高中物理中的极值专题

1．物理中的极值问题：

物理试题常出现如：至少、最大、最短、最长等物理量的计算，这类问题就属于极值问题。其处理是高考试题中是常见的，本专题以此作为重点，试图找出处理该问题的一般方法。 2．物理中极值的数学工具：

4acb2（1）y=ax+bx+c 当a＞0时，函数有极小值 ymin=

4a24acb2 当a＜0时，函数有极大值 ymax=

4a（2）y=

ax2+ 当ab=x时，有最小值 ymin=2ab xb（3）y=asin+bcos=a2b2 sin（) 当=90°时，函数有最大值。 ymax=a2b2 此时，=90°-arctan（4）y=a sincon=

b a11asin2 当=45°时，有最大值：ymax=a 223．处理方法：

（1）物理型方法：

就是根据对物理现象的分析与判断，找出物理过程中出现极值的条件，这个分析过程，既可以用物理规律的动态分析方法，也何以用物理图像发热方法（s-t图或v-t图）进而求出极值的大小。该方法过程简单，思路清晰，分析物理过程是处理问题的关键。 （2）数学型方法：

就是根据物理现象，建立物理模型，利用物理公式，写出需求量与自变量间的数学函数关系，再利用函数式讨论出现极值的条件和极值的大小。 4．自主练习

1．如图所示，在倾角为300的足够长的斜面上有一质量为m的物体，它受到沿斜面方向的力F的作用。力F可按图（a）、（b）（c）、（d）所示的四种方式随时间变化（图中纵坐标是F与mg的比值，力沿斜面向上为正）。已知此物体在t=0时速度为零，若用v1、v2 、v3 、v4分别表示上述四种受力情况下物体在3秒末的速率，则这四个速率中最大的是（ ）

A、v1 B、v2 C、v3 D、v4

v

v

2．一枚火箭由地面竖直向上发射，其v~t图像如图所示，则 A．火箭在t2—t3时间内向下运动 vB．火箭能上升的最大高度为4v1t1

0 t1 t2 tt 1

1v2 2vD．火箭运动过程中的最大加速度大小为2

t3C．火箭上升阶段的平均速度大小为

3．如图所示，一质量为M，倾角为θ的斜面体放在水平面上，质量为m的小木块（可视为质点）放在斜面上，现用一平行于斜面的、大小恒定为F的拉力作用于小木块，拉力在斜面所在平面内绕小木块旋转一周的过程中，斜面体和小木块始终保持静止状态，则下列说法正确的是 （ ）

（A）小木块受到斜面静摩擦力的最大值为F2(mgsin)2 M F （B）小木块受到斜面静摩擦力的最大值为F－mgsinθ （C）斜面体受到地面静摩擦力的最大值为F θ （D）斜面体受到地面静摩擦力的最大值为Fcosθ

4．如图7（a）所示，用一水平外力F拉着一个静止在倾角为θ的光滑斜面上的物体，逐渐增大F，物体做变加速运动，其加速度a随外力F变化的图像

－2如图7（b）所示，若重力加速度g取10m/s2。根据a/m•s 图（b）中所提供的信息可以计算出（ ） 6 A．物体的质量 2 F O B．斜面的倾角 20 30 F/N θ C．物体能静止在斜面上所施加的最小外力 －6 2（a） （b） D．加速度为6m/s时物体的速度

图7 5．重物 M,长杆的一端放在地上通过铰链连接形成转轴,其端点恰好处于左侧滑轮正下方O点处,在杆的中点C处拴一细绳,通过两个滑轮后挂上重物M。C点与O点距离为L,现在杆的另一端用力使其逆时针匀速转动,由竖直位置以角速度ω缓慢转至水平(转过了90°角),此过程中下述说法正确的是（ ） A.重物M做匀速直线运动 B.重物M做匀变速直线运动 C.重物M的最大速度是ωL D.重物M的速度先减小后增大

