南京航空航天大学线性代数样卷

二0一一~二0一二学年第二学期《线性代数》考试试题B

一（8*4=32分）填空

1 设向量组1111,2102,314a线性相关，则a=________，

1此时向量组的一个极大线性无关组为________。

11*

2 A为三阶矩阵，且A，A为A的伴随矩阵，则2A3______，AA*22_______。

3 n阶矩阵A与角对形矩阵相似的充分必要条件为_______；设A为n*s的矩阵，则齐次线性方程组AX0只有全零解的充分必要条件为_______。

4 矩阵A为5*4矩阵，B为4*5矩阵，则rAB_______，AB_________。 5 实数域数R上的线性空间Vabia.bR的维数为________和一组基______。

1006 0010102012231231001_________，3420103421101101002011_______。

7 向量12______。

13,121nT，则矩阵A的秩rA______，A38 设三阶矩阵3AE,E1A均不可逆，且A0，则A的特征值为_______，实对称矩2T阵B与A相似，则二次型fx1,x2,x3XBX的规范形是_______。 二（7*4=28分）计算题（要求写出计算过程）

2-22a22-2a+2-21、 计算行列式 D

2a22-2a2-22-2400312T2、 设矩阵A=01-1，B=矩阵X满足方程AX2XB，求矩阵X。 ，

61-30141211103

3、 设A为R的线性变换，她使得A03，A11，A11，求A在其

050011自然基下的矩阵。

1014、 已知矩阵Aa0b有三个线性无关的特征向量，

101（1） 求常熟a,b满足的关系式；

（2） 问矩阵A是否与对角形矩阵相似，若相似，写出A的对角标准形。

x1x2x3x40x2x2x1234三、（12分）设线性方程组，问a取何值时，方程组有解；求有解

x22x32x4a3x12x2x3x41时方程组的通解。

四、（13分）已知二次型fx1,x2,x32x15x26x34x1x2

222 （1）写出二次型的矩阵A

（2）用正交变换法将此二次型化为标准形，并写出所做正交变换XTY以及二次型的标准形。

五（5*3=15分）证明题

21、 已知n阶矩阵A满足A3A4E0，证明：rAErA4E。

2、 设n阶矩阵A为实对称矩阵，A的所有特征值的绝对值为1，证明:A为正交矩阵。 3、 证明：若A1与B1合同，A2与B2合同，则A100B1与A200合同。 B2