19.3 二次函数的性质 同步练习2(含答案)

典例分析

例1 已知,二次函数y=x2－5x+4的图象如图20－4－2所示,

(1)观察图象,回答：x取何值时,y值随x值的增大而增大；x取何值时,y值随x值的增大而减小?

(2)如果将图中的抛物线向左平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度,试确定所得到的抛物线的表达式.

(3)设(2)中的抛物线与x轴交于A、B两点,试在x轴下方的抛物线上确定一点P,使△PAB的面积最大.

思路分析:(1)、(2)可依据图象或已知的表达式解决；在(3)中应注意P点的可能位置,以便确定出P点坐标.

解：(1)由图20－4－2可知,抛物线的对称轴为x,故当x<时,y值随着x值的增大而减小,当x>时,y值随着x值的增大而增大. (2)二次函数y=x2－5x+4的表达式可变为y(x)2,若将此抛物线向左平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度,则所得抛物线的表达式是

59125; y(x3)24,即y(x)224245294525252(3)抛物线y(x)2所以AB=5.

1225x2x6,与x轴的交点A(－3,0),B(2,0),4∵抛物线y=x2+x－6的开口向上,故抛物线的顶点是图象的最低点,∴在x轴下方的抛物线上确定一点P,使△PAB的面积最大,需P点到x轴距离最大,此时P点只能是此抛物线的顶点了,即P点坐标为

125125125. (,),此时△PAB的面积为：524248例2 图20－4－3所示,有长为24米的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度a为10米),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,设花圃的宽AB=x米,面积为S米2.

(1)求S与x的函数关系式；

(2)如果要围成面积为45米2的花圃,AB的长是多少米?

(3)能围成面积比45米2更大的花圃吗?如果能,请求出最大面积,并说明围法；如果不能,请说明理由.

思路分析：根据长方形的面积公式建立S与x之间的函数关系式,再利用题设要求和二次函数的相关性质去进一步求解.

解：(1)∵AB=x米,∴BC=(24－3x)米,所以S=x·(24－3x)=－3x2+24x. (2)由题意知,－3x2+24x=45,整理得x2－8x+15=0,

解得xl=3,x2=5,当x1=3时,BC=24－3×3=15>10,不合题意,舍去,当x2=5时,BC=24－3×5=9,满足题意,故AB的长为5米.

(3)能围成面积比45米2更大的花圃. 由(1)知,S=－3x2+24x=－3(x－4)2+48 ∵0<24－3x≤10,∴

14x8. 3由抛物线y=－3(x－4)2+48知,当x<4时,y随x的增大而增大,当x>4时,y随x的增大而减小.

14时,S=－3(x－4)2+48有最大值,且最大值为3142142

483(4)246(米),此时AB=米,BC=10米,即围成长为10米,

333142宽为米的长方形ABCD花圃时,其最大面积为46米2.

33∴当x突破易错☆挑战零失误

规律总结 善于总结★触类旁通

1 方法点拨：本题是一道二次函数的图象与性质的小综合题,解这类题目的关键在于准确识图,能从图形中挖掘出有价值的信息,并借助二次函数的有关性质获得解题思路.

2 方法点拨：在确定函数S=－3(x－4)2+48的最大值时,应根据实际情况

14x8及二次函数的相关性质来综合说明,切忌不加分析而误3认为当x=4时,其最大面积为48米2.理解题意,把握其几何特征,熟知一些几何图形的面积公式,建立正确的函数关系式是解这类题的关键.另外,应当注意的是,在利用数学方法求出的结论中,必须检验该结果的合理性.