一、错例目录
1.负数
1.1正负数的读写………………………………………………………………………**1 1.2在直线上表示正数、0负数…………………………………………………………**4
2. 圆柱和圆锥
2.1圆柱的认识…………………………………………………………………………**6 2.2.1圆柱的表面积……………………………………………………………………**8 2.2.2圆柱的表面积…………………………………………………………………**10 2.2.3圆柱的表面积…………………………………………………………………**12 2.2.4圆柱的表面积…………………………………………………………………**13 2.2.5圆柱的表面积…………………………………………………………………**15 2.2.6圆柱的表面积…………………………………………………………………**16 2.2.7圆柱的表面积…………………………………………………………………**17 2.2.8圆柱的表面积…………………………………………………………………**18 2.3.1圆柱的体积……………………………………………………………………**19 2.3.2圆柱的体积……………………………………………………………………**20 2.3.3圆柱的体积……………………………………………………………………**21 2.3.4圆柱的体积……………………………………………………………………**22 2.4.1圆锥的体积……………………………………………………………………**23 2.4.2圆锥的体积……………………………………………………………………**24 2.4.3圆锥的体积……………………………………………………………………**25 2.4.4圆锥的体积……………………………………………………………………**26
3. 比例
3.1比例的基本性质…………………………………………………………………**27 3.2.1解比例…………………………………………………………………………**28 3.2.2解比例…………………………………………………………………………**29 3.3.1成反比例的量…………………………………………………………………**30 3.3.2成反比例的量…………………………………… …………………… ……**33 3.3.3成反比例的量…………………………………… …… ……………………**35 3.4.1比例尺…………………………………………………………………………**36 3.4.2比例尺…………………………………………………………………………**37 3.4.3比例尺…………………………………………………………………………**38 3.4.4比例尺…………………………………………………………………………**39
3.4.5比例尺…………………………………………………………………………**40 3.5.1用比例解决问题………………………………………………………………**41
3.5.2用比例解决问题…………………………………………………………**42 3.5.3用比例解决问题…………………………………………………………**43 3.5.4用比例解决问题…………………………………………………………**44 3.5.5用比例解决问题…………………………………………………………**45 3.5.6用比例解决问题…………………………………………………………**46 3.5.7用比例解决问题…………………………………………………………**47 3.5.8用比例解决问题…………………………………………………………**48 4. 整理和复习
4.1.1数的认识…………………………………………………………………**49 4.1.2数的认识…………………………………………………………………**50 4.1.3数的认识…………………………………………………………………**51 4.2.1数的运算…………………………………………………………………**52 4.2.2数的运算…………………………………………………………………**53 4.2.3数的运算…………………………………………………………………**54 4.2.4数的运算…………………………………………………………………**56 4.2.5数的运算…………………………………………………………………**57 4.2.6数的运算…………………………………………………………………**58 4.2.7数的运算…………………………………………………………………**59 4.2.8数的运算…………………………………………………………………**60 4.2.9数的运算…………………………………………………………………**61 4.2.10数的运算………………………………………………… ……………**62 4.3.1常见的量…………………………………………………………………**63 4.3.2常见的量…………………………………………………………………**64 4.3.3常见的量…………………………………………………………………**65 4.3.4常见的量…………………………………………………………………**67 4.4.1比和比例…………………………………………………………………**68 4.4.2比和比例…………………………………………………………………**69 4.4.3比和比例…………………………………………………………………**70 4.4.4比和比例…………………………………………………………………**72 4.4.5比和比例…………………………………………………………………**73 4.4.6比和比例…………………………………………………………………**74 4.4.7比和比例…………………………………………………………………**75 4.5.1图形的认识与测量………………………………………………………**76 4.5.2图形的认识与测量………………………………………………………**77 4.5.3图形的认识与测量………………………………………………………**79
4.5.4图形的认识与测量……………………………………………………**81 4.5.5图形的认识与测量……………………………………………………**83 4.5.6图形的认识与测量…………………………………………………………**84 4.5.7图形的认识与测量…………………………………………………………**85 4.5.8图形的认识与测量…………………………………………………………**87 4.5.9图形的认识与测量…………………………………………………………**90 4.5.10图形的认识与测量…………………………………… …………………**91 4.5.11图形的认识与测量…………………………………………… …………**94 4.6.1统计与可能性………………………………………………………………**96 4.6.2统计与可能性………………………………………………………………**99 4.6图形与变换……………………………………………………………………**101 4.7综合应用………………………………………………………………………**103
二、原始错例
六年级下册典型错例
** 错误采集 23．85% 采集者 ** 学校 率 ** 错题来基第一单元 √ 课时 源 本 题目出课堂作业本第3页第1题 综时 单元 处 题 型 合 机 相关知拓总复负数的意义 识 展 习 知识属陈述性知识 √ 程序性知识 性 采集样63 本 教学简述 ◆典型错题
错题：比较下列各组数的大小：-1和-1.2 0和 -0.1和-0.01 错解： -1＜-1.2 -0.1＜-0.01
◆原因分析
1、对负数概念的建构缺乏深刻地理解，没有从体会引进负数的必要性中理解负数的意义、建立负数的数感。
2、负数这一概念是第一次出现在学生的面前，比较抽象，对于抽象能力差的学生来说，理解起来有一定的难度。
3、没有从真正理解负数的实际含义出发，加上容易受整数大小比较的干扰和影响，在比较负数的大小中往往会出错。 ◆教学建议
1、加强学情分析，积极关注学生已有知识经验，贴近学生的生活实际，在熟悉的生活情境中，充分调动学生的潜能，让学生主动学习，积极参与负数意义的建构，从而提升对负数这一数学概念本质意义的理解。
2、通过实践活动，让学生在观察、分析、推理、估计、想象、整理中主动参与负数意义的建构，让学生在主动获取知识的过程中，思维得到锻
1
*** 新授√ √ 课 课 练习 型 课 复习 课 策略性知识 此题是在学生学习了负数的意义以后的练习 23炼，情感得到体验，创新能力和实践能力得到培养。 ◆资源链接
负数的认识
教学内容：
六年级下册第2～4页 例1、例2。 教学目标：
1．引导学生在生活情境中初步认识负数，能正确地读、写正数和负数；知道0不是正数也不是负数。
2．使学生初步学会用负数表示一些日常生活中的问题，体验数学与生活的联系。
3．结合负数的历史，对学生进行爱国主义教育；培养学生良好的数学情感。
教学重点：初步认识正数和负数以及读法和写法。 教学难点：理解0既不是正数，也不是负数。 教学过程：
一、游戏导入,提出目标
1、游戏：我们来玩个游戏轻松一下，游戏叫做《我反 我反 我反反反》。游戏规则：老师说一句话，请你说出与它相反意思的话。
①向左看（向右看）②向前走200米（向后走200米）③电梯上升8层（下降8层）。(4)李大叔今天挣了500元（亏了500元）(5)知识抢答中，我得了20分（扣了20分）(6)今天温度零上10摄式度（零下10摄式度）……你能举出一些这样的例子吗？ 2、提出学习目标。
2
二、合作探索,学生展示 1．表示相反意义的量 （1）引入实例。
谈话：如果沿着刚才的话题继续“聊”下去的话，就很自然地走进神秘数学王国，我们一起来看几个例子（小黑板出示）。 ① 六年(2)班上学期转来3人，本学期转走2人。 ② 放心商店，二月份盈利3000元，三月份亏损1200元。 ③ 与标准体重比，小明重了 3千克,小华轻了 1千克。
指出：这些相反的词语和具体的数量结合起来，就成了一组组“相反意义的量”。（补充板书：相反意义的量。） （2）学生尝试
怎样用数学方式来表示这些相反意义的量呢？试着写出表示方法。 （3）学生展示交流 (如:+3 -2 .........) 2．认识正、负数 （1）引入正、负数。
谈话：刚才，有同学在3的前面写上“＋”表示转来3人，添上“－”表示转走2人（板书：＋3 －2），这种表示方法和数学上是完全一致的。 介绍：像“－2”这样的数叫负数（板书：负数）；这个数读作：负二。 “－”，在这里有了新的意义和作用，叫“负号”。“＋”是正号。 像“＋3”是一个正数，读作：正六。我们可以在3的前面加上“＋”，也可以省略不写（板书：3）。其实，过去我们认识的很多数都是正数。 （2）试一试
3
请你用正、负数来表示出其它几组相反意义的量。 3．联系实际，加深认识
（1）说一说存折上的数各表示什么？（教学例2。）
（2）联系生活实际举出一组相反意义的量，并用正、负数来表示。 ① 同桌交流。
② 全班交流。根据学生发言板书。
强调：像过去我们熟悉的这些整数、小数、分数等都是正数，也叫正整数、正小数、正分数；在它们的前面添上负号，就成了负整数、负小数、负分数，统称负数。 4．进一步认识“0” （1）看一看、读一读。
谈话：接下来，我们一起来看屏幕：这是去年12月份某天，部分城市的气温情况（小黑板出示）。 哈尔滨： －15 ℃～－3 ℃ 北 京： －5 ℃～5 ℃ 深 圳： 12 ℃～23 ℃ （请把负数读出来） （2）找一找、说一说
我们来看首都北京当天的温度，“－5 ℃”读作：“负五摄氏度”或“负五度”，表示零下5度；5 ℃又表示什么？ (3）提升认识
请学生观察温度计，说一说有什么发现？
4
在学生发言的基础上，强调：以0℃为分界点，零上温度都用正数来表示，零下温度都用负数来表示。（或负数都表示零下温度，正数都表示零上温度。）
讨论: “0”是正数,还是负数？
在学生发言的基础上,强调：“0”作为正数和负数的分界点，它既不是正数也不是负数。 5．练一练。p8 1 6、自学负数的历史 三、练习应用，拓展延伸 1、P4 2 p8 3
2．你知道吗：水沸腾时的温度是____。水结冰时的温度是____。地球表面的最低温度是 。
3、“净含量:10±0.1kg”表示什么意思？ 四、归纳总结 学生交流收获。
六年级下册典型错例
采集样31人 本 错题来第一单元负数 源 率 题 基型 本 错误35.48% 采集者 ** 采集 学校 *** 时 课 新授课时 机 型 课 5
题目出学习与评价 处 相关知负数 识 知识属性 教学简陈述性知识 综√ 合 拓 展 习 √ 程序性知识 总复 单元 √ 练习 课 复习√ 课 策略性知识 学生已经学完第一单元全部内容。 述 ◆典型错题（写清错题与错解）
错题：在数轴上，—在—的（ ）边。
A、左 B、右 C、北 D、无法确定
错解：B。（1）8比2大；（2）—2在—8右边；（3）负的多，在右边；（4）我没有画图；（5）没看见负号；（6）﹥，所以选右边；（7）还以为—在—的右边，看倒了，﹥，把左边看成右边了。 ◆原因分析（可以从教师、学生、教材三个维度分析）
学生似乎对于数的大小比较已经胸有成竹，他不愿意去画数轴来比较大小。凭借他多年来正数的大小比较方法，想当然来比较负数的大小。
在画数轴时，把—写成了—，因为根据正数的表示方法，学生很容易把—的位置写成了—。
教师对于借助数轴来比较负数的大小教学内容把握不到位。教参上的定位是：关于数的大小比较，特别是两个负数的比较，这里还不是抽象的比较，只要能借助数轴来比较就可以了。教师在教学时，要注意数形结合。 ◆教学建议
6
1218121812181218187818781、在教学负数定义时，要从实际出发，让学生充分体会负数是表示相反意义的量。
2、在数轴上标出各个数字的位置，要求右边的数比左边的数大。 3、在教学负数大小比较时，要注重数形结合。 ◆资源链接
人教论坛教学反思：
许多教师认为“负数”这个单元的内容很简单，不需要花过多精力学生就能基本能掌握。可如果深入钻研教材，其实会发现还有不少值得挖掘的内容可以向学生补充介绍。
例3——两个不同层面的拓展： 1、在数轴上表示数要求的拓展。
数轴除了可以表示整数，还可以表示小数和分数。教材例3只表示出正、负整数，最后一个自然段要求学生表示出—1.5。建议此处教师补充要求学生表示出“+1.5”的位置，因为这样便于对比发现两个数离原点的距离相等，只不过分别在0的左右两端，渗透+1.5和—1.5绝对值相等。
同时，还应补充在数轴上表示分数，如—1、—3等，提升学生数形结
32合能力，为例4的教学打下夯实的基础。
2、渗透负数加减法
教材中所呈现的数轴可以充分加以应用，如可补充提问：在“—2”位置的同学如果接着向西走1米，将会到达数轴什么位置？如果是向东走1米呢？如果他从“—2”的位置要走到“—4”，应该如何运动？如果他想从“—2”的位置到达“+3”，又该如何运动？其实，这些问题就是解决
7
—2—1；—2+1；—4—（—2）；3—（—2）等于几，这样的设计对于学生初中进一步学习代数知识是极为有利的。
例4——薄书读厚、厚书读薄。
薄书读厚——负数大小比较的三种类型（正数和负数、0和负数、负数和负数）
例4教材只提出一个大的问题“比较它们的大小”，这些数的大小比较可以分为几类？每类比较又有什么方法，教材则没有明确标明。所以教学中，当学生明确数轴从左到右的顺序就是数从小到大的顺序基础上，我还挖掘了三种不同类型，一一请学生介绍比较方法，将薄书读厚。
将厚书读薄——无论哪种类型，比较方法万变不离其宗。 无论哪种比较方法，最终都可回归到“数轴上左边的数比右边的数小。”即使有学生在比较—8和—6大小时是用“8>6，所以—8<—6”来阐述其原因，其实也与数轴相关。因为当绝对值越大时，表示离原点的距离越远，那么在数轴上表示的点也就在原点左边越远，数也就越小。所以，抓住精髓就能以不变应万变。
在此，我还补充了—3和—2比较大小的练习，提升学生灵活应用知识
75解决实际问题的能力。
六年级下册典型错例
** 错误采集 44．44% 采集者 ** *** 学校 率 ** 错题来题 基时 课 新授第二单元 课时 √ 源 型 本 机 型 课 采集样63 本
8
题目出处 相关知识 知识属性 教学简述 课堂作业本第4页第3题 圆柱的认识 陈述性知识 综合 拓展 √ 单元 总复 习 练习√ 课 复习 课 程序性知识 √ 策略性知识 此题是在学生认识了圆柱的基本特征之后的联练习 ◆典型错题
错题：下面两个平面图形是圆柱的侧面展开图，选择合适的圆作为它们的底面，请用线连一连。（单位：cm）
6.28 6.28
9.42 12.56 A.直径3cm B.半径2cm C.直径2cm 错解：图一选A，图二选B ◆原因分析
1、对圆柱的侧面积，底面积概念理解不清。圆柱的侧面积指的是哪一个面？底面积和侧面积有什么关联？？学生不知其然。
2、转化意识薄弱，对公式推导过程理解有困难、不深入，学生对于圆柱的侧面积和底面积公式的由来不知其所以然。
3、受长方形平行四边形面积的公式的干扰，由长方形面积计算公式类比出圆柱面积计算公式。 ◆教学建议
把研究圆柱侧面积、底面积计算公式的“再创造”机会还给学生，让学生通过观察、想象、操作等探索活动，亲自经历数学活动过程，理解圆柱侧面积、底面积的数学概念，进而在活动中发现圆柱的侧面积、底面积的计算方法。 ◆资源链接
认识圆柱的特征，掌握圆柱侧面积的计算方法
一、 创设问题情境，导入新课。
9
同学们，直尺如果我们用数学的眼光来观察，它是什么图形？ 如果绕着直尺的一条边旋转一周，得到的是什么图形？
这是一面长方形的小旗，如果也绕着它的一条边旋转一周，得到的又是什么图形？（圆柱）今天这节课就来认识圆柱。（板书课题：圆柱的认识）。
二、初学探究 1、整体感知圆柱。
在日常生活中，哪些物体是圆柱体的？如铅笔、罐头盒、茶叶盒。 如果把它们画下来是怎样的呢？（多媒体演示由实物到几何图形的抽象过程） 我们所学的圆柱都是直直的，上下粗细相同的直圆柱。 2、研究圆柱的各部分名称
（1）以小组为单位，每人拿一个圆柱，摸一摸它的面，互相交流，有什么发现。
（2）小组汇报： 随着学生的回答教师板书
（3）你是怎样知道两个底面相等的？（①观察；②画剪：把两个底面分别画在纸上，然后剪下来比较；③量直径：测量两个底面的直径，再通过计算，判断底面是否相同；④把茶叶盒的两个底面拆下来比较。） 刚才同学们用不同的方法发现圆柱体的两个底面是完全相同的圆。请看电脑是怎样演示的。（多媒体把上下两个圆完全重合）
（4）（出示两个高低不同的圆柱）同学们请看，这两个圆柱高低不同，那么圆柱的高低和和什么有关？圆柱两个底面之间的距离，就叫圆柱的高。师板书：高 画在图上连接圆心之间的距离就是圆柱的高。圆柱的高有多
10
少条？（板书：无数条）这无数条高的长度怎么样？（板书：都相等）请看电脑博士怎样演示高有无数条且都相等的。
（5）拓展高。在日常生活中，硬币的高叫什么？（厚）钢管横着放高叫什么？（长）圆柱形水井的高叫什么？（深） 三、巩固新知
（1）圆柱的侧面是个曲面，你们想不想知道侧面展开图是什么形状的？（想）请同学们拿出圆柱模型、剪刀、尺子，把圆柱的侧面剪开后再打开，观察它的形状。并完成下发的实验报告单。
（a）把圆柱的侧面展开，得到一个（ ）形。
（b）长方形的长等于圆柱的（ ），宽等于圆柱的（ ）。 （c）圆柱的侧面积等于（ ）乘（ ） 小组展示实验结果。电脑博士演示侧面展开图可能是长方形、正方形或平行四边形，但侧面积都是底面周长乘高。
如果底面周长没有直接告诉我们怎么办？（先求出圆柱的底面的周长）
尝试解决例1：一个圆柱底面的直径是5厘米，高是12厘米，求它的侧面积？ 四、课堂小节
六年级下册典型错例
采集样错误采集 42 29．5% 采集者 ** 本 率 学校 *** 错题来题 基时 课 新授第二单元 √ 课时 √ 源 型 本 机 型 课
11
题目出课本 处 相关知圆柱和圆锥 识 知识属陈述性知识 性 综合 拓展 单元 总复 习 练习√ 课 复习 课 程序性知识 √ 策略性知识 本题是在学习了圆柱的表面积知识后的综合性运用，一方教学简面要求学生计算表面积时要仔细，另一方面要求学生能根据问述 题的实际情况加以综合考虑。 ◆典型错题
错题：一圆柱形水池，底面半径5米，高4米，沿这个水池的四周及底部抹水泥。如果每千克水泥可涂0.5平方米，共需多少千克水泥？
错解：第一步底面积：3.14×52＝77.5（m2） 第二步侧面积：2×5×3.14×4＝125.6（m2） 第三步侧底面积：77.5＋125.6＝203.1（m2） 第四步共需水泥：203.1÷0.5＝406.2（千克）
正解：第一步底面积：∏×52＝25∏（m2）（应得78.5） 第二步侧面积：2×5×∏×4＝40∏（m2）（应得125.6） 第三步侧底面积：25∏＋40∏＝204.1（m2） 第四步共需水泥：204.1÷0.5＝408.2（千克） ◆原因分析
一方面，圆柱与圆锥知识，学生在计算中特别易出错，原因是圆周率（取3.14），计算时常是小数运算，像上面第二步算错后，导致下步错。
另一方面，审题不清，审题错误，一未注意题中重点词语，二未注意单位名称。此错误学生在解简单问题时一般不会出现，而在复杂问题时才会出现。对此我曾思考过，也和学生交流过。学生只注意解题思路，而忽略了他们认为不太重要但实际却很重要的地方，一个词语或一个单位名称往往会造成最终结果的错误。对于解题步骤较多的题目，学生注意力往往不易面面俱到。但作为教师，我们可把工作做得细致一些，使这种现象尽量减少。
第三，也可能与学生实际生活能力缺乏有关，没有考虑到在游泳池抹水泥上面的面是没有的，只要涂一个底面加一个侧面，考虑问题欠周到。 ◆教学建议
巧计算提高计算正确性
【对策 1】熟记几∏值带圆周率算
由于学生常因小数计算而错，所以我在教学中，让生熟记1－10∏并检查。遇有像几十（百）∏让学生在几∏基础上移小数点，几十（百）几∏的，让学生拆成加法算，学生都感觉速度加快，正确率高了，减少了许多计算错误。
【对策 2】圆锥求体积除以3再算
12
求圆锥体积要乘三分之一，学生易先算前面的数，再除以3，这样数有时较大，麻烦，不如算式中能除尽3的，要先和3除完后再算，数小就简便。尝试了这样做法，感觉效果不错，使计算快而简便了。如圆锥半径6cm，高2cm，求体积。1／3×∏×6×6×2＝24∏＝75.36（cm3），这里3和6先约分，再算。
【对策3】结合实际增加动手实践
教学中，不管求什么，都要结合生活实际用公式。圆柱圆锥知识与实际结合紧密，应用性强，应增加学生动手实践机会，如：观察像茶叶桶商标纸，并让学生进行贴商标纸的活动、了解用水泥抹圆柱形的水池、挖圆柱形游泳池情况；设计用绳子捆扎包装圆柱形蛋糕盒等活动，使学生在应用中理解掌握知识。 ◆资源链接
在平时教学中，要重视对学生解题能力和习惯的培养，教其正确审题方法。
1、培养审题习惯和能力，每节数学课，要舍得出时间进行审题能力和习惯的培养。既要全班审，也要个体审，并要求学生：①看准确：每个字、词、句看明白；②勾重点； ③分清楚：弄清题目结构；④联起想：联系起来思考。
2、重视练习过后的反思：练后要针对典型审题问题全班处理，反思不足。
3、语数结合审清题意，像语文课上品词句那样带领学生弄清题意。 4、重题组的对比练习。每组题情节数据一样，从而感受审题重要性。
六年级下册典型错例 采集样错误41.4 采集 ４2 采集者 ** *** 本 率 % 学校 错题来基新授第二单元 课时 源 本 课 题 时 课 题目出综练习作业本 型 机 单元 √ 型 处 合 课 相关知圆柱和圆锥 拓√ 总复 复习√
13
识 知识属性 展 陈述性知识 习 课 策略性知识 程序性知识 √ 本题是在学生综合学习了圆柱的表面积后对这方面知识的教学简综合性运用，重在考察学生空间想象能力以及解决问题的策略述 能力 ◆典型错题 错题：将一根长1米的圆木沿着直径劈成相等的两半，表面积增加了0.8平方米。原来这根圆木的表面积是多少？
错解：0.8÷2÷1=0.4m s=0.4×3.14×1+3.14×0.42×2=1.7584m2 正解：0.8÷2÷1÷2=0.2m s=0.4×3.14×1+3.14×0.22×2=1.5072m2 ◆原因分析
学生方面：由于学生空间想象能力的差异，有些学生无法想象沿着直径劈成两半或沿着横截面切成几段各自增加的表面是什么形状的，无法想象问题的具体表象而出错，其次，哪怕能够想象出增加的表面，对增加的表面与原来圆柱之间的各部分关系的理解也有很大难度。
教师方面：在平常的教学中，忽视学生动手操作或老师直观演示，导致学生无法想象。 ◆教学建议
学生空间观念的形成是建立在观察、感知、操作、思考、想象等的基础上，是从经验活动的过程中逐步建立起来的，发展学生的空间观念的基本途径应当多种多样。这些途径包括：生活经验的回忆、动手操作、实物观察、想像、描述、联想、模拟、分析和推理等。
1．广泛观察，积累经验形成表象。如收集生活中常见圆柱形物体，摸一摸，感受圆柱形状，了解圆柱形鱼缸、油桶、通风管等物体特点。
2．重视动手操作,强化亲身体验。通过实验使学生理解概念。像体积、表面积问题变化多样，以实践经验为基础，灵
截切活解决问题。学生在空间观念及想像力方面存
面一在着差异，想象层次不同。有的学生（上面错刀解）基本上解决了怎么截和截成什么样。对这画些学生，再次让其拿近似圆柱萝卜，黄瓜等实的物切、拼圆柱交流想法。教师再通过课件进行
演示，使学生真正建立切后表象，象这样建立的表象对学生解题很有帮助。
14
如右图：
3．画图想像，训练画图理解特征。“几何学直观：对于抽象的东西，能够在头脑中像画画一样描绘出来并加以思考；这里抽象的东西，不仅仅指几何中抽象的东西，而是指整个数学中抽象的东西；几何直观不只是将抽象的东西画出来，还要利用画出来的画去思考”（阿提雅）。学生在解题时很难找到相应实物，这时画图是使抽象化具体的有效途径。学生看示意图再加合理想像就易形成解题思路。平时课上可让学生拿实物，想立体图，并画展开图，看展开图想立体图。还可拿图形旋转想像，再出下面两组图画出以哪边为轴旋转，先想像交流后，教师再出示下图辨认、选择，以培养学生空间想像能力。
4．制作模型，帮助理解图形特征。可制圆柱圆锥，在动手中体会各部分间关系。做立体图前画展开图也是对学生空间观念的又一种训练形式，还可拿立体图剪成展开图。
六年级下册典型错例
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 错误53人 43.4% 采集者 率 基第二单元 圆柱与圆锥 本 题 综《作业本》第7页 型 合 拓圆柱的表面积 展 陈述性知识 ** 采集 学校 *** 课时 √ 新授 课 时 课 练习√ 单元 √ 机 型 课 总复复习 习 课 策略性知识 √ 程序性知识 这是《作业本》第7页中的第2题，前面学生已经认识了圆教学简柱，掌握了求圆柱表面积的计算方法。本课组织学生进行了圆柱述 表面积的综合性练习，练习后我让学生独立完成这一页中练习，
15
其中第2题有很多学生做错了。 ◆典型错题
错题：将一根长1米的圆木沿着直径劈成相等的两半，表面积增加了0.8m2。原来这个圆木的表面积是多少？
错解1：（0.8÷1÷2）2×3.14×2+（0.8÷1）×3.14×1=3.5168（m2） 错解2：0.8×2+0.8×3.14×1=4.112（m2） ◆原因分析
1．错解1的错因在于学生将沿着直径劈成相等的两半，增加了2个长方形面，理解成只增加了1个面，所以0.8÷1=0.8m当作了底面直径来求表面积。实际上底面直径应该是0.8÷2÷1=0.4m。
2．错解2可以看出学生对此题理解上有很大的困难，头脑里没有“将一根长1米的圆木沿着直径劈成相等的两半，表面积增加了0.8m2”的空间观念。
综述上面两种错解，都可看出学生缺乏相应的空间观念。 ◆教学建议
1．加强直观教学，增强空间观念。采取实物、课件或画图的剖切演示，帮助学生明白这个圆柱是如何切开的，增加了几个面，增加的面的形状是怎样的，这个面的长是几，宽是几等。
2．教给学生思考方法——画图。授之鱼，更要授之以渔，教师要有意识地提醒和强调学生，对于这些空间图形的问题，需要先画一画来帮助理解，画图是一种解决图形问题的重要方法。 ◆资源链接
1．填空：把一个底面积是15.7平方厘米的圆柱，切成两个同样大小的圆柱，表面积增加了（ ）平方厘米。
2．选择：把一个直径为4厘米，高为5厘米的圆柱，沿底面直径切割成两个半圆柱，表面积增加了多少平方厘米？算式是（ ）
A、3.14×4×5×2 B、4×5 C、4×5×2 3．解决问题：
（1）一根长2米，底面积半径是4厘米的圆柱形木段，把它据成同样长的4根圆柱形的木段。表面积比原来增加了多少平方厘米？
16
（2）把两个底面直径都是4厘米，长都是3分米的圆柱形钢材焊接成一个大的圆柱形钢材，焊接撑的圆柱形刚才的表面积比原来两个小圆柱形钢材的表面积之和减少了多少？
（3）把3个高相等、底面半径都是10厘米的圆柱形盒子叠放在一起。拿走1个盒子，表面积就要减少314平方厘米。每个盒子的表面积是多少平方厘米？
六年级下册典型错例
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 错误52 88．46% 采集者 率 基第二单元 本 题 综课堂作业本 型 合 拓圆柱 展 陈述性知识 *** 采集 学校 *** 课时 √ 新授 课 时 课 练习√ 单元 √ 机 型 课 总复复习 习 课 策略性知识 √ 程序性知识 学生已经认识圆柱，知道圆柱的表面积就是两个底面加上一教学简个侧面。知道底面与侧面的求法。但在练习过程中只是最简单述 的直接告知所需的条件，求圆柱的表面积。 ◆典型错题（写清错题与错解）
错题：将一根长1米的圆木沿着直径劈成相等的两半，表面积增加了0.8平方米。原来这根圆木的表面积是多少？
错解：①计算错误 9人
②还有26人不知所措。无从下手。 ③D: 0.8÷1=0.8m ∏r2×2+∏Dh =3.14×(
0.82
)×2+3.14×0.8×1 11人 217
◆原因分析：
这一单元计算比较烦，学生的计算能力普遍不高，乘错加错常有。 将一根长1米的圆木沿着直径劈成相等的两半，表面积增加了0.8平方米。沿着直径劈成相等的两半。学生在头脑中不能呈现这种劈法的表象。劈了以后倒底成啥样不知道。因此无从下手。
第三种错误的学生虽然知道怎么劈，但表面积增加了0.8平方米。增加了几个面的面积学生没有搞清楚，直观地认为增加了一个面。 ◆教学建议
在求表面积体积的过程中适及的计算很多都是3.14乘一个数。让学生记忆2至9乘3.14的值，可以大大降低计算的错误率。
直观演示，帮助学生建立表象。然后在黑板上抽象画出示意图，帮助学生由直观过渡到抽象。
明确增加了两个长方形的面积，也就是0.8平方米里有两个一样的长方形的面积。请学生找找长方形与圆柱有什么相同的地方。借助图的帮助学生很容易就能发现，长方形的宽就是圆柱的底面直径，长就是圆柱的高。先求一个长方形的面积，再求出长方形的宽，也就求出了圆柱的底面直径，最后利用公式求出圆柱的表面积。
◆资源链接
圆柱表面积在实际生活中的应用，对于学生来说比较难，在教学过程中多画图使学生头脑中有了清晰的表象，再解决就容易多了。
1、一只圆柱形水杯的底面半径是4厘米,高是10厘米,如果杯子里水面的高度是5厘米,那么杯子的内壁与水接触的面积是多少?
