平行线的判定与性质（含解析）
一、单选题
1.如图， ，下列结论：
，其中正确的结论有（ ）
； ； ；
A.
2.如图，∠B=∠C，∠A=∠D，下列结论：①AB∥CD；②AE∥DF；③AE⊥BC；④∠AMC=∠BND，其中正确的结论有（ ）
B.
C.
D.
A. ①②④ B. ②③④ C. ③④ D. ①②③④
3.如图所示，下列推理及所注理由正确的是（ ）
A. 因为∠1=∠3，所以AB∥CD（两直线平行，内错角相等）
B. 因为AB∥CD，所以∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）
C. 因为AD∥BC，所以∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）
D. 因为∠2=∠4，所以AD∥BC（内错角相等，两直线平行）
4.下列条件中能得到平行线的是（ ）
①邻补角的角平分线；②平行线内错角的角平分线；③平行线同旁内角的角平分线．
A. ①② B. ②③ C. ②
D. ③
5.下列说法中正确的个数为（ ）
①不相交的两条直线叫做平行线；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④在同一平面内，两条直线不是平行就是相交。
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6.如图，∠1=∠2，则下列结论一定成立的是（ ）
A. ∠B=∠D B. ∠3=∠4 C. ∠D+∠BCD=180° D. ∠D+∠BAD=180°
7.如图，直线a、b、c、d，已知c⊥a，c⊥b，直线b、c、d交于一点，若∠1=500 ， 则∠2等于( )
A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°
8.如图，在△ABC中，D,E,F分别在AB'BC;AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需再有下列条件中的（ ）即可．
A. ∠1=∠2 B. ∠2=∠AFD C. D. ∠1=∠DFE
9.如图，已知∠1=∠2，∠3=30°，则∠B的度数是（A. 20° B. 30° C. D. 60°
10.下列说法错误的是（ ）
A. 内错角相等，两直线平行 B. C. 同角的补角相等 D. 二、填空题
∠1=∠AFD ）
40° 两直线平行，同旁内角互补
相等的角是对顶角
11.完成下面的推理过程： 已知如图：∠1=∠2，∠A=∠D．求证：∠B=∠C．（请把以下证明过程补充完整）
证明：∵∠1=∠2（已知）
又∵∠1=∠3（________）
∴∠2=∠________（等量代换）
∴AE∥FD（________）
∴∠A=∠________（________）
∵∠A=∠D（已知）
∴∠D=∠BFD（等量代换）
∴________∥CD（________）
∴∠B=∠C．（________）
12.阅读下面的解题过程，并在横线上补全推理过程或依据． 已知：如图，DE∥BC，DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC．
试说明∠FDE=∠DEB．
解：∵DE∥BC（已知）
∴∠ADE=________．（________）
∵DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC （已知）
∴∠ADF= ∠ADE
∠ABE= ∠ABC（角平分线定义）
∴∠ADF=∠ABE（________）
∴DF∥________．（________）
∴∠FDE=∠DEB．（________）
13.已知：如图，AB∥CD，EF分别交于AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF，FH平分∠EFD．求证：EG∥FH． 证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠AEF=∠EFD．________
∵EG平分∠AEF，FH平分∠EFD．________
∴∠________ = ∠AEF，
∠________ = ∠EFD，（角平分线定义）
∴∠________ =∠________，
∴EG∥FH．________．
14.如图，直线l∥m，将含有45°角的三角形板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1＝
，则∠2的度数为________.
15.如图，已知 1= 2， B=40 ,则 3=________
16.如图，∠1=80°，∠2=100°，∠3=76°．则∠4的度数是________．
17.完成下面推理过程：
如图，已知∠1=∠2，∠B=∠C，可推得AB//CD．理由如下：
∵∠1=∠2________，
且∠1=∠CGD________，
∴∠2=∠CG________，
∴CE//BF________，
∴∠________=∠C两直线平行，同位角相等；
又∵∠B=∠C（已知），
∴∠BFD=∠B，
∴AB//CD________．
18.如图，若∠1=∠D=39°，∠C和∠D互余，则∠B=________
三、解答题
19.如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于点E，BE的延长线交CD于点F，且
∠1+∠2=90°．猜想∠2与∠3的关系并证明．
20.如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°，求∠CGD的度数．
21.已知：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，AD是∠BAC的角平分线，试说明
∠E=∠3．
四、综合题
22.如图，已知直线l1∥l2 ， 直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在直线CD上有一点P．
（1）如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？
23.如图，已知∠A=180°﹣∠ABC，BD⊥CD于D，EF⊥CD于F．
（1）求证：AD∥BC；
（2）若∠1=42°，求∠2的度数．
答案解析部分
一、单选题
1.如图， ，下列结论：
，其中正确的结论有（ ）
； ； ；
A.
