预应力锚索框架内力计算的有限差分法

维普资讯 http://www.cqvip.com 第３１卷第４期　２００７年８月　北京交通大学学报　Ｖｌ０１．３１　Ｎｏ．４　Ａｕｇ．２００７　０Ｉ　ＮＡ　０Ｆ　ＢＥＵＩＮＧ　ＪＩ　Ａ０Ｔ０ＮＧ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　文章编号：１６７３—０２９１（２００７）０４—００２２—０４　预应力锚索框架内力计算的有限差分法　田亚护　，刘建坤　，张玉芳２　（１．北京交通大学土木建筑工程学院，北京１０００４４；２．铁道科学研究院深圳分院，广东５１８０３４）　摘要：根据Ｗｉｎｋｌｅｒ弹性地基模型，考虑在不同的锚固力、地基系数、抗弯刚度条件下，利用差分　法对锚索框架的内力计算公式进行了推导，并根据静力平衡和横梁与竖肋的变形协调进行锚索力　的分配，使计算结果更接近于实际情况．应用此方法对某工程实例进行计算，并把计算结果与现场　实测结果进行比较。证明此方法可行性和适用性．　关键词：Ｗｉｎｋｌｅｒ假定；锚索框架；有限差分法；边坡　中图分类号：ＴＵ３２３．５　文献标志码：Ａ　Ｉｎｔｅｒｎａｌ　Ｆｏｒｃｅ　Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｐｒｅｓｔｒｅｓｓｅｄ　Ａｎｃｈｏｒ　Ｃａｂｌｅ　Ｆｒａｍｅ　ｂｙ　Ｆｉｎｉｔｅ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　Ｍｅｔｈｏｄ　ＴＩＡＮ　Ｙａ—ｈｕ　，ＬＩＵＪｉａｎ—ｋｕｎ　，ＺＨＡＮＧ　Ｙｕ－ｆａｎｇ２　（１．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｃｉ、，ｉｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ａｎｄ　Ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅ，Ｂｅｉｊｉｎｇ　Ｊｉａｏｔｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｄｊｉｎｇ　１０００４４，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｓｈｅｎｚｈｅｎ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　Ｄｅｓｉｇｎ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｃｈｉｎａ　Ａｃａｄｅｍｙ　ｏｆ　Ｒａｉｌｗａｙ　ｃｉＳｅｎｃｅｓ，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ　５１８０３４，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ　ｔｏ　Ｗｉｎｋｌｅｒ　ｍｏｄｅｌ，ｔｈｅ　ｆｏｒｍｕｌａ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｉｎｔｅｍａｌ　ｆｏｒｃｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｐｒｅｓｔｒｅｓｓｅｄ　