与函数有关的新定义问题
1．实数x、y若存在坐标(x，y）同时满足一次函数y＝px＋q和反比例函数y＝错误!，则二次函数y＝px2＋qx－k为一次函数和反比例函数的“共享\"函数。
（1)试判断（需要写出判断过程)：一次函数y＝－x＋4和反比例函数y＝错误!是否存在“共享”函数？若存在，写出它们的“共享”函数和实数对坐标；
（2)已知整数m、n、t满足条件：t ＋（10m－t）x－2018，求整数m的值; (3)若同时存在两组实数对坐标(x1，y1）和(x2，y2）使一次函数y＝ax＋2b和反比例函数y＝－错误!存在“共享”函数，其中实数a〉b>c， a＋b＋c＝0，令L＝|错误!－错误!|，求L的取值范围． 解：（1)令－x＋4＝错误!，解得x＝1或x＝3，y＝－x＋4和y＝错误!是“共享\"函数，实数对坐，标为（1，3)和（3，1）； (2)y＝（1＋n）x＋2m＋2与y＝错误!的“共享”函数是y＝(1＋n）x2＋（2m＋2)x－2018， 由题意得，y＝（1＋n)x＋2m＋2与y＝错误!的“共享”函数为y＝（m＋t)x2＋（10m－t)x－2018, ∴错误!，即错误!, 又∵t 学必求其心得，业必贵于专精 (3）y＝ax＋2b和y＝－错误!存在“共享”函数为y＝ax2＋2bx＋c，则 a、b、c满足, (ac)2ac0错误!,即,∴－2<错误!〈－错误!。 aacc1）L2＝（错误!－错误!)2＝错误!＝错误!＝错误!＝4错误!＝4(错误!＋错误!＋1)＝4(ac22 ＋3， ∵－2〈错误!<－错误!,∴3 x2＋1就是一个幸福函数，理由如下： 设P(x，y)为y＝x2＋1上任意一点,d＝|x|＋|y|＝｜x｜＋|x2＋1|， ∵x≥0，｜x2＋1｜＝x2＋1≥1, ∴d≥1. ∴y＝x2＋1是一个幸福函数． （1)若点P在反比例函数y＝错误!的图象上,且它的幸福指数d＝2，请直接写出所有满足条件的P点坐标; (2)一次函数y＝－x＋1是幸福函数吗?请判断并说明理由; （3）若二次函数y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m（m〉0)是幸福函数，试求出m的取值范围． 解：（1)设点P的坐标为（m，错误!）， ∴d＝|m｜＋｜错误!|＝2， 解得：m1＝－1,m2＝1, 经检验，m1＝－1,m2＝1是原分式方程的解， 2 学必求其心得，业必贵于专精 ∴满足条件的P点坐标为(－1，－1)或（1，1）； （2)一次函数y＝－x＋1是幸福函数，理由如下： 设P（x，y）为y＝－x＋1上的一点,d＝｜x｜＋|y｜＝|x|＋|－x＋1｜; x<0时,d＝｜x｜＋|－x＋1｜＝－x－x＋1＝1－2x>1； 当0≤x≤1时，d＝|x｜＋|－x＋1|＝x－x＋1＝1； 当x>1时，d＝｜x|＋|－x＋1|＝x＋x－1＝2x－1>1. ∴对于y＝－x＋1上任意一点P(x，y)，它的幸福指数d≥1恒成立， ∴一次函数y＝－x＋1是幸福函数； (3）设P（x，y)为y＝x2－（2m＋1)x＋m2＋m上的一点，d＝|x｜＋|y｜＝｜x｜＋｜x2－（2m＋1)x＋m2＋m|， ∵y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝(x－m)(x－m－1)，m＞0， ∴分x≤0、0＜x＜m、m≤x≤m＋1、x＞m＋1考虑． ①当x≤0时，d＝｜x｜＋｜x2－(2m＋1）x＋m2＋m｜＝－x＋x2－（2m＋1）x＋m2＋m＝（x－m－1)2－m－1, 