6．一物体静止在光滑水平面上，同时受到两个方向相反的水平拉力F1、F2的作用，Fl、F2随位移变化，如图所示．则物体的动能将［ ］ F（N） A．一直变大，至20m时达最大 12 B．一直变小，至20m时达最小

s（m）

C．先变大至10m时最大，再变小 O 5 10 15 20 D．先变小至10m时最小，再变大

-12

7．一个矩形金属框MNPQ置于xOy平面内，平行于x轴的边NP的长为d，如图（a）所示。空间存在磁场，该磁场的方向垂直于金属框平面，磁感应强度B沿x轴方向按图（b）所示规律分布，

y 0 N d 图（a） z M P Q x B0 0 -B0 图（b）

2

l 2l x B

x坐标相同各点的磁感应强度相同。当金属框以大小为v的速度沿x轴正方向匀速运动时，下列判断正确的是( )。

（A）若d =l，则线框中始终没有感应电流

1

（B）若d = l，则当线框的MN边位于x = l处时，线框中的感应电流最大

211

（C）若d = l，则当线框的MN边位于x = l处时，线框受到的安培力的合力最大

243l

（D）若d = l，则线框中感应电流周期性变化的周期为

2v

8．如图8所示，R1为定值电阻，R2为最大阻值为2R1的可变电阻。E为电源电动势，r为电源内阻，大

小为r＝R1。当R2的滑动臂P从a滑向b的过程中，下列说法正确的是

V （ ） p a b R1 A．当R2时，R2上获得最大功率 R2 2A

B．当R2R1时，R2上获得最大功率 C．电压表示数和电流表示数之比逐渐增大 D．电压表示数和电流表示数之比保持不变

E，r R1 k 图8

9．如图所示，四根相同粗细的均匀玻璃管内有水银柱封住一部分空气，水银柱长度h1＝h3＞h2＝h4，气柱长度L3＝L4＞L1＝L2，管内气体温度t1＝t3＝20C、t2h1 ＝t4＝30C。当管内气体温度都下降10C时，管内水银柱下降最多的是 （ ） （A）a管 （B）b管 （C）c管 （D）d管

直杆，光滑套管D被固定在竖直方向，使A可以自由上下运动，物块C的质量为m，紧靠半球形碗放置。初始时，A杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触。然后从静止开始释放A，A、B、C便开始运动，则长直杆的下端第一次运动到碗内的最低点时，B、C水平方向的速度为 ，在运动的过程中，长直杆的下端能上升到的最高点距离半球形碗内底部的高度是 。

B L1 h2 L2 h3 L3 h4 L4 a b c d

10．如图所示，B是质量为2m、半径为R的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上。A是质量为m的细长

A D C 11．如图所示，一根长L=52cm的均匀细杆OB，可以绕通过其一端的水平轴O在竖直平面内转动，杆最初处于水平位置，杆上离O轴a=5cm处放有一小物体（视为质点），

O 杆与其上的小物体均处于静止状态。若此杆突然以角速度ω匀速绕O轴顺时针转动．则为使小物体与杆不相碰，角速度ω不能小于临界值________rad/s，若杆以这个临界角速度ω0转动，设经过时间t，小物体在竖直方向上与杆上某点的距离最大（设杆的转动角度不超过90°），试写出求解这个t的方程:_______________________（用a、g、t和ω0来表示）．

a B

3

12．如图所示，粗糙程度均匀的绝缘斜面下方O点处固定一正点电荷，带负电的小物体以大小为V1的初速度从M点沿斜面上滑，到达N点时速度为零，然后下滑回到M点，此时速度大小为V2。若小物体电荷量保持不变，OM＝ON，重力加速度为g，则小物体上升过程中，受到的摩擦力大小变化情况是 ，小物体上升的最大高度为 。

13．一物体从某一行星（行星表面不存在空气）表面竖直向上抛出。从抛出时开始计时，得到如图所示的s-t图像，则该行星表面的重力加速度大小为_____m/s2；当t＝t0时，再以初速度10m/s抛出另一物体，经△t时间两物体在空中相遇，为使△t最大，则t0＝______s

s/m 20 16 12 8 4 0 2 4 6 8 t/s

14．熊蜂能够以最大速度v1竖直向上飞，以最大速度v2竖直向下飞。熊蜂“牵引力”与飞行方向无关，空气阻力与熊蜂速度成正比，比例系数为k。则熊蜂“牵引力”的大小是 ，熊蜂沿水平方向飞行的最大速度是 。