ａｎ—　ｃｈｏｒ　ｃａｂｌｅ　ｆｒａｍｅ　ｗｉｔｈ　ｖａｒｉｅｄ　ｐｒｅｓｔｒｅｓｓｉｎｇ　ｆｏｒｃｅｓ　ａｎｄ　ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ　ｅｌａｓｔｉｃ　ｍｏｄｕｌｕｓ　ａｎｄ　ｌｆｅｘｕｒａｌ　ｒｉｇｉｄｉｔｉｓ　ｉｅｓ　ｇｉｖｅｎ　ｂｙ　ｆｉｎｉｔｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｍｅｔｈｏｄ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｐｒｅｓｔｒｅｓｓｉｎｇ　ｆｏｒｃｅ　ａｒｅ　ｄｅｃｏｍｐｏｓｅｄ　ａｌｏｎｇ　ｔｈｅ　ｄｉｒｅｃｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｌｏｎｇｉｔｕｄｉｎａｌ　Ｄ￣ＴＩＳ　ａｎｄ　ｔｒａｖｅｒｓｅ￣ｅ．ａｌＴＩＳ　ａｃｃｏｒｄｉｎｇ　ｔｏ　ｈａｒｍｏｎｉｏｕｓ　ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ　ｎｄ　ｓａｔａｔｉｃ　ｂａｌａｎｃｅ　ｃｏｎｄｉ—　ｔｉｏｎｓ　ｉｎ　ｏｒｄｅｒ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ａｒｅ　ｃｌｏｓｅｒ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｆａｃｔｓ．Ａｎ　ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ｃａｓｅ　ｉｓ　ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ　ｂｙ　ｔｈｉｓ　ｍｅｔｈｏｄ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｔｈｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｒｓｕｌｅｔｓ　ａｎｄ　ｄａｔａ　ｆｒｏｍ　ｆｉｅｌｄ　ｔｅｓｔｓ　ｓｈｏｗｓ　ｔｈａｔ　ｔｈｉｓ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉＳ　ｍｏｒｅ　ｆｅａｓｉｂｌｅ　ａｎｄ　ａｐｐｌｉｃａｂｌｅ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｗｉｎｋｌｅｒ　ｓｕｐｐｏｓｉｔｉｏｎ；ｐｒｅ—ｓｔｒｅｓｓｅｄ　ａｎｃｈｏｒ　ａｂｌｃｅ　ｆｒａｍｅ；ｆｉｎｉｔｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｍｅｔｈｏｄ；ｓｌｏｐｅ　在山区道路建设中，预应力锚索框架是加固开　挖后难以自稳的高陡边坡的一种有效结构，它因具　有工期短、机械化程度较高、施工条件好、效果显著、　外形美观等优点，近年来得到了广泛应用．预应力锚　索框架是一种轻型的支挡结构，采用高强低松弛钢　构时一般都采用经验类比法来估算框架梁内力或者　按一般建筑基础的方法来计算框架梁内力．