第30讲 等差数列中的基本问题
A 应知应会
一、 选择题
1. 已知等差数列{an}满足：a3＝13，a13＝33，则数列{an}的公差为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. (2019·福州检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝2，a6＝8，则S8等于( ) A. 20 B. 40 C. 60 D. 80
2
3. (2019·合肥检测)已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N)，a5＋a7－a6 ＝0，则S11的值为( )
A. 11 B. 12 C. 20 D. 22 4. (多选)下列关于等差数列的命题中正确的有( )
A. 若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列 B. 若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c可能成等差数列
C. 若a，b，c成等差数列，则ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差数列
111
D. 若a，b，c成等差数列，则 ， ， 可能成等差数列
abc
5. (多选)首项为正数，公差不为0的等差数列{an}，其前n项和为Sn，下列命题中正确
的有( )
A. 若S10＝0，则S2＋S8＝0
B. 若S4＝S12，则使Sn＞0的最大的n为15 C. 若S15＞0，S16＜0，则{Sn}中S8最大 D. 若S7＜S8，则S8＜S9 二、 解答题
6. 数列{an}是等差数列的充要条件是{an}的前n项和Sn＝an2＋bn，其中a，b是与n无关的常量，换句话说，如果一个数列的前n项和Sn＝an2＋bn＋c，c≠0，那么这个数列一定不是等差数列，请举出两个这样的例子：一个数列不是等差数列，但其前n项和Sn可以写成Sn＝an2＋bn＋c，c≠0，并求出Sn＝an2＋bn＋c，c≠0对应的通项公式．
7. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数． (1) 求证：an＋2－an＝λ；
(2) 是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
B组 能力提升
一、 填空题 1. (2019·江苏如东检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S13＝52，则a4＋a8＋a9
＝________．
S10
2. (2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，a1≠0，a2＝3a1，则 ＝________．
S5
3. (2019·江苏海门中学)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若m为大于1的正整数，且am－1－a2m ＋am＋1＝1，S2m－1＝11，则m＝________．
4. (2019·深圳调研)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝3，当n≥2时，有Sn＋Sn－1－2SnSn－1＝2nan，则使得S1S2·…·Sm≥2 019成立的正整数m的最小值为________．
二、 解答题
5. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，满足a1＋a2＝10，S5＝40. (1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 设bn＝|13－an|，求数列{bn}的前n项和Tn.
6. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＋a13＝34，S3＝9. (1) 求数列{an}的通项公式及前n项和公式；
an
(2) 设数列{bn}的通项公式为bn＝ ，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，bm(m≥3，
an＋tm∈N)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．
第31讲 等比数列中的基本问题
A 应知应会
一、 选择题 1. (2019·九江一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝6，S6＝54，则数列{an}的公比为( )
11
A. B. C. 2 D. 3 32
2. 已知数列{an}为等比数列，若a4＋a6＝10，则a7(a1＋2a3)＋a3a9的值为( ) A. 10 B. 20 C. 100 D. 200 3. (2019·郑州质检)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n＝4(a1＋a3＋…＋a2n－
*
1)(n∈N)，a1a2a3＝－27，则a5等于( )
A. 81 B. 24 C. －81 D. －24
4. (多选)已知数列{an}是等比数列，下列四个命题中正确的是( ) A. 数列{|an|}是等比数列 B. 数列{anan＋1}是等比数列
1
C. 数列a 是等比数列
n
2
D. 数列{lg an }是等比数列 5. (多选)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法中正确的是( )
A. 此人第二天走了九十六里路
B. 此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
1
C. 此人第三天走的路程占全程的
8
D. 此人后三天共走了42里路 二、 解答题
6. 在①b1＋b3＝b2；②a4＝b4；③S5＝－25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，请说明理由．
