第六届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试(1995年)

初二第1试

一、选择题:

1.下列五个数：3.1416,1,,3.14,1，其中是有理数的有（ ）

A．0个；B．1个；C．2个；D．3个；

1的平方的立方根是（ ） 8111A.4；B.；C.；D.；

4483．适合不等式2x13x144x21的x的值的范围是（ ） A．x3；B．x5；C．3x5；D．3x5；

aa2a33的值是（ ） 4.已知a是非零实数，则

aa2a2.A．3或1；B．3或1；C．3或1；D．3或1；

5．若a,b,c为三角形的三条边长，则(abc)|abc||bca||cba|（ ） A．2(abc)； B．2(bac)；C．2(cab)；D．2(abc)；

6．如图19，已知ABC中，B的平分线与C的外角平分线相交于D,D40，则A （ ） A．50；B．60；C．70；D．80；

7．已知实数a,b满足条件abab4ab1，则（ ）

2222a1a1a1a1a1a1A.；B.或；C. 或；D.；

b1b1b1b1b1b18．某项工程，甲单独做需a天，在甲做了c天(ca)后，剩下工作由乙单独完成还需b天，若开始就由

甲、乙两人共同合做，则完成任务需（ ）天

cababcbc；B.；C.；D.； ababc2abc29．如图20，在ABC中，ABACm,P为BC上任意一点，则PAPBPC的值为（ ）

A.

2A．m；B．m1；C．2m；D.(m1)；

22210．如图21，ABC的面积为18cm，点D,E,F分别位于AB,BC,CA上，且AD4cm,DB5cm，如果ABE的面积和四边形DBEF的面积相等，则ABE的面积是（ ） A．8cm；B．9cm；C．10cm；D．12cm； 二、A组填空题: 1.化简:62522222360.25________； 16922112.计算:100.0010.0110________；

1001000219953.化简1xx(1x)x(1x)x(1x)，得到________；

224.若n满足(n1994)(1995n)1，则(1995n)(n1994)________；

5.如图22，已知ABC中，ACB90,B25,CDBC于点C,BD2AC，点E在BC的延长

线上，则ACE的大小是________；

6．在一个凸n边形(n3)的n个外角中，其中最多有________个钝角；

7．如图23，沿AE折叠长方形ABCD，使D点落在BC边的点F处，若AB12cm,BC13cm，则FC的长度是________；

8．已知a,b,c,d是四个不相等的正数，其中a最大，d最小，且满足条件小关系为________；

ac，则ad与bc的大bdxbxa2有唯一解，则a与b应满足的条件是________； ab10．有5根木条，其中2根完全相同，长8cm，另外三根分别长4cm,10cm,12cm，用其中三根组成一个

9.若方程

三角形，则选择的办法有________种； 三、B组填空题

1.一个自然数n减去59之后是一个完全平方数，加上30之后仍是一个完全平方数，则n________；

xx的值是________； 2．已知x是实数，并且x2x2x10，则x3．如图24，ABC中，C90,DE是AB的中垂线，AB2AC，且BC18cm，则BE的长度是________；

ABC中，C90,ACBC,AD平分CAB交BC于D,DEAB于E，4．如图25，且AB10cm，

则DEB的周长是________；

5.已知x25，那么x8x16xx1的值是________；

4323219941997200011aa4a226.化简:236________； 42aa1a1(a1)(aa1)23143(yx)的值是________； 7.已知:，则3x2yyx2x18．已知a,b,c,d是四个两两不等的正整数，它们的乘积abcd1995，则abcd的最大值是

________；

ABCD中，CFD:AEBC,AFDC,AB:AD2:3,BAD2ABC，9．如图26，则F________；

10．如图27，两圆半径均为1，且图中两块阴影部分的面积相等，那OC1的长度是________；

答案·提示

一、选择题 提示：

∴3＜x≤5，选（C）．

4．当时a＞0，│a│=a，∴原式=1+1+1=3；当a＜0时，│a│=-a，原式=-1+1-1=-1，故选（A）．

5．a，b，c为三角形的三条边长，满足条件a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b∴原式=-(a+b+c)+(b+c-a)+(b-a-c)+(a+b-c)=2(b-c-a)，选（B）． 6．∠A=∠ACE-∠ABC=2∠DCE-2∠DBC=2∠D=80°，故选（D）．

9．作AD⊥BC交BC于D，设PD=x，则BP=BD-x，PC=CD+x，BD=CD ∴BP·PC=(BD-x)(BD+x)=BD2x2 而PA2=AD2+x2

∴PA2+PB·PC=BD2-x2+AD2+x2=BD2+AD2=AB2=m2．故选(A)． 10．如图28，连接DE，DC． ∵SDBEF=S△ABE

即S△ABE=10cm2，故选(C)． 二、A组填空题 提示：

2．原式=(10+0.01+0.001)2-(0.01+0.001-10)2 =[10+(0.01+0.001)]2-[10-(0.01+0.001)]2 =4×(0.01+0.001)×10=0.44

3．原式=(1+x)+x(1+x)+x(1+x)2+…+x(1+x)1995 =(1+x)(1+x)+x(1+x)2+…+x(1+x)1995 =(1+x)2(1+x)+x(1+x)3+…+x(1+x)1995 =…=(1+x)1996

4．由条件(n-1994)2+(1995-n)2=1

又[(1995-n)+(n-1994)]2=1,即(1995-n)2+2(1995-n)(n-1994)+(n-1994)2=1 ∴2(1995-n)(n-1994)=0,则(1995-n)(n-1994)=0 5．如图29，取BD的中点G，连接CG，

∠A=∠CGA=2∠B=50° ∴∠ACE=∠A+∠B=75°

6．凸n边形的n个外角的和是360°，所以最多只能有3个钝角．

7．沿AE折叠后，有△ADE≌△AFE，AF=AD=13cm，在Rt△ABF中，AF=13，AB=12，∴BF=5cm ∴FC=BCBF=8cm．

d-b-dk=(b-d)(k-1)

∵b＞d，k＞1，∴a+b＞b+c

bx-b2=2ab-ax+a2,整理后，得(b+a)x=a2+2ab+b2 因方程有唯一解，故a+b≠0

10．选择方法有(8，8，4)，(8，8，10)，(8，8，12)，(4，8，10)，(4，10，12)，(8，10，12)共6种． 三、B组填空题 提示：

b2

a2=89 即(b+a)(b

a)=89

∴n=442+59=1995

2．由x3+2x2+2x+1=0得(x+1)(x2+x+1)=0

(-1)1994+(-1)1997+(-1)2000=1-1+1=1

3．如图30，连接AE，∴△BED≌△AED≌AEC，∠B=30°

4．在△ACD和△AED中，∠CAD=∠EAD，AD=AD∴△ACD≌△AED，AC=AE，CD=DE ∴BD+DE+EB=BD+DC+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=10cm．

8．abcd=1995=3·5·7·19=1·3·5·(7·19) 令a=1，b=3，c=5，d=133 ∴a+b+c+d=142为最大．

9．在平行四边形ABCD中，∠BAD=2∠ABC

∴∠BAD=120°，∠ABC=60°，又AE⊥BD，AF⊥CD， ∴∠BAE=30°，∠DAF=30°

∴FC∶FD=1∶3

又两阴影部分面积相等，