【答案】A
B.
C.
D.
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】因为∠B=∠C，所以AB∥CD，∠A=∠AEC，因为∠A=∠D，所以∠AEC=∠D，所以AE∥DF，∠AMC=∠FNC，因为∠BND=∠FNC，所以∠AMC=∠BND，无法得到AE⊥BC，所以正确的结论有①②④，故答案为：A.【分析】根据平行线的判定方法，由∠B=∠C，根据内错角相等，二直线平行得出AB∥CD；再根据二直线平行内错角相等得出∠A=∠AEC，又∠A=∠D，故∠AEC=∠D，再根据同位角相等，二直线平行得出
AE∥DF；根据二直线平行，内错角相等，再根据相等角的邻补角相等得出AMC=∠BND；题中没有任何地方给出或找出角的度数，故不能判定垂直。
2.如图，∠B=∠C，∠A=∠D，下列结论：①AB∥CD；②AE∥DF；③AE⊥BC；④∠AMC=∠BND，其中正确的结论有（ ）
A. ①②④ B. ②③④ C. . ①②③④
【答案】A
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠B=∠C，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠AEC，
又∵∠A=∠D，
∴∠AEC=∠D，
③④ D
∴AE∥DF，
∴∠AMC=∠FNM，
又∵∠BND=∠FNM，
∴∠AMC=∠BND，
故①②④正确，
由条件不能得出∠AMC=90°，故③不一定正确；
故选A．
【分析】由条件可先证明AB∥CD，再证明AE∥DF，结合平行线的性质及对顶角相等可得到∠AMC=∠BND，可得出答案．
3.如图所示，下列推理及所注理由正确的是（ ）
A. 因为∠1=∠3，所以AB∥CD（两直线平行，内错角相等）
B. 因为AB∥CD，所以∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）
C. 因为AD∥BC，所以∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）
D. 因为∠2=∠4，所以AD∥BC（内错角相等，两直线平行）
【答案】D
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵∠1=∠3，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故本选项错误；
B、∵AB∥CD，
∴∠1=∠3，但不能推出∠2=∠4，故本选项错误；
C、∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，但不能推出∠3=∠4，故本选项错误；
D、∵∠2=∠4，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故本选项正确；
故选D．
【分析】根据平行线的判定定理和性质定理逐个判断即可．
4.下列条件中能得到平行线的是（ ）
①邻补角的角平分线；②平行线内错角的角平分线；③平行线同旁内角的角平分线．
A. ①② B. ②③ C. ② D. ③
【答案】C
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：①邻补角的角平分线互相垂直，故本小题错误；
②因为平行线的内错角相等，故其角平分线平行，故本小题错误；
③平行线同旁内角的角平分线互相垂直，故本小题错误．
故答案为：C．
【分析】根据平行线同旁内角的角平分线互相垂直；邻补角的角平分线互相垂直；因为平行线的内错角相等，故其角平分线平行；判断即可.
5.下列说法中正确的个数为（ ）
①不相交的两条直线叫做平行线；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④在同一平面内，两条直线不是平行就是相交。
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】①不相交的两条直线叫做平行线必须是在同一个平面内才能成立，故错误．②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是正确的．③平行于同一条直线的两条直线互相平行，故正确．④在同一平面内，两条直线不是平行就是相交是正确的．故答案为C．
【分析】本题从平行线的定义及平行公理入手，对选项逐一分析即可．
6.如图，∠1=∠2，则下列结论一定成立的是（ ）
A. ∠B=∠D B. ∠3=∠4 C. ∠D+∠BCD=180° D. ∠D+∠BAD=180°
【答案】C
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2， ∴AD∥CD，
∴∠D+∠BCD=180°．
故选C．
【分析】先根据平行线的判定由∠1=∠2得到AD∥CD，然后根据平行线的性质对各选项进行判断．
7.如图，直线a、b、c、d，已知c⊥a，c⊥b，直线b、c、d交于一点，若∠1=500 ， 则∠2等于( )
A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°
【答案】B
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】先根据对顶角相等得出∠3，然后判断a∥b，再由平行线的性质，可得出∠2的度数．
【解答】
【解答】∵∠1和∠3是对顶角，
∴∠1=∠3=50°，
∵c⊥a，c⊥b，
∴a∥b，
∵∠2=∠3=50°．
∴∠2的余角等于40°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解答本题的关键是掌握两直线平行内错角相等，对顶角相等
8.如图，在△ABC中，D,E,F分别在AB'BC;AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需再有下列条件中的（ ）即可．
A. ∠1=∠2 B. ∠2=∠AFD C. ∠1=∠AFD D. ∠1=∠DFE
【答案】D
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】要使DF∥BC，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角，选项中∠1=∠DFE，根据已知条件可得∠1=∠2，所以∠DFE=∠2，满足关于DF，BC的内错角相等，则DF∥BC．
【解答】∵EF∥AB，
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等)．
∵∠1=∠DFE，
∴∠2=∠DFE（等量代换)，
∴DF∥BC（内错角相等，两直线平行)．
所以只需满足下列条件中的∠1=∠DFE．
故选D ．
9.如图，已知∠1=∠2，∠3=30°，则∠B的度数是（ ）A. 20° B. 30° C. 60°
【答案】B
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，∵∠1=∠2， ∴AB∥CE，
∴∠B=∠3．
又∵∠3=30°，
∴∠B=30°．
故选：B．
40° D.