近年来　一些研究者提出了适合于简单边界条件框架内力计　算的反梁法［１］或Ｗｉｎｋｌｅｒ弹性地基梁解析法Ｌ２－４Ｊ，对　于多根竖肋与横梁以及锚索力不相同的情况，则有　一绞线施加大吨位的锚索预应力辅以混凝土框架将预　应力传递分散至整个坡面，对坡体进行主动的加固，　改善了坡体岩土的应力状态，从而达到防治边坡病　害的作用．但是目前预应力锚索框架的内力计算还　没有公认的有效方法，许多设计部门在设计这种结　定的局限性；也有以竖肋与横梁间距作为差分网　格的差分法【５，但其精度不可能很高，５１若在竖肋与　横梁节点间细分网格，则需添加较多的虚节点，求解　较困难．本文作者根据Ｗｉｎｋｌｅｒ弹性地基假定，考虑　了多片框架梁及在不同的锚固力、地基系数、框架梁　收稿日期：２００５—１２—０６；修回日期：２００７—０３—３０　基金项目：云南省科技攻关资助项目（２００１ＧＧ２０）　作者简介：田亚护（１９７４一），男，陕西咸阳人，博士生．ｅｍａｉｈｔｙｈ９９０５＠ｓｏｈｕ．ＣＯＩｎ　刘建坤（１９６５一），男，山东临沂人，教授，博士，博士生导师．　维普资讯 http://www.cqvip.com 第４期　田亚护等：预应力锚索框架内力计算的有限差分法　研＋２　ｍ＋ｌ　，　２３　抗弯刚度的情况下，采用有限差分法对预应力锚索　框架梁内力进行计算的方法，并对计算结果与现场　实测结果进行了对比．　式中，Ｔｎ为梁的差分单　元节点编号；ｋ　为梁在　节点Ｔｎ点处的地基系　数，ｘ　为梁在Ｔｎ点处的　研．１　ｍ一２　１锚索框架梁的有限差分法　１．１基本假定　位移；ｈ为梁的单元长　度，ｍ．　…点　（１）采用Ｗｉｎｋｌｅｒ假设，即框架梁上某点所受的　地基反力，只与该点梁的挠度成正比，而与梁上其它　因梁的始端（图１中　的。点）边界条件为自　各点的挠度无关．　（２）锚索框架节点上的锚索力由竖肋与横梁共　同承受，其分配比例由竖肋与横梁在节点处的挠度　应相等这一条件来决定．　（３）按假定（２）计算时，锚索框架节点处的地基　反力被重复考虑，为做到真正的力学平衡，计算中将　此块地基反力作为附加锚索力再参加分配．　（４）不考虑框架本身的重量、顶梁、边坡对框架　顺坡面的摩擦力、锚索沿坡面方向的分力对框架梁　弯矩的影响．　１．２有限差分公式　预应力锚索框架如图１所示．　顶梁　（ａ）垂直坡面法向视图　（ｂ）平行坡面侧向试图　图１预应力锚索框架　Ｆｉｇ．１　Ｐｒｅｓｔｒｅｓｓｅｄ　ａｎｃｈｏｒ　ｃａｂｌｅｆｒａｍｅ　将框架拆分成单根弹性地基上的梁，根据假设，　ｗｉｎｋｌｅｒ弹性地基梁上的挠曲微分方程为　１ｄ　ＥＪ　＋Ｂｋｘ＝ｑ（ｙ）　（１）　ａｙ　式中，Ｅ为梁的弹性模量，ｋＮ／ｍ２；Ｊ为梁的截面惯　性矩，ｍ４；Ｂ为梁的宽度，ｍ；ｑ（ｙ）为梁上的分布荷　载，ｋＮ／ｍ；Ｘ为梁的位移，ｍ；ｋ为梁下的地基系数，　ｋＰａ／ｍ．　在预应力锚索框架上，外荷载ｑ（Ｙ）＝０，因此通　过有限差分法，以等分段将梁离散化，如图２所示．　由式（１）得Ｔｎ处的控制差分方程为　Ｆｒ　｝（ｘｍ一２—４ｘｍ一１＋６ｘｍ一４ｘｍ＋１＋　，￡　Ｘ　＋２）＋Ｂｋｍｘ　＝０　（２）　图２梁离散化示意图　由端，假设附加虚节点，　Ｆｉｇ．２　Ｄｉｓｃｒｅｔｅｎｏｄｅｏｆｂｅａｍ　由梁的弯矩Ｍ在节点Ｔｎ　＝０处为０可得　（　一２ｚ　＋　。＿０，　即ｘ一１＝２ｘ０一Ｘ１　（３）　由梁自由端的剪力Ｑ为０得　（一　ｚ＋２Ｘｍ－１－－２　＋　ｚ　。