15．在匀强电场中，有一固定的O点，连有长度都为L的绝缘细线，细线的另一端分别系住一个带电小球A、B、C（不计重力，带电小球之间的作用力不能忽略），其中QA 带负电、电量为Q，三个小球目前都处于如图所示的平衡状态，静电力恒量为k，则匀强电场的大小为E＝___________；若已知QA与QB的电量大小之比为1︰2，则为维持三个小球平衡，细绳需承受的可能的最大拉力为___________。

QB QA O E QC 16．如图所示电路中，定值电阻R0的阻值为2Ω，安培表和伏特表均为理想电表。闭合开关K，当滑动变阻器Rx的滑片P从一端移到另一端时，发现电压表的电压变化范围为0V到3V，安培表的变化范围为0.75A到1.0A。则电源内电阻为________Ω，移动变阻器滑片时，能得到的电源的最大输出功率为________W。

17．如图所示，粗细均匀、底端封闭的三通玻璃管中用水银与活塞封闭了两段温度相同，长度均为30cm的空气柱A、B，大气压强P0＝75cmHg，各段水银长均为15cm。现缓慢抽动玻璃管上端的活塞，使A、B两部分气体体积之比达到最大值，则此最大值为 ，活塞至少上移的距离为 cm。

18．质量为2kg的物体放在水平面上，物体离墙20m，现在用30N的水平力作用于此物体，经2s可到

4

达墙边。

（1）若仍用30N的水平力推此物体，使此物体沿水平面到达墙边，推力作用的最短时间为多少？

（2）若用大小为30N的力一直作用在物体上，使物体从原地最短时间到达墙边，则作用的最短时间为多少？

19．如图所示，一小环A套在一均匀圆木棒B上，A和B的质量都等于m，A和B之间滑动摩擦力为f（f＜mg）。开始时B竖直放置，下端离地面的高度为h，A在B的顶端，让他们由静止开始自由下落。当木棒与地面相碰后，以大小不变的速率反弹。不考虑棒与地面的作用时间及空气阻力，问：在B再次着地前，要使A不脱离B，B至少应该多长？

20．如图所示，OAB为轻质直角三角形框架，OA=50cm，OA︰OB︰AB=3︰4︰5，框架可以绕固定轴O在竖直平面内转动。框架A处悬挂质量为M=0.4kg的物体。一个质量为m=0.5kg的物块在沿框架AB边的恒力F作用下,从静止开始由A点出发沿框架AB边向上运动。已知F=5.6N，物块与AB边的动摩擦因数=0.25，求框架能维持稳定的最长时间。

21．当汽车B在汽车A前方7m时，A正以vA =4m/s的速度向右做匀速直线运动，而汽车B此时速度vB =10m/s，向右做匀减速直线运动，加速度大小为a=2m/s2.此时开始计时，则（1）经过多少时间，A和B相距最远，A、B相距最远的距离为多大。 （2）再经过多少A恰好追上B？

22．航模兴趣小组设计出一架遥控飞行器，其质量为2kg，动力系统提供的恒定升力为28 N。试飞时，飞行器从地面由静止开始竖直上升。设飞行器飞行时所受的阻力大小不变。 （1）第一次试飞，飞行器飞行8 s 时到达高度64 m。求飞行器所阻力的大小；

（2）第二次试飞，飞行器飞行 6 s 时遥控器出现故障，飞行器立即失去升力。求飞行器能达到的最大高度；

（3）为了使飞行器不致坠落到地面，求飞行器从开始下落到恢复升力的最长时间。

23．滑板运动是一种非常剌激的水上运动。研究表明，在进行滑板运动时，水对滑板的作用力FN垂直

5

于板面，大小为KV2，其中V为滑板的速率（水可视为静止），K为常数K＝54kg/m。某次运动中，人和滑板的总质量为108kg，在水平恒定牵引力作用下，当水平牵引力F1=810N时（如图），滑板做匀速直线运动，试求：