【分析】由“内错角相等，两直线平行”推知AB∥CE，则根据“两直线平行，同位角相等”得到∠B=∠3=30°．
10.下列说法错误的是（ ）
A. 内错角相等，两直线平行 B. 两直线平行，同旁内角互补
C. 同角的补角相等 D. 相等的角是对顶角
【答案】D
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A、内错角相等，两直线平行，是平行线的判断方法之一，正确；
B、两直线平行，同旁内角互补，是平行线的判断方法之一，正确；
C、根据数量关系，同一个角的补角一定相等，正确；
D、对顶角既有大小关系，又有位置关系，相等的角是对顶角的说法错误．故选D．
【分析】由平行线的性质和判定可知A，B正确；根据补角的性质知C也正确，而D中，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，还要考虑到位置关系．
二、填空题
11.完成下面的推理过程： 已知如图：∠1=∠2，∠A=∠D．求证：∠B=∠C．（请把以下证明过程补充完整）
证明：∵∠1=∠2（已知）
又∵∠1=∠3（________）
∴∠2=∠________（等量代换）
∴AE∥FD（________）
∴∠A=∠________（________）
∵∠A=∠D（已知）
∴∠D=∠BFD（等量代换）
∴________∥CD（________）
∴∠B=∠C．（________）
【答案】：对顶角相等；3；同位角相等，两直线平行；BFD；两直线平行，同位角相等；AB；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】证明：∵∠1=∠2（已知） 又∵∠1=∠3（对顶角相等）
∴∠2=∠3（等量代换）
∴AE∥FD（同位角相等，两直线平行）
∴∠A=∠BFD（两直线平行，同位角相等 ）
∵∠A=∠D（已知）
∴∠D=∠BFD（等量代换）
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
∴∠B=∠C．（两直线平行，内错角相等）
故答案为：对顶角相等，3，同位角相等，两直线平行，BFD，两直线平行，同位角相等，AB，内错角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等．
【分析】先根据已知条件，判定AE∥FD，进而得出∠D=∠BFD，再判定AB∥CD，最后根据平行线的性质，即可得出∠B=∠C．
12.阅读下面的解题过程，并在横线上补全推理过程或依据． DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC．
试说明∠FDE=∠DEB．
解：∵DE∥BC（已知）
∴∠ADE=________．（________）
∵DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC （已知）
∴∠ADF= ∠ADE
∠ABE= ∠ABC（角平分线定义）
∴∠ADF=∠ABE（________）
∴DF∥________．（________）
∴∠FDE=∠DEB．（________）
已知：如图，DE∥BC，
【答案】∠ABC；两直线平行，同位角相等；等量代换；BE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠ABC（两直线平行，同位角相等），
∵DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC，
∴∠ADF= ∠ADE，∠ABE= ∠ABC，
∴∠ADF=∠ABE（等量代换），
∴DF∥BE（同位角相等，两直线平行），
∴∠FDE=∠DEB（两直线平行，内错角相等），
故答案为：∠ABC，两直线平行，同位角相等，等量代换，BE，同位角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等．
【分析】根据平行线的性质得出∠ADE=∠ABC，根据角平分线定义得出∠ADF=
∠ADE，∠ABE= ∠ABC，求出∠ADF=∠ABE，根据平行线的判定得出DF∥BE，根据平行线的性质得出即可．
13.已知：如图，AB∥CD，EF分别交于AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF，FH平分∠EFD．求证：EG∥FH． 证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠AEF=∠EFD．________
∵EG平分∠AEF，FH平分∠EFD．________
∴∠________ = ∠AEF，
∠________ = ∠EFD，（角平分线定义）
∴∠________ =∠________，
∴EG∥FH．________．
【答案】两直线平行，内错角相等；已知；GEF；HFE；GEF；HFE；内错角相等，两直线平行
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】证明：∵AB∥CD（已知） ∴∠AEF=∠EFD（两直线平行，内错角相等）．
∵EG平分∠AEF，FH平分∠EFD（已知）．
∴∠GEF= ∠AEF，∠HFE= ∠EFD，（角平分线定义）
∴∠GEF=∠HFE，
∴EG∥FH（内错角相等，两直线平行）．
两直线平行，内错角相等；已知；GEF；HFE；GEF；HFE；内错角相等，两直线平行
【分析】由AB与CD平行，利用两直线平行，内错角相等得到一对角相等，再由EG与FH为角平分线，利用角平分线定义及等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证．
14.如图，直线l∥m，将含有45°角的三角形板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1＝
，则∠2的度数为________.