＿０，　即ｘ一２＝２ｘ一１—２ｚ１＋ｘ２　（４）　在式（２）中，令Ｔｎ＝０，得　Ｘ一２—４ｘ一１＋（６＋Ｋ０Ｂｈ　／（丘　））ｚ０—４ｚ１＋ｘ２＝０　（５）　将式（３）、式（４）代人式（５），得　（２＋志０Ｂｈ　／（ＥＩ））Ｘ０—４ｘ１＋２ｘ２＝０．　令　Ｃ０＝２＋ｋｏＢｈ　／（ＥＩ），口０＝４／ｃ０，　ｂｏ＝２／ｃｏ，ｄｏ＝０．　贝０有Ｘ０＝ａｏｘ１一ｂｏｘ２＋ｄ０　（６）　因此，对梁的任何节点Ｔｎ处，假定递推公式　ｆｘｍ＝口，　ｍ＋１一　：ｍ＋２＋ｄｍ　Ｘ　一１＝口　一１ｘ　一ｂｍ－１ｘ　＋１＋ｄ　一１　（７）　ｌＸｍ一２＝口ｍ一２ｘｍ一１一ｂｍ－２ｘｍ＋ｄｍ一２　由式（３）得出　口一１＝２，ｂ－１＝１，ｄ一１＝０．　把式（７）代人式（１）整理得　Ｘ　＝口，　＋１一　＋２＋ｄ　（８）　式中，　ｆＣｍ＝口ｍ一２ａｍ一１一ｂｍ－２一　　ｌ　Ｉ４口　一１＋ｋｍＢｈ　／（ＥＪ）＋６　口　＝（ａｍ－２ｂ　一１—４ｂ　一１＋４）／ｃ　（９）　　ｌｂ　＝１／ｃ　【ｄ　＝一［（口　一２—４）ｄｍ一１＋ｄｍ－２／ｃ　对于预应力锚索框架中的某一根竖肋或横梁，　由于梁下的地基系数可能不同，梁在框架节点处的　抗弯刚度与梁的其它各处可能不同，以及框架节点　处作用着锚索力，原有的递推公式中关于口　、ｂ　、　维普资讯 http://www.cqvip.com ２４　北京交通大学学报　第３１卷　及ｄ　的计算公式　ｎ＋２　＋７不再有效．为仍能用追　ｎ＋１　赶法求解，将框架梁身　ｔｌ　ｎ十）　１　＋４与节点分界处、节点中　ｎ－２　ｎ＋３心处及地基分界面作　为分界面，在分界两侧　图３附加节点示意图　假设附加节点，如图３　Ｆｉｇ．３　Ａｄｄｉｔｉｏｎａｌ　ｎｏｄｅｏｆ　ｂｅａｍ　所示．其中，／＇／、／＇／＋５节　点处为分界面，／＇／＋１～／＇／＋４为附加节点，／＇／一１、／＇／　一２为已知节点．　采用式（７）的递推形式，由分界点位移和转角连　续条件，可得到节点／＇／＋１和／＇／＋２的位移表达式　＋１＝（ａ　—ｌ一２）　＋５／ｂ　一１＋　＋６／ｂ　一１＋ｄ　一１／６　一１　（１０）　＋２＝［ａｎ（口　一１—２）一ｂ　一１］　＋５／（ｂＪ，　～１）＋　口　＋６／（ｂ．ｂ　一１）＋ａｒｆｌ　一１／（　～１）＋ｄ　／ｂ　（１１）　由分界点弯矩连续条件，得　（Ｅ，１／ｈ　）（．７Ｃ　一１～２　＋　＋１）＝　（Ｅ，２／ｈ　）（　＋４～２ｘ　＋５＋　十６）（１２）　令ＥＩ２／（ＥＩ１）＝ａ，则　＋４　ａｎ＋４ｘ　＋５一ｂｎ＋４Ｘ　＋６＋ｄ　＋４　（１３）　其中，　ｆａ　＋４＝２＋（ａｎ－１—２）／（ｂｎ－１ａ）　ｂ　＋４＝（１—１／ｂ　～１）／ａ＋１　（１４）　【ｄ　＋４＝ｄ　ｌ／（ｂ．－１ａ）　由分界点剪力突变条件，得　（－－Ｘｎ＿２＋２　一２　＋２）＝　（　＋３＋２　＋７）＋　）　式中，Ｐ　为锚索在此节点分配到横梁或竖肋上的锚　固力．则得出　＋３一　＋７＝Ｒｌｘ　＋５一Ｒｚｘ　＋６＋Ｒ３（１６）　其中，　Ｒ　（２口　一２一ｂ．－２）／ａ＋（４ａ　一１—８）／（　～１ａ）～　［口　（口　一２—２）～ｂ　一１］／（６　一１ａ）一４／ａ＋４　ａｎ－２／ａ一４／（ｂ　～１ａ）＋ａｎ／（６　一１ａ）＋４　２／ａ＋４ｄ．