2016级高等数学(A)(下)期中试卷含答案

一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1．曲线xyz1在点(1,1,1)处的切线方程为 ； 2xyx2y2z22所确定的函数zz(x,y)在点(1,0,1)处的全微分

0122．方程xyz为 ； 3．交换二次积分的积分次序

dy1yf(x,y)dx＝ ； 3,0t，则C4．设曲线C:xcost,ysint,z5．设曲面:xyz1，则

x2y2z2ds ；

(xy)dS .

二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）

6．设f(z)2xyix，那么 [ ] (A) f(z)在原点解析 (B) f(z)在复平面上处处不可导 (C) f(z)仅在原点可导 (D) f(z)仅在实轴上可导 7．二次积分

（A）（C）

220d 0 1cos0f(cos,sin)d可以写成 [ ] f(x,y)dx （B）dy 0 1 0 1 1y2 1 0 1dy yy2 0f(x,y)dx f(x,y)dy

0dxf(x,y)dy （D）dx 0 xx2 08．设由3xyz,z1x所围成，则

12014x201x23x2y2222f(x,y,z)dv [ ]

12014x214x2（A）41212dxdyf(x,y,z)dz （B）2dx1212dy1x23x2y2f(x,y,z)dz

C）

dx14x214x2dy1x23x2y2f(x,y,z)dz （D）dx14x214x2dy3x2y21x2f(x,y,z)dz

x2y22, xy09. 函数f(x,y)x4y2在(0, 0)点处 [ ]

0 , x2y20 （A）连续且偏导数存在 （B）连续但偏导数不存在

（C）不连续但偏导数存在 （D）不连续且偏导数不存在

三.计算下列各题(本题共5小题，每小题8分，满分40分)

d210．设f(x,y),g(x,y)有连续的二阶偏导数，令(x)f(x,g(x,x))，求2.

dx211. 求函数uz2x2z212x2y在点M01,,1处沿曲面y1在该点的外法线

42222方向上的方向导数.

12．已知解析函数f(z)的虚部v(x,y)2xye解析函数f(z)和f(i). 13. 计算

ysinx,求实部u(x,y)及

zdv，其中(x,y,z)R3zx2y2z22z

14．计算(xy)dx2xydy，其中L是由极坐标方程2sin所表示的曲线上从

L220到2的一段弧.

四（15）．（本题满分9分）在平面3x2z0上求一点，使它与点A(1,1,1)及 点B(2,3,4)的距离平方之和为最小.

五（16）.（本题满分9分）设在xoy平面上有薄板a2x2y2a(x2y2x)(其中常数a0)，其面密度为|y|xy22，求此薄板的质心坐标.

六（17）. （本题满分6分）设函数zf(x,y)具有二阶连续偏导数，且fy0，证明：对任意常数C,f(x,y)C为一直线的充分必要条件是

(fy)2fxx2fxfyfxyfyy(fx)20.

2016级高等数学（A）（下）期中试卷

一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）

20x1z1y11．；2.dzdx2dy；3．dxf(x,y)dy； 11x234．2；5．

(xy)dS43. 3二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）

6．[D] 7．[ D ] 8.[C] 9. [ C ]

三.计算下列各题(本题共5小题，每小题8分，满分40分) 10．解

df1f2(g12xg2), dxd222f2f(g2xg)f(g2xg)f(g4xg4xg222g2) 1112122212211122dxxz22yz22211.解 u(M0),,2zx2y2222x2yx2ynM0M066（3分）,,6，

33zx,y,24M0111,,,n422M0122,,， 333unM066122,,6,,6 33333uv2xeysinx,ux2eycosx(y)， xy12．解

uveycosx(y)2yeycosx，(y)y2C， yx2izu(x,y)x2y2eycosxC，（3分）f(z)zeC，

f(i)2e1i

13. 解 原式=

220d2sincosd02coscos15rdr（5分）2320cos5sind5 414．解 Pxy,Q2xy,2QP2y，积分与路径无关， xy(0,1)(2,0)131222dudx3xy2，（2分）(xy)dx2xydyxxy33L222228

32四（15）．解 令L(x1)(y1)(z1)(x2)(y3)(z4)(3x2z)，

Lx2(2x3)30,Ly2(2y4)0,Lz2(2z5)20，得唯一驻点的坐标：

x63216321,2,,y2,z，由问题的实际意义知道，该问题一定存在最小值，故点26132613即为所求.

五（16）解 设质心坐标为(x,y)，由对称性知y0，平板区域的极坐标表示为：

aa(1cos),

Myxyx2y2yx2y2d22cossind0a(1cos)a2d43133a， 1039a,0.（ 40md2sind20a(1cos)ada2，质心坐标为六（17）证 由题设条件知，由方程f(x,y)C唯一确定了二阶可导函数yy(x)，从而得知：f(x,y)C为一直线的充分必要条件是y(x)0.方程f(x,y)C的等号两端对x求导，得 yfx，再由fy0及 fyyfy(fxxfxyy)fx(fxyfyyy)fy2fy2fxx2fxfyfxyfx2fyyfy30，

即得所证.