2、（1）要将路灯座（如右图）漆上白色的油漆，要漆多少平方米？ （2）街心花园有30个这样的灯座，如果每
平方米人工费5元，一共需要人工费多少
18
油漆灯座
元？
六年级下册典型错例
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 50人 错误36% 率 采集者 *** 采集 学校 *** 课时 √ 基本 题 综作业本P7、4 型 合 圆柱和圆锥，圆柱的表拓面积 展 第二单元 陈述性知识 新授 课 时 课 练习√ 单元 √ 机 型 课 总复复习 习 课 策略性知识 程序性知识 √ 学生已经认识了圆柱，学会了求圆柱的表面积，此题是圆柱教学简表面积的练习课后的《作业本》中出现的，课本第18页中已出述 现过类似组合立体图形的表面积，但作业本中此题错误率仍较高。 ◆典型错题
错题：一个零件由两个圆柱组成，它们的高都是5cm，底面直径分别是4cm和8cm。现在要给这个零件的表面漆上油漆，需要多少平方厘米？
错解(1)
3.14×8×5+3.14×(8÷2) 2×2≈226.08cm2 3.14×4×5+3.14×(4÷2) 2×2≈87.92 cm2 226.08+87.92=314 cm2 错解(2)
3.14×8×5+3.14×(8÷2) 2×2≈226.08cm2 3.14×4×5+3.14×(4÷2) 2≈75.36 cm2 226.08+75.36=301.44 cm2 ◆原因分析
19
（1）教师在教学的过程中，借助实物让学生动手操作、感知较少，学生缺少操作的体验，感知不够。平时应有目的、有步骤地引导学生观察、思考，特别对中下生应多结合实物或图形指出问题要求的部分。
（2）学生牢记了求圆柱表面积的公式，但在具体的问题情境中，没有进行问题的分析，直接利用公式进行计算。 ◆教学建议
（1）学生小组讨论：可以漆色的面有哪些？
借助于具体的实物，让学生一边口述、一边指着实物来说。 （2）通过教具演示，使学生明白两个圆柱表面被遮住的部分刚好是小圆柱的两个底面积。因此，计算油漆的面积就是计算大小圆柱的表面积的和减去小圆柱的两个底面积，也就是计算大圆柱的表面积加小圆柱的侧面积。
（3）提醒学生解决此类数学问题时，要先想清楚是求哪些面，然后再根据实际情况解决问题。
六年级下册典型错例
采集样本 错题来源 题目出处
错误采集 35% 采集者 ** *** 学校 率 第二单元 圆柱和圆基新授 课时 √ 锥 本 课 题 时 课 机 型 练习课堂作业本第7页第5型 综√ 单元 √ 题 合 课 57人 20
相关知立体图形体积及长度拓总复复习 识 单位 展 习 课 知识属陈述性知识 程序性知识 策略性知识 √ 性 这是学生在学习了圆柱之后，教材所安排的一道综合性练习教学简题，目的是检测和巩固学生的对圆表面积的一种实际应用。我在述 课堂上让学生先独立练习，然后集体反馈，在反馈中发现了的典型错误。 ◆典型错题
求右面半圆柱的表面积。（图中单位：cm）
学生错解：（3.14×6×4）÷2=37.68（厘米） ◆原因分析
1、空间想象力不够。要准确解决几何问题，前提是要有很强的空间想象能力，这是几何和代数的最大区别，也是解决几何问题的最大障碍。学生缺少对具体几何物体的感知，不能准确理解几何图形的空间构造。
2、概念不清。学生没有准确掌握表面积的概念，错误地理解半圆柱体的表面积就是原圆柱体的表面积的一半，没有想到甚至无法横截面的面积也是表面积的一部分，归根结底，对表面积的概念没有清晰地掌握。 ◆教学建议
1、培养良好的审题习惯。要求学生在平时的练习过程中，切实重视，严谨细致，勾重点、会甄别、善联想，不再犯因审题错误而做错题目的低级错误。
2、提高空间想象力。注重实物感知，让学生学会观察各种物体，用看、摸、比等方法，区别不同几何图形的空间构造，在脑海中形成清晰的轮廓。学会区别实物和立体图形的联系和区别，熟练掌握各种立体图形的具体画法，将具体的实物信息转换成抽象的几何图形，建立起两者沟通的信息桥梁，实现有机的转换。
21
3、熟练掌握表面积的概念。表面积就是立体图形所能触摸到的面积之和，这个概念的关键是“所能触摸到”。通过各种几何图形，让学生认知表面积，从而向各种具体的表面积延伸，并学会正确区别，如封闭钢管和空心钢管表面积的不同，让学生建立起正确的表面积概念。 ◆资源链接
练习设计：
1、一个棱长6厘米的正方体，切成相同的两个长方体，每个长方体的表面积是多少？
2、将一根长1米的圆木沿着直径劈成相等的两半，表面积增加了0.8平方米。原来这根圆木的表面积是多少。
六年级下册典型错例 采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 错误采集 57人 42% 采集者 ** 学校 率 第二单元 圆柱和圆基 课时 锥 本 题 综时 课本16页第7题 √ 单元 型 合 机 拓总复圆柱表面积的计算 展 习 陈述性知识 程序性知识 *** 新授√ 课 课 练习 √ 型 课 复习 课 策略性知识 √ 这是学生在学习了圆柱的表面积之后，安排的一道综合性练教学简习题，目的是检测和巩固学生的对圆柱表面积公式的一种实际应述 用。我在课堂上让学生先独立练习，然后集体反馈，在反馈中发现了的典型错误。 ◆典型错题
错题：一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽2米，直径1.2米。前轮转动一周，压路的面积是多少平方米？
22
错解：3.14 ×1.2×2+3.14 ×(1.2÷2)2 ×2＝9.7968（平方米） ◆原因分析
1、审题不细致。题目求转动一周压路的面积，而不是求圆柱形的面积。
2、缺少生活经验。压路机压过的路面只是圆柱的侧面积，不包括两个底。
3、空间想象力不够。要准确解决几何问题，前提是要有很强的空间想象能力，这是几何和代数的最大区别，也是解决几何问题的最大障碍。学生缺少对具体几何物体的感知，不能准确理解几何图形的空间构造。 ◆教学建议
1、要求学生在正确审题的基础上，遇到不熟悉的事物要联想它们的形状，有必要时可以查看相应的图片。
2、教师要联系学生的生活实际进行教学，例如粉刷墙壁问题可以结合教室的环境让学生思考哪些地方需要粉刷？要扣除哪部分的面积等？ 3、结合教学内容让学生多动手实践，可以让学生动手做一做立体图，用橡皮泥等创造出一个圆柱，让学生动手摸一摸要求的表面积，为学生解决问题打好基础。 ◆资源链接
练习设计：
1、一顶厨师帽是圆柱形的，高是3分米，帽顶周长是62.8分米.做这样一顶帽子至少需要用多少面料?
2、一个圆柱形的茶罐，底面直径和高都是10厘米，在它的侧面贴上一张商标纸。这张商标纸的面积是多少？
3、一台压路机的滚筒长1.5米，直径是0.6米。如果这台压路机的滚筒每分钟转20圈，那么它每小时可以压路面多少平方米？
23
六年级下册典型错例
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 错误采集 30% 采集者 ** 学校 率 第二单元 圆柱和圆基 课时 锥 本 题 综时 课外作业 √ 单元 型 合 机 拓总复圆柱的特征 展 习 57人 陈述性知识 程序性知识 √ *** 新授 课 课 练习 √ 型 课 复习 课 √ 策略性知识 这是学生在学习了圆柱表面积之后，安排的一道综合性练习教学简题，目的是检测和巩固学生的对圆柱表面积公式的一种实际应述 用。我在批改回家作业过程中发现的典型错误。 ◆典型错题
高明生日那天，同学们送给他一个大蛋糕，蛋糕盒是圆柱形，服务员阿姨说要配上十字形的丝带才漂亮，你知道买多长的丝带才合适？（蝴蝶结需要20厘米）
学生错解：20厘米=2分米 3×2＋4×2＋2=16（分米） ◆原因分析
1、缺乏空间想象能力，只算了看见的丝带长度（两条直径+两条高+蝴蝶结长度），没有想象隐藏部分丝带的具体分布，看不见的就不算。
2、缺少生活经验，不善于观察生活的细节，缺少生活实践的积累，目前孩子是家中的宝贝，这点显得尤为突出。 ◆教学建议
1、广泛观察，积累经验形成表象。如收集生活中常见的圆柱形物体，摸一摸，感受圆柱形形状，了解圆柱形鱼缸、油桶、通风管等物体的特点。
2、画图想象，训练画图理解特征。学生在解题时很难找到相应的实物，这时画图是使抽象化具体的途径。 ◆资源链接
练习设计： 1、给一个棱长10厘米正方体纸盒系上十字形礼品带，至少需要礼品带多少厘米？（打结处为20厘米）
24
2、一种长方体的礼品盒（长0.6米，宽0.6米，高0.25米），如果用包装带把它捆扎起来，打结处的包装带长0.2米，一共要多少米的包装带？.
六年级下册典型错例
采集样53 本 错题来第二单元 源 题目出易错题检测卷 处 相关知圆柱的体积 识 知识属性 教学简述 陈述性知识 展 本 题 综型 合 拓 习 程序性知识 √ 率 基 课时 课 时 课 练习√ 单元 √ 机 型 课 总复 课 策略性知识 复习√ 错误56% 采集者 ** 采集 学校 *** 新授 练习此题时学生已经学完了圆柱和圆锥这一单元，熟练地掌握了圆柱体积的基本计算方法，对截面后面积如果增加这样的知识点也有所了解。 ◆典型错题
错题：一根圆柱形木料，长1.5米，把它沿底面直径平均锯成两部分后，表面积增加了600平方厘米。这根木料的体积是( )立方厘米。
错解1： 4.71立方厘米 错解2：1884立方厘米 错解3：18.84立方厘米 错解4：45000立方厘米 ◆原因分析
1．错解1和3中都可以看出学生在审题时没有注意到米、平方厘米和立方厘米之里的单位区别。像错解1中虽然前面计算底面积是注意了1.5米化成150厘米，而在最后计算体积时又去乘1.5米了。
25
2．错解2中学生没有很好的理解增加的面积是两个截面的面积之和，所以应该把600平方厘米先除以2，然后再来计算直径。
3.出现错解4的主要原因是一个圆柱的截面怎么个截法学生没有很好理解，误分析为题目中是以平行于底面的横截面。 ◆教学建议
1.帮助学生理解截面的不同截法和不同截法后增加的面积是怎么样的。在教学中教师可以借助实物给学生演示沿底面直径平均锯成两部分和平行于底面平均锯成两部分的两种情况。然后分析理解第一种截面积是长方形，可以用底面直径乘高计算，而第二种截面是圆，大小和底面积是一样的。
2.加强通过分割增加表面积和合并减少表面积这样的练习，让学生进一步理解在分割或合并中这表面积怎么个增加或减少的。
3．加强学生审题的引导，特别在审题时注意的单位之间的变化。 ◆资源链接
1． 两个底面直径和高分别为2分米的同样圆柱体，分别沿底面直径平均锯成两部分和平行于底面平均锯成两部分，问那一种分割后增加的表面积多？多少？
六年级下册典型错例 采集样51 错误39.2% 采集者 ** 采集 *** 本 率 学校 错题来第二单元 基新授 √ 课时 源 本 课 题目出配套作业本P-9 习题题 综时 课 练习 单元 √ 处 3 型 合 机 型 课 相关知圆柱的体积 拓总复 复习√ 识 展 习 课 知识属性 陈述性知识 程序性知识 策略性知识 √ 这是学生学习了圆柱的体积计算方法后，在配套作业本中安教学简排的一道练习题。学生此前已经会解决基本的关于圆柱体积计算述 的实际问题。 ◆典型错题 错题：一根圆钢长1.2米，现将它锯成每段长0.6米的两小段。表面积增加了12.56平方厘米。求原来这根圆钢的体积。
26
错解：
（1） 12.56×1.2 （2）12.56÷2×1.2
（3）12.56÷2÷3.14=2（厘米） 3.14×2×120
◆原因分析
首先，不理解题中“表面积增加12.56平方厘米”这一信息所包含的具体含义，它需要借助植树问题的经验，截成两小段，即需截1次增加了两个横截面的意思，那么每个横截面的面积就是12.56÷2=6.28平方厘米。其次，对题中单位没有统一的问题关注不够，只注重方法的运用，而忽视了细节的把握。第三，思维定势造成了墨守成规的错误，在求出横截面面积的情况下，再迂回去求横截面的面积，令人费解。 ◆教学建议
1、要强化和巩固横截段数与增加的面的个数之间的关系，从而突破这类问题中求出横截面面积的方法。
2、注意全面审题习惯和意识的培养，使之上升为解题能力。 ◆资源链接
一根方木，长2米，横截面是边长12厘米的正方形。将它横截成同样的四段。它的表面积增加多少平方厘米？每段方木的体积是多少？
六年级下册典型错例
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 错误23.5% 采集者 ** 采集 率 学校 基第二单元 课时 本 综时 教材p21练习三习题4 题√ 单元 型 合 机 拓总复圆柱的体积 展 习 51 陈述性知识 程序性知识 √ *** 新授 课 课 练习√ √ 型 课 复习 课 策略性知识 这是学生学习了圆柱的体积计算方法后，在教材中安排的教学简一道练习题。学生此前已经会解决基本的关于圆柱体积计算的述 实际问题。 27 ◆典型错题
错题：学校建了两个同样大小的圆柱形花坛。花坛的底面直径为3米，高为0.8米。往里面装泥土的高是0.5米，两个花坛中共需要填土多少方？
错解：
1、3.14×（3÷2）2 ×0.8×0.5×2 2、 3.14×（3÷2）2 ×0.8×2 3、3.14×（3÷2）2 ×0.5
◆原因分析
对于有多余信息的问题解决，需要学生对问题和条件之间的联系进行细致的分析，从而做出取舍。这里信息“圆柱花坛的高0.8米”与问题“一共需要泥土多少方？”之间没有发生实质联系，因此“高0.8米”这个信息是多余的，与问题有关联的信息是“往里面装泥土的高是0.5米”。学生以往解决的更多的是常规性圆柱体体积的问题，圆柱的高是必备条件，所以这里学生就难以分清“用”与“无用”，或者是缺乏细致地的分析，以致犯了上面这样或那样的错误。从教师角度来说，平时缺少给学生这类有多余信息的问题的练习，也是学生造成错误的主要原因。
其中错解3是因为审题不够仔细，没有看清楚“有两个一样的花坛”，忘记乘2了。
◆教学建议
1、对于这类有多于信息的问题解决，要引导学生对解决问题需要的条件进行分析，选择有用的，剔除多余的。
2、解决问题时，可以引导学生仔细读题审题，讨论：你有什么要提醒大家注意的？通过这样的开放性交流，“有开两个花坛”、“花坛的泥土没有
28
装满，只装了0.5米”等解题要素就顺利被学生一一关注了，从而掌握了正确的解题方法。
3、加强错误资源的利用：错解2如果是正确的，那么题目应该怎样改编？ ◆资源链接
一个圆形水池，底面直径10米，深3米。 (1)这个水池的占地面积是多少？
(2)沿池壁划一条水深2米地线，这条线有多长？
(3)如果要使这个水池的水深达到2米，需要注入多少立方米水？
六年级下册典型错例 ** 错误采集 63 20．63 采集者 ** 学校 率 ** 基第二单元 课时 本 课堂作业本第6页第3题 综时 √ 单元 题 型 合 机 拓总复圆柱的体积 展 习 采集样本 *** 错题来新授√ 源 课 题目出课 练习 √ 处 型 课 相关知复习 识 课 知识属陈述性知识 程序性知识 √ 策略性知识 性 此题是在学生已经学习了“圆的面积计算”和“长方体的教学简体积”及“圆柱的特征”等相关的知识的基础上教学的练习。同时又为学生今后进一步学习其他立体图形的有关知识做好充述 分准备。 ◆典型错题 错题：一个圆柱形的蓄水池，底面周长是18.84米，深2米，这个蓄水池能蓄水多少吨？（1立方米重1吨）
错解：18.84×2=37.68吨 ◆原因分析
1．对圆柱体积的概念没有很好的理解，即对圆柱的体积是指圆柱体所
29
占空间的大小没有很好的把握。
2．在推导圆柱的体积时需要较强的转化能力，对转化意识较差的学生来说，对于圆柱的公式由来的认识有很大的困难。
3．受圆柱的侧面积公式的干扰，由于圆柱侧面积等于底面周长乘高，而圆柱的体积用底面积乘高，用公式模型极其相似，学生容易混淆。 ◆教学建议
1．学生经历圆柱的体积计算公式的再创造。
2．根据学生已有的知识经验，通过实践、操作、观察、讨论等活动，有意识地渗透转化思想，让学生创造性地建构自己的数学，从而进一步让学生发现和感悟圆柱体体积计算公式的由来。 ◆资源链接
1．创设问题情景，为学生创造良好的学习氛围
上课开始为学生搭建了新旧知识间的联系，通过几组圆柱体模型的对比，使学生在猜测的基础上，初步感知圆柱体的体积与底面积和高有关系，然后运用已有的生活经验和旧知，探索和解决问题，并制造冲突，形成“任务驱动”的探索氛围。
2． 展示知识的发生过程，让学生在参与中学习
在休息过程中，首先不是教师教会的过程，而是学生学会的过程。展开部分，首先让学生大胆猜想“圆柱体的体积可能和什么有关？”在学生猜测的基础上提供不同的学习材料（课件和圆柱体实物），让他们自己想办法加以验证，使学生明确自己的想法是正确的。
3． 在讨论中交流学习
通过实验验证后，小组讨论（1）拼成的长方体的体积与圆柱体体积有什么关系？（2）拼成的长方体的底面积与圆柱体的底面积有什么关系？（3）拼成的长方体的高与圆柱体的高有什么关系？让学生大胆参与，发挥学生学习的主动性，推导出圆柱体的体积计算公式。
六年级下册典型错例 采集样51 错误39.2% 采集者 ** 采集 *** 本 率 学校 错题来第二单元 基新授 √ 课时 源 本 课 题目出配套作业本P-12 习题 综时 课 练习 单元 √ 处 题1（5） 型 合 机 型 课 相关知圆锥的体积 拓总复 复习√ 识 展 习 课 知识属性 陈述性知识 程序性知识 √ 策略性知识 学生已在教材中通过实验的方法知道求圆锥体积的方法，并教学简能解决基本的圆锥体积问题，这是配套教材练习课中出现的一道述 填空题，属逆向推理。 ◆典型错题
30
错题：一个圆柱与一个圆锥体积相等，底面积也相等。已知圆柱的高是12厘米，圆锥的高是（ ）厘米。
错解：
一个圆柱与一个圆锥体积相等，底面积也相等。已知圆柱的高是12厘米，圆锥的高是（ 4 ）厘米。
◆原因分析
从学生的角度分析。“等底等高圆锥体体积等于圆柱体体积的三分之一”这一结论，在单元学习的过程中经过反复刺激，对于部分理解不深的学生来说已经形成以下条件反射：1、“等底等高”这一前提条件很重要；2、相对圆柱体而言，圆锥体体积这个量比较小。所以当学生看到这样的题目1时，没有进行细致地分析，看到是求关于圆锥的量，就简单地用12× 来
3解决。 ◆教学建议
1、在教学过程中，除了巩固圆柱与圆锥在等底等高前提条件下的体积关系的理解之外，还要十分重视此类变式习题（如逆向思考）的练习，才能真正促进学生思维的发展。
2、重在理解圆柱与圆锥“体积相等”的前提条件下，如果它们底面积相等，那么圆锥的高应该怎么样才可以满足体积相等呢？（结合示意图） ◆资源链接
1、一个圆柱比等底等高圆锥体的体积大20立方厘米，那么圆柱的体积是（ ）立方厘米，圆锥的体积是（ ）立方厘米。
2、一圆柱体木料，体积是36立方分米，要削成一个最大的圆锥体。
31
应削掉的木料体积是（ ）立方分米。
3、等底等高的圆柱和圆锥的体积之和是18立方厘米，那么圆柱的体积是（ ）立方厘米，圆锥的体积是（ ）立方厘米。
4、一个圆柱与一个圆锥体积相等，底面积也相等。已知圆锥的高是12厘米，圆柱的高是（ ）厘米。
六年级下册典型错例 采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 错误48．9 % 采集者 率 基第二单元 本 题 综课外练习 型 合 拓圆柱和圆锥 展 ４2 陈述性知识 ** 采集 *** 学校 课时 新授 课 时 课 练习 单元 √ 机 型 课 总复复习√ √ 习 课 策略性知识 √ 程序性知识 本题是在学习了圆柱、圆锥知识后的综合性运用的问题，教学简学生已熟练掌握圆柱、圆锥体积计算方法，本题重在考察学生述 对排水法求不规则物体的体积方法的掌握情况 ◆典型错题
错题：一个圆柱形状的水桶，它的底面半径是30厘米，里面盛有一些水。把一个底面半径是10厘米的圆锥形状的钢制零件浸没在水中，当零件从水桶中取出后，桶里的水面高度下降了5厘米。这个零件的体积是多少立方厘米？
错解：①3.14×102×5÷3 ②3.14×302×5÷3 正解：3.14×302×5
32
◆原因分析
一方面，教学中老师将求圆锥体积的一条途径简单化为唯一途径，而且过分强调乘三分之一，极容易给学生造成错误认识。只要是求圆锥体积，学生由于有了思维定势，习惯性地会在算式中除以3（错解②）
另一方面，由于问题复杂，有些学生难以理解，误将水面下降了5厘米当作了圆锥的高，又通过已知的圆锥底面半径是10厘米，利用公式直接求出圆锥的体积（错解①）
第三，也有一部分学生对用排水法求不规则物体的体积方法掌握不够理想，无法想象圆锥的体积与下降的水的体积之间的关联。 ◆教学建议
思考的对策：两个算式对吗？你有什么想说的？
（通过让学生判断、议错、分析错因。第一个算式：圆锥的底面积应该乘圆锥的高再除以3,5厘米是水面下降的高度，不是圆锥的高，所以错了；第二个算式用圆柱的底面积乘5厘米，这是下降的水面形成的圆柱形水柱的体积，也就是圆锥的体积，所以这里不用除以3）
（通过分析，让学生明白零件的体积就是水面下降形成的圆柱形水柱的体积。我们把圆锥的体积转化成圆柱的体积来求，所以这题只要用圆柱的底面积乘下降的高度就能求出圆锥的体积。） ◆资源链接
比较：
（1）一个圆锥零件的底面半径是10厘米，高是5厘米，这个圆锥零件的体积是多少立方厘米？
33
（2）一个圆柱形状的水桶，它的底面半径是30厘米，里面盛有一些水。把一个底面半径是10厘米的圆锥形状的钢制零件浸没在水中，桶里的水面高度上升了3厘米。这个零件的体积是多少立方厘米？
六年级下册典型错例
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 错误采集 30% 采集者 ** 学校 率 第二单元 圆柱和圆基 课时 锥 本 课本第3 0页练习五第题 综时 √ 单元 5题 型 合 机 拓总复立体图形体积 展 习 57人 陈述性知识 程序性知识 √ *** 新授 课 课 练习 √ 型 课 复习 课 √ 策略性知识 这是学生在学习了圆锥和圆柱之后，教材所安排的一道综合教学简性练习题，目的是检测和巩固学生的对圆锥的体积转换为长方体述 的体积的一种实际应用。我在课堂上让学生先独立练习，然后集体反馈，在反馈中发现了的典型错误。 ◆典型错题
错题：一个圆锥形沙堆，底面积是28.26平方米，高是2.5米。这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？
错解：28.26×2.5÷（10×2）=3.5325（米） ◆原因分析
1、审题不细。学生在没有认真审题的前提下，未注意到已知条件的单位并没有统一，就盲目着手进行解题，粗枝大叶，眉毛胡子一把抓。这是粗心的学生的通病。
2、概念不清。对圆锥体积公式没有熟练掌握，只知道大概，不能与其他图形的体积公式进行清晰的区别。
34
◆教学建议
1、培养良好的审题习惯。审题是前提，要求学生思想上十分重视审题的极端重要性，认真读解题目的每一个细节和每一个字眼，全面了解题目的真实意思。审题是关键，只有真确审题的前提下，才能确保解题的正确性。要求学生在平时的练习过程中，切实重视，严谨细致，勾重点、会甄别、善联想，不再犯因审题错误而做错题目的低级错误。
2、理清具体的公式概念。要求学生熟练掌握各种立体图形的体积公式，认真区别不同图形的体积计算公式，并分析研究相互之间的联系和区别，如等底等高圆锥体的体积为什么是圆柱体体积的三分之一，便于学生学习掌握。
3、注重加强对比练习。对错题进行挖掘，举一反三，对题目的情节、数据进行有意识地修改，让学生感知审题的重要性，学会不同条件下的解题思路，熟知不同图形的体积公式的异同及运算结果的差别，在矛盾的交错中让学生学会理清思路解决问题。 ◆资源链接
练习设计：
1、一个圆柱形沙堆，底面积是28.26平方米，高是2.5米。这堆沙在10米宽的公路上铺0.02米厚的路面，能铺多少米？
2、一个圆锥形沙堆，底面积是28.26平方米，高是25分米。这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？
六年级下册典型错例
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属
错误采集 57人 32% 采集者 ** 学校 率 第二单元 圆柱和圆基 课时 锥 本 题 综时 课外作业 √ 单元 型 合 机 拓总复圆柱圆锥体积计算 展 习 陈述性知识 程序性知识 √ 35
*** 新授√ 课 课 练习 型 课 复习 课 策略性知识 √ 性 这是学生在学习了圆柱、圆锥体积之后，安排的一道综合性教学简练习题，目的是检测和巩固学生的对圆锥、圆柱体积公式的一种述 实际应用。我在批改回家作业过程中发现的典型错误。 ◆典型错题
错题：一个圆锥形铁块，底面半径是3分米，高2分米，要把它锻造成一个底面半径是2分米的圆柱体，这个圆柱体的高是多少？
22
错解：13×3.14×3×2=18.18（立方分米） 18.84×3÷（3.14×2）=4.5（分米） ◆原因分析
1、思维定势。学生脑海里一直认为圆柱体的体积是圆锥体的3倍，在该时求解时，想当然的在圆锥体的体积的基础上乘以了3。
2、概念不清。造成错误的根据原因是学生对各种几何图形的体积公式认知不清，一知半解，没有深刻理解公式背后的实际涵义，没有理清各种几何图形之间的本质联系。