【答案】
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：过点B作BD∥l，
∵直线l∥m，
∴BD∥l∥m，
∴∠4=∠1=20°，
∵∠ABC=45°，
∴∠3=∠ABC-∠4=45°-20°=25°，
∴∠2=∠3=25°．
【分析】过点B作BD∥l，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行得出BD∥l∥m，根据二直线平行，内错角相等得出∠4=∠1=20°，∠2=∠3，根据角的和差算出答案。
15.如图，已知 1= 2， B=40 ,则 3=________
【答案】40°
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠ 1= ∠ 2
∴AB∥CE
∴∠3=∠B=40°
【分析】根据内错角相等两直线平行，可得出AB∥CE，再根据两直线平行，同位角相等，可求得结果。
16.如图，∠1=80°，∠2=100°，∠3=76°．则∠4的度数是________．
【答案】76°
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，∵∠3=∠2=100°，∠1=80°，
∴∠3+∠1=180°，
∴a//b，
∴∠4=∠3=76°．
故答案为76°.
【分析】由对顶角相等，及平行线的判定和性质可解答.
17.完成下面推理过程：
如图，已知∠1=∠2，∠B=∠C，可推得AB//CD．理由如下：
∵∠1=∠2________，
且∠1=∠CGD________，
∴∠2=∠CG________，
∴CE//BF________，
∴∠________=∠C两直线平行，同位角相等；
又∵∠B=∠C（已知），
∴∠BFD=∠B，
∴AB//CD________．
【答案】（已知）；（对顶角相等）；（等量代换）；（同位角相等，两直线平行）；BFD；（内错角相等，两直线平行）
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2（已知），
且∠1=∠CGD（对顶角相等），
∴∠2=∠CGD（等量代换），
∴CE//BF（同位角相等，两直线平行），
∴∠C=∠BFD（两直线平行，同位角相等），
又∵∠B=∠C（已知），
∴∠BFD=∠B（等量代换），
∴AB//CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：（已知），（对顶角相等），（等量代换），（同位角相等，两直线平行），BFD，（内错角相等，两直线平行）．
【分析】首先确定∠1=∠CGD是对顶角，利用等量代换，求得∠2=∠CGD，则可根据：同位角相等，两直线平行，证得：CE∥BF，又由两直线平行，同位角相等，证得角相等，易得：∠BFD=∠B，则利用内错角相等，两直线平行，即可证得：AB∥CD．
18.如图，若∠1=∠D=39°，∠C和∠D互余，则∠B=________
【答案】129°
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：
∵∠1=∠D，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠C和∠D互余，
∴∠C=90°﹣∠D=90°﹣39°=51°，
∴∠B=180°﹣∠C=180°﹣51°=129°，
故答案为：129°
【分析】由内错角相等，两直线平行，可知AB//CD 线平行，同旁内角互补；即可求出∠B的值.