设等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是等比数列，________，b1＝a5，b2＝3，b5＝－81，是否存在k，使得Sk 7. 设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列． (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 求a1＋a3＋…＋a2n＋1. B组 能力提升 一、 填空题 1. (2019·深圳二调)已知等比数列{an}满足an 3. (2019·宿迁期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，an＋1－2an＝1，a1＝1，则S9＝________． 4. 已知等比数列{an}(n＝1，2，3)满足an＋1＝2－|an|，若a1＞0，则a1＝________． 二、 解答题 1 5. 已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝2 ，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n ，n∈N*. (1) 判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn； (2) 求T2n. 6. (2019·江苏海安中学)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1) 设bn＝an＋1－2an，求证：数列{bn}是等比数列； (2) 求数列{an}的通项公式． －1 n 第32讲 数列通项的求法 A 应知应会 一、 选择题 1. 下列公式可作为数列{an}：1，2，1，2，1，2，…的通项公式的是( ) （－1）n＋1 A. an＝1 B. an＝ 2nπ（－1）sin D. an＝C. an＝2－22 n－1 ＋3 22 2. 已知在正项数列{an}中，a1＝1，a2＝2，2a2n ＝an＋1 ＋an－1 (n≥2)，则a6等于( ) A. 16 B. 4 C. 22 D. 45 3. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn＝2an－3n，则a2 018等于( ) A. 22 018－1 B. 32 018－6 12 01871 2 018－10 C. － D. 2323 an－1 4. 若数列{an}满足a1＝2，a2＝3，an＝ (n≥3且n∈N*)，则a2 020等于( ) an－212 A. 3 B. 2 C. D. 23 5. (2019·咸阳检测)已知正项数列{an}中，a1 ＋a2 ＋…＋an ＝则数列{an}的通项公式为( ) A. an＝n B. an＝n2 nn2 C. an＝ D. an＝ 22二、 解答题 3an 6. 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ (n∈N*)，求通项an. an＋3 11 7. (2019·启东一中)已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝ a2 ＋ an(n∈N*). n 22(1) 求a1，a2，a3，a4的值； (2) 求数列{an}的通项公式． B组 能力提升 n（n＋1） (n∈N*)，2 一、 填空题 2345 1. 数列1， ， ， ， ，…的一个通项公式an＝________． 3579 2. 设数列{an}满足a1＝1，(1－an＋1)(1＋an)＝1(n∈N*)，则{an}的通项公式为________， k1100(akak＋1)的值为________． 3. (2018·全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an＋1，则S6＝________． 4. 意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列{bn}，则b2 020＝________． 二、 解答题 n＋2 5. 已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝ an. 3 (1) 求a2，a3； (2) 求{an}的通项公式． 6. (2019·南通中学)已知数列{an}的各项均为正数，记数列{an}的前n项和为Sn，数列 2*{a2n }的前n项和为Tn，且3Tn＝Sn ＋2Sn，n∈N. (1) 求a1的值； (2) 求数列{an}的通项公式． 第33讲 数列的求和 课时1 可转化为等差、等比数列的求和 A 应知应会 一、 选择题 － 1. 数列{1＋2n1}的前n项和为( ) A. 1＋2n B. 2＋2n C. n＋2n－1 D. n＋2＋2n 2. 在等比数列{an}中，Sn是它的前n项和，若q＝2，且a2与2a4的等差中项为18，则S5等于( ) A. 62 B. －62 C. 32 D. －32 3. 已知数列5，6，1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S16等于( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 16 4. (2019·厦门一模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，2Sn＝an＋1an，则S20等于( ) A. 410 B. 400 C. 210 D. 200 111111 1＋ ＋1＋ ＋ ＋…＋(1＋ ＋ ＋…＋10 )的值为( ) 5. 1＋2242421111 A. 18＋9 B. 20＋10 C. 22＋11 D. 18＋10 2222 二、 解答题 6. 已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5 成等差数列． (1) 求p，q的值； (2) 求数列{xn}的前n项和Sn. 7. 设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·4n(n∈N). (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 令bn＝n＋an，求数列{bn}的前n项和Sn. B组 能力提升 一、 填空题 1. 已知数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项之和为________． － 2. (2019·商丘质检)有穷数列1，1＋2，1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n1所有项的和为________． 3. 