2018全国三卷理科数学高考真题及答案

2018全国三卷理科数学高考真题及答案

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1，2，则AB 1．已知集合Ax|x1≥0，B0，A．0

B．1

C．1，2

1，2 D．0，2．1i2i

A．3i B．3i C．3i

D．3i

3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构

件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

4．若sin，则cos2

A．

898913 B．

79 C．

79

D．

52245．x的展开式中x的系数为 xA．10 B．20 C．40 D．80

6．直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆x22y22上，则△ABP面积的

取值范围是

2

A．2，6

B．4，8

C． 322，

D． 3222，7．函数yx4x22的图像大致为

8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体

的10位成员中使用移动支付的人数，DX2.4，PX4PX6，则p A．0.7

B．0.6

C．0.4

D．0.3

a2b2c29．△ABC的内角A，B，，则C C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为

4A．

π2 B．

π3 C．

π4 D．

π610．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥DABC体积的最大值为 A．123

B．183

C．243

D．543

x2y211．设F1，F2是双曲线C：221（a0，b0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条

ab渐近线的垂线，垂足为P．若PF16OP，则C的离心率为

3

A．5 D．2 B．2 C．3

12．设alog0.20.3，blog20.3，则

A．abab0 C．ab0ab

B．abab0 D．ab0ab

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量a=1,2，b=2,2，c=1,λ．若c∥2a+b，则________．

1处的切线的斜率为2，则a________． 14．曲线yax1ex在点0，π15．函数fxcos3x在0，π的零点个数为________．

61和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若16．已知点M1，∠AMB90，则k________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个

试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）

等比数列an中，a11，a54a3． （1）求an的通项公式；

（2）记Sn为an的前n项和．若Sm63，求m． 18．（12分）

某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人。第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

4

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：

第一种生产方式 第二种生产方式 超过m 不超过m （3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附：K2nadbc2abcdacbd，

PK2≥k 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 19．（12分）

如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．

（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；

（2）当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．

20．（12分）

x2y2已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点，线段AB的中点为M1，mm0．

435

（1）证明：k；

（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且FPFAFB0．证明：FA，FP，FB成等差数列，并求该数列的公差．

21．（12分）

已知函数fx2xax2ln1x2x．

（1）若a0，证明：当1x0时，fx0；当x0时，fx0； （2）若x0是fx的极大值点，求a．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为斜角为的直线l与⊙O交于A，B两点． （1）求的取值范围；

（2）求AB中点P的轨迹的参数方程． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

设函数fx2x1x1． （1）画出yfx的图像；

（2）当x∈0，，fx≤axb，求ab的最小

值．

参考答案：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 xcos，（为参数），过点0，2且倾

ysin126

C D A B C A D B C B C B 113. 14.3 15.3 16.2 217.(12分)

解：（1）设{an}的公比为q，由题设得anqn1. 由已知得q44q2，解得q0（舍去），q2或q2. 故an(2)n1或an2n1. （2）若an(2)n11(2)n，则Sn.由Sm63得(2)m188，此方程没有正整数解.

3若an2n1，则Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6. 综上，m6. 18.（12分）

解：（1）第二种生产方式的效率更高. 理由如下：

（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.

7

（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.

以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.

7981（2）由茎叶图知m80.

2列联表如下：

第一种生产方式 第二种生产方式 2超过m 15 5 不超过m 5 15 40(151555)2106.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有（3）由于K20202020差异. 19.（12分）

解：（1）由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.

因为M为CD上异于C，D的点,且DC为直径，所以 DM⊥CM. 又 BCCM=C,所以DM⊥平面BMC. 而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.

（2）以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz.

8

当三棱锥M−ABC体积最大时，M为CD的中点. 由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1)，

AM(2,1,1),AB(0,2,0),DA(2,0,0)

设n(x,y,z)是平面MAB的法向量,则

nAM0,2xyz0,即 2y0.nAB0.可取n(1,0,2).

DA是平面MCD的法向量,因此

cosn,DAnDA5， |n||DA|525， 525. 5sinn,DA所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是20.（12分）

x12y12x22y221,1. 解：（1）设A(x1,y1),B(x2,y2)，则4343两式相减，并由

y1y2k得 x1x2x1x2y1y2k0. 43由题设知

x1x2yy1,12m，于是 229

k由题设得0m3.① 4m31，故k. 22（2）由题意得F(1,0)，设P(x3,y3)，则

(x31,y3)(x11,y1)(x21,y2)(0,0).

由（1）及题设得x33(x1x2)1,y3(y1y2)2m0. 又点P在C上，所以m于是

333，从而P(1,)，|FP|. 422x12x|FA|(x11)y(x11)3(1)21.

422212同理|FB|2x2. 21所以|FA||FB|4(x1x2)3.

2故2|FP||FA||FB|，即|FA|,|FP|,|FB|成等差数列. 设该数列的公差为d，则

2|d|||FB||FA||将m11|x1x2|(x1x2)24x1x2.② 223代入①得k1. 471所以l的方程为yx，代入C的方程，并整理得7x214x0.

44故x1x22,x1x21321，代入②解得|d|.

2828321321或. 2828所以该数列的公差为21.(12分)

解：（1）当a0时，f(x)(2x)ln(1x)2x，f(x)ln(1x)设函数g(x)f(x)ln(1x)x. 1xxx，则g(x). 2(1x)1x10

当1x0时，g(x)0；当x0时，g(x)0.故当x1时，g(x)g(0)0，且仅当

x0时，g(x)0，从而f(x)0，且仅当x0时，f(x)0. 所以f(x)在(1,)单调递增.

又f(0)0，故当1x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0.

（2）（i）若a0，由（1）知，当x0时，f(x)(2x)ln(1x)2x0f(0)，这与x0是f(x)的极大值点矛盾. （ii）若a0，设函数h(x)由于当|x|min{1,f(x)2xln(1x).

2xax22xax21}时，2xax20，故h(x)与f(x)符号相同. |a|又h(0)f(0)0，故x0是f(x)的极大值点当且仅当x0是h(x)的极大值点.

12(2xax2)2x(12ax)x2(a2x24ax6a1)h(x).

1x(2xax2)2(x1)(ax2x2)2如果6a10，则当0x大值点.

6a11，且|x|min{1,}时，h(x)0，故x0不是h(x)的极4a|a|如果6a10，则a2x24ax6a10存在根x10，故当x(x1,0)，且|x|min{1,时，h(x)0，所以x0不是h(x)的极大值点.

1}|a|x3(x24)如果6a10，则h(x).则当x(1,0)时，h(x)0；当x(0,1)时，

(x1)(x26x12)2h(x)0.所以x0是h(x)的极大值点，从而x0是f(x)的极大值点

1综上，a.

622．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

【解析】（1）O的直角坐标方程为x2y21．

11

当当时，l与O交于两点． 22时，记tank，则l的方程为ykx2．l与O交于两点当且仅当||1，

221k解得k1或k1，即(,)或(,)．

4224综上，的取值范围是(,)．

44xtcos,(t为参数，)． （2）l的参数方程为44y2tsin设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tPtAtB，且tA，tB满足2t222tsin10．

xtPcos,于是tAtB22sin，tP2sin．又点P的坐标(x,y)满足

y2tPsin.2xsin2,2(为参数，)． 所以点P的轨迹的参数方程是44y22cos22223．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

13x,x,21【解析】（1）f(x)x2,x1,yf(x)的图像如图所示．

23x,x1.12

（2）由（1）知，yf(x)的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为

3，故当且仅当a3且b2时，f(x)axb在[0,)成立，因此ab的最小值为5

13