2017年高考理科数学全国2卷(附答案)

绝密★启用前

_-_ _ _-2017年普通高等学校招生全国统一考试

_ _ _-理科数学 全国II卷

_ ： -号 （全卷共10页）

学- (适用地区：甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、辽宁、宁夏、新疆、陕西、重庆、西藏) -_ _ 注意事项：

_-_ _ 1． 答

卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 _-_ _ 2． 回

答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。_-_ 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在_ __线答题卡上，写在本试卷上无效。

__封__密3． 考

试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。 _ _ 一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选_-： 项中， 只有一项是符合题目要求的。 名- 姓 -1. 3+i 1+i

= - A．1+2i B．1–2i C．2+i D．2–i

-班 2. 设集合A={1,2,4}，B={x2

–4x+m=0}，若A∩B={1}，则B = _-_ _ _-A．{1,–3} B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5} _ _ _-3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点年 _-_ 倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381

_ __线盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 __封 密A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏

_ _ _-4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该

_ _ _-几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 _ _ _-_ A．90π B．63π _ _-_ C．42π D．36π _ _-_

_ _-_ _ ：- 校 -学 -

- 1 - 5. 设x、y满足约束条件2x+3y–3≤0

2x–3y+3≥0，则z=2x+y的最小值是

y+3≥0

A．–15 B．–9 C．1 D．9

6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有

A．12种 B．18种 C． 24种 D．36种 7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则

A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩

8. 执行右面的程序框图，如果输入的a=–1，则输出的S= A．2

B．3

C．4 D．5

x2C：y2

9. 若双曲线a2–b2=1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x–2)2+y2=4所截得的弦长为

2，则C的离心率为( )

A．2 B．3 C．2 D．233

- 2 -

12B-SX-0000008

10. 已知直三棱柱ABC–A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1， 则异面直

线AB1与BC1所成角的余弦值为( )

A．32 B．155 C．1035 D．3

11. 若x=–2是函数f(x)=(x2+ax–1)ex–1的极值点，则f(x)的极小值为( )

A．–1 B．–2e–3 C．5e–3 D．1 12. 已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则

PA(PBPC)的最小值是（）

A.2 B.32 C. 43 D.1 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取

100次，表示抽到的二等品件数，则D__________．

14. 函数fxsin2x3cosx3（x0,42）的最大值是_____________． n15. 等差数列an项和为S10，则1n的前n，a33，S4_____________．k1Sk16. 已知F是抛物线C:y28x的焦点，是C上一点，F的延长线交y轴于

点．若为F的中点，则F__________________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。

17.（12分）ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c ,已知

sin(AC)8sin2B2．

- 3 - (1)求cosB

(2)若ac6 , ABC面积为2,求b.

18.（12分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）其频率分布直方图如下：

频率/组距频率/组距0.0680.0400.0340.0460.0320.0440.0240.0200.0140.0120.020025303540455055600.0100.008箱产量/6570kg0.00403540455055606570旧养殖法箱产量/kg

- 4 -

12B-SX-0000008

（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量

低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率；

（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养

殖方法有关： 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法

19.（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底

面ABCD，ABBC1AD,BADABC90o,E是PD的中点. 2（1）证明：直线CE//平面PAB

（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45o，求二面

（3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

P（𝐾2≥𝑘） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 K2n(adbc)2 (ab)(cd)(ac)(bd)

- 5 - 角M-AB-D的余弦值

- 6 -PMEADBC

12B-SX-0000008

x2y21上，过M做x轴的20.（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：2垂线，垂足为N，点P满足NP21.（12分）已知函数f(x)axaxxlnx,且f(x)0. （1）求a；

（2）证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e 222NM.

f(x0)22.

(1) 求点P的轨迹方程；

(2) 设点Q在直线x=-3上，且OPPQ1.证明：过点P且垂直于OQ的 直线l过C的左焦点F.

- 7 - - 8 -

12B-SX-0000008

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，

按所做的第一题计分。

23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知a0,b0,ab2，证明： 3322. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

（1）(ab)(a5b5)4； 曲线C1的极坐标方程为cos4．

（2）ab2． （1）M为曲线C 1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM||OP|16,求

点P的轨迹C2的直角坐标方程；  （2）设点A的极坐标为(2,3)，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值．

- 9 - - 10 -

12B-SX-0000008

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学 全国Ⅱ卷 答案

一、选择题

1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D 7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B 二、填空题

13. 1.96 14. 1 15. 2nn1 16. 6 三、解答题 17.解：

（1）由题设及ABC得sinB8sin22，故

sinB（41-cosB） 上式两边平方，整理得 17cos2B-32cosB+15=0 解得 cosB=1（舍去），cosB=1517 （2）由cosB=1581417得sinB17，故SABC2acsinB17ac又S=2，则ac17ABC2