一ｌ／（　一１ａ）一口　一１／（　一１　）一　ｄ　／（６　）＋２ｈ　／（ＥＩ２　）　（１７）　由式（１）得　（肼２／ｈ　）（　＋３—４ｘ　＋４＋６　＋５—４　＋６＋　＋７）＋惫　＋ｓＢｘ　＋５＝０　（１８）　则可由式（１８）、式（１６）和式（１３）联合得出　＋５＝ａｎ＋５ｘ　＋６—６　＋５ｘ　＋７＋ｄ　＋５　（１９）　其中，　ｆＣｎ＋５＝Ｒ１—４口　＋４＋６＋Ｋ　＋５Ｂｈ　／（Ｅｌｚ）　ａｎ＋５＝（Ｒ２—４ｂ　＋４＋４）／ｃ　＋５　（２０）　【６　＋５＝２／ｃ　＋５，ｄ　＋５＝（４ｄ　＋４一Ｒ３）／ｃ　＋５　由式（９）、式（１４）、式（１７）和式（２０），利用在分界面前　的递推公式系数ａ　一ｌ、ｂ　一ｌ、ｄ　一１及ａ　ｂ　ｄ　等即　可计算界面另一侧的递推公式系数ａ　＋４、ｂ　＋４、　ｄ　＋４及ａ　＋５、ｂ　＋５、ｄ　＋５等，从而使过界面以后的计　算得以继续进行，这样由梁的始端到末端利用追赶　法依次算出节点间递推系数和节点传递系数．　因锚索框架梁的终端边界条件亦为自由端，通　什２—————　过附加虚节点方法，根据　１———　前面所递推得到的节点　—＿＿＝丁—　界面系数，并由梁终端￡节点　ｔ－　１—．２１－　的弯矩和剪力为０的边界　的弯矩和剪力为　的边界　一　／　条件，可求解得到终端节　点的位移值　¨．、一　ｕ—Ｌ－　￡、～￡１、　＋】、＿Ｉ、　图４梁终端附加节点　＋２．然后自梁的末端到　Ｆｉｇ－４　Ａｄｄｉｔｉｏｎａｌ　ｎｏｄｅ　ａｔ始端反方向依次算出各点　ｈｅ　ｅｎｄ　ｏｆ　ｈｅ　ｂｅａｍ　的位移．节点编号ｔ＋１和　ｔ＋２为虚节点，如图４所示．　通过各单元上节点的位移，可以得到梁的任意　节点　处的土体对梁的反力ｑ　剪力Ｑ　与弯矩　．即　ｆ　＝口　ｎ＋１—６　ｎ＋２＋ｄｎ，ｑ　＝一是　｛Ｉ　Ｆｒ　（一　２＋２　１—２ｘ　＋Ｘｎ＋２）（２１）　１ｌ　Ｍ　＝　Ｆｒ　（　＋１＋　一１一　）　根据式（９）、式（１４）、式（１７）、式（２０）和式（２１），编制　了Ｖｉｓｕａｌ　Ｂａｓｉｃ程序，计算流程如下：①输入计算参　数并划分单元；②把框架的锚索锚固力按一定比例　分配给通过该节点的竖肋与横梁上；③由梁的始端　到末端利用追赶法依次算出节点间递推系数和节点　传递系数，即横梁、竖肋上每个节点的系数口　ｂ　Ｃ　和ｄ　；④自梁的末端到始端反方向依次算出各点　的位移；⑤比较横梁和竖肋相交处的节点位移，如不　相等则重新确定竖肋与横梁上锚固力分配比例，然　后回到第②步重新计算；如横梁和竖肋相交处的节　点位移相等则执行第⑥步；⑥计算横梁、竖肋上不同　节点处弯矩和剪力．　计算中横梁与竖肋相交处节点的地基反力被重　维普资讯 http://www.cqvip.com 第４期　田亚护等：预应力锚索框架内力计算的有限差分法　∞∞加０加∞∞鲫∞加∞　复考虑，为做到真正的力学平衡，将此块地基反力作　为附加锚索力再参加分配，直至横梁和竖肋在相交　节点处的挠度均相等．　２工程实例分析　云南元（江）磨（江）高等级公路位于滇西峡谷　区，全线高度３０　ｍ以上的边坡达１００多处，采用大　量的预应力锚索框架对其进行加固．现以其中某试　验工点预应力锚索框架加固高边坡为例，说明框架　的理论计算和测试的结果．　该工点地层主要由第四系残坡积层和砂质板岩　组成．残坡积层为棕红色碎石土，厚度１．０～４．０　ｍ；　砂质板岩呈弱风化状态，棕褐色；坡体内存在多组陡、　缓倾向路线的构造面，潜在沿构造面向临空面滑动的　变形体．对此，变形破坏采用预应力锚索框架加固．试　验框架长８．５　ｍ，高１６．７　ｍ，由３根竖肋和４根横梁　组成，框架梁截面为０．４　ｍＸ　０．