第七届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试(1996年)

初二第1试

一、选择题:

a的值相等的是（ ） abaaaaA.；B.；C.；D.； ababbaba2．一个角的补角的一半比这个角的余角的2倍小3，那么这个角等于（ ） A．58；B．59；C．60；D．61；

3．如图23，AB//CD,AC//DB,AD与BC交于O,AEBC于E,DFBC于F，那么图中全等的

1.下列各式中与分式

三角形有（ ）

A．5对；B．6对；C．7对；D．8对；

19961995199519961995199619961995,b,c,d，则下列不等关系中成立的是（ ）

1995199619951996A．abcd；B．cadb；C．adcb；D．acdb；

5．如图24，已知在ABC中，ABAC,BAC和ACB的平分线相交于D点，ADC130，那么CAB的大小是（ ）

A．80；B．50；C．40；D．20；

4.设a

6．已知一个三角形中两条边的长分别为a,b，且ab，那么这个三角形的周长l的取值范围是（ ） A．3al3b；B．2(ab)l2a；C．2abl2ba；D．3abla2b；

111::2:3:4，则a:b:c等于（ ） abcA．4:3:2；B．6:4:3；C．3:4:2；D．3:4:6；

8．如图25，四边形ABCD是一个梯形，AB//CD,ABC90,AB9厘米，BC8厘米，CD7厘米，M是AD的中点，从M作AD的垂线交BC于N，则BN的长等于（ ） A．1厘米；B．1.5厘米；C．2厘米；D．2.5厘米；

9．在一家三口人中，每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47,61,60，那么这三个人中最大

7.若

年龄与最小年龄的差是（ ）

A．28；B．27；C．26；D．25；

xa如果xyc，则x与y中较大的一个是（ ） ybababacbcA.；B.；C.；D. ； abababbc10.已知x,y,a,b都是正数，且ab,

二、A组填空题：

1．因式公解：9a4b4abc________；

222bca________；

(ab)(bc)(bc)(ca)(ca)(ab)3223．已知多项式3xax3x1能被x1整除，且商式是3x1，那么a的值是________； 4．关于x的方程(23a)x1的根为负数，则a的取值范围是________；

5．如图26，凸四边形ABCD的四边AB,BC,CD和DA的长分别是3,4,12和13,ABC90，则四边形ABCD的面积S________；

2．化简分式:

6．如图27，AOB是一条直线，AOC60,OD,OE分别是AOC和BOC的平分线，则图中互为补角关系的角共有________对；

227．如果ab6,ab372，那么ab的值是________；

32

a38.如果a3a10，那么6的值是________；

a19．如图28，ABC中，AD平分BAC,ABBDAC，则B:C的值是________； 10．如图29，已知DO平分ADC,BO平分ABC，且A27,O33，则C的大小是________；

三、B组填空题:

4xab22ab，则的值是________； 2x4x2x22．已知ab0且3a2b6ac4b80，则c的取值范围是________； 3．一个凸多边形有且仅有4个内角是钝角，这样的多边形的边数最多是________；

4．如图30，在ABC中，B2C,ADBC于D,M为BC的中点，AB10厘米，则MD的长为

1.若________；

5．已知三个质数m,n,p的乘积等于这三个质数的和的5倍，则m2n2p2________；

答案·提示

一、选择题 提示：

∴选C．

2．设该角为x°．

3．在图23中有△ABC≌△DCB，△ACD≌△DBC，△AOB≌△DOC，△AOC≌△DOB，△AOE≌△DOF，△AEC≌△DFB，△AEB≌△DFC，共有7对三角形全等，选C．

∴a＞c＞d＞b，选D．

5．解法1：如图31，连接BD， 则BD也是∠ABC的角平分线．

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB， ∠ADB=∠ADC=130°．

∴∠BDC=360°－2×130°=100°． ∴∠DCB=∠DBC=40°． ∴∠ABC=∠ACB=80°．

∴∠CAB=180°－2×80°=20°，选D． 解法2：设∠CAB=x°，则∠B=∠ACB

∴∠ACD＋∠CAD=180°－∠ADC．

解得x=20°，∴选D．

6．三角形中两边长为a，b，且a＞b，则第三边为C，满足条件a－b＜c＜a＋b， ∴a+b+（a-b）＜a+b+c＜a+b+（a+b）．即 2a＜a+b+c＜2（a+b），∴选B