3、空间想象力不够。要准确解决几何问题，前提是要有很强的空间想象能力，这是几何和代数的最大区别，也是解决几何问题的最大障碍。学生缺少对具体几何物体的感知，不能准确理解几何图形的空间构造。 ◆教学建议
1、培养良好的审题习惯。要求学生在平时的练习过程中，重视审题，严谨细致，勾重点、会甄别、善联想，准确地理解题目的真实意思。
2、准确掌握的体积公式。数学离不开法则和公式，只有准确全面地掌握公式，数学问题才能迎刃而解。在日常教学中，要引导学生牢固掌握几何图形的体积公式，并建立起清晰的数量关系。通过比较教学和练习，巩固公式概念，能灵活运用各种体积公式。
3、提高空间想象力。注重实物感知，让学生学会观察各种物体，用看、摸、比等方法，区别不同几何图形的空间构造，在脑海中形成清晰的轮廓。
36
学会区别实物和立体图形的联系和区别，熟练掌握各种立体图形的具体画法，将具体的实物信息转换成抽象的几何图形，建立起两者沟通的信息桥梁，实现有机的转换。
◆资源链接
练习设计：
1、计算下面图形的体积。（单位：厘米）
2、把一块底面直径是4厘米，高是10厘米的圆柱体钢材锻造成一个长8厘米，宽5厘米的长方体，高是多少厘米？
3、有一只底面半径是4分米的木桶，桶内盛满水，并浸有一块底面半径为2分米的圆锥体铁块。当铁块从水里取出时，桶内的水面下降了5厘米，求这块圆锥体铁块的高。
六年级下册典型错例
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 错误54人 35% 率 第三单元 作业本 比例的意义 陈述性知识 采集者 ** 基本 题 综型 合 拓展 √ 采集 学校 越城区*** 新授√ 课 时 课 练习单元 机 型 课 总复复习 习 课 课时 √ 策略性知识 程序性知识 √ 我把比例的意义和基本性质合并成一节课上的。通过学习，教学简学生能根据“比值相等”和“两个内项之积等于外项之积”这述 样的标准判断两个比能否成比例。从课堂的练习看，掌握得不错。 37
◆典型错题：
错题：一辆汽车的行驶情况如右表所示。
（1）分别写出这辆汽车这两天行驶的路程和时 间的比。如果这两个260 416 比能组成比例，请写出来。
（2）分别写出这辆汽车这两天行驶的时间比和路程比。如果这两个比能组成比例，请写出来。
错解：（1）4:260=6.4:416
（2）4:260=6.4:416 260:4=416:6.4 ◆原因分析
1.
教师原因。比的意思是上学期学的内容，所以在这节课上，我的
时间/时 路程/km 第一天 第二天 4 6.4 注意力放在理解比例的意义上了，没有对“比的意义”进行必要的复习，以致学生忽视了比的前项与后项间区别。
2.
学生原因：
（1） 审题不仔细。部分学生的出错在于审题不仔细，批改时我只需在题中“路程和时间的比”下画一条横线，学生就恍然大悟了。
（2）题意不理解。有些学生解答问题二时出错，其原因是看不懂题目的意思——“这两天行驶的时间比和路程比”与“这两天行驶的时间与路程的比”的区别。 ◆教学建议
1. 复习比的意义，理解比的前项与后项交换以后所表示的意义是不同的。所以比的前项与后项是不能随意调换位置的。
2. 对比 “这两天行驶的时间比和路程比”与“这两天行驶的时间与路程的比”， 理解它们的区别。
3. 说说解决此类问题时要提醒同学注意的哪些问题？
38
◆资源链接
按要求写比，并说说每一个比所表示的意义。
1.正方形的周长与它的边长的比是（ ）：（ ），比值表示（ ）。
2.在同一时间、同一地点测得树高2米，它的影长1.6米。 （1）树高与影长的比是（ ）：（ ），比值表示（ ）。
（2）影长与树高的比是（ ）：（ ），比值表示（ ）。
六年级下册典型错例 采集样89 本 错题来第三单元 源 题目出《作业本》p15 处 相关知解比例（例2） 识 知识属性 陈述性知识 展 本 题 综型 合 拓 习 程序性知识 √ 率 基√ 课时 √ 课 时 课 练习单元 √ 机 型 课 总复 课 策略性知识 复习 错误11.2% 采集者 ** 采集 学校 *** 新授 这一题是在学习了比例的基本性质、解比例之后的一个深化教学简练习，是把数学方法与实际应用的一个有机结合。题目的第一述 个问题是要能对比例的基本性质进行逆向运用，然后再根据题意列出比例并解比例。类似这样的利用比例的知识来解决问题
39
的题目在后面的学习中将经常会涉及。 ◆典型错题：
错题：有两袋大米，甲袋的的和乙袋的一样重。甲乙两袋大米的质量比是多少？如果乙袋米重１６千克，那么甲袋米重多少千克？
错解：（1）甲乙两袋大米的质量比是8∶9。 （2） 解：设甲袋米重X千克。 X∶16＝∶ ◆原因分析：
这是在两节新课（比例的意义、比例的基本性质）之后的一节练习课，虽说是练习课，但涉及到的几道题目对学生来说却是全新的。单纯地讨论比例的基本性质内容，并应用比例基本性质把一个比例式改写成一个乘法
2等式，这不难。但在这一道题目中，首先，学生要能根据“甲袋的的和
33乙袋的一样重”来得出一个乘法等式，然后还要逆向地把这个乘法等式
4改写成一个比例式，这对于学生来说就有难度了，因为，逆向思考问题本来就不简单，哪怕学生想到了，也很容易把内外项的位置换错。再者，老师在新授过程中与学生讨论比例基本性质的方法也不够灵活，其实这样的变法在新授过程当中应有所讨论。 ◆教学建议：
1、比例基本性质的新授课中，可以对基本性质进行灵活地讨论与应用，正向变化与负向变化都要涉及，并且负向变化还要作为难点去攻破。 2、培养学生良好的检查习惯。如在课堂上讨论类似这样的题目时，老师可以有意识自觉地应用比例基本性质检查学生所说的比例式是否正确（比如自言自语的方式），从而在无形当中影响学生的作业方式，培养他们的检查习惯。 ◆资源链接：
判断：
如果8A = 9B那么B ：A = 8 ：9
40
23342334
六年级下册典型错例 采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 错误53人 39.6% 采集者 率 基第三单元 比和比例 本 课本（人教版）第38题 综页 型 合 拓比例的意义和性质 展 陈述性知识 ** 采集 学校 *** 新授 课时 √ 课 时 课 练习√ 单元 √ 机 型 课 总复复习 习 课 策略性知识 程序性知识 √ 这是课本第38页练习六中的第11题，前面学生已经学习了比例的意义和基本性质，本题是应用比例的基本性质解决实际问教学简题，其实，这题用正比例来解决可能更容易些，但用正比例解决述 此题是后续知识。从课堂练习中，学生用比例的基本性质来解决此题还是显得较困难，错误率较高。 ◆典型错题
错题：育新小区1号楼的实际高度为35m，它的高度与模型高的比是500:1，模型高多少厘米？
错解1： 解：设模型高xcm。 35m=3500cm
x:3500=500:1 x=1750000 答：模型高1750000cm。
错解2： 解：设模型高xcm。
35:x =500:1 500x=35 x=0.07 答：模型高0.07cm。 ◆原因分析
错解1，组成比例的两个比的前项和后项没有对应，等号左边的比是1号楼模型的高与实际高度的比，而等号右边的比表示的是实际的高度与模型高的比。造成这一错误的主要原因学生对于组成比例的两个比的意义理解不到位，同时也说明学生对于比例的意义和基本性质的认识上还不深入。
错解2，表面上看，学生粗心大意，没把0.07m化成7cm，实际上是学生还没真正建立起组成比例的两个比的比值必须相同的概念，这一点从设句里把模型高设成xcm，而没设成xm就可以看出。因为500:1的比值是500，
41
那么实际高度35米与模型高度所对应的应该是几米，而不是几厘米。只有学生真正意识到这一点，学生就不会忘记把0.07米化成7厘米。 ◆教学建议
1．对于学生，要养成仔细审题和分析的习惯。一是要弄清500:1的含义是什么，再确定相对应的另一个比，使组成比例的两个比的意义相同。二是要养成看清单位的习惯，注意前后单位是否一致，是否需要统一单位。三是要养成检验和反思的习惯，比如错解1的结果1750000cm，也就是17500米，有这么高的模型吗？
2．对于教师，要利用教材，完善教材，预设学生可能的错解，在解此题之前做一些准备性练习。因为，这是一道用正比例解决的数学问题，学生还没学过，只能用比例的意义和性质来解决，必定会产生很多问题。 ◆资源链接
按下面的条件组成比例。
（1）12和5 的比等于3.6和x的比. 1
（2）x和 的比等于4:3
33
（3）x除4.2的商等于 5
六年级下册典型错例
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 错误28.85% 采集者 率 基第三单元 本 题 综过关检测 型 合 拓比与比例 展 52 陈述性知识 *** 采集 学校 *** 新授√ 课时 课 时 课 练习 单元 √ 机 型 课 总复复习 √ 习 课 策略性知识 √ 程序性知识 此题是学了正反比例这一教学内容之后，在过关检测中的教学简一题。学生已经知道了正反比例的意义，并能正确判断是否成述 正反比例。对解决问题中的数量关系也有一定的积累。 ◆典型错题
42
错题：下面各题中相关联的量成正比例关系的是（ ） （过关检测）
A、定期一年的利息和本金 B、一段路，第天修的米数和所用的时间
C、圆的面积和半径 D、8小时做的零件个数和做一个零件所需的时间
错解：①B ②D ◆原因分析
选B的学生正反比例看错了。选D的学生：我看到8小时，时间一定，工作总量÷工作效率=工作时间，所以成正比例。
①B看来学生仔细审题的能力有待提高。 ②D对工作效率这一概念认识模糊。对工作总量÷工作效率=工作时间，这一数量关系的认识有待深入。
对利率、利息、本金三者的关系没有十分明确。 ◆教学建议
请你说说要求选择什么？
工作效率指的是单位时间内完成的工作量。比如1小时做几个零件，1分钟做几个零件，1秒钟做几个零件。一个零件所需的时间，这是工作效率吗？8小时做的零件个数和做一个零件所需的时间，这三者有什么关系？零件个数×做一个零件所需的时间=8小时。
一年的利息=本金×利率，利率=利息÷本金，一定时期内，利率是中国人民银行规定好了的，是一定的，所以定期一年的利息和本金，成正比例关系。
解决问题教学的过程中，要注重数量关系的教学，多让学生用自己的语言来说说数量关系
六年级下册典型错例 ** 采集样错误采集 63 38．10% 采集者 ** *** 学校 本 率 ** 错题来基新授第三单元 课时 √ 源 本 课 题目出数学课本P47第10题题 综时 课 练习√ 单元 √ 处 举例 型 合 机 型 课 相关知拓总复复习正反比例的意义 识 展 习 课
43
知识属性 教学简述 陈述性知识 √ 程序性知识 策略性知识 此题是在学生学习了正反比例后的练习 ◆典型错题
错题：判断每题中的两个量是否成比例，成什么比例
梯形的高一定，上底和下底的平均数与面积（ ） 错解： 不成比例 ◆原因分析
1．学生对正反比例的意义的理解不够深刻
2．对于关系式中量超过三个，或者要通过变形得到正反比例式的量地判断能力不够。 ◆教学建议
1．在教学中，通过多组关系，多种方法来认识正反比例的意义。 2．对于常见的量地关系进行适当的整理
3．理解意义的基础上，学习更复杂的关系的判断方法 ◆资源链接
正、反比例的意义和判断方法
正比例的意义 知识要点：
正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例 关系．
用字母表示：如果用字母表示两种相关联的量，用表示它们的比值，（一定）正比例关系可以用以下关系式表示：正比例关系两种相关联的量的变化规律：同时扩大，同时缩小， 比值不变．例如：汽车每小时行驶的速度一定，所行的路程和所用的时间是否成正比例？以上各种商都是一定的，那么被除数和除数．所表示的两种相关联的量，成正比例关系． 注意：在判断两种相关联的量是否成正比例时应注意这两种相关联的量，虽然也是一种量，随着另一种的变化而变化，但它们相对应的两个数的比值不一定，它们就不能成正比例 例如：一个人的年龄和它的体重，就不能成正比关系，正方形的边长和它的面积也不成正比例关系．反比例：两种相关联的量一种量变化，另种量也随着变化，如果这两种量中， 相对应的两个数
44
的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做成反比例关系．用字母表示：两种相关联的量，分别表示不变的量，那么反比例关系式是：反比例关系 的两种相关联的量的变化规律是一种量扩大，另一种量缩小，一种量缩而另一种量则扩大，积不变．例：图上距离一定，实际距离和比例尺是否成反比例．因为实际距离图上距离 （一定）所以，实际距离和比例尺成反比例．正比例和反比例相同点：两种量都是相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化．不同点：两种量成正比例，是一种量扩大，另 一种量也随着扩大，一种量缩小，另一种量也随着缩小，它们扩大，缩小的规律是，这两种量相对应的两个数的比值不变，即商一定．两种量成反比例是一种量扩大，另一种量反 而缩小一种量缩小，另一种量反而扩大，它们变化的规律是这两种量中，相对应的两个数积不变（一定）．反比例反比例关系是通过应用题的总数与份数关系帮助学生认识的。在 总数与份数关系中，包含总数、份数和每份数。当总数一定时，每份数和份数是两种相关联的变量。如果每份数变化，份数也随着变化。同样如果份数变化，每份数也随着变化。 它们的变化，无论扩大还是缩小，相对应的两个量的乘积（也就是总数）一定。具体说，当总数一定时，每份数（或份数）扩大或缩小若干倍，份数（或每份数）反而缩小或扩大 相同的倍数。简称为一扩一缩（或一缩一扩）。具备这种变化关系的每份数和份数成反比例关系。反比例关系在典型应用题中属于归总问题。反映在除法中，当被除数一定，除数 和商成反比例关系。在分数中，当分数的分子一定，分母与分数值成反比例关系。在比例中，比的前项一定，比的后项与比值成反比例关系。如果再把总数与份数关系具体化为： 在购物问题中，总价一定，单价和数量成反比例关系。在行程问题中，路程一定，速度和时间成反比例关系。在做工问题中，工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例关系。 如果两种量成反比例，那么一种量的任意两个数的比，等于另一种量的两个对应数的反比。如，加工零件的总数一定，是个。如果每小时加工个，个小时完成任务。如果每小时加 工个小时完成任务。每小时加工数量的比1，与它相对应的完成时间比是是的反比。教学反比例的意义采用类比逆向推理法。即，教学开始，首先由学生根据正比例的意义，直接写 出反比例的意义：两种相关联的量两种相关联的量，一种量变化一种量变化另一种量也随着变化另一种量也随着变化。这两种量中相对应的两个数的比值一定这两种量中相对应的 两个数的乘积一定再由学生根据自己写出的反比例的意义，举出实例，加以验证。之后，进一步理解反比例的意义。分析反比例的意义。成反比例的量包括三个数量，一个定量和 两个变量。研究两个变量之间的扩大（或缩小）的变化关系。一种量发生变化，引起另一种量发生相反的变化。这两种量是反比例的量，它们的关系成反比例
45
关系。反比例实质两 种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的积一定。这两种量叫做成反比例的量。它们的关系叫做反比例关系。相同点：①正比例和反比例 都含有三个数量，在这三个数量中，均有一个定量、两个变量。在正、反比例的两个变量中，均是一个量变化，另一个量也随之变化。并且变化方式均属于扩大（乘以一个数）或 缩小（除以一个数）若干倍的变化。不同点：正比例的定量是两个变量中相对应的两个数的比值。反比例的定量是两个变量中相对应的两个数的积。正、反比例之间的相互转化： 当正比例中的x值（自变量的值），转化为它的倒数时，由正比例转化为反比例；当反比例中的值（自变量的值）也转化为它的倒数时，由反比例转化为正比例。即，比较总数与份 数关系中的正、反比例。相同点都是两个相关联的量，一个量变化另一个量也随着变化比值一定，乘积一定
六年级下册典型错例
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 错误77.4% 采集者 率 基第三单元 比和比例 本 题 综课堂独立练习 型 合 拓用反比例解决问题 展 53人 陈述性知识 ** 采集 学校 *** 课时 √ 新授 课 时 课 练习 单元 √ 机 型 课 总复复习√ 习 课 策略性知识 程序性知识 √ 前几节课，学生已经学习了正反比例的意义及用正反比例解教学简决问题，本课组织学生练习用比例解决问题，课后我布置几题用述 正反比例解决的问题，让学生独立作业，其中下面的一题，有77.4%的学生出现了如下的一种典型错误。 ◆典型错题
错题：铺设一间办公室，用边长4分米的方砖铺地，需要750块，如果改用边长5分米的方砖铺地，需要多少块？
错解： 解：设需要x块。
5x=4×750 x=3000÷5 x=600 答：需要600块。 ◆原因分析
1．受思维定势的干扰。因前面的新授课和练习课中的两个成反比例的
46
量都是直接的，很多孩子只粗浅地看了一下题，就惯用反比例解决问题的基本模式来解此题，实际上本题两个成反比例的量中有一个量是隐蔽的，即“每块方砖的面积”题中没有直接道明。这种错因占了半数以上。
2．学生的阅读理解能力不够。由于与块数成反比例的“每块方砖的面积”这个量是隐蔽的，所以，很多孩子不能透过“每块方砖的边长”这个量，进而想到与块数成反比例的“每块方砖的面积”这个隐蔽的量。
3．反比例意义的教学不扎实。在判定两个量是否成反比例时，往往是直接提供两个相关联的量让学生判定，而很少呈现诸如“房间地面的面积一定， 与 成 比例”这种开放式的判断，促进学生对反比例意义的深入理解与把握。 ◆教学建议
1．加强正反比例意义的理解和判断。不仅要让学生会找准不变量是比值（商）一定，还是积一定，判定正比例关系还是反比例关系，还要会分析题中成正比例或反比例的是哪两个量。
2．加强对比练习，打破思维定势。可设计对比性的题组，打破思维定势，提高分析能力。如“正、反比例的对比”、“基本的和稍复杂的对比”等。
3．培养学生认真审题的习惯。有些学生是由于粗心大意没看清题目造成的，这就要求学生认真分析题中的数量关系，明确成比例的是哪两种量后再解答。 ◆资源链接
基本练习：（1）房间地面的面积一定， 与 成 比例
（2）每块方砖的面积一定， 与 成 比例
对比练习：
（1）铺设一间教室，用面积为9平方分米的方砖铺地，需要480块，如果改用面积为16平方分米的方砖铺地，需要多少块？
（2）铺设一间教室，用边长为3分米的方砖铺地，需要480块，如果边长为4分米的方砖铺地，需要多少块？
六年级下册典型错例
采集样53 本 错误31% 率 47
采集者 ** 采集 学校 *** 错题来第三单元 源 题目出课堂例题 处 相关知比例尺 识 知识属性 陈述性知识 基 本 题 综型 合 拓 展 习 程序性知识 √ 课时 新授 课 时 课 练习√ 单元 √ √ 机 型 课 总复 课 策略性知识 复习 此题出现学习完比例尺后的练习课中。出这道题目的目的教学简是检测学生对比例尺的理解，因为在之前比例尺的新授课上完后，发现部分学生在自己的课外练习中把图上面积和实际面积述 也与比例尺联系起来了。 ◆典型错题
错题： 在1：1000的图纸上，正方形的面积为16平方厘米，它的实际面积是（ ）平方米。
错解：1.1.6平方米 2.16000000平方米 ◆原因分析
1．错解1的主要原因是学生没有深刻理解比例尺是图上距离和实际距离之比，而不能理解成为图上面积：实际面积＝比例尺。所以是无法直接利用比例尺来把图上面积转化成实际面积的
2．错解2显然学生没有注意到单位问题。
3.从教师的教学角度，在比例尺的新授课缺乏让学生感受图上距离和实际距离之比与图上面积和实际面积之比的区别与联系。 ◆教学建议
1.引导学生理解比例尺是图上距离和实际距离之比，而非图上面积和实际面积之比。
2.除了概念的理解外，让学生在纸上按1：3的比例尺画出实际边长为6厘米的正方形，算一算图上正方形和实际正方形的边长之比和面积之比分别是多少？一样吗？在对比中加深理解。
48
3.让学生掌握解决这样的问题策略是先要通过比例尺把图上距离转化成实际距离，然后再用实际的长度来计算实际面积。 ◆资源链接
1． 请你量出教室门的长和宽，然后按照1：50的比例尺在纸上，那么
长和宽分别应该画多少厘米？图上门的面积和实际门的面积之比是1：50吗？为什么？
六年级下册典型错例
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 错误27.08% 采集者 率 基比例的应用新授课 本 课堂作业本P20第4题 综题 型 合 拓比例尺 展 48 陈述性知识 卢军 √ 采集 *** 学校 课时 √ 新授√ 课 时 课 练习单元 机 型 课 总复复习 习 课 策略性知识 程序性知识 √ 教学简此题旨在考查学生对比例尺的理解和解题的习惯考查。 述 ◆典型错题
错题：一个精密零件长15mm。王叔叔把它画在图纸上，量得长是18cm，这张图的比例尺是多少？
错解： 15mm；18cm = 1.5cm:18cmm =1:12 ◆原因分析
1.教师层面：比例尺的教学时重1：1000000等实际缩小的比例尺，对于比实际放大的比例尺教学体验度不够，放大和缩小比例尺的对比区分度
49
教学不足。
2.学生层面：比例尺的定义理解停留在嘴上的 图上距离：实际距离，但在进行实际计算时脱离了比例尺的真正意义。部分学生存在着只以主观意念来解决问题。 ◆教学建议
1.在进行比例尺教学时让学生充分理解其意义。 2.教师可呈现一些比例尺（放大、缩小），让学生区分放大还是缩小及意义。
3.规范解题步骤，比例尺=图上距离：实际距离=……，可提高正确率。 ◆资源链接
《比例尺》教学设计
六年级下册典型错例
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 42 错误率 59.5% 采集者 基本 题 综型 合 拓展 ** 采集 学校 *** 第三单元 《作业本》第20页 比例尺 陈述性知识 新授√ 课时 √ 课 时 课 练习 单元 √
机 型 课 总复复习 习 课 策略性知识 √
程序性知识 这是“比例尺”配套作业本中第5小题，学生之前解决的有教学简关“比例尺”问题都是局限在计算长度范围内的，而这题是计述 算面积，学生往往会不假思索地将只适用计算长度的比例尺直接简单地运用到计算面积中来。 ◆典型错题：
错题：学校篮球场的规划图中，量得篮球场的长是13厘米，宽是7厘米。如果这张规划图的比例尺是1：200，那么篮球场的实际面积有多大？
错解：13×7=91（平方厘米），91×200=18200（平方厘米）
50
◆原因分析：
1.学生没有真正理解。学生一般只知道比例尺=图上距离：实际距离，没有想到比例尺是长度比例尺，而不是面积比例尺，比例尺只能直接运用于计算长度。于是，很多学生面对计算面积时，会不假思索地直接运用，把（13÷
1）×（7÷×1）等同于20020013×7÷
1。 2002.教师没有针对设计。第一或许是教师没有想到比例尺只能直接运用于求长度而不能直接运用于求面积，于是没有在设计教学预案时作为重点进行教学引导。第二或是教师已经作为教学重点进行引导，但是没有用足够数量进行巩固与强化，以至于还有很多学生没有真正掌握如何用长度比例尺求面积的问题。 ◆教学建议：
1.理解要充分。教师对于比例尺的本质和求面积的问题要理解充分，只有自己真正理解了才能在教学时把问题讲清楚、讲透彻，才有可能让学生充分理解。
2.设计要到位。教师在教学时可以让学生先尝试，一般情况下学生会出现两种方法，第一种是13×7÷
1，第二种是（13÷1）×（7÷×1），200200200然后让学生讨论哪种方法时正确的、错的那种方法问题在哪里，最后真正理解比例尺的本质和求面积的问题。
◆资源链接：
1.尝试练习：出示上述练习题，让学生尝试练习。
2.展示讨论：让学生板演典型方法，讨论哪种方法是正确的？错误的方法问题在哪里？
3.比较感悟：比例尺是对于什么而言的？怎么求面积？……
六年级下册典型错例
采集样89
错误12.4% 采集者 ** 51
采集 学校 *** 本 错题来率 基第三单元 本 题 综《作业本》P20 型 合 拓比例尺（例1） 展 陈述性知识 习 程序性知识 √ 课时 √ 课 时 课 练习√ 单元 机 型 课 总复 课 策略性知识 复习 新授√ 源 题目出处 相关知识 知识属性 本题是在认识了比例尺，学习了比例尺的求法，以及会用比教学简例尺求图上距离或实际距离的基础上进行的。通过这样的题目，述 能让学生深切体会到数学与实际生活的紧密联系，提高学生运用数学知识解决实际生活的能力。 ◆典型错题
错题：学校篮球场的规划图中，量得篮球场的长是13厘米，宽是7厘米。如果这张规划图的比例尺是
错解：13×7÷
◆原因分析
首先自我剖析，可能在新授比例尺的意义时不够透彻，没能让学生深刻领会比例尺表示的只是两个长度之间的关系，而并不能表示面积之间的关系。另外，觉得教材的练习内容与课本例题之间配套性不够强，难度加大太快，学生基础部分还没消化透，就要进行提高练习，错误自然就会高了。
◆教学建议
52