当x＝0时，d取最小值，最小值为m2＋m, ∴m2＋m≥1, 解得:m≥错误!; ②0＜x＜m时，d＝|x|＋|x2－(2m＋1）x＋m2＋m｜＝x＋x2－（2m＋1)x＋m2＋m＝(x－m)2＋m－1≥1, ∵(x－m）2≥0， ∴m－1≥1， 3 学必求其心得，业必贵于专精 解得：m≥2； ③当m≤x≤m＋1时，d＝|x|＋|x2－(2m＋1）x＋m2＋m｜＝x－x2＋(2m＋1)x－m2－m＝－(x－m－1)2＋m＋1， 当x＝m时，d取最小值,最小值为m， ∴m≥1; ④当x＞m＋1时，d＝|x｜＋｜x2－（2m＋1）x＋m2＋m｜＝x＋x2－(2m＋1）x＋m2＋m＝（x－m)2＋m－1＞m≥1， ∴m≥1。 解得:若二次函数y＝x2－（2m＋1)x＋m2＋m(m＞0）是幸福函数，m的取值范围为m≥2. 3．在平面直角坐标系中，设直线l的解析式为：y＝kx＋b(k≠0)，当直线与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线l与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”． （1)求直线l:y＝－x＋2与双曲线y＝错误!的切点坐标; （2)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过两点(－1,0）和（3，0），若直线 l:y＝x＋2与抛物线相切，试求实数a的值； （3）已知直线l:y1＝kx＋m与抛物线y2＝2x2＋错误!相切于点(错误!， 错误! ）,设二次函数M：y3＝ax2＋bx＋c(a、b、c为整数且a≠0)，对于 一切实数x恒有y1≤y3≤y2。求二次数M的解析式． 解：(1)联立错误!，得x2－2x＋1＝0,∴x＝1，∴切点坐标为(1，1) (2)由题可知，抛物线解析式可表示为：y＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a， 4 学必求其心得，业必贵于专精 联立错误!,得：ax2－(2a＋1)x－3a－2＝0 由抛物线和直线相切易知:a≠0且Δ＝0， ∴Δ＝（2a＋1）2－4a×（－3a－2）＝16a2＋12a＋1＝0， 解得：a1＝错误!,a2＝错误!, (3）由题可知：直线y1＝kx＋m和抛物线M都经过（错误!,错误!)， ∴错误!＝错误!＋m，错误!＝错误!＋错误!＋c①， 3 ∴m＝－错误!， 4 联立错误!得2x2－kx－错误!＋错误!＝0， ∴Δ＝k2－4×2×(错误!－错误!）＝0. 解得:k＝2，∴m＝－错误!， ∴直线l1的解析式：y1＝2x－错误!， ∵对于一切实数x恒有y1≤y3≤y2，对于一切实数x恒有:2x－错误!≤ax2＋bx＋c≤2x2＋错误!。 当x＝0时,有－错误!＜c<错误!，而c为整数，∴c＝0②。 联立错误!，得ax2＋（b－2）x＋c＋错误!＝0. ∴Δ＝（b－2）2－4a×(c＋错误!）＝0， ∴b2－4b＋4－4ac－a＝0 ③， 联立①②③式得:a＝b＝1，c＝0。 故二次函数M的解析式为：y3＝x2＋x. 4．