江苏省苏州市2015年初三数学专题复习三、函数及其应用 (1)

三、函数及其应用

【近三年江苏省十三大市中考函数及其应用的分值与比率】(仅供参考) 年份 地区 南京市 苏州市 无锡市 常州市 镇江市 扬州市 泰州市 南通市 盐城市 淮安市 宿迁市 徐州市 连云港 平均 【课标要求】

1.探索具体问题中的数量关系和变化规律 2.函数

(1)通过简单实例，了解常量、变量的意义.

(2)能结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例. (3)能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析.

(4)能确定函数(尤其是实际问题)中自变量的取值范围，并能根据自变量与函数值的对应关系求值.

(5)能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系. (6)结合对函数关系的分析，尝试对变量之间的变化规律进行初步预测. 3.一次函数

(1)结合实际问题体会一次函数的意义，归纳一次函数的一般形式. (2)理解正比例函数的意义及与一次函数的隶属关系. (3)根据已知条件熟练运用待定系数法确定一次函数表达式.

(4)会利用描点法画一次函数的图象，根据一次函数的图象和解析式y＝kx＋b(k≠0)探索并理解其性质(k＞0或k＜0时，图象的变化情况). (5)能利用一次函数的图象求二元一次方程组的近似解. (6)能运用一次函数解决实际问题.

1

2012年 分值(分) 21 36 31 30 37 30 22 29 27 25 18 33 48 29.77 比率(%) 17.50 27.69 23.85 23.08 30.80 20.00 14.67 19.33 18.00 16.67 12.00 27.50 32.00 21.78 21 30 38 29 31 28 39 41 28 33 46 29 51 2013年 分值(分) 比率(%) 17.50 23.08 29.23 24.17 25.83 18.67 26.00 27.33 18.67 22.00 30.67 20.71 34.00 24.45 23 31 33 36 23 18 34 40 28 39 25 30 38 30.62 2014年 分值(分) 比率(%) 19.17 23.85 25.38 30.00 19.17 12.00 22.67 26.67 18.67 26.00 20.83 21.43 25.33 22.40 34.15

4.反比例函数

(1)结合具体情境体会反比例函数意义，归纳反比例函数的一般形式. (2)能由已知条件运用待定系数法确定反比例函数表达式. (3)能利用描点法画出反比例函数的图象，根据图象和解析式y质(k＞0或k＜0时，图象的变化情况). (4)能用反比例函数解决某些实际问题. 5.二次函数

(1)通过对实际问题情境的分析确定二次函数的一般表达式，并体会二次函数意义. (2)会用描点法画出二次函数的图象，能利用函数的图象认识二次函数的性质. (3)会确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴并掌握图象的变化情况.

(4)能根据已知条件利用二次函数解析式的三种形式(一般式、顶点式、交点式)通过待定系数法确定函数关系式.

(5)能理解并掌握二次函数与二次方程、二次不等式的关系.

(6)能在实际问题中列出二次函数关系式并运用其性质解决简单的实际问题. (7)会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 【课时分布】

函数部分在第一轮复习时大约需要9课时，下表为内容及课时安排(仅供参考).

课时数 1 1 1 1 1 2 2 【知识回顾】 1.知识脉络

2

k

(k≠0)探索并理解其性x

内 容 变量与函数、平面直角坐标系 一次函数的图象和性质 一次函数的应用 反比例函数的图象和性质及应用 二次函数的图象和性质 二次函数的应用 函数单元测试与评析 平面直角坐标系一次函数的图象与性质 实际问题函数反比例函数图象与性质二次函数的图象与性质 函数的应用 变量

2.基础知识

(1)一次函数的函数关系式：y=kx+b (k、b是常数，k≠0) (2)一次函数的图象、性质：

①当b=0时，是正比例函数y=kx(k是常数，k≠0).图象是过原点的一条直线.当k＞0时，图象过第一、第三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象过第二、第四象限，y随x的增大而减小.

②当b≠0时，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是过点(0，b)的一条直线.当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0，y随x的增大而减小.图象经过的象限由k、b的符号决定. (3)反比例函数的解析式：y

k

(k≠0) x

k (k≠0)的图象是双曲线，当k＞0时，图象x(4)反比例函数的图象、性质：反比例函数y在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，图象在第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大. (5)二次函数的解析式

①一般式：y=ax2+bx+c (a≠0)，其中a，b，c是常数.