1，那么篮球场的实际面积有多大？ 2001 200建议重新处理教材相关练习。在新授完比例尺的意义、求法及图上距离与实际距离的求法之后，只选择《作业本》的前面四道进行练习，或者是先选择书本中的练一练巩固基础知识。第二堂课中，再着重比较长度关系与面积关系的不同之处，以及通过图示让学生深刻明白面积关系与长度关系之间的联系，然后再进行相关的联系。相信在此基础上再让学生来解决这一题就会轻松一些了。 ◆资源链接
比例尺1∶200说明了图上距离和实际距离之间怎样的关系？如果这是一个长方形图的比例尺，你能说出这个长方形图上面积与实际面积的关系吗？
六年级下册典型错例 采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 错误43.4% 采集者 率 基第三单元 比和比例 本 题 综《作业本》第20页 型 合 拓用比例尺解决问题 展 53人 陈述性知识 ** 采集 学校 *** 课时 √ 新授√ 课 时 课 练习√ 单元 机 型 课 总复复习 习 课 策略性知识 程序性知识 √ 这是在学生上了一节“比例尺的意义”新授课后，布置学生完成配套的《作业本》第20页中习题，此题为该页中的最后一教学简题。在本节课上，学生已经理解了比例尺的意义，并且学习了求述 比例尺，学习了已知图上距离和比例尺求实际距离的基本数学问题。但学生在解本题时，一些学生还是显得有困难，一些学生在理解和分析问题上还是存在着偏差。 ◆典型错题
错题：学校篮球场的规划图中，量得篮球场的长是13cm，宽是7cm，1
如果规划图的比例尺是 ，那么篮球场的实际面积有多大？
200
错解： 解：设篮球场的实际面积有xcm2 （13×7）：x=1:200 X=91×200 X=18200
53
18200cm2=182dm2
答：篮球场的实际面积是182dm2 。 ◆原因分析
从上述的典型错解中可以看出，学生误把图上面积和实际面积的比，看作这幅图的比例尺。造成这一错误的原因是：
1．学生对比例尺意义的理解还不深刻。比例尺只表示图上距离和实际距离的比，而图上面积和实际面积的比不等于这幅图比例尺的比值，应该等于这幅图比例尺比值的平方数。
2．学生缺乏对结果的反思意识。如果学生仔细去看上述错解的结果，就会发现182平方分米等于1.82平方米，一个篮球场只有1.82平方米那是不切实际的，显而易见，这一结果是错误的。
3．教师对比例尺意义的教学还不到位。除了让学生知道比例尺表示图上距离和实际距离的比外，还应作拓展，如图上面积和实际面积的比是比例尺吗，图上体积和实际体积的比是比例尺吗等。 ◆教学建议
1．反思错解的结果，使学生确信错误。问一问学生182平方分米是多少平方米，1.82平方米有多大，你能比划一下吗？一个篮球场就这么大吗？
2．进一步理解比例尺的意义。让错误的学生说说比例尺的意义，指出比例尺是一个距离比，再说说“（13×7）：x”表示什么比？面积比等同于距离比吗？因此，要把比例尺1:200的距离比转化成面积比，就是12:2002。
3．对于教师，在课堂上要让学生深入理解比例尺的意义，比例尺表示的是什么比，面积比、体积比等是能成为比例尺吗？ ◆资源链接
判断下列这段话中，哪些是比例尺，哪些不是？为什么？
把一块长40米，宽20米的长方形地画在图纸上，长画了10厘米，宽画了5厘米。
（1）图上长与实际长的比是 1∶400。（ ） （2）图上宽与实际宽的比是1∶400。（ ）
（3）图上面积与实际面积的比是1∶160000。（ ) （4）实际长与图上长的比是400∶1。（ ）
六年级下册典型错例 采集样错误采集 48人 50% 采集者 ** 学校 *** 本 率 错题来基新授第三单元 课时 √ √ 源 本 课 题目出题 综时 课 练习课堂作业本P20 √ 单元 处 型 合 机 型 课 相关知拓总复复习比例的应用 识 展 习 课 知识属陈述性知识 程序性知识 √ 策略性知识
54
性 教学简学生已经学习了用比例的知识解决问题，本题是在此基础述 上对比例知识解决问题的进一步拓展运用。 ◆典型错题：
错题：学校篮球场的规划图中，量得篮球场的长是13厘米，宽是7厘米。如果这张规划图的比例尺是1:200，那么篮球场的实际面积有多大？
错解：13×7=91（平方厘米）
91÷（1:200）=18200（平方厘米） ◆原因分析（可以从教师、学生、教材三个维度分析）
从学生维度分析：
从访谈的结果来看，学生对于自己所犯的错误毫无知觉，并且还振振有词：我先求出图上长方形篮球场的面积，再用“图上距离÷比例尺”的方法求出实际篮球场的面积。而且有很多的学生都认为这样并没有错，包括一向来成绩较好的学生。那问题究竟出处在哪里呢？归根究底，是学生没弄清楚“图上距离÷实际距离=比例尺”的内涵，其实比例尺是对于两个长度（即“距离”）来说的，也就是说，面积是不能用“图上距离÷比例尺”这样的方法来算的。 ◆教学建议
1、要让学生明白比例尺的含义是一幅图的图上距离和实际距离的比。 2、分体题意，求篮球场的实际面积应该先分别求出篮球场的长和宽，再利用长方形的面积计算公式进行计算。
3、进行一些相关题的拓展练习。
4、区分该题与以下题目的区别和联系：在一幅比例尺为1:500000的地图上，量得A、B两城的图上距离是3厘米，求A、B两城的实际距离是多少？
◆资源链接
在比例尺是1：5000的图纸上画了一个边长为2厘米的正方形草坪，这块草坪的实际面积是多少平方米？
六年级下册典型错例
采集样51
错误27.5% 采集者 ** 55
采集 *** 本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 率 第三单元 配套作业本 比和比例 陈述性知识 基本 题 综型 合 拓展 学校 新授 课时 课 课 练习 √ 时单元 √ 机 型 课 总复 复习√ 习 课 策略性知识 程序性知识 √ 这是一道关于比和比例知识的综合应用习题，先要根据相等教学简关系求出两个量的比，再根据其中一个量求出另一个量。由于涉述 及的知识和方法综合性强，很多学生掌握起来有难度。 ◆典型错题 23
错题：有两袋大米，甲袋的 和乙袋的 一样重。甲、乙两袋大米
34的质量比是多少？如果乙袋大米重16kg，那么甲袋大米重多少千克？
错解：
238128
: =8:9 16× = (千克) 3499◆原因分析
1、从习题本身的难度分析，因为涉及的知识和方法综合性强，所以学生掌握有较大难度，有的学生根本无从下手。
2、从教材编排的角度分析，根据两个量不同分率所对应的量相等，再来解决有关问题的习题比较少见，所以题路”生疏”也是造成错误的主要原因。
◆教学建议
1、要加强专项训练，做好知识储备，从而降低解决问题的难度。专项训练习题：已知一个量的几分之几和另一个量的几分之几相等，求这两个量的比。它的解题方法很多，在解题过程中可以让学生个性化的选择比较适合自己的方法。主要的方法有：（1）运用比例的基本性质，将乘法等式改成比例式求解。（2）倒数法，即将乘法等式的结果假设为1，那么两个量分别为所对应分率的倒数。（3）运用乘法交换律来理解。
2、在解决第二个问题时，要组织学生进行多种方法的交流，以提高学生综合运用知识解决问题的能力，发展学生的思维能力。如：（1）比例法。解：设甲袋大米重x千克。X：16=9:8 （2）分数法。16×9=18（千
8克） （3）先求出一份的量。16÷8×9= 18（千克）。 ◆资源链接
56
1、甲数是乙数的，那么甲数与乙数的最简整数比是（ ），乙数与甲数的最简整数比是（ ）。
2、甲数的
23与乙数的相等，那么甲数与乙数的最简整数比是5445（ ）。 如果甲数是45，那么乙数是（ ）。
六年级下册典型错例
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 错误50人 48% 率 采集者 *** 采集 学校 *** 基第三单元 本 题 综作业本P15、4 型 合 比例的意义和基本性拓质 展 陈述性知识 新授 课时 √ 课 时 课 练习√ 单元 √ 机 型 课 总复复习 习 课 策略性知识 √ 程序性知识 学生已经学习了比例的基本性质，知道在比例中，两个外教学简项的积等于两个内项的积，并比例改成等式，但把等式改成比述 例则缺少一定的经验。因此在《作业本》中出现的这题错误率较高。 ◆典型错题
错题：有两袋大米，甲袋的和乙袋的一样重。甲、乙两袋大米的质量比是多少？
错解：：=8：9 ◆原因分析
（1）教材中只出现把比例改成等式，而把等式改成比例这类题目只作为思考题出现。教师在课堂中也缺少这方面知识的渗透。
57
23342334（2）学生无从下手，于是就把“甲袋的2”理解成“甲袋就是”，
323“乙袋的”理解成“乙袋就是，于是就产生了“：=8：9”。 ◆教学建议
（1）把下列等式改成比例3×40=8×15；2.5×0.4=0.5×2,想一想可
以怎样改写,这样改 写的依据是什么?
（2）“甲袋的” 、“乙袋的”怎么表示，一样重可以怎么表示？
233423从而得出：甲×=乙×，根据比例的基本性质，改成比例就是，甲：
3432乙=：=9：8
4334342334◆资源链接
（1）灰兔只数的4倍与白兔的6倍一样多，灰兔和白兔的只数之比是多少？
（2）△×1=○×1，○：△=（ ）：（ ）
45
六年级下册典型错例 采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 错误42 率 第三单元 课外资料 用比例解决问题 陈述性知识 38.1% 采集者 基本 题 综型 合 拓展 ** 采集 学校 *** 新授 课时 课 时 课 练习√ 单元 √ √
机 型 课 总复复习 习 课 策略性知识 程序性知识 √ 这是学生学习“用比例解决问题的应用练习”时出现的一题，教学简其实学生对于此类题目并不陌生，在之前用算术方法解决问题述 时也出现过，因为学生的错误率历来都也比较高，所以在这节课里特意再次安排。
58
◆典型错题：
错题：一间房子，用边长是50厘米的砖铺地面要112块，如果改用边长是40厘米的砖铺地面，需要多少块？
错解：40x=50×112，x=140。 ◆原因分析：
1.学生基础不好。在学生之前的学习过程中也多次用算术方法解答过类似的问题，每次出现错误率都比较高，他们知道房子的总面积是不变的，主要问题在于他们没有真正理解总面积=每块面积×块数，错误地理解为总面积=边长×块数。
2.教学设计欠佳。教师可能没有真正想明白学生为什么会重复这样的错误，只是简单地重复类似的问题，没有引起足够的重视，教学设计没有过多分析错误原因，也没有用足够数量的练习予以巩固，学生的理解和记忆并不深刻。 ◆教学建议：
1.设计要到位。教师可以采取两种策略：一是在学生尝试练习前作适当引导，什么不变？怎么求总面积？二是通过对比练习帮助学生理解，在解决这个问题之前先解决“一间房子用面积是2500平方厘米的砖铺地面要112块，如果改用面积是1600平方厘米的砖铺地面需要多少块？”这样一个问题，然后让学生解决上面的问题，学生肯定能更好地理解，最后让学生比较分析两个问题的异同点，加深他们对问题的理解和方法的把握。
2.数量要足够。因为这类题目不是基本型或标准型，而且学生也很容易出错，所以应该在适当的时候多练习，学生只有通过一定数量的练习才能形成这方面的能力，学生一旦形成了这方面的能力就不会再出错。 ◆资源链接：
1.尝试解决：一间房子用面积是2500平方厘米的砖铺地面要112块，如果改用面积是1600平方厘米的砖铺地面需要多少块？
2.尝试解决：一间房子，用边长是50厘米的砖铺地面要112块，如果改用边长是40厘米的砖铺地面，需要多少块？
3.比较讨论：这两个问题有什么异同？解决这类问题要注意什么？……
六年级下册典型错例 采集样错误采集 54人 83% 采集者 ** 越城区*** 学校 本 率 错题来题 基时 课 新授第三单元 课时 √ 源 型 本 机 型 课
59
题目出综练习课堂自编练习 √ 单元 √ 处 合 课 相关知拓总复复习用比例解决问题 识 展 习 课 知识属陈述性知识 程序性知识 √ 策略性知识 性 这是一节用正、反比例解决问题的练习课。通过前一节课的学习，学生基本上能正确区分用正比例和反比例解决的问题，教学简并能正确应用。但在以往的教学中，学生经常出现用比例解决述 问题时所设的未知数与列的方程中未知数所指代的内容不一致的错误，故在这节课中我特意设计了此项练习。 ◆典型错题：
错题：甲、乙两地相距420千米，一辆汽车从甲地开往乙地，2小时行驶了140千米。照这样计算，到达乙地还要多少小时？ 错解：解：设到达乙地还要行x小时。
140420=
2xx=6 6-2=4（小时）
◆原因分析
1.受思维定势影响。在小学阶段，学生接触到的用方程解决的问题大
都以直接设法为主，很少碰到间接设未知数的情况。故学生养成了不经思索，直接按问题设未知数的习惯。
2.考虑问题不严密。在解决问题时，学生考虑问题不够严密，缺少对应意识。故出现所设未知数的指代对象随意更改的现象，首尾不呼应。 ◆教学建议：
对比分析，树立对应意识。具体做法：
1. 挑选正解与错解的两个学生把自己的解题方法抄到黑板上。 2. 对比分析，弄清错解的错误之处。 3. 提出修改方案：
（1） 不改“解：设到达乙地还要行x小时。”，怎么修改方程使之正
60
确？ （2） 不改“
140420= x=6 6-2=4（小时）”，怎么改也能使
2x之正确？
◆资源链接
1.3天加工1200个零件。照这样计算，加工2800个零件，要几天完成？ 2. 3天加工1200个零件。照这样计算，加工2800个零件，还要几天完成？
六年级下册典型错例 采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 54人 错误93% 率 采集者 ** 基本 题 综型 合 拓展 采集 学校 越城区*** 第三单元 课堂自编练习 用比例解决问题 陈述性知识 新授 课时 √ 课 时 课 练习√ 单元 √ 机 型 课 总复复习 习 课 策略性知识 程序性知识 √ 这是一节用正、反比例解决问题的练习课。通过前一节课的学习，学生基本上能正确区分用正比例和反比例解决的问题，教学简并能正确应用。但在以往的教学中，学生经常出现用比例解决述 问题时所设的未知数与列的方程中未知数所指代的内容不一致的错误，故在这节课中我特意设计了此项练习。 ◆典型错题：
错题：500千克大豆可榨油350千克。照这样计算，15吨大豆可榨油多
少吨？
错解：解：设15000千克大豆可榨油x千克。
15吨=15000千克
x350= 15000500
61
X =10500
10500千克=10.5吨
◆原因分析
1. 受前摄抑制的影响。解决这类问题时，学生往往受之前接触到的“小丽要测量一大捆铁丝的长度，从中截取了5m长的一段，测得其质量为400g。现测得这捆铁丝的质量为6kg。这捆铁丝长多少米？”类似题目的影响，把题中的“千克和吨”的单位进行统一后再用正比例解决问题。
2. 概念模糊。对于比值所表示的意义的理解尚有欠缺。没能很好的理解题目中“
350”其实表示的是大豆的出油率。所以在这道题目中“千克和500吨”的单位是不必统一的。 ◆教学建议
1.选取学生中两种不同的解答方法，引导学生讨论是否合理，为什么？ ①解：设15000千克大豆可榨油x千克。 ②解：设15吨大豆可榨油x吨。
x350x350= = 1500050015500 X =10500 10500千克=10.5吨 x=10.5 通过比较使学生明白“
350x”，表示的是大豆的出油率，“”也表示50015大豆的出油率，明白同类量的比中，只要比的前项和后项的单位一致就可，不同的比之间的单位不必统一。
2.比较这一题与下一题之间的区别，进一步明确两题之间的本质区别。
第一题是两个同类量的比，比值表示倍分关系；第二题是两个不同类量的比，比值表示新的量“400：5表示每米铁丝重多少克”，所以，同一类数量的单位必须统一。 ◆资源链接：
用50千克芝麻可榨油22.5千克，2吨芝麻可榨油多少吨？要榨630千克油需要芝麻多少千克？ 采集样48
六年级下册典型错例 采集 *** 错误20.8% 采集者 ** 62
学校 本 率 错题来基新授教材 √ 课时 源 本 课 人教版小学数学12册题目出题 综时 课 练习P64练习十第1题（3） 单元 √ √ 处 型 合 机 型 课 小题 相关知拓总复复习比例 识 展 习 课 知识属陈述性知识 程序性知识 √ 策略性知识 性 此题是在12册第3单元比例的单元整理和复习中，在此之前学生已在第11册认识了比，在这单元里认识了比例的意义和教学简基本性质，正比例和反比例的意义，并学习了比例的应用。跟述 这一题直接相关的知识点是“图形的放大和缩小”。“图形的放大和缩小”部分学习的如何直接影响此题的掌握。 ◆典型错题
错题：（3）一个长5cm、宽3cm的长方形按3 ：1放大，得到的图形的面积是（ ）C㎡ 。
错解：（ 45 ）C㎡ 。
◆原因分析
对长方形按3 ：1放大，简单理解成面积也是按3 ：1放大，故计算成：5×3×3=45（C㎡ ） ◆教学建议
1. 教师在教学本单元的“图形的放大和缩小”时，要引导学生重点发现是将图形的边长按规定比例进行放大或缩小。在完成放大或缩小的画图操作后，再次让学生观察，图形的面积放大或缩小的倍数和边长的倍数相同吗？有怎样区别和联系？从而发现面积是边长放大倍数的平方倍。
2. 引导学生得出此类题一般的解题规律：根据放大或缩小的倍数得出放大或缩小后图形的边长，根据后面的边长算出放大或缩小后的图形的面积；或算出原图的面积，根据放大或缩小的倍数的平方倍就是现在图形的面积。
◆资源链接：
63
六年级下册典型错例
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 错误49.1% 采集者 率 基第三单元 比和比例 本 题 综《作业本》第26页 型 合 拓用比例解决问题 展 53人 陈述性知识 ** √ 采集 学校 *** 新授 课 时 课 练习单元 机 型 课 总复复习 √ 习 课 课时 √ 策略性知识 程序性知识 √ 今天这节数学课，整理和复习了第三单元“比和比例”，然教学简后让学生独立完成《作业本》第26页。在批改中，发现这页中述 的第5题错误率很高。并且产生的错误情况很集中、很典型。 ◆典型错题
错题：一组互相齿合的齿轮，大齿轮有48个齿，小齿轮有16个齿。如果大齿轮转15周，小齿轮转多少转？
错解： 解：设小齿轮转x转。
48:16=15：x 48x=16×15 x=5 答：小齿轮转5转。 ◆原因分析
从上述典型错解中，可以清楚地看出，学生把此题的反比例问题判断成正比例问题了。以为，大齿轮的齿数：小齿轮的齿数=大齿轮的周数：小齿轮的周数。而造成这种理解和判断失误的原因是：
1．生活经验缺乏。从访谈中，很多孩子说“一组互相咬合的齿轮”不知道是什么东西。确实一般的孩子是没见过“互相咬合的齿轮”，没有这样的生活经验，学生也就不清楚题中隐含着大、小齿轮所经过的总齿数是一定的。
2．缺乏反思意识。如果有反思意识的话，那按上述求解的小齿轮转5转就不切实际。在转的过程中，大齿轮齿数多，应该转数少，而小齿轮齿数少，应该转数多。进一步判断，题中应该是齿轮的齿数和转数是两种相关联的量且成反比例。 ◆教学建议
1．利用多媒体，直观教学，帮助学生弄清什么是“一组互相咬合的齿
64
轮”。
2．提高正反比例的判断能力。理解题中如果是大、小齿轮的齿数相关联，那应该是比值一定，但从题目中意思看，是总齿数一定，所以是齿轮的齿数与所转的转数相关联且成反比例关系。
3．加强题组的对比练习。可设计一组有关齿数的正、反比例习题，通过练习和对比，提高分析问题和解决问题能力。 ◆资源链接 基本练习：
判断题中两种量是否成比例，成什么比例？
（1）两个互相咬合的齿轮，齿数与转数。 ( ) (2)铺地面积一定，每块砖的边长和所需砖的块数。（ ） (3)铺地面积一定，每块砖的面积和所需砖的块数。（ ） (4)每块地砖的面积一定，铺地的面积和地砖的块数。（ ） 对比练习：
（1）一组互相咬合的齿轮，齿轮比是4:3，大齿轮转动15圈，小齿轮转动了多少圈？
（2）一组互相咬合的齿轮，齿轮比是4:3，大齿轮有60个齿，小齿轮有多少个齿？
六年级下册典型错例 采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 48人 错误21% 率 采集者 ** 基本 题 综型 合 拓展 √ 采集 学校 *** 新授 课 时 课 练习单元 机 型 课 总复复习√ √ 习 课 课时 策略性知识 第六单元 数和代数 《数学课本》P78 大数的改写 陈述性知识 √ 程序性知识 学生在四年级的时候已经学习了大数的认识，对于大数的教学简改写和省略都进行过系统的学习，这是在六下年级的整理和复述 习中，第一次出现大数的省略。 ◆典型错题： 错题：中国的人口数居世界第一，有1295330000人，约（ ）亿人。 错解：约（12.9533）亿人 ◆原因分析
1、学生维度
65
概念模糊，审题不清。没有区分出“约”即“省略”和“改写”两者之间的差别。
2、教材维度
该题的目的，是为了考查学生对大数的省略的掌握程度。其实在六下年级的复习阶段，几乎每张复习卷都会出现类似这样的题目，当然还包括“大数的改写”，而学生经常会将两者混淆。其实，考察学生“省略”和“改写”，尤其是将两种情况放在一起，个人认为实在有点难为了做题的学生。 ◆教学建议
在课堂教学中，教师应该注意帮助学生理解“省略”和“改写”两者含义，区别对待。针对部分学生对使用四舍五入法省略一个数某一位后的尾数存在困难，教师可以运用“一圈二看三算”的方法加以指导。比如：
一圈：根据题目要求，先圈出亿位后面的数位即千万位或万位后面的数位即千位上的数。
二看：看所圈的数是等于、大于5还是小于5。
三算：等于、大于5，则舍去尾数，写成0，并向前一位进一。小于5则全部舍去后写成0。 ◆资源链接
1、在知识测验、考查过程中，应该注意提高所编习题的准确性、有效性。比如，可以出示这样的题目：
（1）省略万后面的尾数求出近似数
30600 5049000 13920000 499098000
（2）AB0000000 ≈5亿 当A=4，B可能是( )；当A=5时，B可能是（ ）。
2、5009000改写成用“万”作单位的数是（ ）。960074000用“亿”作单位写作（ ）；用“亿”作单位再保留两位小数（ ）
六年级下册典型错例
采集样错误50人 36% 本 率 错题来试卷 源 题目出总复习 处
采集者 ** 基本 题 型 综合 采集 学校 *** 新授√ 课时 时 课 课 机 型 练习 单元 课 66
相关知公倍数与公因数 识 知识属陈述性知识 性 拓展 总复√ 习 复习√ 课 √ 程序性知识 策略性知识 这题与以前做的题有一点区别：它的呈现方式由平时常见教学简的“A÷B=8（AB均为自然数）”改为“自然数A除自然数B，述 商是8”。如此一来学生的错误比平时一下增加了许多。 ◆典型错题
错题：自然数A除自然数B，商是8，则A与B的最小公倍数是（ ），
最大公因数是（ ）。 错解：A、B 正解：B、A ◆原因分析
1、一部分学生可能是对这个题目难以理解，它们可能对“A÷B=8（AB均为自然数），则A与B的最小公倍数是（ ），最大公因数是（ ）。”这类题的解答也有困难，甚至有很多学生会的8这个数也填入括号中。这主要是学生对公倍数与公因数的概念理解不清，平时训练不够造成的。
2、 审题不仔细，没有看到“除”。 ◆教学建议
加强概念教学，培养学生的应用意识。
六年级下册典型错例
采集样54人 错误
59% 采集者 ** 67
采集 学校 越城区*** 本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 率 基总复习 本 题 综综合练习卷 型 合 亿以内数的读法和写拓法 展 陈述性知识 新授 课时 课 时 课 练习√ 单元 机 型 课 总复复习 √ √ 习 课 策略性知识 √ 程序性知识 这是毕业总复习练习卷中的一道题目。之前我们已经对小学教学简阶段的各块知识进行了系统的复习与整理。本题涉及到的知识述 是多位数的写法，对于基础题，学生掌握较好。 ◆典型错题
错题：有个八位数，它的最高位上的数字是最小的合数，第七位上是最小的质数，第六位上既是质数又是偶数，第五位上是最小的一位数，其余个位上都是0，这个八位数是（ ）。
错解：这个八位数是（ 42200000 ）。 ◆原因分析
1. 通过访谈，学生认为“最小的自然数是0”，所以最小的一位数就是“0”。把“最小的自然数”与“最小的一位数”混为一谈。
2. 没有正确理解“一个数的最高位不能是0”的规定。若没有这样的规定，0就是一位数，由此可以得出最小的两位数是00，最小的三位数是000，这样的结论显然是不对的。不仅这样，若没有这样的规定，对一个数也就无法确定它是几位数了。例如，15是两位数，“015”就变成了三位数，“0015”就变成了四位数。这样，同一个数我们可以随意称它为几位数，“位数”这一概念的存在也就没有必要了。因此，一个数的最高位不能“0”。也就是说，最小的一位数是1，而不是0。 ◆教学建议
1. 复习“0”的作用，进一步明确“0”在数中所表示的作用。
2. 理解“一个数的最高位不能是0”的意义。想一想：各位的最高位是哪一位？这一位上可以是“0“吗？ ◆资源链接
68
多位数的写法
写数时，从高位到低位，一级一级地写，哪一位上一个计数单位也没有，就在那一位上写0占位。一个数的最高位不能是0.
