浙江大学2006年硕士入学考试数学分析试

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浙江大学2006年硕士入学考试数学分析试卷答案

一．（1）这是著名的Euler定理，可先证{Xn}递减，再证有下界0

（2）记第一问中的{Xn}收敛于,且Xn=+On, limOn0，则

nlim(n111....)lim[(ln2nO2n)(lnnOn)]ln2 n1n22nn二．这是Schwarz定理。

三．可f(x)=x(x-1)h(x),则f仅在x=0和x=1可导。

当x{0,1}时，h(x)=又因为h连续，故

f(x) ,显然当x{0,1}时，不可导，否则h就可导了。x(x1)f'(0)limx0f(x)f(0)lim(x1)h(x)h(0) x0x0同理f’(1)=h(1)

四．当

x2y20时，易知f11(2x)22(xy)sin2(xy)(cos)xxy2x2y2(x2y2)2f11(2y)2 2(xy)sin2(xy)(cos)222222yxyxy(xy)ff(t,0)f(0,0)1而|（0，0）limlimtsin20t0t0xttf同理|（0，0）=0yf（2）在原点不连续。只须证明

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limlimf0即可，为此可令（x,y）沿路径y=2xx2趋向于0，证明x0xy0ff1不存在。容易验证，limlim（12xx2）cos,故x0xx0x0x2xy02y=2xx不存在，从而ff在原点不连续，同理也在原点不连续xy

但f(x,y)在原点可微，这是因为P=limx0y0f(x,y)f(0,0)fx'(0,0)xfy'(0,0)yxy22(xy)2sinlimx0y01x2y2x2y2令x=rcos,y=rsinr2(cossin)211limsin2limr[(cossin)2sin2]关于一致r0r0rrr趋于0。 f(x,y)在原点可微五．证：只须证明极限和积分可交换次序即可，为此须检验如下三点：

（）1axyf(x)dx对y[0,1]一致收敛。这可由Abel判别法直接得到。0(2)当y0时，在[0,+)上内闭一致收敛于f(x)[即：A>0,xyaf(x)f(x)对x[0,A](当y0时)]这是显然的，10,欲使|axyf(x)f(x)|......................(*)只须|f(x)|(1-axy)(a1)..................(**)f(x)在[0,A]上Riemann可积,故必有界，令|f(x)|由(1)(2)(3)知原命题成立。

六．设原式为：

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Ix2y2z21PdydzQdzdxRdxdy令tax2by2cz2,易知PQRt3axtt3bytt3czt0333xyzttt由Gauss公式：I2321223212232122

xyz120dv02

七．作转轴变换，使xoy面转到ax+by+cz=0处

abc设y轴被转到y'处,则显然|J|=1,令={(x',y',z')|x'2y'2z'21}V令z'ax+by+cz222，则x轴，y轴被转到z'0平面内，设x轴被转到x'处，则：I=cos(ax+by+cz)dxdydzcos(a2b2c2*z')dx'dy'dz'引入柱坐标：x'rcos,y'rsin,z'z'.则被变为：{(r,,z')|1z'1,02,0r1z'2}Icos(abc*z')dz'd1010122221z'20

rdr2(1z'2)cos(a2b2c2*z')dz'4sina2b2c22222(cosabc)22222abcabc八．证：

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(12xx2)f(x)1应用Leibniz公式对上式两边求n阶导数，得：n(n1)（12xx2)f(n)(x)n(22x)f(n1)(x)(2)f(n2)(x)0...........(*)2在(*)中令x=0,得： f(n)(0)2nf(n1)(0)n(n1)f(n2)(0)0f(n)(0)两边同除以n!,并令an,则n!an2an1an20又易知a01，a12an22n1n1（1+2）（1-2）44f(n)(0)1易知an0,从而为正项级数，n!n0n0an2n1（1-2）42112n2（1-2）4

2n1（1+2）an4an12n2（1+2）4f(n)(0)故收敛n!n0九．暂时还没搞定

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