安徽省示范高中培优联盟2017-2018学年高一下学期春季联赛数学(理)试题(含答案)

安徽省示范高中培优联盟2017-2018学年高一下学期春季联赛

数 学（理）试 题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.如图，全集Ua,b,c,d,e，Ma,b,c,Nb,d,e，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）

A． a,b,d B．a,e C．d,e D．c,d,e 2.函数fxxe1x的定义域为（ ）

A．0, B．0, C．,0 D．1, 3.已知向量asinA． 3,cos,b1,0，则a,b的夹角为（ ） 36 B．

2 C． D．

3634.已知an是等比数列，a20124,a202416，则a2018（ ） A． 42 B．42 C．8 D．8

5.已知ABC的面积为4，A90，则2ABAC的最小值为（ ） A． 8 B．4 C. 82 D．42 6.若实数ab，则下列不等式中一定成立的是（ ）

222A． ab B．abab C. ab2ab D．abc0

07.已知函数ylog1x的定义域为a,b，值域为0,1，则ba的取值范围为（ ）

2A．0,3 B．,3 C. 0, D．,

333318288.函数fx2sinxxxsincos1的最小正周期为（ ） 222

A．

 B． C. 2 D．4 20

9.已知ABC中，AB2,AC3,BAC120，PAPBPC0，则AP（ ）

A．1 B．6719 C. D． 33310.已知实数x,y满足x1，a1,1，则zaxy的最大值与最小值之差为（ ）

1xyx1A．1 B．2 C. 4 D．与a的取值有关 11.函数fxln1x的大致图像是（ ） 1x

A． B． C. D．

212.已知数列an中，anan5恒为定值，若1n6时，ann，则a2018（ ）

A．1 B．9 C. 28 D．2018

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

213.幂函数的图像经过点2,，则它的单调递减区间是 ． 414.已知非零向量am,n，bp,q，若3a2b且abab0，则

mn ． pq15.若

cos30，则tan30 ． 05cos603216. 已知fxaxbxcxdb,c,dZ,bc，若

fbfcb3，c3，则d ． aa三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 设等差数列an的前n项和Sn，且a41,S1575． （1）求a6的值；

（2）求Sn取得最小值时，求n的值．

18. 设函数fxAsinxA0,0,图像中相邻的最高点和最低点分别为

17,2,,2． 1212（Ⅰ）求函数fx的单调递减区间；

（Ⅱ）若函数fx的图像向左平移0个单位长度后关于点1,0对称，求的最小值． 19. 设ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，且ccosC是acosB与bcosA的等差中项． （Ⅰ）求角C；

（Ⅱ）设c2，求ABC周长的最大值．

20. 如图，等腰直角ABC中，BC2，M,N分别在直角边AB,AC上，过点M,N作边BC的垂线，垂足分别为Q,P，设MN2x，矩形MNPQ的面积与周长之比为fx．