六年级下册典型错例
采集样53 本 错题来总复习 源 题目出期末分项测试卷 处 相关知求分率的百分数应用识 知识属性 教学简述 题 陈述性知识 本 题 综型 合 拓 展 习 程序性知识 √ 率 基√ 课时 课 时 课 练习单元 机 型 课 总复√ 课 策略性知识 复习√ 错误42% 采集者 ** 采集 学校 *** 新授 此题出现在学生的期末复习课堂上的复习例题，重点想巩固学生之前一直比较容易搞错的时间和效率。 ◆典型错题
69
错题： 一件工程原计划8天完成，实际做了5天，工作效率提高了多少？
错解：（8-5）÷8×100%=37.5% ◆原因分析
1．在与学生访问发现，学生做完后，其实很难检查发现这是错。在潜意识里时间有时就等于了效率。所以在求效率的相差分率时直接求了时间的相差分率。
2．部分孩子还是比较难理解在同一项工作中，时间之比与效率之比是成反比的。 ◆教学建议
1.教师要引导学生理解工程问题中，把整项工程看作单位“1”，这是工程中一个隐藏的条件，所以知道了计划8天完成，那计划每天的工作效率就可以得到是1。
82.引导区别好时间和效率，本题中应该是现工作效率比原工作效率提高了百分之几？解题时应该先分别求现在和原来的工作效率，然后再来求相差分率。
3.教师也可以引导让学生理解在同一项工作中，时间之比与效率之比是成反比的。在这里原来和现的时间之比是8：5，那么效率之比就是5：8，那么原来的效率看作5，现在的效率就是8，然后再求相差分率。 ◆资源链接
1． 甲乙两个工程队修一条路，如果甲单独修那需要30天，如果让乙单独修那需要20天，那么两队合修几天就可以完成这项目工程？
2.在体育课上百米赛跑中小明和小东分别跑了8秒和9秒，那么小明和小东百米赛跑的速度之比是多少？
六年级下册典型错例
70
采集样53 本 错题来错误23% 率 基总复习 √ 本 题 综期末分项测试卷 型 合 拓 展 采集者 ** 采集 学校 *** 新授课时 课 时 课 练习单元 机 型 课 总复√ 习 课 策略性知识 复习√ 源 题目出处 相关知求分率的百分数应用识 知识属性 教学简述 题 陈述性知识 程序性知识 √ 此题出现在学生在六下年级期末分项解决问题测试时，此时学生已经熟悉的掌握了百分数应用题的各种类型，也知道相差分率等于相差量除以单位“1”的量。 ◆典型错题
错题：某木器厂本月加工课桌椅7320套，比计划超产670套，超产了百分之几？
错解1： 670÷7320 错解2：670÷（7320+7320） ◆原因分析
1．求分率的百分数应用题，最关键的是找准单位“1”，显然这两种错解均是找错了单位“1”，误把实际生产的套数当成单位“1”。
2．在访谈也发现有部分孩子题目没有理解好，学生知道单位“1”应该是计划数，但理解题目时把“本月加工课桌椅7320套”认为是计划的产量了。 ◆教学建议
1.分析解决百分数应用题的最佳拐杖还是用线段图分析，所以建议在教学还是要引导孩子把数量关系先用线段图表示出来，虽然繁琐但实用。
2.在审题时引导学生用画线等方法先找找单位“1”是谁？是不是已知量？理解如果求相差分率。
71
◆资源链接
1． 王师傅计划3月份计划加工100个工艺品，实际比计划多加工了20个，超产了百分之几？
2.在绿色环保行动中，阳光快乐小队第一天收集了50个塑料瓶，第二天收集了70个塑料瓶，第二天比第一天多收集了百分之几？
六年级下册典型错例 采集样错误37.8 采集 42 采集者 ** *** 本 率 % 学校 错题来基新授第六单元 课时 源 本 课 题目出题 综时 课 练习课堂导学 单元 √ 处 型 合 机 型 课 相关知拓总复复习分数应用题 √ √ 识 展 习 课 知识属陈述性知识 程序性知识 策略性知识 √ 性 本题是在总复习时遇到的问题，学生对于一般的分数乘法、教学简除法应用题掌握较好，并且大部分学生喜欢用算术方法解决此述 类问题。 ◆典型错题: 错题：幸福村要修一条路，第一天修了全长的10%，第二天修了余下的2还多10米，这时还剩200米没修，这条路长多少米？
9错解：答案较杂
正解：（200+10）÷（1-10%-92） 109◆原因分析
这样的“奥数”题目，班上的学生还是头一回见，许多学生都“一个头两个大”，一时找不到解决问题的“门路”，只能“望门兴叹”，心有不甘地割舍掉5分。因为题目中出现了两个不同单位“1”的量，并且与“还剩200米没修”这个条件没有直接联系，没办法直接进行计算。许多平时不大习惯用方程解法的学生不得不用方程，虽然教材教过用方程解法，但
72
多数学生平时还是较为少用的，而且教材中方程解法的步数较少。此时，派上用场有点“临阵拿枪”的感觉，怎么用都不称心，毕竟有两个不同单位“1”的量。全班42人只有6位同学能正确作答，其中有两位用转化，把余下的2转化成是全长的2，有两位用方程解法，另一位用算术解法。
910可见，多数学生面临新问题时，分析能力的高低立见，分析能力好的学生能想到画线段图，帮忙理解题意，方程解法顺势而下，而用算术解法只能偶尔为之。 ◆教学建议
面对这样的问题，只能以循序渐进的原则，先以一般题型过渡到一般变式题型再到特殊题型，加强学生对问题中已知量与末知量之间的联系，区分数量关系之间的变化对解题的步数的影响，掌握一般的问题分析与解决的方法与技巧。如上题中，可以先出现下面前两个题目，再出现第三个题目：
一般题型：①幸福村要修一条路，第一天修了全长的10%，第二天修了全长的20%，这时还剩210米没修，这条路长多少米？
一般变式题型：②幸福村要修一条路，第一天修了全长的10%，第二天修了余下的2，这时还剩210米没修，这条路长多少米？
9特殊题型：③幸福村要修一条路，第一天修了全长的10%，第二天修了余下的2还多10米，这时还剩200米没修，这条路长多少米？
9通过作图、观察、比较、分析等一系列数学活动，学生不难发现一般题型与一般变式题型和特殊题型之间，由于第二个已知条件的改变，对问题解决的影响，但他们之间解决问题的思路是完全一样的，加深学生对已知量与末知量之间的联系，掌握数学“转化”的思想方法，明白解决问题形式的多样性，以及由易及难、浅入浅出，由表及里的解决问题的策略。
六年级下册典型错例 采集样错误48人 46% 本 率 错题来第六单元
采集者 ** 题 基73
采集 学校 *** 时 课时 课 新授 源 题目出处 相关知识 知识属性 型 本 综单元检测卷 合 一个数是另一个数的拓百分之几 展 陈述性知识 机 √ 型 课 练习单元 √ √ 课 总复复习 习 课 策略性知识 程序性知识 √ 教学简学生已在六上年级学习过一个数是另一个数的百分之几的述 实际问题，这是六下年级进行的一道相关知识点的拓展题。 ◆典型错题：
错题：甲数是乙数的40%（甲数≠乙数），乙数是甲数的（ ）%。 错解：甲数是乙数的40%（甲数≠乙数），乙数是甲数的（40）%。 ◆原因分析
1、单位“1”是甲数还是乙数，学生不清楚，也不知道解决这类问题的一般方法是什么，而是胡乱地写个数据。
2、该题不仅牵涉到“一个数是另一个数的百分之几”的知识点，出错还有一个最主要的原因就是，甲数和乙数分别是多少，学生不清楚，按照他们以前掌握的方法也就不能解决这个问题了。 ◆教学建议
1、一个数是另一个数的百分之几的解决方法需要进行复习，即用一个数除以另一个数再乘100%。
2、单位“1”的理解还需再到位. 3、进行一些针对性的练习。 ◆资源链接
甲数是乙数的40%（甲数≠乙数），那么甲数：乙数=（ ）：（ ）。
六年级下册典型错例
74
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 错误50人 28% 率 练习题 第五单元 百分数 百分数的意义 陈述性知识 采集者 ** 基本 题 综型 合 拓展 采集 学校 *** 新授 课时 课 时 课 练习√ 单元 机 型 课 总复复习 √ √ 习 课 策略性知识 程序性知识 √ 教学简这是学生对百分数已有了比较完整的认识后对学生进行的述 一次练习。 ◆典型错题
错题：一件商品先提价10%,后又降价10%，这件商品的价格比原价（ ）（填高、底、不变）
错解：填“不变”。 ◆原因分析
学生更多的是用想当然去做的，而没有对单位“1”的改变做出正确的判断。 ◆教学建议
不妨让学生用假设法去尝试一下，先可假设这件商品的原价为100元，
则提价10%后变为110
元，又降价10%是降110元的10%，即降价11元，则110－11＝99元。 ◆资源链接 对比练习：
一件商品先降价10%,后又提价10%，这件商品的价格比原价（ ）。
75
对于这种类型的题，我们就让学生从实际练习中理解与掌握先提后降与先降后提的结果是一样的都是比原价低的，而且我们还可引导学生得出这样一个规律：提降10%后，最后的现价比原价降低了10%2，即比原价降低1%，同理，若提降20%，则现价比原价降低4%。
六年级下册典型错例
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 错误50人 38% 率 试卷 总复习 分数乘法 陈述性知识 采集者 ** 基本 题 综型 合 拓展 采集 学校 *** 课时 新授 课 时 课 练习 单元 机 型 课 总复复习√ √ √ 习 课 策略性程序性知识 √ 知识 教学简有很多学生本来对乘法分配律的掌握不够轧实，当碰到此类述 题时很容易将51和17分开分配。 ◆典型错题
11
错题：（ － ）×17×51
1751
错解：
11
原式＝ ×17－ ×51＝1－1＝0
1751◆原因分析
76
教师方面：对乘法分配律的知识教学过于简单，缺少变式练习；
学生方面：对乘法分配律的知识理解不到位。
◆教学建议
让学生把17×51看作一个整体来计算，但不提倡计算出17×51的值，毕竞对于17×51的计算是要列竖式的，：
11
（ － ）×17×51 175111
＝ ×17×51－ ×17×51 1751＝51－17 ＝34
通过这种方法能让学生体会到4×5是一个整体。
六年级下册典型错例
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识
错误52 92．31% 采集者 率 基总复习 本 题 综课堂作业第41页 型 合 空间与图形，百分数应拓用题 展 77
*** 采集 学校 *** 课时 新授 课 时 课 练习√ 单元 机 型 课 总复复习 √ √ 习 课 知识属性 陈述性知识 程序性知识 √ 策略性知识 学生已经认识了圆与正方形，能正确计算两者的面积。已经教学简学过了用百分数解决问题，能正确求一个数是另一个数的百分述 之几。 ◆典型错题
错题：在一个正方形里面画一个最大的圆，该圆的面积大约是正方形面积的（ ）%。在一个圆里画一个最大的正方形，这个正方形的面积大约是圆面积的（ ）%
错解：学生无从下手，答案五花八门，没几个相同的。 ◆原因分析：
学生：一看到这题脑子一片空白，不会做，所以乱写了一个。 对于我们班大部分同学来说，这题材确实有难度。他们独立分析、解决问题的能力比较弱。因此有的乱写一个，应付一下，有的干脆空着。
◆教学建议
在一个正方形里面画一个最大的圆，请学生画图，找找正方形与圆有什么相同的地方。明确圆的直径与正方形的边长是一样的。既然是一样的都可以设为a,圆面积就是∏（）2
正方形面积就是a2, 圆的面积大约是正方形面积的（ ）%,就是∏（）
2
a2a2÷a2=≈78.5%
4在一个圆里画一个最大的正方形，请学生画图，找找正方形与圆有什么相同的地方。明确圆的直径与正方形的对角线是一样的,那么圆的半径与正方形对角线的一半是一样的。圆面积：∏r2,正方形面积，2r×r=2 r2。正方形的面积大约是圆面积的（ ）%就是（2 r2）÷（∏r2）=2÷∏≈63.7%
78
六年级下册典型错例
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 错误48 22.92% 采集者 率 基六年级总复习 本 题 综模拟试卷 型 合 拓小数除法 展 陈述性知识 采集 卢军 学校 *** 新授 课 时 课 练习√ 单元 机 型 课 总复复习 √ √ 习 课 课时 策略性知识 √ 程序性知识 此类问题为历年毕业试卷常规考题，但学生的得分率不高，教学简分析时学生发现很简单，但真正独立解决时常常是束手无策，述 是否可以寻求不同的解题策略而得到较好的效果。 ◆典型错题
错题：拖拉机耕地，3.6小时耕地9公顷，每小时耕地（ ）公顷；耕地1公顷需要（ ）小时。
错解：（0.4）公顷 思路3.6÷9=0.4公顷 （ 2.5）小时 思路 9÷3.6=2.5小时 ◆原因分析
1.教师层面：分析指导不符合学生胃口①平时常这样引导学生，最后单位是公顷所以把公顷的数据放在被除数位置，9公顷除以3.6小时；最后单位是小时，所以把时间放在被除数的位置，3.6小时除以9公顷。②看到是每小时，所以把时间放在除数的位置；看到每公顷，所以把几公顷放除数位置。
2.学生对此类题目，听的时候懂，但其实没有真正理解，很多学生只停留在个人经验上面，或者对老师的解释一知半解，缺乏真正解决问题的
79
合适策略。 ◆教学建议
合理地利用比例的知识，更符合学生的解题思路和策略选择，每或1小时，怎么把3.6小时变为每或1小时，学生很容易接受，3.6÷3.6=1小时，那么9公顷怎么变化？9÷3.6=2.5公顷。用此思路，据教师了解，发现学生容易理解，而且也更喜欢选择此方法解决此类问题。 ◆资源链接
正比例的基本知识，比例的前项和后项同时除以相同的数（非0正数），比值不变。
六年级下册典型错例
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 错误48 35.42% 采集者 率 基总复习 本 题 综《数学知识大全》 型 合 数与代数（分数应用拓题） 展 陈述性知识 采集 卢军 学校 *** 新授 课时 课 时 课 练习√ 单元 机 型 课 总复复习 √ √ 习 课 策略性知识 程序性知识 √ 教学简此题为六年级总复习内容，旨在考查学生对于分数的实质理述 解，及在解决问题中对于多余干扰条件的有效筛选能力。 ◆典型错题
错题：《知识大全》一根长
2591米的铁丝，第一次剪去它的,第二次剪1010去它的,还剩下全长的几分之几没有修?
