抛物线的标准方程 精品教案

教学目的：

1．能根据题设，求出抛物线的标准方程、焦点、准线

2．使学生能熟练地运用坐标，进一步提高学生“应用数学”的水平 3．结合教学内容，使学生牢固树立起对立统一的观点 教学重点：标准方程及其简单应用

教学难点：抛物线定义的灵活运用，解直线与抛物线有关的综合问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：

一、复习引入：

1 椭圆的第定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线l的距离的比是一个(0,1)内的常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率 2. 双曲线的第二定义：一动点到定点F的距离与到一条定直线l的距离之比是一个(1,)内的常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线 其中定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e是双曲线的离心率． 3．抛物线定义：

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线 4．抛物线的标准方程： yyylyOFx图形 OFxFOxFOlxl l 2 方程 焦点 准线 y2px(p0) p(,0) 2px 22y22px(p0)(p,0) 2px 2x2py(p0) p(0,) 2py 2x22py(p0) p(0,) 2py 21，即4相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的

2pp 42不同点：(1)图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为2px、左端为y；图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为2py，左端为x （2）开口方向在X轴（或Y轴）正向时，焦点在X轴（或Y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X轴（或Y轴）负向时，焦点在X轴（或Y轴）负半轴时，方程右端取负号

二、讲解范例：

例1 点M与点F（4,0）的距离比它到直线l:x50的距离小1，求点M的轨迹方程

22解析：可知原条件M点到F（4，0）和到x＝－4距离相等，由抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点，x＝－4为准线的抛物线．∴p8 所求方程是y216x 例2 斜率为1的直线经过抛物线y24x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长 分析：思路一：解方程组，得交点的坐标，利用两点间距离公式解之 思路二：同思路一相同，但不解方程组，利用根与系数的关系，解之 思路三：利用根与系数关系及抛物线的定义来解之 思路四：利用弦长公式解之（以后给出）

解析：如图，由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F(1，0)， 所以直线AB的方程为y01(x1)

yD即 yx1 ① A将方程①代入抛物线方程y24x，得 (x1)24x 化简得x6x10

解这个方程，得 x1322，x2322 将x1322，x2322代入方程①中，得

2OCFBxy1222，y2222

即A,B的坐标分别是（322，222），（322，222） ∴|AB|(42)2(42)28

另法：在图中，由抛物线的定义可知，|AF|等于点A到准线x=－1的距离|AD|，而|AD|=x1＋1．同理|BF|＝|BC|=x2＋1，于是得|AB|=|AF＋|BF|=x1＋x2＋2．

由此可以看到，本题在得到方程x6x10后，

根据根与系数的关系可以直接得到 x1＋x2＝6．于是立即可以求出|AB|=6＋2=8． 例3 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M（-3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值 解析：由 M（-3，m）到焦点的距离等于5

2p532p4 2所求抛物线的方程为y28xm26  M（-3，m）到准线的距离等于5三、课堂练习：

四、课堂小结 ：本课主要讲解了四道例题，从不同的角度对如何灵活运用抛物线的定义、标准方程、焦点、准线等知识解决有关问题进行了巩固训练。 五、课后作业：