②顶点式：y=a(x−h)2+k (a≠0)，其中(h，k)是抛物线的顶点坐标.

③交点式：y=a(x−x1)(x−x2) (a≠0)，其中(x1，0)，(x2，0)是抛物线与x轴的交点坐标.(此解析式不具有一般性，通常将结果化为一般式)

(6)二次函数的图象：函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象是对称轴平行于y 轴的抛物线. (7)二次函数的性质：设y=ax2+bx+c (a≠0)

①开口方向：当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下. ②对称轴：直线xb2a.

b4acb2③顶点坐标(，).

2a4a④增减性：若a＞0，则当x＜bb时，y随x的增大而减小；当x＞时，y随x2a2abb的增大而增大；若a＜0，则当x＜时，y随x的增大而增大；当x＞时，y

2a2a随x的增大而减小.

⑤二次函数最大(小)值：(注意自变量的取值范围).

b4acb2若a＞0，则当x＝时，y最小值＝.

2a4ab4acb2若a＜0，则当x＝时，y最大值＝.

2a4a3

3.能力要求

例1 如图3-1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过点(−1，2)和(1，0)，且与y轴相交于负半轴.给出四个结论：(1)abc＜0；(2) 2a+b＞0；(3) a+c=1；(4) a＞1.其中正确结论的序号是______. 【分析】

利用图象的位置可判断a，b，c的符号，结合图象对称轴的位置，经过的点可推断出正确结论. 【解】

由图象可知：a＞0，b＜0，c＜0，∴ abc＞0.

∵ 对称轴x2 -1 O 1 x bb在(1，0)的左侧，∴＜1， 2a2a图3-1 ∴ 2a＋b＞0.

∵ 图象经过点(−1，2)和点(1，0)， ∴abc2

abc0∴ a+c=1，b=−1， ∴ a=1−c＞1.

∴ 正确的序号为：(2)(3)(4). 【说明】

本例是一道纯函数知识的综合题，主要考查了二次函数的解析式y=ax2+bx+c中a，b，c，

b的位置与二次函数的图象的关系.通常能够利用函数的图象确定符号的有：2aa，b，c，b2−4ac，a+b+c，a−b+c，2a+b等.教师在复习时要加强这一方面的训练. 对称轴x例2 如图3-2-1，反比例函数y=

k(x＞0)的图象经过点A(23，1)，射线AB与反比例x函数图象交与另一点B(1，a)，射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂足为D.

(1)求k的值；

(2)求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；

(3)如图3-2-2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于N，连接CM，求△CMN面积的最大值. 【分析】

(1)把点A的坐标代入双曲线解析式，进行计算即可得解；

(2)先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式，再根据解析式求出点B的坐标，然后可以求出∠BAD的度数，继而求出∠DAC的度数，即求得tan∠DAC的值和C点的坐标，然后利用待定系数法求出直线AC的解析式；

4

y B D O C 图3-2-1 A x

(3)先设出点M的坐标，根据题意表示出点N的坐标，然后利用三角形面积公式表示出△CMN面积，通过配方即可找出△CMN面积的最大值. 【解】

(1)由反比例函数y=

k(x>0)的图象经过点A(23，1)，得k=23×1=23； x(2)由反比例函数y=23（x>0）,得点B的坐标为(1，23)， x3，AD=23. 3y l B M 于是有∠BAD=45°，∴∠DAC=30°，tan∠DAC=则由tan∠DAC=3可得CD=2，C点坐标是(0，−1)，33而且过点A(23，1)，则直线解析式为y=x−1.

323(3)设点M的坐标为(，m) (m>1)，

m则点N的坐标为(∴SCMND A N O x C 图3-2-2 232,1)， mm1232(m1) 2mm3(2192221)3[()]. 2mm8m493. 8∴当m4时，△CMN面积取得最大值

【说明】

本题综合了反比例函数，一次函数、求函数最值及图形面积等知识，其中待定系数法是求函数解析式的常用方法，这是学生必须掌握的.本题将数和形有机地结合在一起，特别第(3)问题通过设点M的坐标，继而表示出点N的坐标，从而表示出三角形的面积，用求函数的最值来进行解决，这是函数中的常用方法，也是学生必须掌握的方法.