错解：
9122- - = 10105580
◆原因分析
1．学生层面：①访谈了解到，有部分学生只是读题数据，对数据没有进行有效的筛选。②有一部分学生对具体的分数数量与对单位“1”而言的分数区分意识不足。③学生擅长于从条件出发的综合法法解题，较忽略问题的实质。④学生的读题仔细程度有待于提高。
2．教师层面：①对于高年级的应用题教学，教师缺少必要的分析法解题策略培养，造成学生解决问题的目标性不足。②教师淡薄对高年级学生的数学读题能力和习惯的训练。 ◆教学建议
1.在高段学生中进行常规性的读题能力和习惯的训练。
2.训练学生对多余干扰条件的有效筛选能力，可使用一些数据较为简单的存在多余条件的题组进行训练，让学生深切感受到解决问题中存在多余条件，需要进行必要的筛选。
3.训练用分析法解决问题的技能，教师可进行专项分析法解决问题的课，从问题出发，需要寻找何种数学信息，更具有目标性。
4.区分具体的分数数量和对单位“1”而言的分数，让生明白这两者之间的真正区别。 ◆资源链接
分数的意义
六年级下册典型错例 采集样50人 错误42% 采集者 *** 采集 ***
81
本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 率 基总复习 本 题 综《同步练习》 型 合 拓行程问题的数学问题 展 陈述性知识 学校 新授 课时 课 时 课 练习√ 单元 √ 机 型 课 总复复习 √ 习 课 策略性知识 程序性知识 √ 教学简学生掌握了行程问题的相应的数量关系，并能解决相关的数学述 问题。 ◆典型错题
错题：六（1）班同学从学校出发，骑自行车到相距18千米的公园郊游，去时平均每小时行15千米，返回学校时平均每小时行10千米，他们往返的平均速度是多少？
错解：（15+10）÷2=12.5（千米/小时） ◆原因分析
小学生由于对求平均速度题目中的数量关系认识不清,又受求平均数的思维定势的影响,因此在求往返平均速度时，学生会求出两个速度的平均数，认为就是往返的平均速度。而问题求的是往返一次的平均速度，两个是不同的概念，学生很容易混淆。 ◆教学建议
1、
帮助学生理解平均速度的含义：平均速度=总路程÷总时间，加
强行程问题中数量关系的理解与解决实际问题时数量关系的应用。。
82
2、 处理教材时，可以先解决像这类已知路程求平均速度的数学问
题，再解决不知路程求平均速度的数学问题。
① 平均速度=总路程÷总时间，引导学生理解总路程=单次路程×2，总时间=去时的时间+回时的时间。
尝试解决这类不知道路程求平均速度的问题。方法：以实带虚，假设路程 ◆资源链接
（1）已知路程求平均速度
甲乙两地相距156千米，一辆汽车从甲地出发下坡而行，5.2小时到达乙地。又从乙地沿原路上坡返回甲地，比去时多用2.6小时，求这辆汽车往返的平均速度。
（2）未知路程求平均速度
小强爬山，上山的速度是每小时2千米，到达山顶后立即下山，下山的速度是每小时6千米。小强上、下山的平均速度是多少？
六年级下册典型错例
采集样本 错题来源 题目出处 相关知
错误48人 36% 率 第六单元 数学课本P88 常见的量 采集者 ** 基本 题 综型 合 拓83
采集 学校 *** 新授√ 课时 课 时 课 练习 机 单元 型 课 总复√ 复习√ 识 知识属性 展 陈述性知识 习 课 策略性知识 √ 程序性知识 在复习常见的量时，我与学生已一起复习了小学阶段出现教学简的常见的量，沟通了长度单位、时间单位、面积单位等之间的述 进率，重点复习了单名数与复名数之间的转化。 ◆典型错题：
错题：2.4时=（ ）时（ ）分 错解1：2.4时=（2）时(4)分
错解2：2.4时=（2）时 (◆原因分析
1、错解1，学生不知道时间单位的进率，只简单地把原题中的数据进行了拆分。
2、错解2，学生把“（ ）时（ ）分”理解成了“（ ）时（ ）时”。 ◆教学建议
1、要让学生牢记时间单位间的进率。
2、要教给学生单名数与复名数之间单位转化的一般方法。 3、进行有针对性的练习。 ◆资源链接
3小时50分=（ ）小时
2.04平方米=（ ）平方米（ ）平方分米
六年级下册典型错例
采集样错误采集 48 31.25% 采集者 卢军 学校 *** 本 率 错题来基新授总复习 时 课时 课 题 源 本 课 型 机 型 题目出课堂作业本 综√ 单元 练习
84
1)分 15处 合 课 相关知年月日（经过时间的计拓总复复习 √ √ 识 算） 展 习 课 知识属陈述性知识 √ 程序性知识 策略性知识 性 教学简此习题，旨在考查学生对于年月日知识的掌握情况和对经过述 时间的计算能力。 ◆典型错题
错题：一部电视剧从7月24日开始在某电视台播放，每晚2集，到8月5日全部播放。这部电视剧一共有（ ）集。
错解：31-24+5=12（天） 12×2=24（集） ◆原因分析
1.教材层面：此内容实为人教版小学数学三年级知识，教材中也缺少此类的练习。
2.教师层面：缺乏必要的指导，只让学生凭经验在进行解答。 3.学生层面：解决策略方法不足，解决问题时的要点细节模糊不清。 ◆教学建议
1.解决问题抓要点：①“开始的24日算不算？” ②“31-24”表示什么？③怎么办？31-24+1
2.解决策略方法的多样性指导，“针对7月份需要播放几天？”①因数据小可以让学生通过数数的方法得到，当然不提倡，旨在验证31-24 +1 ②24日这一天需要计算，也相当于24日前7月份已经过了23天，所以31-23=8天就为7月份里播放的天数。 ◆资源链接
85
区分意识的培养：学生要能合理判断开始之日需不需要计算。 题组：①电影节从6月15日开始，7月6日结束，一共举行了（ ）天。
②电影节开始时间为6月15日星期三，结束时间为7月6日，那一天为星期（ ）。
六年级下册典型错例
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 错误52 23.08% 采集者 率 基总复习 本 题 综练习试题 型 合 拓量与计量 展 陈述性知识 *** √ 采集 学校 *** 课时 新授 课 时 课 练习单元 机 型 课 总复复习√ √ 习 课 策略性知识 √ 程序性知识 教学简此题是分块复习结束之后，进行综合复习过程中，学生在综述 合练习中出现的。对量与计量已经进行过疏理。 ◆典型错题
错题：用你的数学书( )本拼起来封面面积接近1平方米. A、100本 B、32本 C、12本D、2本 错解：①A ②C ◆原因分析：
选择A的同学：1平方米有点大，我想书的本数也应该有点多，所以选了100本。选择C的同学：我不知道怎么做想想100本、32本太多了所以选了12本。
86
①显然学生在头脑中没有1平方米、1平方分米的清晰表象。因此估计面积大小的能力比较弱。
②不能通过有效地计算来解决此类问题。 教学建议
重温1平方米有多大，1平方分米等计量单位有多大，找找生活中的现实原型。适当做些生活估计。
估计数学课本的封面有多大，（长20厘米，宽15厘米）约3平方分米。1平方米=100平方分米，100除以3大约是33。与32本比较接近。
数学课本封面长20厘米，宽15厘米。1平方米的面积内，平铺数学课本，长可放5本，宽约可放7本，5乘7等于35本，与32本比较接近。 ◆资源链接
谈如何促进学生空间观念的形成
空间观念作为数学学习的内容在课程标准中被明确提出,足以说明在数学教学活动中,让学生建立空间观念,是新理念下数学教学活动的一项重要内容,也是学生应具备的基本数学素质。那么,如何在教学中培养学生的空间观念呢?我认为注重以下几点,可以大大提高学生空间观念的形成和空间能力的培养。
一、从生活中丰富空间与图形的经验
学生的空间知识来自丰富的现实原型,与现实生活关系非常密切,这是他们理解和发展空间的宝贵资源。培养空间观念要将视野拓宽到生活空间,充分利用学生生活中的事物,引导学生探索图形的特征,丰富空间与图形的经验,建立初步的空间观念。如:认识体积单位时,在学生认识了1立方米、
87
1立方分米、1立方厘米的基础上,可引导学生从自己的现实生活中去寻找1立方米、1立方分米、1立方厘米的实际大小,并让学生适当做些生活估计,如一个拳头、一间教室的体积约是多少,从而实现形与物的结合。从学生的生活经验出发,引导学生把生活中对图形的感受与空间存在的几何图形建立联系,培养了初步的空间观念。 二、在画图中形成空间表象
小学生的思维正处于直观形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段,他们对几何图形的认识主要先依赖于观察、实验和必要的动手操作,再通过心理活动的内化去获得表象,然后掌握几何图形的特征,形成空间观念。因此,教学生学习几何知识时,首先要从具体事物的感知出发,在他们获得清晰深刻的表象后,再渐渐抽象出几何形体的特征,通过实际画图,引导他们理解并形成正确的空间观念。在画图过程中,既加深了学生对概念的理解,形成了表象,又进一步发展了学生的空间观念。 三、在操作中感知,以形成清晰、正确的表象
皮亚杰说,空间观念的形成不像拍照,要想建立空间观念,必须有动手做的过程。这个做的过程,不仅是一个实践的过程,更是尝试、想象、推理、验证、思考的过程,只有在这样的过程中,学生才能把握概念的本质,建立空间观念。
学生认识各种几何形体的特征,理解各图形的面积,体积计算公式的来源,都需要借助于直观演示,动手操作等感知活动来完成。在长方体的教学中,我按照儿童认识事物的规律,引导学生用各种感官,参与观察、动手操作等感知活动,帮助学生形成长方体的表象,得到正确、清晰的概念。先引导
88
学生观察粉笔盒、三角柜、篮球等,说明这些物体的形状是立体图形,并出示长方形、正方形、三角形等一些平面图形,使学生从直观上初步了解平面图形与立体图形的不同,初步建立空间概念。然后让学生拿出自已准备的长方体,让学生先摸一摸长方体的面,有规律地边摸边数看看长方体有几个面,同时观察每个面是什么形状,哪些面是完全相同的,有几组相对的面,相对的面大小有什么关系?在学生操作的同时,教师再结合进行演示,出示涂有三种不同颜色的长方体,将三组相对的面一一揭示下来,贴在黑板上,帮助学生更好地认识长方体面的特征。同样在认识“棱”的特征时,也让学生摸一摸,有顺序数一数,量一量棱的长度,再看一看哪些是相等的?教师出示涂有不同颜色的长方体框架,让学生动手量一量相对棱的长度,使他们明白相对棱的关系。同时通过量一量,再来算一算每个面的面积的大小。通过这些操作,加深学生对长方体特征的认识,使学生不断认识、了解、把握了实物与相应图形的相互转换关系,空间观念就会不断地发生并渐渐形成。 四、在观察中比较、想象,培养空间观念
想象是学生依靠大量感性材料而进行的一种高级的思维活动,在几何知识教学过程中,要培养学生按照一定目的,有顺序,有重点地去观察,在反复的观察的基础上,让学生展开丰富的空间想象。如在讲圆锥体时,圆锥的高学生看不见,摸不着,较难掌握,教师就要用模型演示,并进行实际操作,让学生细致观察,从而帮助学生形成表象。抽象出圆锥这一概念,教师可以用圆锥教具沿底面圆直径到圆锥顶点切开,让学生观察到切开后横截面是一个等腰三角形,它的底边正好是圆锥底面圆的直径,从圆锥顶点到底面圆心距离就是圆锥的高,还可以在黑板上画一草图标出圆锥的高,这样抽象的
89
概念形象、具体了,便于学生理解,空间想象力就会初步形成。
六年级下册典型错例
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 错误54人 41% 率 第六单元 作业本 常见的量 陈述性知识 采集者 ** 基本 题 综型 合 拓展 采集 学校 越城区*** 新授 课时 课 时 课 练习√ 单元 机 型 课 总复复习 √ √ 习 课 策略性知识 √ 程序性知识 在复习“常见的量”时，我和学生一起系统整理了常见的量教学简以及进率，在此基础上沟通了长度单位、面积单位和体积单位述 之间的联系。重点复习了单名数与复名数之间的转化。 ◆典型错题
错题：2.05dm3=( )L=（ ）ml 错解：2.05dm3=( 2 )L=（ 50 ）ml ◆原因分析
通过访谈，学生都说没有看清题目，把“2.05dm3=( )L=（ ）ml”误看成“2.05dm3=( )L（ ）ml”，所以出错。确实，在批改时，我只在“2.05dm3=( )L=（ ）ml”下画了一条横线，这些学生马上恍然大悟，一次订正通过。 ◆教学建议
对比分析，明晰区别。具体方法是：
90
1.让学生仔细观察，说说 “2.05dm3=( )L=（ ）ml”与“2.05dm3=( )L（ ）ml”这两题之间的区别。 2.说说每一题所表示的意义。 3.填一填。
4.这个错例给你什么启发？在今后碰到类似问题时，你想提醒同学们注意些什么？
◆资源链接 填空：
2小时45分=（ ）小时
3050千克=（ ）吨=（ ）吨（ ）千克 2.04平方米=（ ）平方米（ ）平方分米
六年级下册典型错例
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 错误48人 41% 率 第三单元 比例 期末总复习卷 比例的应用 陈述性知识 采集者 ** 基本 题 综型 合 拓展 采集 学校 *** 新授√ 课时 课 时 课 练习 单元 机 型 课 总复复习 √ √ 习 课 策略性知识 程序性知识 √ 学生已在前期的学习中学会了用比例的知识解决实际问教学简题，这道题是期末总复习中第一次出现“用比例的方法解决问述 题”。 ◆典型错题：
错题：工程队修一条路，开工4天修了120米，剩下630米。照这样
91
的速度，剩下的路程需要修几天？（用比例方法解决问题）
错解1：630÷（120÷4）
=630÷30 =21（天）
错解2：解：设剩下的路程需要修X天。
4:120=X：630
◆原因分析
我们发现，该题的难度其实并不大，但因为学完“比例的应用”这部分的内容已过去相当一段时间，学生遗忘得较快。细细分析，犯错的原因有以下几点：
1、学生维度
（1）错误一，明显地是审题不清，没有看清题目的要求是“用比例方法解决问题”。
（2）对于“用比例解决问题”的实质没有很好地掌握，看到数据胡乱列个比例，但究竟里面的数量关系是什么却不去多做思考。
2、教师的维度
在复习阶段少强调“用比例解决问题”的方法。 ◆教学建议
1、针对第一种错误，当然其实这并不能算是一种严格意义上的错误，至少这类学生能够用“归一”的方法来解决问题，也就是他们是理解题目的意思的，只是没有按照题目的要求来解题。应向学生强调解决问题之前应看清题目的要求，也就是要学会审题。
2、用比例知识解答正、反比例的问题的关键是使学生能够正确找出两种相关联的量，判断他们成哪种比例，然后根据正比例或反比例的意义列出方程。可以先给出一些数量关系，让学生判断成什么比例，依据什么判断的。对于这类问题，可以问几个问题：问题中有哪两种量？它们成什么比例关系？你是根据什么判断的？根据这样的比例关系，该怎样列比例？ ◆资源链接
用比例方法解决以下问题：
1、工程队修一条公路，计划平均每天修0.25千米，6天可以修完，实际只用了4天修完这条公路，实际平均每天修路多少千米？
2、同学们做操，每行站15人，正好站12行。如果每行站9人，可以站多少行？
六年级下册典型错例 采集样31人 本 率 题 基 92
错误48.39% 采集者 ** 采集 学校 *** 时 课时 课 新授 错题来总复习
源 题目出总复习练习卷 处 相关知圆锥 比例 识 知识属性 陈述性知识 型 本 综√ 合 拓 展 机 单元 型 课 练习 课 复习√ √ 课 策略性知识 总复习 程序性知识 √ 教学简这是学生在期末复习试卷上的题目，学生已经学了比例和圆锥述 的知识。 ◆典型错题
错题：圆锥的体积一定，它的底面积和高成反比例。（ ） 错解：错。因为圆锥的体积计算公式是VSh，虽然V一定了，但是还差，从而VSh，所以它的底面积和高不成反比例。 ◆原因分析
1．对反比例的定义理解不透彻。学生从体积公式出发，由VSh联想到3VSh，但是他只是考虑了圆锥体积的V和Sh是否相等，而没有从反比例的定义角度去判断思考。
2．教师在教学时，只注重了概念的表象教学，如正比例强调了两种量的比值一定，反比例强调了乘积一定。 ◆教学建议
1．在教学比例的定义时，不要按照“部分——部分——整体”的思想去教学学生，而
131313部分
93
应从“整体 整体”的教学思想，这样可以使学生从整体上
部分
把握所学的知识，
也使学生加深在正反比例意义的相互迁移、比照中强化对概念本质的理解，实现有意义的学习。
2．根据圆锥体积计算公式：VSh，我们可以得到3VSh。因为V一定，所以3V的值也是一定的，从而得到Sh的乘积是一定的。由此，我们根据反比例的定义，可以判断：当圆锥的体积一定时，它的底面积和高是成反比例。
3．要加强类似的变式练习。 ◆资源链接
1．圆面积与圆半径成（ ）比例； 圆面积与圆半径的平方成（ ）比例。 2．课本的数量与课本的总价成（ ）比例。 3．5x=7y，x和y成（ ）比例； 6xy，x和y成（ ）比例。 7134．当两个比例的两个内项确定时，比例的两个外项成（ ）比例。 5．如果a和b成正比例，那么2a与b成（ ）比例。 6．两个相等的量成（ ）比例。
7．分数的大小一定，分数的分子与分母成（ ）比例。
94
六年级下册典型错例
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 错误53．85% 采集者 率 基总复习 本 题 综练习试题 型 合 拓正反比例 展 52 陈述性知识 *** √ 采集 学校 *** 课时 新授 课 时 课 练习单元 机 型 课 总复复习√ √ 习 课 策略性知识 √ 程序性知识 此题是分块复习结束之后，进行综合复习过程中，学生在综教学简合练习中出现的。学生已经知道了正、反比例的定义，能够正述 确地判断两相量是否成正、反比例。 ◆典型错题
错题：判断:圆的周长一定，圆的直径和圆周率成反比例。（ ） 错解：圆的周长一定，圆的直径和圆周率成反比例。（ √ ）
◆原因分析：
C=2∏r，圆的周长一定，圆的直径和圆周率成反比例。
在正反比例的判断中，要求学生关注乘积一定还是比值一定，忽视了两个变量这一前提。学生C=2∏r，一看乘积一定第一反应就成反比例。 ◆教学建议
重温正比例、反比例的定义。你觉得“C=2∏r，圆的周长一定，圆的直径和圆周率成反比例”。错在哪里？
圆的周长一定，∏一定，C=2∏r，r也一定。不存在一个量随着另一个量的变化而变化。所以不成比例。
你觉得以后在判断是否成正反比例过程中，该提醒注意什么？ ◆资源链接
判断成不成比例，如果成比例，指出成什么比例：
95
4X—5Y=0，（X、Y不等于0），X和Y。（ ） 梯形的高一定，上底和下底的平均数与面积。（ ）
口算比赛的时间一定，做的总题数与每分钟做的题数。（ ）
六年级下册典型错例 采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 错误25.5% 采集者 ** 采集 率 学校 基总复习 课时 本 题 综时 模拟试卷 √ 单元 型 合 机 拓总复比例 展 习 51 陈述性知识 程序性知识 *** 新授 课 练习 课型 课 复习√ √ 课 策略性知识 √ 这是一例非常典型的习题，不管是在新授、练习阶段，还是教学简在总复习整理阶段，这类题目，学生做了错，错了改，改了还错，述 在模拟考试中错误率仍达25.5%，令人深思。 ◆典型错题 错题：一间教室用边长0.4米的正方形砖铺地，需要300块，如果改用边长0.6米的正方形砖铺地，需要多少块？（用比例解）
错解：
（1）解：设需要x块。0.6×x=0.4×300 （2）0.4×0.4×300÷0.6
（3）0.4×0.4=0.16 0.6×0.6=0.36 解：设需要x块。 0.6×x=0.4×300
◆原因分析
1、从学生经验的角度分析，缺乏类似的生活经验是主要原因。学生没有实际的铺地经验和空间观念，他们无法看到藏在这些静态数字背后的铺地方法，所以犯错和错了还错也是在所难免，情有可原。
2、从数学方法的角度分析，用比例解题时，学生没有深入分析有关信息，确定“一定的量”和“相关联的量”及它们之间的关系。这里，一定的量是一间教室的面积，教室的面积=每块方砖的面积×需要的块数，而不是教室的面积=每块方砖的边长×需要的块数。
3、从教师教学的角度分析，教师仍没有掌握更为有效的教学手段和突
96
破方法，错误率得不到有效控制。 ◆教学建议
1、利用小方块或方纸片，组织学生进行模拟铺地活动，沟通总面积与每块方砖边长之间的关系，促进直观理解，从而深刻认识用边长铺地的错误。
2、教室的面积=每块方砖的面积×需要的块数
教室的面积=每块方砖的边长×需要的块数
对以上两个关系式，要组织学生深入辨析，从而明辨是非，深刻掌
握正确的解题方法。
3、对于错解3，让学生自己说说“做表面文章”的危害性，加强解题过程回头看的习惯教育。 ◆资源链接 教学片断：
一、解读习题：
一间教室用边长0.4米的正方形砖铺地，需要300块，如果改用边长0.6米的正方形砖铺地，需要多少块？（用比例解） 请独立审题，说说解题时你有什么要提醒大家？
1、 用比例解，不要用一般的算术方法解。
2、 要注意这里是边长，要先求出每块方砖的面积。
3、 这里是教室的面积一定，所以每块方砖的面积与块数成反比例。…… 二、解决习题：
请参考刚才同学们讨论的意见，独立在练习纸上解决。 反馈讨论：特别是错解的呈现和个性的反思。 三、解答问题：
一个客厅用面积16平方分米的正方形砖铺，需要180块，如果改用边长6分米的正方形砖铺地，需要多少块？（用比例解）
六年级下册典型错例
采集样本 错题来源 题目出处 相关知
错误45.83% 采集者 率 基六年级总复习 本 题 综模拟卷 型 合 反比例知识和生活常拓48 97
采集 卢军 学校 *** 新授 课时 课 时 课 练习√ 机 单元 型 课 总复√ 复习√ 识 知识属性 识 陈述性知识 展 习 课 策略性知识 程序性知识 √ 此题重在考查学生是否能判断正（反）比例，并合理利用比教学简例解决实际问题，但解答结果中暴露出学生所缺乏的是对生活述 经验的把握。 ◆典型错题
错题：一个客厅如果用边长为4分米的方砖铺需要87.5块，如果用边长为5分米的方砖，那需要多少块呢？（用比例的知识解）
错解：解设需要X块。5X=4×87.5 X=7O ◆原因分析
1.学生层面：学生虽能合理选择反比例解决问题，但忽略了生活实际，学生对于一些生活实际缺乏实质的理解。
2.教师层面：在平时教学中重文字的解释与引导，缺少让学生的真正操作和演示。 ◆教学建议
我们需要更加关注学生对生活经验的把握，对实际生活问题的实质追寻，这就需要我们平时在教学中需要设计更多的学生体验生活环节，多让学生操作、体验、感受生活中的问题真谛，而不是一味的使用文字解释来让学生生硬地解决实际问题。对于此题可让学生根据算式进行操作，错解算式的演示操作，学生可能会哄堂大笑，错误的孩子会体会到铺客厅真正的应该是面积，多进行此类操作，孩子会在内心深处萌生生活问题需要结合实际去解决的理念，而不会再盲目地进行。
98
六年级下册典型错例 采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 错误42 率 第六单元 课堂作业本 比和比例 陈述性知识 57% 采集者 基本 题 综型 合 拓展 ** √ 采集 学校 课时 *** 新授 课 时 课 练习单元 机 型 课 总复复习√ √ 习 课 策略性知识 √ 程序性知识 这是进行“比和比例”总复习时配套《作业本》中的一题，教学简学生之前也多次解决过类似的问题，每次错误率都比较高，说述 明部分学生还是没有真正理解，当然也没有形成解决这类问题的能力。 ◆典型错题：
错题：甲数的等于乙数的，甲、乙两数的比是（ ）。
错解：4：3。第一种想法是甲：乙=：=4：3，第二种想法是（×12）：（×12）=4：3。 ◆原因分析：
1.学生没有真正理解。从学生的错误率和两种典型错误想法看部分学生是没有真正理解这类问题，都把甲数与乙数分别错误地理解为和。更多的学生可能是不会分析这类问题，于是作了简单地处理，有点“蒙”的味道。
2.教学设计还欠加强。或许是教师已经认识到这类问题的特别之处，但是在引导过程中更多的是就题论题，以至于大部分学生还是没有真正理
99
1314131413141314解这类问题的本质。或许是教师已经引起足够的重视，但是没有设计安排足够的练习量帮助学生真正理解掌握。 ◆教学建议：
1.引导要到位。教师首先要强调面对这类问题先要列出等式，即甲数×=乙数×，然后可以用两种方法进行解答：一是把甲数×=乙数×
1=1，算出甲数=3、乙数=4，甲、乙两数的比是4：3。二是根据比例的基411本性质得出甲数：乙数=: =4:3。
431314132.数量要足够。部分学生出现错误的原因主要是因为这类问题本身比较难，再加上类似的练习量少，导致没有形成这方面的能力。教师应该在适当的时候多设计这类问题，让学生达成“熟能生巧”的目的。 资源链接：
1.出示：甲数的等于乙数的，甲、乙两数的比是（ ）。 2.引导：你能用一个等式表示题意吗？
3.尝试：你能根据甲数×=乙数×求出甲数和乙数的比吗？ 4.交流：你是怎么想的？还可以怎么想？ 5.小结：解决这类问题怎么想比较好？……
六年级下册典型错例
采集样错误42 57% 本 率 错题来第六单元 源 题目出课堂作业本 处 相关知用比例的方法解决问
13141314采集者 基本 题 综型 合 拓** √ 采集 学校 *** 新授课时 课 时 课 练习机 单元 型 课 总复√ 复习√
100
识 知识属性 题 陈述性知识 展 习 课 策略性知识 √ 程序性知识 这是“用比例的方法解决问题”中比较难的一类题，学生面教学简对这类“不标准”问题时很难想到可以用正比例的方法解决问述 题，有的虽然想到了但由于问题本身比较难理解而且解答过程相对有点繁琐也会出现一些问题。 ◆典型错题：
错题：在10千米赛跑中，假设甲乙丙三人的速度保持不变，当甲到达终点时，乙还距终点2千米，丙还距终点4千米。当乙到达终点时，丙还距终点多少千米？
错解：10：8=2：x，x=8×2÷10=1.6，4-1.6=2.4千米。 ◆原因分析：
1.学生理解错误。甲、乙、丙的速度比是10：8：6，很显然乙与丙的速度比是8：6，而且这个比始终保持不变的。因为乙车再行2千米到达了终点，学生错误地认为丙同时也能行2千米，于是出现了乙与丙的速度比=10：8的情况。