（1）滑板匀速直线运动的速度V1；滑板与水面的夹角为1的大小。

（2）在运动过程中运动员可以通过调节滑板与水面的夹角来改变速度，当牵引力F 滑板与水面的夹角为2＝30时，水平牵引力F2=810N，运动员在竖直方向仍处平衡，滑板此时的速率V2为多少？此时滑板的加速度a为多少？

 （3）若运动员要做离开水面的空中特技动作，运动员可以先下蹬，使重心

下降，使牵引力与水面的夹角=15斜向上。滑板与水面的夹角为3＝53。

速度为V3=5m/s, 则在离水面前（水对滑板的作用力FN还存在）牵引力F3大小至少为多少？(sin15=0.26)

24．如图所示，质量为m可看作质点的小球从静止开始沿斜面由点A滑到点B后，进人与斜面圆滑连接的1/4竖直圆弧管道BC，管道出口为C，圆弧半径R=15 cm，AB的竖直高度差h=35 cm．在紧靠出口 C处，有一水平放置且绕其水平轴线匀速旋转的圆筒（不计筒皮厚度），筒上开有小孔D，筒旋转时，小孔D恰好能经过出口C处．若小球射出C口时，恰好能接着穿过D孔，并且还能再从D孔向上穿出圆筒，小球返回后又先后两次向下穿过D孔而未发生碰撞．不计摩擦和空气阻力，问：

（1）小球到达点C的速度υc为多少？ （2）圆筒转动的最大周期T为多少？

（3）在圆筒以最大周期T转动的情况下，要完成上述运动圆筒的半径R′必须为多少？

25．为了使航天员能适应在失重环境下是的工作和生活，国家航天局组织对航天员进行失重训练。故需要创造一种失重环境；航天员乘坐到民航客机上后，训练客机总重5×104kg，以200m/s速度沿300倾角爬升到7000米高空后飞机向上拉起，沿竖直方向以200m/s 的初速度向上作匀减速直线运动，匀减速的加速度为g，当飞机到最高点后立即掉头向下，仍沿竖直方向以加速度为g加速运动，在前段时间内创造出完全失重，当飞机离地2000米高时为了安全必须拉起，后又可一次次重复为航天员失重训练。若飞机飞行时所受的空气阻力f=Kv（k=900N·s/m），每次飞机B 速度达到350m/s 后必须终止失重训练（否则飞机可能失速）。 7000A 求：（1）飞机一次上下运动为航天员创造的完全失重的时间。 30 （2）飞机下降离地4500米时飞机发动机的推力（整个运动空间重力加速度不变）。

（3）经过几次飞行后，驾驶员想在保持其它不变，在失地重训练时间不变的情况下，降低飞机拉起的高度（在B点前

把飞机拉起）以节约燃油，若不考虑飞机的长度，计算出一次最多能节约的能量。

6

26．如图所示，一根全长为L=125cm的均匀玻璃管竖直放置，下端封闭，管内有h=25cm的汞柱封闭了长度为l=64cm的空气柱，初始温度27℃，大气压强p0=75cmHg。

(1)若从管口缓缓注入水银，最多可注入的水银柱的长度是多少?

(2)若逐渐升高气体温度，气体受热膨胀会将水银柱推至管顶并排出，问温度至少升高到多少度才能将水银柱全部推出玻璃管?

27．光滑绝缘水平面AB上有C、D、E三点．CD长L1＝10cm，DE长L2＝2cm，EB长L3＝9cm。另有一半径R＝0.1m的光滑半圆形金属导轨PM与水平面相连，P点接地，不计BP连接处能量损失。现将两个带电量为－4Q和Q的物体（可视作点电荷）固定在C、D两点，如图所示。将另一带电量为＋q，质量m＝1104kg的金属小球（也可视作点电荷）从E点静止释放，则（感应电荷的影响忽略不计）

（1）小球在水平面AB运动过程中最大加速度和最大速度对应的位置

（2）若小球过圆弧的最高点后恰能击中放在C处的物体，则小球

在最高点时的速度为多少?对轨道的压力为多大？

（3）若不改变小球的质量而改变小球的电量q，发现小球落地点到B

点的水平距离s与小球的电量q，符合下图的关系，则图中与竖直轴的相交的纵截距应为多大?