例3 如图3-3-1，菱形ABCD中，∠A=60°.点P从A出发，以2cm/s的速度沿边AB、BC、CD匀速运动到D终止；点Q从A与P同时出发，沿边AD匀速运动到D终止，设点P运动的时间为t s.△APQ的面积s(cm2)与t(s)之间函数关系的图像由图3-3-2中的曲线段OE与线段EF、FG给出. (1)求点Q运动的速度；

(2)求图2中线段FG的函数关系式；

5

(3)问：是否存在这样的t，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1:5的两部分，若存在，求出这样的t的值；若不存在，请说明理由. S(cm2) F DC 93E 2 QA PBO3G t（s）图3-3-1 图3-3-2 【分析】 (1)根据函数图象中E点所代表的实际意义求解.E点表示点P运动到与点B重合时的情形，运动时间为3s，可得AB=6cm；再由S93△APQ=2，可求得AQ的长度，进而得到点Q的运动速度； (2)函数图象中线段FG，表示点Q运动至终点D之后停止运动，而点P在线段CD上继续运动的情形.如答图3-3-2所示，求出S的表达式，并确定t的取值范围； (3)当点P在AB上运动时，PQ将菱形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部分，如答图3-3-3所示，求出t的值；当点P在BC上运动时，PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分，如图3-3-4所示，求出t的值. 【解】 (1)由题意，可知图3-3-2中点E表示点P运动至点B时的情形， 所用时间为3s，则菱形的边长AB=2×3=6cm. 此时如3-3-3图所示： 图3-3-3 图3-3-4 AQ边上的高h=AB×sin60°=6×32=33cm. SS13APQ12AQh2AQ3392，解得AQ=3cm， ∴点Q的运动速度为：3÷3=1cm/s. (2)由题意，可知图3-3-2中FG段表示点P在线段CD上运动时的情形. 如图3-3-3所示：点Q运动至点D所需时间为：6÷1=6s，点P运动至点C所需时间为12÷2=6s，至终点D所需时间为18÷2=9s. 因此在FG段内，点Q运动至点D停止运动，点P在线段CD上继续运动，且时间6

图

t的取值范围为：6≤t≤9. 过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E， 则PE=PD•sin60°=182tSSAPQ12ADPE123239t3. 63t9333t273， ∴FG段的函数表达式为：S33t273(6≤t≤9). (3)菱形ABCD的面积为：6×6×sin60°=183. 当点P在AB上运动时，PQ将菱形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部分， 如图3-3-5所示.此时△APQ的面积： S=12AQ﹒AP﹒sin60°=1332t﹒2t×t. 222183，解得t6s. 根据题意，得 32t216图3-3-5 图3-3-6 当点P在BC上运动时，PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分， 5如图3-3-6所示.此时，有S梯形ABCDS菱形ABCD， 6即122t6t66和1633256183，解得t163s. ∴存在t，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1:5的两部分. 【说明】

本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点.解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程.

例4 为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示：

每月用气量 单价(元/m3) 2.5 不超出75m3的部分 a 超出75m3不超出125m3的部分 a + 0.25 超出125m3的部分 7

(1)若甲用户3月份的用气量为60m3，则应缴费 元；

(2)若调价后每月支出的燃气费为y(元)，每月的用气量为x(m3)，y与x之间的关系如图所示，求a的值及y与x之间的函数关系式；

(3)在(2)的条件下，若乙用户2、3月份共用1气175m3(3月份用气量低于2月份用气量)，共缴费455元，乙用户2、3月份的用气量各是多少？

【分析】

(1)根据单价×数量=总价就可以求出3月份应该缴纳的费用； (2)结合统计表的数据)根据单价×数量=总价的关系建立方程就可以求出a值，再从

0≤x≤75，75＜x≤125和x＞125运用待定系数法分别表示出y与x的函数关系式即可；

33

(3)设乙用户2月份用气xm，则3月份用气(175−x)m，分3种情况：

x＞125，175−x≤75时，75＜x≤125，175−x≤75时，当75＜x≤125， 75＜175−x≤125时分别建立方程求出其解就可以. 【解】

(1)由题意，得60×2.5=150(元)；

(2)由题意，得a=(325﹣75×2.5)÷(125﹣75)，a=2.75，∴a+0.25=3. 设OA的解析式为y1=k1x，则有2.5×75=75k1， ∴k1=2.5.