由余弦定理及ac6得

b2a2c22accosB（a+c）22ac(1cosB)36217

2(11517)4所以b=2

- 11 -

18.解：

（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产

量不低于50kg”

由题意知PAPBCPBPC 旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为

（0.0400.0340.0240.0140.012）5=0.62

故PB的估计值为0.62

新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为

（0.0680.0460.0100.008）5=0.66

故PC的估计值为0.66

因此，事件A的概率估计值为0.620.660.4092

（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 62 38 新养殖法 34 66 2K2200626634381001009610415.705

由于15.7056.635

故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关． （3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为

0.0040.0200.04450.340.5，

箱产量低于55kg的直方图面积为

0.0040.0200.044+0.06850.680.5

故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 50+0.5-0.340.068≈52.35（kg）．

- 12 -

12B-SX-0000008 19.解：

（1）取PA中点F，连结EF，BF．

因为E为PD的中点，所以EFAD ,EF=12AD, 由BADABC90得BC∥AD，又BC12AD

所以EF∥BC．四边形BCEF为平行四边形，CE∥BF． 又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE∥平面PAB （2）

zPFMEADxBC y

由已知得BAAD,以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，AB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则

则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，1，3)， PC(1，0，3),AB(1，0，0)则

BM(x1，y，z),PM(x，y1，z3)

因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而n(0，0，1)是底面ABCD的法向量，所以

- 13 -

cosBM,nsin450，z2(x1)2y2z22 即（x-1）²+y²-z²=0

又M在棱PC上，设PMPC,则 x,y1,z33

x=1+2x22=1-2y=1(舍去)，y=1由①，②得

6z2z62

所以M1-2,1，6，从而AM1-2,1，6

2222设m=x0,y0,z0是平面ABM的法向量，则

mAM0即2-2x02y06z00mAB0

x00所以可取m=（0，-6，2）.于是cosm,nmn10mn5 因此二面角M-AB-D的余弦值为105 20.解

（1）设P（x,y）,M（x0,y0）,设N（x0,0）, NPxx0,y,NM0,y0

- 14 -

12B-SX-0000008 由NP2NM得x20=x,y02y M（x0,y0）在C上，所以x2y2因为221

因此点P的轨迹方程为x2y22

（2）由题意知F（-1,0）.设Q（-3，t）,P(m,n),则

OQ3,t,PF1m,n,OQPF33mtn， OPm,n,PQ3m,tn,

由OPPQ1得-3mm2tnn21，又由（1）知m2+n2=2，故 3+3m-tn=0

所以OQPF0，即OQPF又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 21.解：

（1）fx的定义域为0，+ 设gx=ax-a-lnx，则fx=xgx,fx0等价于gx0 因为g1=0，gx0,故g'1=0,而g'xa1x,g'1=a1,得a1 若a=1，则g'x=11x.当0＜x＜1时，g'x＜0,gx单调递减；当x＞1时，g'x＞0，gx单调递增.所以x=1是gx的极小值点，故gxg1=0

综上，a=1

（2）由（1）知fxx2xxlnx,f'(x)2x2lnx

- 15 -

设hx2x2lnx,则h'(x)21x

当x'0,1时，hx＜0；当x1,+时，h'x＞0，所以hx在0,1222单调递减，在1,+2单调递增

又he2＞0,h1＜0,h10，所以hx在0,1有唯一零点x0，在1,+222有唯一零点1，且当x0,x0时，hx＞0；当xx0,1时，hx＜0，当x1,+时，hx＞0.

因为f'xhx，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点 由f'x00得lnx02(x01),故fx0=x0(1x0) 由x00,1得f'x0＜14 因为x=x0是f(x)在（0,1）的最大值点，由e10,1,f'e10得

fx0＞fe1e2

所以e2＜fx0＜2-2 22.解：

（1）设P的极坐标为，＞0，M的极坐标为1，1＞0，由题设

知

OP=，OM=1=4cos 由OMOP=16得C2的极坐标方程=4cos＞0

- 16 -

12B-SX-0000008

因此C2的直角坐标方程为

x2y24x0

2ab3a33a2b3ab2b323aba+b2+3a+b2（2）设点B的极坐标为B，＞0,由题设知

BOA=2，B=4cos,于是△OAB面积

a+b23a+b3

S=12OABsinAOB4cossin3

2sin233223当=-12时，S取得最大值2+3

所以△OAB面积的最大值为2+3 23.解： （1）

aba5b5a6ab5a5bb6a3b322a3b3aba4b44aba2b224（2）因为

- 17 - 4所以a+b38，因此a+b≤2.

- 18 -4