高考数学一轮复习第22讲正弦定理和余弦定理精品试题新

班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

1．(2010·湖北)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝( ) A．－

2222

B. 336

3

D.6 3

C．－

abbsinA3

解析：依题意得0°sinAsinBa3

1－sinB＝

2

6

，选D. 3

答案：D

2．(2010·天津)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a－b＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝( )

A．30° C．120°

B．60° D．150°

2

2

b2＋c2－a2－3bc＋c2

解析：由sinC＝23sinB可得c＝23b，由余弦定理得cosA＝＝

2bc2bc＝

3

，于是A＝30°，故选A. 2

答案：A

3．(2010·江西)E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF＝( ) A.C.16

273

3

2B. 33D. 4

12

解析：设AC＝1，则AE＝EF＝FB＝AB＝，由余弦定理得CE＝CF＝

335CE＋CF－EF4

AE＋AC－2AC·AEcos45°＝，所以cos∠ECF＝＝，

32CE·CF5

2

2

2

2

2

所以tan∠ECF＝

sin∠ECF＝cos∠ECF421－53

＝. 445

用心 爱心 专心 1

答案：D

π则△ABC4．(2011·青岛模拟)△ABC中，若lga－lgc＝lgsinB＝－lg2且B∈0，，

2

的形状是( )

A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 解析：∵lga－lgc＝lgsinB＝－lg2， ∴lg＝lgsinB＝lg

ac2a2.∴＝sinB＝. 2c2

ππ∵B∈0，，∴B＝，由c＝2a，

24

a2＋c2－b23a2－b22

得cosB＝＝＝. 2

2ac222a∴a＝b，∴a＝b. 答案：D

5．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为0.5，那么b为( )

A．1＋3 B．3＋3 C.

3＋3

D．2＋3 3

2

2

11132222222

解析：2b＝a＋c，ac·＝⇒ac＝2，a＋c＝4b－4，b＝a＋c－2ac·⇒b＝

22224＋233＋3

⇒b＝. 33

答案：C

6．已知锐角A是△ABC的一个内角，a、b、c是三角形中各内角的对应边，若sinA－12

cosA＝，则( )

2

A．b＋c＝2a B．b＋c<2a C．b＋c≤2a D．b＋c≥2a

1122

解析：由sinA－cosA＝，得cos2A＝－，

22又A是锐角，所以A＝60°，于是B＋C＝120°.

2

B＋CB－C2sincos

22b＋csinB＋sinC所以＝＝ 2a2sinA3

用心 爱心 专心 2

＝cos

B－C2

≤1，b＋c≤2a.

答案：C

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)

7．(2010·江苏)在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若＋＝6cosC，tanCtanC则＋的值是________． tanAtanBbaab

1

解析：解法一：取a＝b＝1，则cosC＝，

34222

由余弦定理和c＝a＋b－2abcosC＝，

3∴c＝

23

. 3

在如图所示的等腰三角形ABC中， 可得tanA＝tanB＝2， 又sinC＝∴

22

，tanC＝22， 3

tanCtanC＋＝4. tanAtanBbaa2＋b2a2＋b2－c2

解法二：＋＝6cosC得，＝6·，

abab2ab3222

即a＋b＝c，

2

2

cosAcosBtanCtanCsinC＋∴＋＝tanC ＝

tanAtanBsinAsinBcosCsinAsinB2c＝2＝4. a＋b2－c2答案：4

8．(2010·山东)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2，b＝2，

2

用心 爱心 专心 3

sinB＋cosB＝2，则角A的大小为________．

解析：由sinB＋cosB＝2sinB＋



π＝2得 4

2·sin2

π41＝，2

πabasinBπsinB＋＝1，所以B＝.由正弦定理＝得sinA＝＝44sinAsinBb所以A＝

π5π

或(舍去)． 66π

6

答案：

9．(2010·新课标全国)在△ABC中，D为BC边上一点，BC＝3BD，AD＝2，∠ADB＝135°.若AC＝2AB，则BD＝________.

12

解析：如图，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则由题设可知BD＝a，CD＝a，所以根据余

332122122222

弦定理可得b＝(2)＋a－2×2×acos45°，c＝(2)＋a－2×2×

3333

acos135°，由题意知b＝2c，

1

可解得a＝6＋35，所以BD＝a＝2＋5.

3答案：2＋5

1

10．(2010·新课标全国)在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝DC，∠ADB＝120°，AD2＝2.若△ADC的面积为3－3，则∠BAC＝________.

1

解析：由∠ADB＝120°知∠ADC＝60°，又因为AD＝2，所以S△ADC＝AD·DCsin60°＝3

21

－3，所以DC＝2(3－1)，又因为BD＝DC，所以BD＝3－1，过A点作AE⊥BC于E点，

21

则S△ADC＝DC·AE＝3－3，所以AE＝3，又在直角三角形AED中，DE＝1，所以BE＝3，

2在直角三角形ABE中，BE＝AE，所以△ABE是等腰直角三角形，所以∠ABC＝45°，在直角三角形AEC中，EC＝23－3，所以tan∠ACE＝

AE3＝＝2＋3，所以∠ACE＝75°，EC23－3

用心 爱心 专心 4

所以∠BAC＝180°－75°－45°＝60°.

答案：60°

三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)

11．(2010·全国Ⅰ)已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足a＋b＝a求内角C.

11

解：由a＋b＝a＋b及正弦定理得

tanAtanBsinA＋sinB＝cosA＋cosB， 即sinA－cosA＝cosB－sinB， 从而sinAcos

ππππ－cosAsin＝cosBsin－sinBcos， 4444

11

＋b，tanAtanBππ即sinA－＝sin－B.

44

又0πππ

故A－＝－B，A＋B＝，

442π

所以C＝. 2

12．(2010·辽宁)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.

(1)求A的大小；

(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．

解：(1)由已知，根据正弦定理得2a＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a＝b＋c＋bc. 由余弦定理得a＝b＋c－2bccosA， 1

故cosA＝－，又A∈(0，π)，故A＝120°.

2(2)由(1)得sinA＝sinB＋sinC＋sinBsinC. 1

又sinB＋sinC＝1，得sinB＝sinC＝.

2因为0°13．(2010·陕西)如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

用心 爱心 专心 5

AD2＋DC2－AC2

解：在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得cos∠ADC＝＝

2AD·DC100＋36－1962×10×6＝－1

2

，

∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.

在△ABD中，AD＝10，B＝45°，∠ADB＝60°， 由正弦定理得ABADsin∠ADB＝sinB，

10×3∴AB＝

AD·sin∠ADB10sin60°

2

sinB＝sin45°

＝2

＝56.

2

用心 爱心 专心 6