（4）你还能通过图像求出什么物理量，其大小为多少？

28．如图所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距lm，导轨平面与水平面成θ=37°角，上端连接阻值为R＝2Ω的电阻。匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁感应强度Ｂ＝0.4Ｔ。质量为0.2kg、电阻为1Ω的金属棒ab，以初速度v0从导轨底端向上滑行，金属棒ab在安培力和一平行与导轨平面的外力Ｆ的共同作用下做匀变速直线运动，加速度大小为ａ＝3m/s2、方向和初速度方向相反，在金属棒运动过程中，电阻R消耗的最大功率为1.28W。设金属棒与导轨垂直并保持良好接触，它们之间的动摩擦因数为0.25。(g=10 m/s2，sin37°＝0.6， cos37°＝0.8) 求：

R （1）金属棒产生的感应电动势的最大值 （2）金属棒初速度v0的大小 a （3）当金属棒速度的大小为初速度一半时施加在金属棒上外力Ｆv0 b 的大小和方向  （4）请画出金属棒在整个运动过程中外力Ｆ随时间t变化所对应的图线

7

29．如图甲所示，MN、PQ为水平放置的足够长的平行光滑导轨，导轨间距L为0.5m，导轨左端连接一个2Ω的电阻R，将一根质量m为0.4 kg的金属棒c d垂直地放置导轨上，且与导轨接触良好，金属棒的电阻r大小为0.5Ω，导轨的电阻不计，整个装置放在磁感强度B为1T的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下，现对金属棒施加一水平向右的拉力F，使棒从静止开始向右运动．当棒的速度达到1 m/s时，拉力的功率为0.4w，此刻t＝0开始计时并保持拉力的功率恒定，经一段时间金属棒达到稳定速度，在该段时间内电流通过电阻R做的功为1.2 J．试求： （1）金属棒的稳定速度；

（2）金属棒从开始计时直至达到稳定速度所需的时间；

（3）在乙图中画出金属棒所受拉力F随时间t变化的大致图象； （4）从开始计时直至达到稳定速度过程中，金属棒的最大加速度为多大？并证明流过金属棒的最大电量不会超过2.0C． 30．在光滑绝缘的水平面上，长为2L的绝缘轻质细杆的两端各连接一个质量均为m的带电小球A和B，A球的带电量为＋2q，B球的带电量为－3q（可视为质点，也不考虑两者间相互作用的库仑力）。现让A处于如图所示的有界匀强电场区域MPQN内，已知虚线MP位于细杆的中垂线，MP和NQ的距离为4L，匀强电场的场强大小为E，方向水平向右。释放带电系统，让A、B从静止开始运动（忽略小球运动中所产生的磁场造成的影响）。求：

（1）小球A、B运动过程中的最大速度；

（2）带电系统从开始运动到速度第一次为零所需的时间； （3）带电系统运动过程中，B球电势能增加的最大值。

B P A 4L N E Q

31．两个带电量均为+q小球，质量均为m，固定在轻质绝缘直角框架OAB（框架的直角边长均为L）的两个端点A、B上，另一端点用光滑铰链固定在O点，整个装置可以绕垂直于纸面的水平轴在竖直平面内自由转动。

（1）若施加竖直向上的匀强电场E1，使框架OA边水平、OB边竖直并保持静止状态，则电场强度E1多大？ A L O E

（2）若改变匀强电场的大小和方向（电场仍与框架面平行），为使框架的OA+q 边水平、OB边竖直（B在O的正下方），则所需施加的匀强电场的场强E2至L 少多大？方向如何？