已知y是关于x的函数,若其图象经过点P（t，t），则称点P为函数图象上的“bingo点”,例如：y＝2x－1上存在“bingo点\"P（1， 5 学必求其心得，业必贵于专精 1）． （1)直线________（填写直线解析式)上的每一个点都是“bingo1 点”；双曲线y＝上的“bingo点”是________; x(2)若抛物线y＝错误!x2＋(错误!a＋1）x－错误!a2－a＋2上有“bingo点”，且“bingo点”A、B（点A和点B可以重合)的坐标为A(x1，y1)， B(x2,y2),求x错误!＋x错误!的最小值； （3）若函数y＝错误!x2＋(n－k＋1)x＋m＋k－1的图象上存在唯一的一个“bingo点\"，且当－2≤n≤1时,m的最小值为k,求k的值． 解：(1)y=x;（1,1)和（－1，－1）； (2)设二次函数y＝错误!x2＋(错误!a＋1)x－错误!a2－a＋2的“bingo点\"为（x，x)， ∴x＝错误!x2＋(错误!a＋1)x－错误!a2－a＋2， ∴错误!x2＋错误!ax－错误!a2－a＋2＝0， ∴x1＋x2＝－错误!a，x1·x2＝－错误!a2－2a＋4, ∴x错误!＋x错误!＝(x1＋x2)2－2x1x2＝（－错误!a)2－2×(－错误!a2－2a＋4)＝8 (a＋错误!）2－错误!， 9 又∵“bingo点”A、B(点A和点B可以重合)， ∴Δ≥0，即（错误!a）2－4·错误!·（－错误!a2－a＋2）≥0, ∴a≤－3－错误!或a≥－3＋错误!， 当a＝－3＋错误!时，x错误!＋x错误!取最小值， 6 学必求其心得，业必贵于专精 ∴（x错误!＋x错误!）min＝错误!－错误!错误!; 12(3）∵y＝x＋(n－k＋1)x＋m＋k－1只有一个“bingo点\"，∴y＝错误! 4 x2＋(n－k＋1)x＋m＋k－1与y＝x只有一个交点， 则错误!x2＋(n－k）x＋m＋k－1＝0有两个相同根， ∴Δ＝b2－4ac＝（n－k)2－（m＋k－1)＝0, 可得m＝(n－k）2－k＋1， 当k＜－2时，n＝－2,m取最小值，即(－2－k)2－k＋1＝k，则无解； 当－2≤k＜1时，n＝k，m取最小值，即－k＋1＝k,则k＝错误!； 当k≥1时，n＝1,m取最小值,即（1－k)2－k＋1＝k，则k2－4k＋2＝0； ∴k1＝2－错误!（不合题意,舍去)，k2＝2＋错误!， 综上所述，k值为错误!或2＋错误!. 5．已知y是关于x的函数，若其图象经过点P(t,2t）,则称点P为函数图象上的“偏离点”．例如：直线y＝x－3上存在“偏离点”P(－3，－6)． (1）在双曲线y＝错误!上是否存在“偏离点\"？若存在，请求出“偏离点”的坐标；若不存在，请说明理由； (2)若抛物线y＝－错误!x2＋（错误!a＋2）x－错误!a2－a＋1上有“偏离点\"，且“偏离点”为A（x1，y1)和B(x2，y2），求w＝x错误!＋x错误!－错误!的最小值(用含k的式子表示）; 7 学必求其心得，业必贵于专精 (3）若函数y＝错误!x2＋(m－t＋2)x＋n＋t－2的图象上存在唯一的一个“偏离点”，且当－2≤m≤3时，n的最小值为t，求t的值． 解：(1)存在．假设存在“偏离点”,根据题意得2x＝错误!，解得x1＝ 错误! ，x2＝－错误!, 当x＝错误!时，y＝错误!；当x＝错误!时,y＝－错误!， ∴“偏离点\"坐标为(错误!，错误!)或（－错误!，－错误!)； （2)设抛物线上的“偏离点\"坐标为（x，2x)，代入抛物线得－错误!x2＋(错误!a＋2)x－错误!a2－a＋1＝2x得－错误!x2＋错误!ax－错误!a2－a＋1＝0, ∵Δ＝错误!＋2(－错误!a2－a＋1)≥0，∴a≤1, 442 又∵x1＋x2＝a，x1·x2＝a＋2a－2， 39 ∴x错误!