５　ｍ，坡率１：０．３．锚索　长１８～２４　ｍ，水平间距２．８　ｍ，竖向间距４．４　ｍ，每束　锚索锚固力为３５０　ｋＮ．框架梁的弹性模量Ｅ取２　５５０　ＭＰａ，地基系数Ｋ取８０　ＭＰａ／ｍ．　采用编写程序计算框架横梁和竖肋理论弯矩，　与２００３年６月现场实测的结果进行比较，见图５．　冒　囊　静　（ａ）竖肋理论弯矩与实测弯矩的比较图　４０　２０　菖０　－２０　－４０　静一６０　—８０　一ｌ００　（ｂ）横梁理论弯矩与买测弯矩的比较图　图５计算结果与实测结果比较　Ｆｉｇ．５　Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ　ａｎｄ　ｔｅｓｔｅｄ　ｂｅｎｄｉｎｇ　ｍｏｍｅｎ￣　结果表明，横梁和竖肋实测的弯矩与理论计算　的弯矩除了在数值大小上有差异外，在发展趋势上　基本吻合，弯矩分布规律基本相同，实测弯矩的最大　值与计算值较接近．两者之间的差异与计算时地基　系数的选取有关系，实测值没有超过计算值的分布　范围，表明采用此差分法计算框架内力是可行的．　３结论及建议　（１）针对Ｗｉｎｋｌｅｒ弹性地基模型，采用有限差分　法，可以提高预应力锚索框架的计算精度，计算预应　力锚索框架的内力与现场实测结果吻合较好，可满　足工程要求．　（２）由于地基系数的准确选取直接影响计算精　度，因此在计算前应加强现场地质勘查工作．　参考文献：　［１］王全才，李传珠，赵肃菖，等．黄土滑坡锚固技术研究　［Ｊ］．铁道工程学报，１９９６，５０（２）：２０６—２１０．　Ｗａｎｇ　Ｑｕａｎ—ｃａｉ，Ｌｉ　Ｃｈｕａｎ－ｚｈｕ，Ｚｈａｏ　Ｓｕ－ｃｈａｎｇ，ｅｔ　ａ１．　Ｓｔｕｄｙ　ｏｎ　Ｒｅｉｎｆｏｒｃｅｄ　Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ　ｏｆ　Ｌｏｅｓｓｌａ　Ｓｌｏｐｅ［Ｊ］．Ｊｏｕｒ—　ｈａｌ　ｏｆ　Ｒａｉｌｗａｙ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｓｏｃｉｅｔｙ，１９９６，５０（２）：２０６—　２１０．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　［２］杨明，胡厚田，卢才金，等．路堑土质边坡加固中预应力　锚索框架的内力计算［Ｊ］．岩石力学与工程学报，２００２，　２１（９）：１３８３—１３８６．　ＹａｎｇＭｉｇｎ，ＦｌｕＨｏｕ－ｔｉｎａ，ＬｕＣ￣－ｊｉｎ，ｅｔａ１．Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｉｎｔｅｒｎａｌ　Ｆｏｒｃｅｓ　ｆｏｒ　Ｐｒｅｓｔｒｅｓｓｅｄ　Ａｎｃｈｏｒ　Ｃａｂｌｅ　Ｆｒａｍｅ　Ｕｓｅｄ　ｉｎ　Ｒｅｉｎｆｏｒｃｅｄ　Ｒｏａｄ　Ｃｕｔ　Ｓｏｉｌ　Ｓｌｏｐｅ［Ｊ］．Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｒｏｃｋ　Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ　ａｎｄ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｇｎ，２００２，２１（９）：１３８３—　１３８６．