∴线段OA的解析式为y1=2.5x(0≤x≤75)； 设线段AB的解析式为y2=k2x+b，由图象，得：

187.575k2b,k22.75, 解得： b18.75.325125k2b.∴线段AB的解析式为：y2=2.75x−18.75(75＜x≤125)；

(385−325)÷3=20，故C(145，385)． 设射线BC的解析式为：y3=k3x+b1， 由图象，得：

图3-4

325125k3b1,k33, 解得： b150.385145k3b1.∴射线BC的解析式为：y3=3x−50(x＞125)

(3)设乙用户2月份用气xm3，则3月份用气(175−x)m3， 当x＞125，175−x≤75时，3x−50+2.5(175−x)=455， 解得：x=135，175−135=40，符合题意；

当75＜x≤125，175−x≤75时，2.75x−18.75+2.5(175−x)=455， 解得：x=145，不符合题意，舍去；

当75＜x≤125，75＜175−x≤125时，2.75x−18.75+2.75(175−x)=455， 解得：方程无解. ∴乙用户2、3月份的用气量各是135m3，40m3.

【说明】

本题是一道一次函数的综合试题，考查了单价×数量=总价的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，分段函数的运用，分类讨论思想在解实际问题的运用，解答时求出函数的解析式是关键.

8

例5 如图3-5-1，如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于点A(−2，0)和点B，与y轴交于点C，直线x=1是该抛物线的对称轴.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若两动点M，H分别从点A，B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行，当点M到达原点时，点H立刻掉头并以每秒个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动，经过点M的直线l⊥x轴，交AC或BC于点P，设点M的运动时间为t秒（t＞0）.求点M的运动时间t与△APH的面积S的函数关系式，并求出S的最大值. 【分析】

(1)根据抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于点A(−2，0)，直线x=1是该抛物线的对称轴，得

Cx=1APMHBxlyO图3-5-1

4a2b40,到方程组b，解方程组即可求出抛物线的解析式；

1.2a(2)由于点M到达抛物线的对称轴时需要3秒，所以t≤3，又当点M到达原点时需要2秒，且此时点H立刻掉头，所以可分两种情况进行讨论：①当0＜t≤2时，由△AMP∽△AOC，得出比例式，求出PM，AH，根据三角形的面积公式求出即可；②当2＜t≤3时，过点P作PM⊥x轴于M，PF⊥y轴于点F，表示出三角形APH的面积，利用配方法求出最值即可. 【解】

(1)∵抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于点A(−2，0)，直线x=1是该抛物线的对称轴，

14a2b40,a,∴b，解得:2，

1.b1.2a∴抛物线的解析式是：y=x2−x−4，

yMHBx(2)分两种情况： ①当0＜t≤2时，

∵PM∥OC，∴△AMP∽△AOC. ∴

AOFCPPMAM，∴PM=2t. OCAO9

x=1图3-5-2

解方程x2−x−4=0，得x1=−2，x2=4. ∵A(−2，0)，∴B(4，0)，∴AB=6. ∵AH=AB−BH=6−t，∴

S=PM•AH=×2t(6−t)=−t2+6t=−(t−3)2+9，

当t=2时S的最大值为8； ②当2＜t≤3时，

过点P作PM⊥x轴于M，作PF⊥y轴于点F，则△COB∽△CFP，

又∵CO=OB，

∴FP=FC=t−2，PM=4−(t−2)=6−t，AH=4+∴S=

图3-6-1

33(t−2)=t+1， 221133238225PM•AH=(6−t)(t+1)=−t+4t+3=−(t−)+， 2224433825当t=时，S最大值为.

33综上所述，点M的运动时间t与△APQ面积S的函数关系式是：t26t,0＜t≤225S=32，∴S的最大值为.

3t4t3,2＜t≤3.4

【说明】

本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的最值等知识，综合性较强，难度适中.运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键.

例6 如图3-6-1，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx−3 (a，b是常数)的图象与x轴交于点A(−3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C.动直线y = t(t为常数)与抛物线交于不同的两点P，Q. (1)求a和b的值； (2)求t的取值范围； (3)若∠PCQ=90°，求t的值. 【分析】

(1)将点A、点B的坐标代入二次函数解析式可求出a ，b的值；

(2)根据二次函数及y=t，可得出方程，有两个交点，可得△＞0，求解t的范围即可； (3)证明△PDC∽△CDQ，利用相似三角形的对应边成比例，可求出t的值. 【解】

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ab30,a1,(1)将点A、点B的坐标代入可得：解得：.