的度数，又因为两直，可知∠C
三、解答题
19.如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于点E，BE的延长线交CD于点F，且
∠1+∠2=90°．猜想∠2与∠3的关系并证明．
【答案】解：∠3=90°， 证明：∵∠ABD和∠BDC的平分线交于点E，
∴∠ABF=∠1，∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠ABF+∠2=90°，∠ABD+∠BDC=2×90°=180°，
∴AB∥DC，
∴∠3=∠ABF，
∴∠2+∠3=90°
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据角平分线定义得出∠ABF=∠1，∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2，求出∠ABF+∠2=90°，∠ABD+∠BDC=180°，根据平行线的判定得出AB∥DC，根据平行线的性质得出∠3=∠ABF，即可得出答案．
20.如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°，求∠CGD的度数．
【答案】解：∵EF∥AD， ∴∠2=∠DAE，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠DAE，
∴DG∥AB，
∴∠CGD=∠BAC=70°
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据平行线的性质得到∠2=∠DAE，等量代换得到∠1=∠DAE，根据平行线的判定得到DG∥AB，由平行线的性质即可得到结论．
21.已知：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，AD是∠BAC的角平分线，试说明
∠E=∠3．
【答案】证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G， ∴∠4=∠5=90°，
∴AD∥EG，
∴∠1=∠E，∠2=∠3，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠E
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】先由垂直的定义可得∠4=∠5=90°，然后根据同位角相等两直线平行可得：AD∥EG，然后根据平行线的性质可得∠1=∠E，∠2=∠3，然后根据角平分线的定义可得：∠1=∠2，然后根据等量代换可得∠3=∠E．
四、综合题
22.如图，已知直线l1∥l2 ， 直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在直线CD上有一点P．
（1）如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？
【答案】（1）解：当点P在C、D之间运动时,∠APB=∠PAC+∠PBD．理由如下：
过点P作PE∥l1,
∵l1∥l2,
∴PE∥l2∥l1,
∴∠PAC=∠1,∠PBD=∠2,
∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；
（2）解：ⅰ）当点P在C、D两点的外侧运动,且在l1上方时,∠PBD=∠PAC+∠APB．理
由如下：
过点P作PE∥l1
∴∠EPA=∠PAC,
∵l1∥l2,PE∥l1
∴PE∥l2
∴∠EPB=∠PBD,
∵∠EPB=∠EPA＋∠APB =∠PAC+∠APB,
∴∠PBD=∠PAC+∠APB．
ⅱ）当点P在C、D两点的外侧运动,且在l2下方时,∠PAC=∠PBD+∠APB．理由如
下：
过点P作PE∥l2;
∴∠DBP=∠BPE;
∵l1∥l2,PE∥l2;
∴PE∥l1
∴∠EPA=∠PAC,
∵∠EPA=∠EPB＋∠BPA=∠PBD+∠APB,
∴∠PAC=∠PBD+∠APB．
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】(1)当点P在C、D之间运动时,∠APB=∠PAC+∠PBD．理由如下： 过点P作PE∥l1,根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出PE∥l2∥l1,根据二直线平行内错角相等得出∠PAC=∠1,∠PBD=∠2,根据角的和差及等量代换得出
∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；
（2）①当点P在C、D两点的外侧运动,且在l1上方时,∠PBD=∠PAC+∠APB．理由如下： 过点P作PE∥l1根据二直线平行，内错角相等得出 ∠EPA=∠PAC, 根据平行于同一条直线的两条直线互相平行得出 PE∥l2，根据二直线平行内错角相等得出∠EPB=∠PBD, ,根据角的和差，及等量代换得出 ∠EPB=∠EPA＋∠APB =∠PAC+∠APB, 从而得出结论∠PBD=∠PAC+∠APB；②当点P在C、D两点的外侧运动,且在l2下方
时,∠PAC=∠PBD+∠APB．理由如下： 过点P作PE∥l2; 根据二直线平行，内错角相等得出∠DBP=∠BPE;根据平行于同一条直线的两条直线互相平行得出PE∥l1，根据二直线平行内错角相等得出∠EPA=∠PAC,根据角的和差，及等量代换得出∠EPA=∠EPB＋∠BPA=∠PBD+∠APB,从而得出结论∠PAC=∠PBD+∠APB．
23.如图，已知∠A=180°﹣∠ABC，BD⊥CD于D，EF⊥CD于F．
（1）求证：AD∥BC；
（2）若∠1=42°，求∠2的度数．
【答案】（1）证明：∵∠ABC=180°﹣∠A，
∴∠ABC+∠A=180°，
∴AD∥BC
（2）解：∵AD∥BC，∠1=42°，
∴∠3=∠1=42°，
∵BD⊥CD，EF⊥CD，
∴BD∥EF，
∴∠2=∠3=42°
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）首先依据题意证明∠ABC+∠A=180°，然后根据平行线的判定推出即可；
（2）根据平行线的性质求出∠3，然后依据在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行可证明BD∥EF，最后，根据平行线的性质即可求出∠2.
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