2.教师缺少指导。为什么学生会错误理解乙与丙的速度比=10：8？就是因为教师缺少相应的指导，没有引导学生思考乙与丙的速度比是多少？没有引导学生思考乙再行2千米丙能行多少？真是因为教师缺少指导，学生面对本身较难的问题时出现错误实属正常。 ◆教学建议：
设计要到位。因为题目本身比较难，教师应在学生尝试练习前作适当应该：这里是什么保持不变？乙与丙的速度比是多少？乙行10千米丙能行多少？丙还剩多少？或者可以在解决这个问题之类安排一题类型相似但是相对比较简单的问题，如：在10千米赛跑中，甲行8千米、乙行6千米，甲行到达终点时乙行了多少千米？ ◆资源链接：
1.尝试练习：在10千米赛跑中，甲行8千米、乙行6千米，甲行到达终点时乙行了多少千米？
2.尝试练习：在10千米赛跑中，甲行8千米、乙行6千米，甲行到达终点时乙还剩多少千米？
3.尝试练习：在10千米赛跑中，假设甲乙丙三人的速度保持不变，当甲到达终点时，乙还距终点2千米，丙还距终点4千米。当乙到达终点时，丙还距终点多少千米？
101
4.对比小结：这三题有什么相同点？解决这类问题要注意什么？……
六年级下册典型错例
采集样53 本 错题来复习与整理 源 题目出课堂作业本 处 相关知面积计算 识 知识属性 教学简述 陈述性知识 展 本 题 综型 合 拓√ 习 程序性知识 率 基 课时 课 时 课 练习单元 机 型 课 总复√ 课 策略性知识 √ 复习√ 错误98% 采集者 ** 采集 学校 *** 新授 练习此题时已在总复习单元中空间与图形相关知识复习以后，在课堂作业本上出现的一道习题。学生之前也练习过类似的题目。 ◆典型错题
错题：为庆祝元旦，三（1）班同学做小红旗（如图）。现在有一张长1.4米、宽0.9米的长方形卡纸，最多可以做这样的小红旗多少面？
错解1： 63个 错解2：56个 ◆原因分析
1．第一种错误显然学生用了长方形的面积除以三角形的面积，没有考虑到数学问题和生活实际问题的区别。
102
2．第二种错误是显然是错误率高的惊人，显然我们大多数老师都可能不会发现这个错误。因为我们在分析是注意了把两个三角形拼成边长为2的正方形，而想到4个这样的三角形还可以拼成一边长约为3的正方形。
3.从教材的角度来说，4个这样的三角形还可以拼成一边长约为3的正方形需要勾股定理来验证，有一定的难度。 ◆教学建议
1.帮助学生理解生活实际问题要考虑能不能剪拼，如果边长刚刚不是整倍数时，会有多余，除面积问题外，还有包装问题等也是相同的道理
2.结合图示法进行分析，按学生现有的理解水平右上图是56个，右下图最多可以拼60个。 ◆资源链接
1． 估一估如右下图中由4个腰为3的等腰直角三角形组成的正方形的边长约是多少？
六年级下册典型错例 采集样错误38.9 采集 ４2 采集者 ** 本 率 % 学校 错题来基第六单元 课时 源 本 题目出题 综时 作业本 单元 处 型 合 机 相关知拓总复总复习 √ 识 展 习 知识属陈述性知识 程序性知识 性 *** 新授 课 课 练习√ 型 课 复习 √ 课 策略性知识 √ 此类题目学生一贯的解题方法是大面积除以小面积，却没教学简有考虑到长或宽在剪的时候会多余或不够的情况，缺少与实际述 生活的经验和数形结合的数学思想方法的能力。
103
◆典型错题
错题：为庆祝元旦，三（1）班同学做小红旗（如图）。现在有一张长1.4米、宽0.9米的长方形卡纸，最多可以做这样的小红旗多少面？
错解: ①1.4×0.9÷(2×2÷2) ②14×9÷(2×2÷2) 正解:14÷2=7（个） 9÷2=4(个)…1(分米) 7×4×2=56(面)
◆原因分析 两种错误的主要原因是
1．学生凭借以往的学习经验来判断此类题目的解题方法，即大面积除以小面积，采用了1.4×0.9÷[2×2÷2]＝63（面），却没有考虑到原来宽边分过去会余下1分米，不能正好剪一个三角形小旗，只能浪费了这一实际存在的问题，同时也与学生实际生活经验欠缺有关，没有将数学与生活实际结合起来，一味地用数学方法来解决问题。
2．数形结合能力欠缺。一方面不会通过画图解决问题，此类题目最好的方法是画图理解题意，但很多学生不肯画或不会画，导致分析题意时出错。另一方面是不会将剪三角形转化成剪正方形，以此来简化题目的难度，通过观察可以发现，两个直角等腰三角形刚好可以拼成一个正方形，假如想到在一张长方形纸上剪正方形，那么难度就将大大地降低，即只要先求出正方形的个数，那么三角形的个数只要在正方形个数的基础上乘以2就可以了。
3．教师在平时的教学中也存在一定的问题，即一味强调学生求个数时可以用大面积除以小面积或大体积除以小体积这一数学模型，而不考虑浪费问题。
◆教学建议
可以通过画图，比较、辩思三步进行教学，首先画图。最重要的是将三角形先转化成正方形。
然后比较、辩思，通过观察可以发现：原来宽边分过去会余下1分米，不能正好剪一个三角形小旗，只能浪费了。正确的解法是（1.4÷0.2）×（0.9÷0.2）×2= 56（面），根本不可能剪出63面。有学生想到了其实是先求出长方形里可以画出多少个边长是2分米的正方形，而每个正方形里正好可以得到两个等腰直角三角形，学生们的思维得到了有效发散。
此类问题还可以拓展到长方形纸片中剪圆，长方体盒子中装小正方体等类型的题目，都应该考虑到多余或不够的情况。
1．在长12.4cm,宽7.2cm的长方形纸中，剪半径是1cm的圆，可以剪多少个？
2．一个长方体盒子长、宽、高分别是9cm、5cm和3cm，如果在里面放棱长是2cm的小正方体模型，最多可以放多少个？
104
六年级下册典型错例
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 错误30.2 % 采集者 率 基第六单元 本 题 综作业本 型 合 拓总复习 展 ４2 陈述性知识 ** 采集 *** 学校 课时 新授 课 时 课 练习 单元 √ 机 型 课 总复复习√ √ 习 课 策略性知识 程序性知识 √ 此题是总复习平面图形的周长和面积时遇到的问题，此时教学简学生已能熟练计算平面图形的周长和面积，同时对圆的半径、述 周长、面积之间的关系也有了一定的了解。 ◆典型错题
错题：大圆的直径是小圆的3倍，则大圆的周长是小圆的（ ），小圆的面积是大圆的（ ）
错解：大圆的直径是小圆的3倍，则大圆的周长是小圆的（ 3倍 ），小圆的面积是大圆的（ 9倍或一个错误的分数）
正解：3倍、1/9 ◆原因分析
学生访谈：
生1：上次我们做过大圆的直径是小圆的3倍，则大圆的周长是小圆的（ 3倍 ），大圆的面积是小圆的（ 9倍 ），今天没看清楚后半题变了，想都没想就填9倍。
生2：我是用假设法做的，假设大圆直径是3厘米，则小圆直径是1厘米，则大圆周长是3.14×3＝9.42厘米，小圆周长是3.14×1＝3.14厘米。因此大圆周长是小圆的9.42÷3.14＝3倍；大圆面积是3.14×（3÷2）2＝7.065厘米2，小圆面积是3.14×（1÷2）2＝0.785厘米2，因此小圆的面积是大圆的7.065÷0.785但是计算的时候，开始我发现除不通，在化成分数约分时约错了。
105
错例分析：这一类型题学生做到过，但复错率还是很高。从学生的访谈中，可以看出一部分学生是受了思维定势的影响，没有审清楚题目想当然出了错。而大部分的学生知道用假设法解决问题，但还是在计算的时候出了错。 ◆教学建议
针对这种复错率高的题目，我采取了专题式错例会诊的方式实录如下： 呈现错例（略）
师：我们很多同学想到用假设法解决问题，这个办法挺好，但是计算的时候老是要出错。能不能想一个数字使计算变的简单一些呢？（学生思考）
生：不管假设直径是多少，计算还是麻烦，因为计算周长和面积都要乘3.14。
师：这个3.14的确给我们添了麻烦。我们有没有简单一些的办法来解决这个问题呢？
（组织学生小组讨论）
生1：我不计算就可以求出结果。因为大圆周长除以小圆周长＝（3.14×3）÷（3.14×1）＝3÷1＝3倍,小圆面积除以大圆面积＝[3.14×（1÷2）2]÷[3.14×（3÷2）2]＝（ ）2÷（ ）2＝ × ＝
师：生1的方法你们看的明白吗？你们觉的他的做法有道理吗？ 生2：我看懂了，因为不论是求大圆的周长和面积还是求小圆的周长和面积，都要乘3.14,所以在计算的时候，被除数和除数可以先都除以3.14。
师：这样做的根据是——商不变性质。（生齐） 生3（表情激动）：我还有更简单的办法。 师：把你的方法让大家瞧瞧。（他把方法呈现在实物投影上）大圆的周长是小圆：＝3 小圆的面积是大圆：＝ ＝
师：你们觉得生3的方法好吗？ 生：好！（还有学生鼓掌）
师：看来大家都很赞同生3的做法，他这样做的根据是——分数的基本性质。
生4：我不用计算就知道答案了。因为周长和直径都是长度，所以大圆的直径是小圆的3倍，那么大圆的周长是小圆的也是3倍，因为小圆的直径是大圆的， 而面积需要平方，所以小圆的面积是大圆的 。
师：说的真好，那么也就是说如果大圆的直径是小圆的a倍，则大圆的周长是小圆的（ a倍 ），大圆的面积是小圆的（a2倍），小圆周长是大圆的（ ）小圆的面积是大圆的（ ） ◆资源链接
举一反三：
1、大圆的半径是小圆的4倍，则小圆的周长是大圆的（ ），小圆
106
的面积是大圆的（ ）
2、大圆的半径是小圆的直径，则大圆的周长是小圆的（ ），大圆的面积是小圆的（ ）
3、甲圆的直径是乙圆的，、甲圆的面积是乙圆的（ ）。 4、如右图，大圆的半径和小圆的直径相等，如果大圆 的周长是9.42米则小圆的周长是（ ），如果大 圆的面积20平方厘米，则阴影部分的面积是（ ）。
六年级下册典型错例
采集样错误21.2 采集 42 采集者 ** *** 本 率 % 学校 错题来基新授第六单元 课时 源 本 题 时 课 课 型 机 型 练习题目出综课堂导学 单元 √ 处 合 课
107
相关知总复习 识 知识属陈述性知识 性 拓展 √ 总复 习 复习√ 课 程序性知识 策略性知识 √ 本题是在总复习平面图形的周长和面积后的综合性的应教学简用，此时学生已熟练掌握平面图形的周长与面积，重在考察学述 生对综合运用知识的能力。 ◆典型错题:
错题：求出下面图形的周长和面积。
错解：学生求组合图形的周长时，主要出现了以下几种错误情况： ①（8+4）×2+3.14×8÷2 ②（8+4）×2+3.14×8÷2 +8 ③（8+4）×2-8+3.14×8 正解：3.14×8÷2+8+4×2 ◆原因分析
从这3个错例可以看出学生求图形周长时要么忘记减掉长方形的一条长（或一条直径），要么多加上一条直径，和一条长，要么，把圆周长的一半算成整圆的周长，在这里，学生对圆周长的一半出现了表述“误区”，把“圆周长的一半和半圆的周长”等同了，而面积计算却“完好无损”。出现上述问题可能是由于我平时对求圆周长的某部分（即求弧长）的要求力度不够，训练较少。还有，因为是高年级了，平时我要求学生列综合算式，可能是思维难度太大，而造成学生的思维负担过重，分析问题上“丢三落四”，捡了芝麻丢了西瓜。 ◆教学建议
六年级的学生虽说是高年级了，但图形空间想象能力还是不够强，数学思考还是不够严谨，数学处理还是不够细腻。因此，空间图形教学中要加强对学生的空间形象能力的培养，特别是一些数学实践活动，加强学生的空间感知，强化学生的点、线、面、体的整体感，由整体到部分或由部分到整体，建立起“形”与“数”之间的内在联系。在上题中，先让学生弄清楚求图形的周长具体是由哪些线拼成的一个面或形，同时，让学生动手操作，描画出图形的周长，然后，找到求周长的某个计算公式，并根据自己的学习水平，或分步或列出综合算式，而不再作出强制性的要求，同时，加强学生的算理说理能力的培养，和算法多样化的渗透，以提高学生数形结合的处理能力。 ◆资源链接
求下面图形的面积
108
六年级下册典型错例 采集样31人 本 错题来期末卷 源 题目出期末卷
错误41.94% 采集者 ** 率 基题 本 型 综109
采集 学校 *** 新授 √ 课时 课 时 机 单元 型 课 练习 处 相关知三角形、圆面积 识 知识属性 陈述性知识 合 拓 展 习 程序性知识 总复√ 课 复习√ 课 策略性知识 √ 教学简这是学生在期末复习试卷上的题目，学生已经学了三角形和圆述 的知识。 ◆典型错题
错题：右图中三角形ABC三个顶点上都是半径为1厘米的圆，图中阴影部分的面积是（ ）。
错解：1、用量角器去量，量出每一个角，再用按比例分配的思路去求面积，但他量的时候有误差，三个角的度数和不是180度。
2、不会 3、1×1×3=3cm2 4、3.14×1×1=3.143cm2 ◆原因分析
学生对于此题考察的知识点不够明确。学生拿到题目就去算，而没有从整体的角度来思考问题。有些同学知道扇形的相关知识，就用量角器去量，去计算，但由于测量的误差，导致计算的偏差。
一些学生一时没考虑到三角形三个内角和是180度这个知识点，也就是这三块扇形的圆心角的和为180度，刚好是圆面积的一半。学生对于知识点与知识点之间的串联不够熟练，只会单独的知识点的应用，当知识点
110
与知识点之间互相关联应用时，学生思路一时跟不上，无法找到突破口。 ◆教学建议
1、加强综合性练习。在教学圆面积和三角形面积时，多一些变式练习，将不同知识点与知识点进行关联。
2、在教学三角形三角和时，要注重三角和产生的过程，让学生加深印象。
3、加强对学生利用转化的思想解决数学问题。 ◆资源链接
1、在一个长50公尺的墙壁中间，用6公尺的绳子把拴在墙上，羊能活动的面积有多大？
2、已知正方形的边长是2cm，求圆面积； 已知圆面积是2平方厘米，求正方形面积。
六年级下册典型错例
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 50人 试卷 总复习 平行四边形的面积 陈述性知识 错误72% 率 采集者 ** 基本 题 综型 合 拓展 √ 采集 学校 *** 新授 课 时 课 练习单元 √ √ 机 型 课 总复复习 习 课 课时 策略性知识 羊
程序性知识 √ 111
教学简这是学生学习平行四边形面积后对其掌握程度的一次检述 阅。 ◆典型错题
错题：已知平行四边形的高为6厘米，求它的面积。
错解：7×6＝42（平方厘米） 正确解答：5×6＝30（平方厘米） ◆原因分析
教师方面：对平行四边形的面积讲解只停留在面积公式上。 学生方面：只是简单地利用平行四边形的面积公式，而没有真正理解
和掌握平行四边形的面积计算。
◆教学建议
平行四边形面积＝底×高，我们对这个公式的教学不能只停留在对公式的死记硬背上，我们应让学生了解平行四边形的底和高有什么样的关系，并且让生学要了解在CD边上的高是不可能大于5厘米的。
112
六年级下册典型错例 ** 错误33．采集 33% 采集者 ** 63 学校 率 ** 基第六单元总复习 课时 本 数学课本P102第14题 综时 √ 单元 题 型 合 机 拓总复圆锥的体积 展 习 程序性知识 √ 采集样本 *** 新授 课 课 练习 型 课 复习√ √ 课 策略性知识 错题来源 题目出处 相关知识 知识属陈述性知识 性 教学简此题是在学生学习了圆柱和圆锥等有关知识后的复习的练习。 述 ◆典型错题
错题：把一块棱长10CM的正方体铁块熔成一个底面直径是20CM圆锥
形铁块。这个圆锥铁块的高约是多少？（得数保留整数）
错解： 10×10×10÷（3.14×102）
=1000÷314 ≈3CM
答：这个圆锥铁块的高约3CM。 ◆原因分析
1、 对圆锥的体积所表示的意义的认识不到位，与圆柱的体积混淆。 2、 对推到圆锥体积的过程印象不深。
3、 受到圆柱体积计算公式的干扰，混淆它们之间的公式。 ◆教学建议
1、在教学中，教师敢于大胆放手，让学生自主探索，经历再创造的过程，引导学生通过观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，积极主动地发现两者之间的关系。
2、很多教师在教学时，仅仅只呈现了一组等底等高的圆柱和圆锥进行实验，学生对此印象不深，可以准备两组不同的圆柱圆锥进行实验，激起学生的探究兴趣，从而来揭示两者的关系。 ◆资源链接
113
在探索圆锥体积的计算公式时，教师直接告诉学生要比较等底等高的圆柱与圆锥，这是学生的内心需求和迫切需要吗，如果不是，学生难免会问：为什么要用圆柱与圆锥进行实验对比？
对策：课始，教师先让学生回忆平行四边形、三角形、梯形和圆的面积公式以及圆柱体积公式的推导过程，梳理知识，形成脉络： 三角形面积公式 长方形面积公式 平行四边形面积公式
圆面积公式 梯形面积公式
长方体体积公式 圆柱体积公式
引导学生：对未知平面图形面积的计算，一般是把它转化成已知平面图形面积的计算，再推导出计算公式；对未知圆柱体积的计算，也是把它转化成已知长方体体积的计算，再推导出计算公式。从而渗透转化的数学思想方法，使学生自觉产生“能否把未知圆锥体积的计算转化成已知圆柱体积的计算”这一想法。有了以上的知识准备和认知需求，再引导学生分组进行下面的实验。 [实验一]
实验器材：等底等高的圆柱和圆锥形容器、水(沙子或橡皮泥)。 实验过程：把圆锥形容器装满水，然后倒入圆柱形容器，三次恰好倒满。 实验结果：圆柱形容器的容积等于和它等底等高的圆锥形容器容积的3
1倍，或圆锥形容器的容积等于和它等底等高的圆柱形容器容积的3 ，从而
推导出圆锥体积计算公式。 [实验二]
实验器材：等底等高的圆柱和圆锥形容器、沙子、天平。
114
实验过程：把两种容器都装满沙子，然后在天平上分别称出所装沙子的质量，两种容器容纳的沙子质量恰好成3倍关系。
实验结果：根据同密度物体的体积与质量成正比例，可以得出圆锥形容
1器的容积等于和它等底等高的圆柱形容器容积的3 。
教学圆锥体积的计算方法时，一般教师用来演示的教具都是空心的容器，实验对比的结果是它们的容积，难道用实心圆柱和圆锥就不能进行实验了吗，笔者进行的实验和调研测试如下： [实验三]
实验目的：通过实验，找出等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系。 实验器材：能够沉入水中的等底等高的实心圆柱和圆锥、长方体玻璃缸容器、水。
实验步骤：1.在容器中加入适量的水，测量并记录水位高度。2.把圆柱放入容器并浸没水中，测量并记录水位增加的高度，水位升高部分的体积就等于圆柱的体积。3.取出圆柱，把圆锥放入容器并浸没水中，测量并记录水位增加的高度，水位升高部分的体积就等于圆锥的体积。
实验结果：容器中水位两次增加的高度成3倍关系，根据底面积一定，圆柱体积与高成正比例关系，可推导出圆锥的体积等于和它等底等高的圆
1柱体积的3 。
采集样63 本
六年级下册典型错例 错误36．采集 07% 采集者 ** *** 学校 率 ** 115
** 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 总复习 课外练习 三角形的三边关系 陈述性知识 基本 题 综型 合 拓展 新授 课时 课 时 课 练习√ 单元 机 型 课 总复复习 √ √ 习 课 策略性知识 程序性知识 √ 教学简此题是在学生学习了三角形的三边关系后，六年级进行总复习时的练习 述 ◆典型错题
错题：三角形的两条边分别长5厘米和8厘米，这个三角形的周长是
（ ）厘米
A.16 B.17 C.26 D.27 错解： A/C/D ◆原因分析
1、 对三角形的三边之间的关系缺乏深刻地理解，导致对三角形任意两边之和大于第三边地内涵把握不准确。
2、 对于边地研究没有很针对的课时安排，要让学生从抽象的几何图形中得出结论，并加以运用，对于抽象意识差的学生来说，并非易事。
◆教学建议
在教学中，要针对性地回顾这一知识点，勾起学生对其的认识和印象，要让学生在观察、操作、感知的基础上，摆一摆、比一比、看一看、想一想，分组讨论，合作学习，运用多媒体课件辅助教学，教师恰当点拨，适时引导，使学生深刻三角形三边的关系。
三角形三边关系
[教学目标]
1．会按三角边的大小关系对三角形进行分类。 2．会阐述三角形三边关系定理及推论。
116
3．会应用三角形三边关系定理及推论判断三条线段能否组成三角形。并能根据三角形中已知两边的长，求第三边长的范围。
此外，通过列方程组求三角形边长，从中渗透“方程观点”，培养学生把实际问题转化为用方程(组)来求解、研究几何问题用代数列方程(组)来解题的意识。
[引导性材料]
三角形的三条边是否相等有多少种可能情况？请你画出各种可能情况。
说明：这里设计思考问题并画图，实质培养学生能自觉地借助形象思维实现抽象思维，逐步使两种思维得到协调的发展。
[教学设计]
问题1：在上述所画各种可能情况的三角形中，指出你所学过的三角形。
上述所画各种三角形中，大家已熟知的有等腰三角形和等边三角形，还有一种叫“不等边三角形”。
问题2：怎样的三角形叫等腰三角形？怎样的三角形叫等边三角形？ 问题3：你能仿照“等腰三角形”的定义阐述怎样的三角形叫不等边三角形吗？
生活中常常不十分严格的区分“有”和“只有”的含义。比如“教室里有一个学生”与“教室里只有一个学生”常被理解为相同的意思。教学语言与生活语言既有联系，也有区别。比如教学中“有两条边相等的三角形”与“有且只有两条边相等的三角形”的意义不相同。“有两条边相等
117
的三角形”包括“有且只有两条边相等的三角形”以及“三边都相等的三角形”两种情况。
问题4：如果把三角形按边的相等关系分类，现在你认为怎样分类恰当？
说明：设计问题4，让学生在主动寻找三角形按边的相等关系如何恰当的分类中，了解正确地对事物进行分类，必须将讨论的对象不重复不遗漏地分成若干种情况。
图3．2－1
问题5：如图3．2－1，由A经B到C是一条柏油路，AC是一条小路。人们从A步行到C，通常不走柏油路，而走小路，你能用你学过的知识来解释这种生活现象吗？由此你发现△ABC三边之间有大小关系吗？有怎样的大小关系？
问题6：请你根据不等式AB＋BC＞AC
AB＋AC＞BC、BC＋AC＞AB，用文字语言概括三角形三边的关系。 问题7：不等式AB＋BC＞AC、AB＋AC＞BC、BC＋AC＞AB，揭示了三角形三边关系定理“三角形两边的和大于第三边”，根据这三个不等式还可以推得推论“三角形两边的差小于第三边”。你能推证这个推论吗？
推论是由定理直接推出的结论，和定理一样可以作为进一步推理的依据。
118
[例题解析]
例1：下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （l）3cm，4cm，5cm；（2）5cm，6cm，11cm； （3）5cm，6cm，10cm。
说明：1．本例是课本第10页练习第1题。
2．本例的解答中，要引导学生认识判断三条线段能否组成三角形，必须检查三条线段中任何两条的和是否都大于第三条。进而学生易于发现简便的判断方法──满足较小两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形。
例2：（即课本本节例题）
说明：1．通过本例使学生了解几何中常常利用代数列方程的方法解题。 2．本例计算虽较简单，但思维能力的要求较高。既要对已知边的可能情况分类计算，又要考虑求解结果是否满足三角形三边关系定理。
由于不少学生习惯于代数学习中套用方程式的学习方法面对几何学习，不注重形象思维，更不会形象思维的同时使用抽象思维。因此本例的教学应把侧重点放在引导学生自己去探索，帮助他们克服思维不严密、套用方程式的学习习惯。
例3：△ABC中，已知a＝8cm，b＝5cm，能确定c边的长度吗？能确定c边的长度范围吗？
说明：本例的教学中要引导学生认识：（1）本例中要求一个未知量（C边的长度），但是没有给出与C边有关的相等关系，所以未知数的个数大于相等关系个数，故本例有无数个解，即C边的长度无法确定。
119
（2）由于三角形的三边有特殊的大小关系，因此根据三角形三边关系定理及推论可以确定C是大于3且小于13范围内的无数个值。
[课堂练习]
2．（补充练习）已知三角形的两边的长分别是4cm和7cm： （l）如果这个三角形是等腰三角形，求这个三角形的周长； （2）如果第三边长的数值是偶数，求这个三角形的周长。 [小结]
1．从三角形三边关系的研究中可知三角形的三边相互制约──任意两边之和大于第三边，且任意两边之差小于第三边。
2．判断a、b、c三条线段能否组成一个三角形，应注意a＋b＞c、a＋c＞b、b＋c＞a三个条件缺一不可。当a是a、b、c三条线段中最长的一条时，只要b＋c＞a，就有任意两条线段的和大于第三条。
3．为了研究方便，几何中常常把图形进行分类。由于三角形有边和角两类元素。所以三角形通常按边的相等关系分类和按角的大小关系分类。后面的学习中我们还要研究三角形按角的大小的分类。
六年级下册典型错例 采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 50人 错误40% 率 采集者 *** 基本 题 综型 合 拓展 采集 学校 *** 课时 总复习 课本P100,第七题 圆的面积 新授 课 时 课 练习√ 单元 机 型 课 总复复习 √ √ 习 课 120 知识属性 陈述性知识 程序性知识 √ 策略性知识 学生已经掌握了长方形、正方形与圆的面积的计算，之前教学简已经接触过在长方形或正方形地面上铺地砖的题目，知道总面述 积÷每块面积=块数，因些在解决问题时容量受到铺地砖类题型的负迁移 ◆典型错题：
错题：在长12.4cm，宽7.2cm的长方形纸中，剪半径是1cm的圆，在这块铁皮上剪直径是20厘米的圆形铁片，最多可以剪多少个这样的圆形铁片？
错解：12.4×7.2=89.28cm2 3.14×12≈3.14 cm2 89.28÷3.14≈28（个）
◆原因分析：
1、 受到铺地砖类题型的负迁移，学生在用总面积÷每块面积； 2、 学生没有将数学问题与实际生活相联系，缺少动手操作的体验，因此没有考虑到在长方形中剪圆是会产生很多余料的。 ◆教学建议：
化难为易，动手操作，使学生明白求“长方形中可以剪几个圆？”，就是求可以剪几个“以圆的直径为边长的正方形”。具体可以这样操作：
1、出示：在一张边长1厘米的正方形纸上剪一个最大的圆？ 请学生画一画，想一想画出的圆的半径是多长；
2、想一想如果需要剪两个这样的圆，至少需要长、宽各是多少的长方
121
形纸？
3、四人小组交流结果，想一想可以剪的圆的数量与长方形的长宽有什么关系？
回归原题，小结方法：长方形的长÷圆的直径=每行几个；长方形的宽÷圆的直径=有几行；每行个数×行数=圆的个数。 ◆资源链接：
1、一块长方形铁皮，长150厘米，宽85厘米，在这块铁皮上剪直径是20厘米的圆形铁片，最多可以剪多少个这样的圆形铁片？
2、小明家的客厅长4米、宽3米，要给客厅铺上边长是50厘米的正方形地砖，至少需要多少块地砖？