9a3b30.b2.(2)抛物线的解析式为y=x2+2x−3，

联立两解析式可得：x2+2x−3=t.

∵动直线y=t(t为常数)与抛物线交于不同的两点，∴=4+4(3+t)＞0， 解得：t＞−4；

(3)∵y=x2+2x−3，∴抛物线的对称轴为直线x=1. 当x=0时，y= 3，∴C(0，−3).

设点Q的坐标为(m，t)，则P(−2 −m，t).

如图，设PQ与y轴交于点D， 则CD = t+3，DQ = m，DP = m+2. ∵∠PCQ=∠PCD+∠QCD = 90°， ∠DPC +∠PCD=90°， ∴∠QCD =∠DPC， 又∠PDC=∠QDC=90°， ∴△QCD∽△CDP， DQDCmt3∴，即， DCPDt3m22

整理得：t+6t+9=m2+2m 图3-6-2

2

∵Q(m，t)在抛物线上，∴t=m+2m −3. ∴m2+2m=t+3.

∴t2+6t+9=t+3.解得t=−2或t=−3.

当t=−3时，动直线y=t经过点C，故不合题意，舍去. ∴t=−2. 【说明】

本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、解一元二次方程等知识点.第(3)问中，注意抛物线上点的坐标特征.

例7 如图3-7-1，二次函数y=x2+bx3的图象与x轴交于点A(3，0)和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E.

(1)请直接写出点D的坐标： ； (2)当点P在线段AO(点P不与A、

O重合)上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求这个最大值；

(3)是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；图3-7-1 图3-7-2 若不存在，请说明理由.

11

【分析】

(1)将点A的坐标代入二次函数的解析式求得其解析式，然后求得点B的坐标即可求得正方形ABCD的边长，从而求得点D的纵坐标；

(2)PA=t，OE=l，利用△DAP∽△POE得到比例式，从而得到有关两个变量的二次函数，求最值即可；

(3)分点P位于y轴左侧和右侧两种情况讨论即可得到重叠部分的面积. 【解】

(1)(−3，4)；

(2)设PA=t，OE=l,由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°，得△DAP∽△POE.

∴

9.∴lttt. 3tl44421624t13132∴当t=

399时，l有最大值.即P为AO中点时，OE的最大值为； 21616图3-7-3

(3)存在.

①点P点在y轴左侧时，P点的坐标为(−4，0)

由△PAD≌△OEG得OE=PA=1，∴OP=OA+PA=4. ∵△ADG∽△OEG，∴AG：GO=AD：OE=4：1.

41211224∴AG=AO.∴重叠部分的面积=4.

25555②当P点在y轴右侧时，P点的坐标为(4，0)，

此时重叠部分的面积为

【说明】

图3-7-4

712. 77本题考查了二次函数的综合知识，与二次函数的最值结合起来，题目的难度较大.第(3)题注意分类讨论.平时教学中要渗透数学思想方法，同时要帮助学生从“无从下手”到与数学知识的挂钩，以及知识点的灵活应用.

【复习建议】

1.立足教材，理清概念，夯实基础，学生通过复习，应熟练掌握函数的基本知识、基本技能和基本方法.

12

2.用待定系数法确定函数关系式是中考重点内容，引导学生从题目给出的图象、表格、图形等信息中挖掘已知条件，针对不同的条件进行复习.

3.加强函数与方程(组)，不等式(组)、相似三角形等知识的联系，提高学生综合运用数学知识的水平，促进学生更快、更好地构建数学知识网络.

4.要充分利用函数图象的直观性，让学生结合题意解读函数图象，做到能“看图说话”，说出所能发现的结论，并能够整合各知识模块运用其进行分析推理进而解决问题.

5.渗透函数建模思想，关注函数的最值问题的处理，适当归纳初中数学中的最值问题，形成体系，提高学生解决问题的能力.

6.重视学生的审题，重视学科间知识、方法的渗透，重视知识点应用的归类，同时培养严谨的数学习惯，稳重的考试心态.

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