北京市东城区(南片)2014-2015学年高二数学下学期期末考试试卷 理

数学试卷（理科）

(考试时间120分钟 满分100分)

一、选择题(每小题3分，共60分. 在每小题给出的四个选项中。选出符合题目要求的一项) 1. 在复平面内，复数

1i的对应点位于 iA. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

24352. C16+C6+C6+C6+C6的值为

A. 64 B. 63 C. 62 D. 61

3. 反证法证明的关键是在正确的假设下得出矛盾，这个矛盾可以是

①与已知矛盾；②与假设矛盾；③与定义、定理、公理、法则矛盾；④与事实矛盾 A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④ 4. 按“三段论”的推理模式，下列三句话排列顺序正确的是

①ycosx(x∈R)是三角函数；②三角函数是周期函数；③ycosx(x∈R)是周期函数。 A. ①②③ B. ②①③ C. ②③① D. ③②①

5. 袋中有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球，从袋中任取2个球，则2球的颜色为一白一黑的概率为

A.

1234 B. C. D. 55554，那么播下3粒这样的种子恰有2粒发芽56. 某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为概率是

A.

12164896 B. C. D. 12512512512523和，两个零件是否加工347. 两个实习生每人加工一个零件。加工为一等品的概率分别为为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为

A.

5111 B. C. D. 122468. 从5名男生、4名女生中选3名学生组成一个学习小组，要求其中男、女生都有，则不同的组队方案共有

A. 70种 B. 80种 C. 100种 D. 140种

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9. 观察下列事实：xy1的不同整数解(x，y)的个数为4，xy2的不同整数解(x，y)的个数为8，xy3的不同整数解(x，y)的个数为12。则xy20的不同整数解(x，y)的个数为

A. 76 B. 80 C. 86 D. 92

10. 已知复数z1ai，z21i，其中a∈R， A. －l B. 1 C. －2 D. 2

11. 已知函数f(x)的导数f'(x)a(x1)(xa)，若f(x)在xa处取到极大值，则a的取值范围是

z1是纯虚数，则实数a的取值为 z21) B. (0，+∞) C. (0，1) D. (－1，0) A. (，12. 已知随机变量X服从正态分布N(1，)，且P(－2≤X≤1)=0.4，则P(X>4)= A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.6 13. 若二项式(2x2a71)的展开式中3项的系数是84，则实数a= xxA. 2 B. 34 C.

2 D. 1 414. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用x（万元） 销售额y（万元）

4 49

2 26

3 39

5 54

ˆ为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时ˆxaˆbˆ中的b根据上表可得回归直线方程y销售额为

A. 63.6万元 B. 65.5万元 C. 67.7万元 D. 72.0万元

mn15. 在(1+x)(1+y)的展开式中，记xy项的系数为f(m,n)，则f(3,0)的值为

6

4

A. 4 B. 10 C. 20 D. 40

16. 要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有

A. 48种 B. 36种 C. 18种 D. 12种

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17. 由曲线y1，x1，x2，y=0所围成的封闭图形的面积为 x111nn(n∈N且n>1)，第二步证明中从“k到k+1”2321 A. 4 B. 2 C. 2ln2 D. ln2 18. 用数学归纳法证明1时，左端增加的项数是

A.21 B. 21 C. 2 D. 219. 设函数f(x)x3x，若0<≤的取值范围是

A. (，1) B. (－∞，－1) C. (－1，+∞) D. (1，+∞)

20. 已知f(x)是定义在(0，+∞)上的非负可导函数，且满足xf'(x)f(x)0，对任意正数a、b，若aA. af(a)(I)若复数z3z4，则复数的模长= ；

2kkkk1

时，f(mcos)f(1m)0恒成立，则实数m2z2azb1i，求实数a，b的值。 (Ⅱ)如果2zz122. (本小题满分8分)

某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到数据如下：

零件的个数x（个） 加工的时间y（小时）

5

(Ⅰ)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；

2 2.

3 3

4 4

5

5 4.

- 3 -

ˆxaˆbˆ； (Ⅱ)求y关于x的线性回归方程y (Ⅲ)试预测加工10个零件需要的时间. 参考公式：

nn(xix)(yiy)xiyinxyˆi1i1bnn2 22(xix)xinxi1i1ˆxˆyba23. (本小题满分8分)

2014年12月28日开始，北京市地铁按照里程分段计价。具体如下表：

6公里(含)内3元；

6公里至12公里(含)内4元；

乘坐地铁方案

12公里至22公里(含)内5元；

(不含机场线)

22公里至32公里(含)内6元；

32公里以上部分，每增加l元可乘坐20公里(含)。

已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示。

(Ⅰ)如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价大于3元的概率为 ；

- 4 -

(Ⅱ)从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2人，记X为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X的分布列和数学期望。 24. (本小题满分8分)