（1）做一做；（2）比一比
六年级下册典型错例
采集样错误采集 48 25% 采集者 ** 学校 *** 本 率 错题来基新授教材 课时 源 本 课 题目出人教版小学数学12册题 综时 课 练习√ 单元 处 P101第12题 型 合 机 型 课 相关知拓总复复习长方体、正方体的认识 √ √ 识 展 习 课 知识属陈述性知识 程序性知识 策略性知识 √ 性 此题安排在12册的总复习中，是在学生学完了小学阶段的所有空间图形知识之后，此题重点是考查学生对长方体6个面相对位置的空间观念。在此之前，学生早在一年级上册就初步教学简认识了立体图形（长方体、正方体、圆柱和球），在五年级下册述 更深入地学习了长方体、正方体的认识，学会了长方体和正方体的表面积计算、体积计算等。通过前期的复习，学生已经认识了小学阶段要求掌握的各种几何图形的特征和一些面积、体积计算，同时，学生对一些图形的展开图、横截图都已有所接
122
触。 ◆典型错题 错题
（1）如果A面在底部，那么哪一面在上面？
（2）如果F面在前面，从左面看是B面，那么哪一面在上面？ （3）如果要求这个长方体的表面积和体积，至少要量出哪些边的长度？ 错解：
学生集中错在第（2）小题：认为A面在上面。 ◆原因分析
个别访谈了错误的学生，均对如何确定上面是哪一个面感到茫然，脑海中不能建立一个清晰的长方体模型。主要原因是：
1. 在长方体、正方体等立体图形的认识阶段，对立体图形的展开图接触不多，联系不够，学生建立的表象不是非常深刻，造成空间观念基础不扎实。
2. 此题的症结是学生凭着空间想象能力，能找到与B面相对的右面是D面，与F面相对的后面是A面，但不知E面最后是朝哪个方向折叠围成长方体的？
123
3. 学生的推理能力欠缺，凭着前面的推理，既然已经找到了右面和后面，确定下面是C面也是轻而易举的，而前面是F面已明确，那么仅凭简单推理就能确定E面肯定是上面。学生却放弃这样的有效推理，拼命在脑子里围长方体。 ◆教学建议
3. 建议教师在五下册教学认识长方体、正方体时，要引导学生通过大量的动手操作、表面展开图制作等，让学生形成良好的、熟悉的空间表象。对长方体的6个面有清晰的认识。
4. 教师对此题应花时间充分展开。从第1小题开始：（1）如果A面在底部，那么哪一面在上面？在学生快速判断出上面是F面后，教师应继续深入，请说出其余的左面、右面、前面、后面各是哪些面？以此让学生强化空间观念，并为第（2）小题作准备。在进行第（2）小题时，应不仅仅停留在判断出上面，而应由左面看是B面，推出下面是C面，右面是D面，前面是F面，后面是A面，最后推出上面是E面。由此循序渐进，由易到难，才是解决问题的策略。
5. 教会学生检验与实践。学习要有实证精神，在解决这样的问题时，我们教师不妨让学生通过实际动手操作来帮助自己解疑，或在完成了判断之后，通过实际操作来验证答案的正确与否。学生照样子用白纸剪一个展开图，实际动手折一折也是值得提倡和鼓励的。 ◆资源链接
在五下册教学正方体、长方体的展开图时不妨借鉴以下策略： 1．PPT演示：正方体展开的过程
124
（这一个环节目的是让学生直观的看一看正方体的展开图是什么样子？） 2．PPT出示 ：35种6个正方形拼成的平面图形。
3.师：但是在这些可能中只有11种是能折叠成正方体的，你能把能折叠成正方体的展开图找到吗？ 4.显示正确结果
125
5.总结规律。
看看这个展开图像什么？有什么特点？然后再进行比较这几个展开图有什么共同的特点。通过观察、分析，我们把这11种展开图分成了四类，这样便于学生记忆和运用。
1．“一四一”型，中间一行4个作侧面，两边各1个分别作上下底面，•共有6种。
2．“二三一”（或一三二）型，中间3个作侧面，上（或下）边2•个，相连的正方形作底面，不相连的再下折作另一个侧面，共3种。 3．“二二二”型，成阶梯状，共1种。
4．“三三”型，两行只能有1个正方形相连，共1种。 6.找出每个面的对面。
师：你能找出每个面原来的对面吗？
126
（在展开图中找正方体的对面也是一个重要的知识点，往往在考试中就会出现这样的题目。同时，观察展开图想对面也是对学生空间观念的一种培养。“二二二”型和“三三”型这两种是比较难找的，学生通过观察可能还不能直接找对，像这样我们无法肯定的作出判断的我们可以进行动手操作来帮助。）
六年级下册典型错例 采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 错误45.8% 采集者 率 基测试卷 本 2010黄岩区小学数学题 综毕业测试卷 型 合 拓三角形的认识 展 48 陈述性知识 ** 采集 学校 *** 课时 新授 课 时 课 练习√ 单元 机 型 课 总复复习 √ √ 习 课 策略性知识 √ 程序性知识 本题是在学生总复习阶段进行的其他县市前一年的毕业卷测试卷中，在此之前学生已在四下册中认识了三角形，并能根教学简据三角形的角、边进行不同的分类，在本册的总复习阶段再次述 系统复习了三角形的知识，此题要求学生根据三角形其中一个角来判断是什么三角形。 ◆典型错题
错题：
如图，三角形被长方形纸遮挡了一部分，只露出一个角，
这个三角形是（ ）
127
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法判断是什么三角形 错解：C．直角三角形 ◆原因分析
学生的思维往往被一些局部的表面的现象所蒙蔽，被一些习惯性思维所左右，思考问题缺乏全面、缜密的分析。选择答案C的同学均以为被遮挡的下面部分是一个直角和锐角，因为沿着上面露出部分的两条边的趋势，下面遮住的左边一定是个直角，右边一定是个锐角。却不知三角形如果按角进行分类，凭已知的一个角是不能进行正确分类的，除了有直角三角形
的可能，也可能是钝角三角形，如图：，还可能是锐角三角形，
如图：◆教学建议
，所以答案应该是无法判断是什么三角形。
1. 教师在四下册第5单元三角形的教学中要对三角形的分类充分展开，不能照本宣科，照着教材的编排，把三角形分类的方法宣读给学生，而是较多地采用一些灵活的操作、演示活动，让三角形的分类和培养学生的逻辑推理进行有机结合，从而一方面加强对三角形的认识，巩固三角形的分类方法，另一方面培养学生的仔细观察、正确推理能力。
2. 教师在对三角形的分类的总复习阶段，在进行了知识的完整梳理后，要继续设计一些猜一猜，即根据已知的一个角进行三角形类型的识别，已
128
知的两个角进行三角形类型的识别等趣味练习活动，强化学生对三角形类型的识别和灵活思考、推理。 ◆资源链接
在四下册或六下册对三角形分类的练习或复习中建议设计如下练习： 一、你能根据三角形其中两个角来判断被遮住一部分的三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形吗？并说说理由。
（ ）三角形 （ ）三角形 （ ）三角形
二、你能根据三角形其中一个角来判断被遮住一部分的三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形吗？并说说理由。
129
（ ）三角形 （ ）三角形
（ ）三角形
六年级下册典型错例 ** 错误采集 63 20．63% 采集者 ** 学校 率 ** 基总复习 课时 本 题 综时 数学练习卷 √ 单元 型 合 机 拓总复质数、合数、可能性 展 习 程序性知识 √ 采集样本 *** 新授 课 课 练习 型 课 复习√ √ 课 策略性知识 错题来源 题目出处 相关知识 知识属陈述性知识 性 教学简述 ◆典型错题
此题是在学生学习了质数和合数，六年级时的总复习练习 错题：一个正方体木块的6个面分别写着1、2、3、4、5、6这六个数，把它抛向空中很多次，落地后质数朝上的可能性是（ ），合数朝上的可能性是（ ）
错解： ◆原因分析
1.小学生抽象逻辑思维在很大程度上仍然是直接与感性经验相联系的，具有很大成分的具体形象性，如仅依靠机械地接受，没有让学生亲身经历概念形成的过程，必然造成学生对质数合数的理解比较苍白、肤浅。
2.没有及时组织学生对自然数的分类进行必要的对比辨析，使学生对自然数的分类标准认识模糊。 ◆教学建议
1．在教学中，要针对学生易犯的错误，根据学生的认知特点，采取数形结合的教学策略，让学生人人动手，动手收获，引导学生积极思考，踊跃辩论，引导学生对质数合数的深刻理解与主动建构。
2．对于大部分学生只要做一个适当的整理和回顾，小部分同学在新课
130
2312时掌握比较薄弱的，个别辅导，进行对比理解。
提高课堂效率的关键还是在课前,课前反复钻研教材,准确理解把握教材很
重要.
片断一：
师：昨天我们写了1——20这些数的因数，下面来校对一下。
（学生开火车的形式汇报，老师依次板书：1的因数有1，2的因数有1，2，……20的因数有1，20，2，10，4，5。） 师：请仔细观察这些数的因数情况，你有什么发现？
师：如果按因数个数的多少来分，可以怎样分类呢？（学生自由发言） 师：让我们看书本上是怎么分的呢？看P23的表格。 只有一个因数 只有1和它本身两个因数 有两个以上因数 师：你能按书上的要求把它填完整吗？（学生独立填写并反馈） （师出示质数的定义，请学生读一读）
师：有什么疑问吗？（学生没疑问）这里的两个因数是指哪两个因数呢？ 师：20以内的质数有哪些？ （同样的方法教学“合数”） 师：那“1”呢？
生：1不是质数也不是合数。
师：那如何判定一个数是质数还是合数呢？ ……
[“质数与合数”这块内容从教以来第三次进行教学，前两次教学时用的
131
都是老教材，感觉这个内容很难教学。上面是在听了同年级组的一位老师上了两节课后，并结合一些优秀的教案进行教学的片断，感觉特不好，这两个概念没有讲透，可问题出在什么地方呢？还想试试，利用中午和下午第一节课的时间再次进行了备课，在下午第二节课进行了教学，并请了同组的两位老师来听课指导] 片断二：
师：昨天我们找了1——20这些数的因数，请大家打开本子，仔细观察这些数的因数，你发现了什么？
生1：这些数都有最小的因数和最大的因数。 师：你能说再明确一点吗？
生1：它们最小的因数都是1，最大的因数都是它本身。 生2：这些数都是1的倍数。
师：对，这些数都有因数1，还有什么发现呢？ 生3：2，3，5，7 只有2个因数。
师：请大家仔细观察一下，他说得对吗？除了这些数以外，还有谁也只有2个因数呢？
生4：11，13，17，19
师：谁能说说刚才发现的这些数的两个因数有什么特点？ 生5：一个是1，一个是它本身。
师：刚才我们发现了有些数的因数只有2个，那还有些数的因数的个数是怎样的呢？（生举例）
师：如果按因数个数的多少来分，可以怎样分类呢？看P23的表格，读一
132
读分成了哪三类？ （学生独立填写并反馈）
[在前一天我就布置了“写1——20的因数”的作业，在教学中发现把20个数的因数都在黑板上进行书写需要不少的时间，为了提高课堂的效率，我就请学生打开本子直接找，课前我是担心的，学生的注意力是否回分散，但从学生的回答来看，效果还好]
师：看书读一读什么是质数，什么是合数，你有什么疑问吗？ 生6：为什么“1不是质数，也不是合数”？
师：这个问题提得好，但要等到后面回答你，我们先来了解一下什么叫“质数”？
请大家齐读一遍。
师：你们有问题吗？（环顾四周没人举手）你们没有问题，那我来提。 这里为什么要写“只有”，改为“有”可以吗？
生7：不可以改，如果改为“有”，那4、6都是质数了。 师：可以，谁能说更简单些吗？
生8：质数只有2个因数，除了那2个以外没有第3个因数了。 师：大家听明白了吗？还有一个问题，这里的两个因数是指哪两个？ 生9：1和它本身。
师：刚才我们填写的哪一格的数据就是质数 生：第二格。
师：20以内的质数有哪些？请齐读一遍。 师：什么叫合数，你能用自己的话说一下吗？
生10：合数有两个以上因数的数，不包括1和它本身。 （许多学生发出了异议）
133
生11：应该包括1和它本身，还有另外的因数。 生10：老师我看错了。
师：谁来说，合数至少有几个因数？ 生12：合数至少有3个因数。
师：现在谁能回答为什么“1不是质数，也不是合数”？
生13：质数只有2个因数，合数至少有3个因数，而1只有1个因数，所以“1不是质数，也不是合数”。
[在下午的备课中，忽然想起以前有的老师进行概念教学时，抓住重点字词，所以在教学质数时抓“只有，两个”进行了质疑，同时也想到了追问学生为什么“1不是质数，也不是合数”？如果学生能搞清楚这个问题，其实他就理解了质数与合数的含义，怎么在前面没想到呢？教材真的很需要反复的钻研呀！]
师：谁能说一说判断一个数是否是指数或合数，主要看什么？ 生：主要看因数的个数有几个。
师：什么情况下是质数，什么情况下是合数呢？
生：只有1和它本身两个因数的是质数，除了1和它本身还有其它因数的是合数。
师：17是什么数，你是怎么判定的呢？
生：17是质数，因为它只有1和17两个因数。 师：那22呢？
生：22是合数，因为22有4个因数。
师：你找出了22所有的因数，谁有不同的意见？
生：不用找出所有的因数，只要找出除了1和它本身的另一个因数就可以了。
师：下面就让我们来独立地判断吧。 17，22，29，35，37，87，93，96，91 反馈：
生：质数有17，29，37，91。 师：还有的请补充。 生：87也是质数。
师：还有吗？（环顾一周发现没有举手了）那你赞同吗？ 生：87和91不是质数。
师：谁还有不同的意见？（巡视没有举手了）看来最有争议的是这两个数，下面就让我们来仔细观察着两个数。只要找出1和它本身外的另一个因数，那么它就是合数。你发现了么？生：87有因数3。 师：你怎么知道的。
生：8+7是15，是3的倍数，这个数就是3的倍数， 师：很棒，他用了什么知识来判定的？ 生：用3的倍数的特征。
师：瞧，你感受到了吗，前面学的知识多有用呀！ ……
[其实在备课时也没有考虑到：判定一个合数，只要找出1和它本身外的另一个因数就可以了，用不着找出所有的因数。这是在前一堂进行教学时，
134
班上一位思维比较活跃的学生提出的。后面的反馈的引导主要沟通新旧知识的联系。
六年级下册典型错例 采集样错误采集 48 39.6% 采集者 ** 学校 *** 本 率 错题来基新授教材 √ 课时 源 本 课 人教版小学数学12册题目出题 综时 课 练习P111总复习统计与可 单元 处 型 合 机 型 课 能性例2 相关知拓总复复习统计知识 √ √ 识 展 习 课 知识属陈述性知识 程序性知识 √ 策略性知识 性 学生从一年级下册开始接触统计知识，二年级上册、下册，三年级下册，四年级至六年级的每一册均安排了统计知识的教教学简学。其中，学生在五上册理解了中位数在统计学中的意义，五述 下册理解了众数在统计学中的意义。此题是六下册总复习“统计与可能性”中的例题。 ◆典型错题
错题：
例2：六（1）班同学身高、体重情况如下表 身高/m 1.40 人数 1
体重30 /kg 人数 2 33 4 36 5 39 12 42 10 45 4 48 3 1.43 3 1.46 5 1.49 10 1.52 12 1.55 6 1.58 3 (1) 在上面两组数据中，平均数、中位数和众数各是多少？ (2) 不用计算，你能发现上面两组数据的平均数、中位数和众数之间的大小关系吗？
135
(3) 用什么统计量表示上面两组数据的一般水平比较合适？ 错解：
学生对第（3）小题用什么统计量表示两组数据的一般水平比较合适，有19个学生认为是平均数，还有少数几个认为是众数。 ◆原因分析
教师层面：教师在教学五上册和五下册的中位数和众数的统计学意义时，往往没有用联系、综合的思想把平均数、中位数、众数这三个统计学概念联系起来，而是按照书本的编排，割裂开来分块教学，而且没有深入根据数据的实际情况，用联系实际的方法，着重强调这三个统计概念的实际意义。
学生层面：在生活中，学生尽管经常在接触统计的一些知识，但对平均数、众数、中位数的一些概念接触不多看，应用更少，仅仅凭书本中的学习深入程度不够。特别是关于选择平均数、中位数、众数作为一组数据的代表问题，学生较难理解，有时没有唯一正确答案，只有合适与否的问题，所以这样的问题对学生来说更难把握。
教材层面：教材中针对具体的统计数据，进行平均数、中位数、众数的实际意义的理解很少，特别是综合性的，对这三个概念的区别与联系的练习更少，学生感觉生疏，有好大一部分学生都遗忘了。 ◆教学建议
1.在教学五上册中位数概念时，在凸出中位数的实际意义时，要重点搞清平均数和中位数的区别和联系。阐明中位数与平均数各自的特点和适用范围，中位数和平均数一样，也是反映一组数据集中趋势的一个统计量。
136
教学时应注意结合学生已经很熟悉的平均数，对比教学，以帮助学生理清两者的联系和区别，使他们明白：平均数主要反映一组数据的总体水平，中位数则更好地反映了一组数据的中等水平（或一般水平）。
2.在教学五下册的众数概念时，教师仍旧要用联系的思想，在重点引导学生理解众数的实际意义之前，不妨先从平均数、中位数引入，发现前两者都不能很好地反应数据的集中趋势，然后引出众数，由此体会众数的特点：在一组数据中，如果个别数据有很大的变动，且某个数据出现的次数最多，此时用该数据（即众数）表示这组数据的“集中趋势”就比较适合。教学时则可按此思路帮助学生理解众数的统计意义。
3.面对此题，教师必须在具体解决问题之前进行平均数、中位数、众数的概念复习，只有熟悉了这三个概念的实际统计意义后，让学生仔细地观察表格中的数据，选择用哪个统计量表示上面两组数据的一般水平比较合适。学生会很自然地选择用中位数 ◆资源链接
一、关于平均数、中位数、众数的知识。
1．平均数：一组数据，用这组数据的总和除以总数量，得出的数就是这组数据的平均数。平均数的大小与一组数据里的每个数据都有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动，即平均数受较大数和较小数的影响。
2．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数的平均数）叫做这组数据的中位数。中位数的大小仅与数据的排列位置有关。因此中位数不受偏大和偏小数的影响，当一
137
组数据中的个别数据变动较大时，常用它来描述这组数据的集中趋势。
3.．众数：在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。因此求一组数据的众数既不需要计算，也不需要排序，而只要数出出现次数较多的数据的频率就行了。众数与概率有密切的关系。众数的大小仅与一组数据中的部分数据有关。当一组数据中有不少数据多次重复出现时，它的众数也往往是我们关心的一种集中趋势。
二、教学时的注意事项。
1.注重对统计量的意义的理解，避免简单的统计量的计算。 教学中应避免单纯从计算的角度引导学生学习统计知识，应当注意对统计量意义的理解。如众数，不仅要让学生知道什么是众数，会求众数，更要注意结合具体数据理解众数的作用和特点。
2.教学评价注重过程性评价。
让学生经历简单的收集、整理、描述和分析数据的过程是学习统计知识的首要目标。这就要求教师应创造尽可能多的机会让学生亲自从事简单的统计活动，如调查同学们的视力情况、所穿鞋子的号码、喜爱的电视节目等。教师要鼓励学生积极投入到各种活动中，留给他们足够的独立思考和自主探索的时间与空间，并在此基础上加强与同伴的合作与交流。从事统计活动的过程中教师应起到引领、指导的作用，例如，教师可以提出一些问题引发学生的讨论：你们准备如何收集数据；用什么方法展示数据；哪些数据经常出现；数据反映出什么趋势；从这些数据中能得到什么结论；从这些结论中能预测到什么等等。
3．适当把握平均数、中位数、众数的教学要求。
138
关于选择平均数、中位数、众数作为一组数据的代表问题，学生较难理解，有时没有唯一正确答案，只有合适与否的问题，因此要开放些。
六年级下册典型错例 ** 采集样错误采集 63 23．81% 采集者 ** 学校 本 率 ** 错题来基第六单元 课时 源 本 题目出题 综时 练习卷 √ 单元 处 型 合 机 相关知拓总复平移和旋转 识 展 习 知识属陈述性知识 程序性知识 √ 性 教学简述 ◆典型错题
错题：先把红色图形顺时针绕A点旋转九十度，再向右边平移五格。 A
B 错解：
139
*** 新授 课 课 练习 型 课 复习√ √ 课 策略性知识 此题是在学生复习了平移和旋转后进行的练习。 A
B ◆原因分析
1.对于平移和旋转现象没有深刻地认识 2.平移和旋转的方法及关键没有很好的掌握 3.直观思维，被图象的表面现象所迷惑 ◆教学建议
1．在教学中，要呈现许多学生熟悉的生活现象，不断观察、发现规律，再动手操作，在方格纸上画一画，总结出平移和旋转的方法，点、边之间的变化和不变的地方。
2．让学生充分感知的方法来感悟平移和旋转的特点，平移是平平地朝一个方向移动，而旋转是绕一个点或轴的运动。要让学生看得见，摸的着的物质实践中动手“做”数学，使两个相关的概念在实践比较中感知深刻，区分明确，有效地防止了数学概念的混淆。 ◆资源链接
平移是将一个图形从一个位置变换到另一个位置，平移过程中，各对应点的“前进方向”保持平行，旋转是一个图形绕着一个定点旋转一定的角度，旋转变换和平移都不改变图形的形状和大小，各对应点之间的距离也保持不变，所以这样的变换又叫保距变换。
在平面内，把一个图形绕点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，旋转的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点Pˊ，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。 旋转性质:
①对应点到旋转中心的距离相等。
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 ③旋转前、后的图形全等。
140
旋转三要素： ①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度。
六年级下册典型错例
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 48 错误20% 率 采集者 ** 采集 学校 *** 基课外测试卷 本 上虞市2011年小学数题 综学毕业卷 型 合 拓 展 陈述性知识 新授 课时 课 时 课 练习√ 单元 机 型 课 总复复习 √ √ 习 课 策略性知识 √ 程序性知识 此题是在学生全面、系统地复习了小学阶段的所有数与代数、解决问题等知识之后，学生已经能根据问题中提供的信息，教学简进行综合分析，解决各类数学问题，在小学数学毕业测试中出述 现这样的问题解决题，旨在考查学生综合应用、灵活思维、策略优化的能力。 ◆典型错题
错题：三家文具店中，某种练习本的价格都是0.5元/本。“儿童节”那天，三店分别推出了不同的优惠措施。中天店：一律九折优惠。家和店：买5本送一本。丰美店：满65元八折优惠。学校教导处要购买120本练习本，去哪家商店比较合算？为什么？（通过计算说明理由）
错解：中天店：0.5×120×0.9= 54（元）
家和店：120÷5=24(本) 0.5×（120-24）=48（元） （计算
141
方法有误）
丰美店：0.5×120=60（元） 答：家和店最合算。
此题较多学生在计算家和店的实际付款方法有误。正确算式是：0.5×（120×5）=50(元)
6◆原因分析
1.
教师层面：从总复习的解决问题开始，教师一般会将整个小学阶
段出现过的数学问题进行一一归类，加以罗列。横向上从平均数问题、归一归总问题、相遇问题、追及问题、和倍问题、差倍问题等等，纵向上从一般复合应用题、典型应用题、分数百分数应用题、比和比例问题、综合应用问题等进行全面复习，教师引导学生采用分析法、综合法进行解决问题，接触的题型比较典型，让学生按部就班地“做”的比较多，而对策略的引导不够，学生稍碰到变式后应对策略欠缺。
2.
学生层面：习惯性思维较强，对需深入理解分析的题目只看到表
面的文字意思，看到买5本送一本，就用总数120本去除以5，以为可以送24本，殊不知要送你24本，教导处必须买到120本，也就是实际要付120本的钱而不可能只付（120-24）本的钱。
3.
教材层面：在教材中，让学生综合应用、策略优化的题型并不是
很多，学生平时较多地接触到的是一些典型题。 ◆教学建议
1. 加强对审题能力的训练。首先逐一搞清楚三家店推出的“一律九折优惠”、“ 买5本送一本”、“满65元八折优惠”各表示什么意义。“一律
142
九折优惠”即按原价的90%出售；“买5本送一本”即实际只要买总本数的5；“满65元八折优惠”要看售价有否达到65元，如果达到65元就
6按原价的80%出售，没有的达到65元的按原价出售。在这里，学生对“ 买5本送一本”字面意思很好理解，但转化成数学的“总本数的5”需要
6有数学的推理能力，但通过进一步推敲，学生还是能顺利接受并理解。 2. 加强对解题策略的训练。理解了题意，对解题策略的培养是提高学生数学能力的重要环节。此题要引导学生可以从不同的角度进行比较。 方法一：算出三家店的实际售价。
中天店：0.5×120×0.9= 54（元） 家和店： 0.5×（120×5）=50（元）
6丰美店：0.5×120=60（元） 答：家和店最合算。
方法二：算出三家店的优惠分率。 中天店：100%-90%=10% 家和店：1-5=1≈16.7%
66丰美店：0% 答：家和店最合算。
◆资源链接
一般在小学六上册教学百分率的应用时会碰到折扣率的知识，学生会接触到商品的成本价、原价、优惠价（实际售价）、折扣率等概念，下面提供关于这一知识点的几题练习：
1. 一件商品，原价80元，现在搞活动，九折销售，现价多少元？
143
2. 成本价提高50%后标价变为300元，成本价是多少元？
3. 一个商人把一件衣服标价600元，经打假人员鉴别降至60元一件出售，但仍可以赚20%，如按原价出售，则这件衣服可获暴利多少元？ 4. 超市酸奶原价5.4元一盒，现在买二赠一，相当于打几折？ 5. 希望小学要购买60个足球。现有甲、乙、丙三个商店可以选择，三个商店里每只足球的标价都是25元，但各商店优惠的办法不同。 甲店：每满10个足球，就免费赠送2个。 乙店：满10个足球，就打八五折销售。 丙店：每满200元，返现金30元。
为了节省开支，希望小学应道哪家商店购买？为什么？
144
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容