移动，称为维恩位移定律。

习题8.10试根据热力学公式S熵。

解： 光子气体的内能为UCVU及光子气体的热容量CdTV求光子气体的TTV2k415c3h4VT 342k4U3 由此易得其定容热容量为CV VT33TV15ch 根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式有：SCVpdTdVS0 TTV 积分沿任意一条积分路径进行，如果取积分路线为由0,V到T,V的直线，即有：

T42k442k42 SVTdTVT3

3333015ch45ch习题9.1证明在正则分布中熵可表为Sk的概率。 证： Sk(lnZslns其中ss1Es是系统处在s态eZlnZ1Es) 多粒子配分函数ZeEsZe(1)

s

lnZ

EkeEkekkEk(2)由(1)知 eEsZsEslnZlns;Es1lnZlns

s代至(2)得

lnZ111lnZlnsslnZsslns;

于是 SklnZklnZsslns

习题9.2试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程，内能和熵 证： ZesEs;Esi1N1222pixpiypiz 2m符号dpdpiixdpiydpiz

符号dqdxdydziiii

1ZeN!h3N2mpi1N222ixpiypizVdpdqN!h3NNNN222pixpiypiz2mi1edp

2ypz)VN2m(px2p2VNedpZ3NN!hN!h3N2m3N/2利用式（9.5.3）P1lnZ1ZNTk类似求U,S。

ZVV习题9.6被吸附在液体表面的分子形成一种二维气体，考虑分子间的相互作用，试用 正则分布证明，二维气体的物态方程为pSNTk1B/S，其中：

BN2e/kT12rdr;S为液体的面积，为两分子的互作用势。

解： 二维气体

1Ze2NN!hN!h2Ne221(pixpiy)2mijidpixdpiydxidyi

12mN()Q N!1(rij)ijdqe2p2)iy21m(pixdpdq其中 QeQ(1fij(rij)dr1dr2drn定义fijeij(rij)1

ijij)dr1dr2drn(只保留前部分)(1fij)dr1drn

SNfijdr1drn;其中fijdr1drnVN2f12dr1dr2

ijN2N2QSSf12dr1dr2变量代换Rr1r2/2;rr2r1 2NN2N1QSSf12dr

2NN2lnQNlnSln12VPN2f12drNlnS2Sf12dr据式（9.5.3）

1lnZ1lnQNPVNTk1S2SBf12drkNT1S

习题9.9利用德拜频谱求固体在高温和低温下配分函数对数lnZ，从而求内能和熵。

解：式（3.9.4）

e2 lnZlneln1ei9N3德拜频谱 D B02eDlnZlne0lnDd01e22De对于振动 Blnd(代换x) 001e 0D0BB2d3244D0ln1exx2dx

 31BN1U U0033155D S计算略

高温近似， T， 0

lnZ0D0D312Blnd00Blnd3 D3ab1ln02d 0B3033D3D03Bln9B

03NlnN（计算略）

习题9.7仿照三维固体的地拜理论，计算长度为L的线形原子链在高温和低温下的内能和

热容量。 解：一维线形原子链ck,k2n/L,n0,1,......

dnLdk/2;D()dLd/2c共有N个振动，存在最大频率D

DD()dN0LdND2Nc/L 2cUU0D()ekTdU0Ld令/kTxdkTdx 12cekTLUU02ck2xT2dxLT2k2xdx(ex1)U02cex1

LT2k2dxU0kNT 高温近似x1;UU02cLT2k2低温近似UU02cxex1dxU02kNT2/6D其中kDD

习题9.8仿照三维固体的德拜理论，计算长度为L的线形原子链（一维晶体）在高温和低温

下的内能和热容量。 解： 二维：

面积S内，dkxdky波矢范围内辐射场振动自由度为

2sdkxdky42skdkd 42横波按频率分布为

0SkdkSdd 222c14SkdkSdd 22c242 纵波按频率分布为

20DdD横dD纵dBDS21122dBdc1c2S21122c1c22D

0D()d2NBUU0D0222ND4N BDdektD1U0B02ektd

1令

x,dkTdx kT2kT2Dx3kTkTx2kTUU0BdxU0Bxdx xe10e1kT低温近似 UU0B3x2kTdxU2.404B 0xe103kT高温近似 UU0BCv计算略。

D3kTkT1DxdxUB 02kT032

7.10 气体以恒定速度υ0沿z方向作整体运动，求分子的平均平动能量.

解: 根据7.8题式（9），以恒定速度υ0沿z方向作整体运动的气体，其分子的速度分布为

m222m2kTυxυyυzυ0Ndυxdυydυz. （1） e2kT32分子平动量的平均值为

m2kT32m222υxυyυzυ01222mυxυyυze2kTdυxdυydυz2mmυ2υzυ02122m1ym122kTυx22kT2kTmυedυmυedυmυedυxxyyzz.222kT212

上式头两项积分后分别等于kT，第三项的积分等于

mmm2υzυ02υzυ0222kTυzυ0m122kT2kTmυυedυ2υυedυυedυz0z0zz0z2kT212121122kTmυ0mυ0.22

因此，

2kTmυ0. （2）

3212式（2）表明，气体分子的平动能量等于无规热运动的平均能量kT及整体运动能量mυ02之和.

3212