B +q （3）若框架处在匀强电场E1中OA边水平、OB边竖直并保持静止状态时，对小球B施加一水平向右的恒力F，则小球B在何处时速度最大？最大值是多

8

参考答案

1．C 2．B 3．C 4．ABC 5．C 6．C 7．ACD 8．AC 9．C

0a2R52gRV12V2210． 11．（7.9）；gt 12．先增大后减小， 23234gcos0t13．2 2 14．

k2kQ（2＋4）kQ

16．10 3.375 v2v1，v1v2 15．4L2 ，4L228m2g2h17．4/3 25 18．（1）1.15s （2）1.84s 19．1.01s 20． 21．（1）t=3s s=16m 2(mgf)32

（2） 5s 22．（1）f=4N （2）42m （3）t3= s(或2.1s)

2

23．（1）FN cos1＝mg，FN sin1＝F1，可解得1＝37

FN＝mg/cos1，FN＝KV12，V1＝mg/kcos ＝5 m/s （2）KV12cos1=mg

KV22cos2=mg

V2=V1

cos1=4.8m/s

cos2F2-KV22sin2=ma

a=1.74m/s2

（3）F3sin+KV32 cos3  mg

F3  (mg -KV32 cos3) /sin=1038N

24．（1）对小球从A→C由机械能守恒定律有：mgh=mgR+

代入数值解出 02m/s （2）小球向上穿出圆筒所用时间为t

1m02 2t12k1T （k=1，2，3……） 2小球从离开圆筒到第二次进入圆筒所用时间为2t2.。2t2=nT (n=1，2，3……) 对小球由C竖直上抛的上升阶段，由速度公式得： 0=

0g(t1t2) 联立解得 T=

0.4s 当n=k=1时， Tmax=0.2s

2kn1（3）对小球在圆筒内上升的阶段，由位移公式得：

2R0t112gt1 代入数值解得 R=0.075m 2

用毅力战胜困难 - 9 -

25．（1）55s （2）Ffkv29003002.7105N- （3）WFmghkv0h/sin3007.525108N 26．（1）60 （2）468.75K

27．（1）带电小球最大加速度应在场强最大处即E点处，带电小球最大速度就是场强为零点即距E点8cm处。（2）N＝1.025104N （3）（0，-0．16m²）（4）通过图线的斜率可求

－

出 UEB＝450V 28．（1） （2）v0max0.8(21)V2.4V

Bl v06m/s

1.32 1 F/N （3）当v3m/s时，F安分两种情况

ⅰ）在上升过程中

Blv0.16N Rr220.2 O GxfF安F外ma F外1.16N 0.12 方向沿导轨平面向上 ⅱ）在下降过程中

2 3.25 4 t/s

GxfF安F外ma F外0.04N 方向沿导轨平面向上

（4）如图所示

BLvBLv

29．（1）ε＝BLv， I＝ ，F安＝BIL＝

R＋rRr22P当金属棒达到稳定速度时，F安＝F拉＝ vP(Rr)所以v2＝，代入数据得v＝2m/s

B2L2

（2）WR＝1.2J，所以Wr＝0.3J，W电＝1.5J

11

Pt－W电＝mv2－mv02

22

代入数据得 t＝5.25s

（3） F的变化范围0.4N～0.2N

图线起点与终点对应的纵坐标必须正确

（4） 作出速度图象如图所示

F(N)

0.4

0.2 0 1

2 3 4 5 6 t(s)

B2l2v00.3N t＝0时合外力为ΣF=0.4 -

Rr用毅力战胜困难 - 10 -

这时加速度最大 amF0.75m/s2 m 证明：tv4s am3(5.255.251.33)19.8m

2 金属棒的最大位移 Sm＜5.25×1+

流过金属棒的电量

Q＜

30．（1）vm＝

BS19.80.5C =1.97C＜2.0C 证毕 Rr20.52qEL （2）tt1t232mL （3）W1＝3Eq2L＝6EqL mEq31．（1）

E1mgq



（2） 当

2mgE2min2q 4时，

（3）框架力矩为零的时候小球B的速度最大，即当OB边右侧水平时B速度最大

由动能定理可知FL12mv2 2B球的最大速度为v

FL m用毅力战胜困难 - 11 -