（Ⅰ）求函数fx的解析式及其定义域； （Ⅱ）求函数fx的最大值．

n21. 已知数列an的前n项和Sn2qq（其中q为常数），且a24

（1）求an；

（2）若an是递增数列，求数列2nq的前n项和Tn． qan22.已知fxax22x2a1x2aR中． （Ⅰ）当a2时，解不等式fx0；

（Ⅱ）已知x0时，恒有fx0，求实数a的取值集合．

试卷答案

一、选择题

1-5:CABCA 6-10:DDBCB 11、12：DC

二、填空题

13. (,0)和(0,) 14. 2 15. 43 16. 16 3三、解答题

17.解：（1）法一：设{an}的公差为d，

由题，a2a4a13d1，解得1，∴a6a15d3．

d1S1515a1105d75

法二：由题，S1515a875，∴a85，于是a6a4a83． 2

n(n1)n25nd（2）法一：Snna1，当n2或3时，Sn取得最小值． 22法二：ana1(n1)dn3，∴a1a2a30a4，

故当n2或3时，Sn取得最小值． 18.解：（1）由题，A2，周期T2(

712)1，∴2， 1212T再由f(11)2sin(2)2，即sin()1， 12126得：

622k(kZ)，又||，∴3，f(x)2sin(2x3)，

由

22k2x33172k，得f(x)的单减区间为[k,k](kZ)． 21212（注：亦可结合周期及最高点、最低点的坐标获得函数的单调递减区间．）

（2）函数f(x)的图象向左平移(0)个单位长度后，得g(x)2sin[2(x)3]，

由题，g(1)2sin[2(1)3]0，

k5(kZ)， 26∴2(1)3k(kZ)，1． 3当k1时，的最小值为

19. 解：（1）法一：由题，acosBbcosA2ccosC， 由正弦定理，sinAcosBsinBcosA2sinCcosC，

即sin(AB)2sinCcosC，解得cosC1，所以C60． 2

a2c2b2b2c2a2法二：由题，由余弦定理得：acosBbcosAc2ccosC，

2c2c解得cosC1，所以C． 23

（2）法一：由余弦定理及基本不等式，

ab2(ab)2c4abab(ab)3ab(ab)3()，

2422222得ab4，当且仅当ab2时等号成立， 故△ABC周长abc的最大值为6．

法二：由正弦定理，

abc43， sinAsinBsinC3故周长abc4343[sinAsin(A60)]2 (sinAsinB)2334333(sinAcosA)24sin(A30)2 322∵A(0,120)，∴当A60时，周长abc的最大值为6． 法三：如图，延长BC至D使得CDAC，则CADADC30， 于是，在△ABD中，由正弦定理：

0BDAB， sinBADsinADB即

ab24，

sin(A30)sin30故周长abc4sin(A30)2，

∵A(0,120)，∴当A60时，周长abc的最大值为6． 20.解：（1）由题，MN2x，则MQ1x，

∴f(x)2x(1x)x(1x)，

4x2(1x)x1又MNBC，∴f(x)的定义域为(0,1)． （6分）

x2x(x1)23(x1)22（2）f(x)[(x1)3]， x1x1x1∵x1(1,2)，∴(x1)2232(x1)3223， x1x1于是f(x)322，即当x21时，f(x)的最大值为322．

221.解：（1）由a2S2S12q2q4得：q1或q2，

1,n1S1,n1q1时，Sn2(1)n1，ann

SnSn1,n24(1),n2，2,n1S1,n12n(nN*)． q2时，Sn2n12，annSnSn1,n22,n2（2）法一：由题，q2，

nqn2n1， qan234n2134n1n2，， Tn22232n1223242n12n213111n2311n2n4相减得：Tn2(34n1)n2(n1)n21n2，

22222244222n4∴Tn2n1．

2Tn法二：由题，q2，

nqn2n3n4n1nn1， qan222所以Tn455622312222n3n4n4． 2nn1n1222222. 解：（1）当a2时，不等式f(x)0即为(2x2)(2x3x2)0，

等价于(x1)(x2)(2x1)0，

由数轴标根法知不等式的解集为x(2,1)1(,)． 2（2）法一：由题，f(2)(2a2)(4a4)0，于是只能a1，

而a1时，f(x)(x2)(2x3x2)(x2)(2x1)，

22当x0时，(x2)0，2x10，恒有f(x)0，

2故实数a{1}．

法二：当x0时，f(x)0恒成立，即(a)(a2x11x)0恒成立， x2不妨设g(x)211(x0)，h(x)x(x0)，则问题转化为x0时，[ag(x)][ah(x)]0恒成立，xx2即当x0时，恒有h(x)ag(x)或g(x)ah(x)，

不难知，g(x)在(0,)上单调递减，h(x)在(0,)上单调递增，

且函数g(x)与h(x)的图象相交于点(2,1)，

结合图象可知，当且仅当a1时，h(x)ag(x)或g(x)ah(x)恒成立，故实数a{1}．