已知数列{an}满足a1＝1， 11＋2 ＝ (n∈N*)，记bn＝a22n ，则数列{bnbn＋1}的an＋1an 前n项和Sn＝________． 4. 若数列{an}满足an－(－1)nan－1＝n(n≥2)，Sn是{an}的前n项和，则S40＝________． 二、 解答题 5. 已知数列{an}：a1，a2，a3，…，an，…，构造一个新数列：a1，(a2－a1)，(a3－a2)，…，1 (an－an－1)，…，此数列是首项为1，公比为 的等比数列． 3 (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 求数列{an}的前n项和Sn. 111n 6. 已知数列{an}满足 ＋ ＋…＋ ＝ . a1a2a2a3anan＋1n＋1(1) 若数列{an}为公差大于0的等差数列，求{an}的通项公式； (2) 若bn＝(－1)nanan＋1，求数列{bn}的前2n项和S2n. 课时2 裂项相消法与错位相减法 A 应知应会 一、 选择题 1 1. 已知函数f(x)＝xa的图象过点(4，2)，令an＝ ，n∈N*，记数列{an} f（n＋1）＋f（n）的前n项和为Sn，则S2 019等于( ) A. 2 018 －1 B. 2 019 －1 C. 2 020 －1 D. 2 020 ＋1 2. (2019·深圳高级中学)在数列{an}中，a1＝a2 019的值为( ) A. 1 B. －1 C. 11 D. 2 0192 020 11 ，an＋1＝an＋ (n∈N*)，则2 019n（n＋1） 3. (2019·河南六市联考)已知在数列{an}中，a1＝1，且对任意的m，n∈N*，都有am＋n 2019＝am＋an＋mn，则 i11 等于( ) ai A. 2 0192 0182 0182 019 B. C. D. 2 0202 0191 0101 010 4. (2019·合肥质检)“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件．已知第一层货物单价1万元，从第二层9n9起，货物的单价是上一层单价的 .若这堆货物总价是100－20010 万元，则n的值为 10( ) (第4题) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. (2019·衡水中学)已知数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且an>0，6Sn＝a2n ＋3an，n∈N*，bn＝ 2an .若n∈N*，k>Tn恒成立，则k的最小值是( ) （2an－1）（2an＋1－1） 118A. B. C. 49 D. 749441 二、 解答题 ＋ 6. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝2n1＋m(m∈R). (1) 求数列{an}的通项公式； 1 (2) 若数列{bn}满足bn＝ ，求数列{bn}的前n项和Tn. （2n＋1）log2（an·an＋1） 7. 在等差数列{an}中，已知a3＝5，a1＋a2＋…＋a7＝49. (1) 求an； (2) bn＝________，设数列{bn}的前n项和为Sn，并求满足Sn 2anan＋1 B组 能力提升 一、 填空题 1. (2019·.南通中学)设数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝12，Sn＝kn2－1(n∈N*)，则数列 1 的前n项和为________． Sn 2. 已知函数f(x)＝ax2－1的图象在点A(1，f(1))处的切线与直线x＋8y＝0垂直，若数列 1 的前n项和为Sn，则Sn＝________． f（n） 3. (2019·南通三调)设数列{an}满足a1＝1，(1－an＋1)(1＋an)＝1(n∈N*)，则 1)的值为________． k1100(akak＋ 4. 设Sn为各项不相等的等差数列{an}的前n项和，已知a3a5＝3a7，S3＝9，则{an}的通 1Tn 项公式为________；设Tn为数列aa 的前n项和，则 的最大值为________． an＋1nn＋1 二、 解答题 5. 已知{an}是首项为1的等比数列，各项均为正数，且a2＋a3＝12. (1) 求数列{an}的通项公式； 1 (2) 设bn＝ ，求数列{bn}的前n项和Sn. （n＋2）log3an＋1 6. 已知{an}是递增的等比数列，a2＋a3＝4，a1a4＝3. (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn. 微难点7 数列中奇偶项问题 一、 选择题 a10－a12 1. 已知等比数列{an}中，a3＝2，a4a6＝16，则 的值为( ) a6－a8 A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 2. 已知等比数列{an}共有奇数项，所有奇数项和S奇＝255，所有偶数项和S偶＝－126，末项是192，则首项a1等于( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、 填空题 3. 在数列{an}中，a1＝1，an＋2＋(－1)nan＝1.记Sn是数列{an}的前n项和，则S100＝________． ＋ 4. 已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n1(3n－2)，则前100项和S100＝________． 5. 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2＝2Sn－Sn＋1＋3，记bn＝log2a2n n2 bn }的前10项和为________． －1＋log2a2n，则数列{(－1)· 6. 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2 020＝________． 三、 解答题 2n－1，n为奇数， 7. 在数列{an}中，an＝n 求其前n项和Sn. 3，n为偶数， 8. 已知Sn是正项数列{an}的前n项和，且2Sn＝a2n ＋an，等比数列{bn}的公比q>1，b1＝2，且b1，b3，b2＋10成等差数列． (1) 求数列{an}和{bn}的通项公式； 2n＋1 (2) 设cn＝an·bn＋(－1)n· ，记T2n＝c1＋c2＋c3＋…＋c2n，求T2n. an·an＋1 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容