已知a>0，b>0，c>0，且abc1。

1111)(1)(1)的值为 ； abc111 (Ⅱ)求证：(1)(1)(1)≥8。

abc (Ⅰ)若abc，则(25. (本小题满分8分)

若存在k和b，使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x分别满足f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为f(x)和g(x)的“隔离直线”。已知h(x)x2，

(x)2elnx(其中e为自然对数的底数)。

(Ⅰ)函数F(x)=h(x)－(x)的极值为 ；

(Ⅱ)函数h(x)和(x)是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由。

- 5 -

【试题答案】

一、选择题(每小题3分。共60分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项) 题号 答案 题号 答案

二、解答题(本大题共5小题，每小题8分，共40分，解答题中的填空只需写出答案即可，其它应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 21. (本小题满分8分) 解：（Ⅰ）2。 （Ⅱ）由z1i，有

3分

1 D 11

D

12

A 2 C

13

D 3 D

14

B 4 B

15

C 5 B

6 C 16 B

7 A 17 D

8 A 18 C

9 B

10 A

19 20 A

A

z2azb(1i)2a(1i)b(ab)(a2)i 22zz1(1i)(1i)1i (a2)(ab)i。 由题设条件知(a2)(ab)i1i。

根据复数相等的定义，得22. (本小题满分8分) (Ⅰ)散点图如图所示：

a21a1，解得。

b2(ab)1 8分

- 6 -

3分

(Ⅱ)由题中表格数据得x3.5，y3.5，

(xi14ix)(yiy)3.5，(xix)25。

i14ˆ由公式计算得b(xx)(yy)iii14(xx)ii14ˆx， ˆyb0.7，a2ˆxaˆbˆ0.7x1.05 所以所求线性回归方程为y 6分

ˆxaˆbˆ0.7101.058.05， （Ⅲ）当x10时，y所以预测加工10个零件需要8.05小时。 23. (本小题满分8分) （Ⅰ）

8分

1。 2 3分

（Ⅱ）解：X的所有可能取值为6，7，8，9，10。

根据统计图，可知120人中地铁票价为3元、4元、5元的频率分别为即

604020，，， 120120120111，，， 236111，，。 236以频率作为概率，知乘客地铁票价为3元、4元、5元的概率分别为所以P(X6)P(XP(XP(XP(X111， 224111117)，

2332311111158)，

26623218111119)，

3663911110)，

6636所以随机变量X的分布列为：

X P

6

7

8

9

10

1 41 35 181 91 36 - 7 -

所以E(X)614713851891910136223。 24. (本小题满分8分) (Ⅰ)8

3分

(Ⅱ)解法一：分析法

要证(

1a1)(1b1)(1c1)≥8成立， 只需1a1b1ca·b·c≥8成立。

∵abc1，

故只需证(abc)a(abc)b(aa·b·bc)cc≥8，

即bca·acabb·c≥8成立，

只需证

(bc)(ac)(ab)2bc2abcac2ababc8成立，

而

2bc2ac2ababc8显然成立。

所以(11a1)(b1)(1c1)8。

解法二：综合法

因为bc2bc0，ac2ac0，ab2ab0 所以(bc)(ac)(ab)2bc2ac2ab， 所以(bc)(ac)(ab)8abc， 又a0，b0，c0， 所以

(bc)(ac)(ab)abc8，

又abc1，

所以

(1a)(1b)(1c)abc8，

所以1aa·1bb·1cc≥8，

所以(1a1)(1b1)(1c1)8。

25. (本小题满分8分)

8分

8分

8分

- 8 -

解：(Ⅰ)0 3分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知函数h(x)和(x)的图象在xe处有公共点，因此若存在h(x)和(x)的

隔离直线，则该直线过这个公共点。

设隔离直线的斜率为k，则直线方程为yek(xe)， 即ykxeke。

由h(x)kxeke(xR)，可得x2kxeke0当xR时恒成立。 ∵(k2e)2，∴△≤0，得k2e。 下面证明(x)2exe当x0时恒成立。 令G(x)(x)2exe2elnx2exe，

则G'(x)2e2e(exx2e)x， 当xe时，G'(x)0。

∵当0xe时，G'(x)>0，此时函数G(x)递增；

当xe时，G'(x)<0，此时函数G(x)递减；

∴当xe时，G(x)取极大值，也是最大值，其最大值为0。

从而G(x)=2elnx－2ex+e≤0，即(x)2exe(x0)恒成立。

∴函数h(x)和(x)存在唯一的隔离直线y2exe。……………………8分 其它解法参照给分。

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