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　［３］肖世国，周德培．岩石高边坡一种预应力锚索框架型地梁　的内力计算［Ｊ］．岩土工程学报，２００２，２４（４）￣４７９—４８２．　Ｘｉａｏ　Ｓｈｉ－ｇｕｏ，Ｚｈｏｕ　Ｄｅ－ｒ￣．Ａ　Ｃａｋｎ￣ｌａｔｉｎｏ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　Ｉｎｔｅｒｎａｌ　Ｆｏｒｃｅ　ｏｆ　Ｐｒｅｓｔｒｅｓｓｅｄ　Ａｎｃｈｏｒ－Ｒｏｐｅ　ａｎｄ　Ｆｒａｍｅ　Ｂｅｓｍ－ｏｎ－Ｗｏｕｎ—　ｄａｔｉｎｏｏｎＨｉｇｈＲｏｃｋＳｌｏｐｅＥＪ］．Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｊ叫ｍａ】ｏｆ　Ｇｅｏｔｅｃｈｎｉｃａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２００２，２４（４）：４７９—４８２．（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ）　［４］许英姿，唐辉明．滑坡治理中预应力锚索格构梁受力分　析［Ｊ］．安全与环境工程，２００２，９（３）：２４—２６．　Ｘｕ　Ｙｉｎｇ—ｚｉ，Ｔａｎｇ　Ｈｕｉ—ｍｉｎｇ．Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｎ　Ｐｒｅｓｔｒｅｓｓｅｄ　Ｃａｂｌｅ　Ｌａｔｔｉｃｅ　Ｂｅａｍ　ｏｆ￣ｎｄｓｉｄｅ［Ｊ］．Ｓａｆｅｔｙ　ａｎｄ　Ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｇｎ，２００２，９（３）：２４—２６．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　［５］吴荣燕，吕小平．框架锚索中框架内力计算的差分法　［Ｊ］．四川建筑，２００３，２３（４）：５５—５６．　Ｗｕ　Ｒｏｎｇ—ｙａｎ，Ｌｕ　Ｘｉａｏ－ｐｉｎｇ．Ｉｎｔｅｒｂａｌ　Ｆｏｒｃｅ　Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｃａｂｌｅ　Ｆｒａｍｅ　Ｂｙ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　Ｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．Ｓｉｃｈｕａｎ　ｏＣｎｓｔｒｕｃ—　ｔｉｏｎ，２００３，２３（４）：５５—５６．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　［６］励国良．关于抗滑桩计算的一个建议［Ｃ］∥滑坡文集．北　京：中国铁道出版社，１９８８：３９—４７．　Ｌｉ　Ｏｕｏ－ｌｉａｎｇ．Ａ　Ｓｕｇｇｅｓｔｉｏｎ　ｏｎ　Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ａｎｔｉｓｌｉｄｉｎｇ　Ｐｉｌｅ［Ｃ］∥Ｐｒｏｃｅｅｄｉｇｎｓｏｆ　ａＬｎｄｓｌｉｄｅｓ．Ｂｅｉｊｉｇｎ：ＣｈｉｎａＲａｉｌｗａｙ　Ｐｒｅｓｓ，１９８８：３９—４７．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）