8．如图32，连接AN，DN． ∵M为AD中点，MN⊥AD， ∴AN=DN

设BN=x，则CN=8-x， ∵CD2+CN2=AB2+BN2． ∴72+（8-x）2=92+x2． 解得x=2，∴选C．

9．设三个人年龄分别是x，y，z．

①+②+③得2（x+y+z）=168．

∴38-10=28，选A．

10．∵x，y，a，b均为正数，且a＜b，∴x，y中较大的数是y．

得x＜y．

二、A组填空题 提示：

1．因式分解

9a2－4b2＋4bc－c2=9a2－（4b2－4bc＋c2）=9a2－（2b－c）2=（3a＋2b－c）（3a－2b＋c）

3．由已知3x3＋ax2＋3x＋1=（x2＋1）（3x＋1）,∴3x3＋ax2＋3x＋1=3x3＋x2＋3x＋1,∴a=1 4．关于x的方程（2－3a）x=1的根为负数，

5．连接AC，△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，根据勾股定理得AC=5．在△ACD中，AC=5，CD=12，AD=13． ∵132=122＋52

∴△ACD是直角三角形．∠ACD=90°．

∴S四边形ABCD=S△ABC＋S△ACD 6．∵∠AOC=60°， ∴∠BOC=120°，

又OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线， ∴∠AOD=∠COD，∠BOE=∠COE=60°．

有∠AOD＋∠DOB=180°，∠AOC＋∠COB=180°，∠AOE＋∠BOE=180°，∠COD＋∠DOB=180°，∠AOC＋∠AOE=180°，∠COE＋∠AOE=180°，∠BOE＋∠BOC=180°，∠COE＋∠BOC=180°，共有8组角互为补角． 7．∵a＋b=6 ①,a3＋b3=（a＋b）（a2－ab＋b2）=72． ∴a2－ab＋b2=12 ② ①2－② 3ab=24 ∴ab=8 ③

把③代入②得a2＋b2=20． 8．∵a2－3a＋1=0， ∴a2＋1=3a． ∵a≠0，

=3（7－1）=18．

9．如图33，在AC上取AE=AB．连接DE，

在△ABD和△AED中，AB=AE，∠BAD=∠EAD，AD=AD

∴△ABD≌△AED． ∴BD=DE， ∠B=∠AED．

又AC=AB＋BD，AE=AB， ∴EC=BD=DE． ∴∠EDC=∠C，

∴∠B=∠AED=∠EDC＋∠C=2∠C．

10．由已知，∠ABO=∠CBO，∠ADO=∠CDO．比较△ABG和△OGD的角的关系得∠A＋∠ABG=∠O＋∠ODG，① 同理比较△OBH和△CDH得∠C＋∠CDH=∠O＋∠OBH．② ①＋②得 ∠A＋∠C=2∠O． ∴∠C=2×33°－27°=39°． 三、B组填空题 提示：

∴a2＋b2=8．

①×2－②得（6－c）a=4．

∵a≥b＞c． ∴6－c＞0，c＜6 且4≥12－3c＞0

3．设这个凸多边形的边数为n，其中4个内角为钝角，n－4个内角为直角或锐角． ∴（n－2）·180°＜4·180°＋（n－4）·90° ∴n＜8，取n=7．

当n=7时，可以作4个170°的内角，其余3个内角分别为80°，80°，60°． 4．如图34，取AB中点N，连接DN，MN．在Rt△ADB中，N是斜边AB上的中点， ∠NDB=∠B，在△ABC中，M，N分别是BC，AB的中点．

∴MN∥AC，∠NMB=∠C． 又∠NDB是△NDM的外角， ∴∠NDB=∠NMD＋∠DNM．

即∠B=∠NMD＋∠DNM=∠C＋∠DNM． 又∠B=2∠C，

∴∠DNM=∠C=∠NMD．

又AB=10（厘米），

∴DM=5（厘米）．

5．由已知，mnp=5（m＋n＋p）．

由于m，n，p均为质数，5（m＋n＋p）中含有因数5． ∴m，n，p中一定有一个是5． 不妨设m=5．则5np=5（5＋n＋p）．即np=5＋n＋p． ∴np－n－p＋1=6即（n－1）（p－1）=6 又n，p均为质数．