＋x错误!－错误!＝(x1＋x2)2－2x1·x2－错误!＝错误!a2－（4＋错误!)a＋4，又∵抛物线开口向上，且对称轴为a＝错误!，∴若36＋3k≥16，即k≥－错误!，则当a＝1时，w＝x错误!＋x错误!－错误!最小值为错误!－ 错误! ， 20 若36＋3k〈16，即k<－，则当a＝错误!时,x错误!＋x错误!－错误!最小值 3为－ k2＋24k＋16 32 , 综上所述,w的最小值为错误!； (3)将“偏离点”(x，2x)代入错误!x2＋（m－t＋2)x＋n＋t－2＝2x得:错误! x2＋（m－t）x＋n＋t－2＝0， 8 学必求其心得，业必贵于专精 ∵该函数图象上存在唯一一个“偏离点\ ∴Δ＝（m－t)2－4×错误!（n＋t－2)＝0， 即n＝m2－2mt＋t2－t＋2＝(m－t）2－t＋2， 又∵对称轴为m＝t， ∴①若t≤－2,取m＝－2时，有nmin＝4＋4t＋t2－t＋2＝t，即t2＋2t＋6＝0，∵Δ＝4－4×1×6＜0, 方程无解；②若－2 6．若y是关于x的函数,H是常数(H＞0），若对于此函数图象上的任意两点(x1，y1)，（x2，y2)，都有｜y1－y2|≤H，则称该函数为有界函数，其中满足条件的所有常数H的最小值，称 第6题图 为该函数的界高．如图所表示的函数的界高为4。 (1)若函数y＝错误!（k＞0)（－2≤x≤－1）的界高为6,则k＝________; (2)若函数y＝kx＋1(－2≤x≤1)的界高为4，求k的值； 9 学必求其心得，业必贵于专精 （3)已知函数y＝x2－2ax＋3（a－2≤x≤1）的界高为错误!，求a的值． 解:（1）12； 【解法提示】当－2≤x≤－1时，函数y＝错误!（k＞0)中y随x的增大而减小，∴y1＞y2，将x1＝－2代入得y1＝＝－,将x2＝－1代 －22入得y2＝＝－k,∵|y1－y2|＝6，∴－错误!－（－k）＝6，解得k＝ －112； （2)将x1＝－2代入得y1＝－2k＋1； 将x2＝1代入得y2＝k＋1, ∵|y1－y2|＝4, ∴｜－3k|＝4，解得k＝±错误!； (3)①当a≥1时，将x1＝－2，x2＝1代入函数解析式得， kkky1＝4＋7a,y2＝1＋a， ∵|y1－y2|＝错误!，函数对称轴为x＝a,在对称轴左侧,y随x的增大而减小, 25 ∴3＋6a＝,解得a＝错误!， 4又∵a≥1，故此种情况不成立； ②当－错误!≤a＜1时，将x1＝－2，x2＝a代入函数解析式得, y1＝4＋7a,y2＝3a－a2， ∵|y1－y2|＝错误!， 10 学必求其心得，业必贵于专精 9 ∴a＋4a－＝0， 4 2 解得a1＝错误!，a2＝－错误!（舍去）， ∴a＝错误!； 1 ③当－2≤a＜－时，同理有x1＝1时y值最大，x2＝a时y值最小， 2将x1＝1,x2＝a代入函数解析式得， y1＝1＋a，y2＝3a－a2， ∵|y1－y2|＝错误!， ∴a2－2a－错误!＝0, 解得a1＝－错误!，a2＝错误!（舍去), ∴a＝－错误!; ④当a＜－2时， 将x1＝－2，x2＝1代入函数解析式得， y1＝4＋7a，y2＝1＋a， ∵｜y1－y2｜＝错误!,在对称轴右侧，y随x的增大而增大, ∴－（3＋6a)＝错误!, 解得a＝－错误!， 又∵a≤－2，故此种情况不成立， 综上所述，a＝错误!或a＝－错误!. 11 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容