抛物线及其标准方程 精品教案

【教学目标】

1．通过设计问题，动手实验，掌握抛物线的定义。

2．启发学生推导出抛物线的标准方程，掌握四种形式的抛物线标准方程与对应图形的规律性，渗透类比、数形结合思想。

3．让对学生体验数学中的对称美、简洁美；通过事例激发学生进行爱国主义学习热情。

【教学重难点】

一、教学重点：

1．深刻理解抛物线的定义； 2．推导抛物线的标准方程。 二、教学难点：

定义的形成及四种标准方程与图形的对应关系

【教学过程】

教师：上课！同学们好！ 学生：老师好！ 教师：请坐下。

教师：现实生活中，有很多图形就是我们正在学习的曲线，请看（展示鸟巢的图形）这是什么曲线？

学生：椭圆！

教师：（再展示手心条纹图形）那这个呢？ 学生：双曲线！

教师：再请看（视频停下后）；视频中，谁投的压哨三分球？ 学生：科比

教师：看一看慢镜头（展示科比三分球的慢镜头）。请问：球的运动路线形成什么曲线呢？（再展示三分球的轨迹，此时有曲线存在）。

学生：抛物线。

教师：对，这节课我们就来研究抛物线及其标准方程。（同时在黑板上板书课题） 教师：同学们知道抛物线是由什么特征的点形成的轨迹吗？ 学生：不知道（也可能有个别知道，预习了的）

教师：要回答这个问题，我们先来做一个数学实验。请大家准备。 学生：拿纸，动手实验。

教师：看视频（播放动画加配音解说，教师巡视，帮助有困难的学生）

（解说：请拿出刚发下来的印有定直线l和定点的白纸按如下的步骤操作：第一步：在定直线l上任取一点Q1，过Q1点将白纸对折，使得直线l的两部分重合，得出第一条折痕；第二步：再将白纸对折，使得Q1点与定点F重合，得出第二条折痕，第三步：将两条折痕的交点记为点P1；在直线l上另取一点，类似折出点P2、P3……，再用光滑曲线连接P1、P2、P3…。

教师：我们知道：对于作图的问题，取点越多，所作的图形就越精确，要想知道正确答案，只有取遍直线l上的所有的点，但这非人力所及，我们请电脑来检验。

教师：这条曲线上的点有什么特征呢？是椭圆吗？ 学生：不是。

教师：是双曲线的右支吗？ 学生：是。

教师：请大家观察图像上点的特征。看P1点（此时隐去P2，P3，出现Q1F的中垂线）猜想

P1F与P1Q1数量关系？ 学生：相等。

教师：为什么？教师简单加以说明。

教师：根据对P1的探讨，P2、P3是否也具有类似的特征？ 学生：具有

教师：现在，你能说出曲线上的点的共同特征吗？ 学生：到一个定点F和一条定直线l的距离相等。

教师：非常好！我们把这样的曲线定义为抛物线，请翻开书128页，勾出来。此时点F叫抛物线的焦点，直线l叫抛物线的准线。

探究一：

教师：刚才的折纸实验，是定点不在直线上，这条曲线就是抛物线（演示动画，当点从右移到左，再回到直线l上）。那么当定点在直线上时，形成的图形还是抛物线吗？（教师演示动画）

教师：此时图形为一条直线。 探究二

教师：下面请同学们把抛物线的定义和椭圆、双曲线的第二定义进行类比，探索它们的相同点和不同点（出现动画）

教师：三种曲线定义的相同之处是什么？（填写下列的表格） 学生：

MFde(常数)

教师：不同之处呢？

学生：椭圆0e1，双曲线e1，抛物线e1。

教师：回答的非常好，刚才我们学习了抛物线的定义，现在来研究抛物线的标准方程（展示抛物线），请同学们回忆：求曲线方程的步骤。

学生：建系，设点……

教师：求轨迹的方程必须要建系，如何建系？

学生1：过点F作FKl，垂足为K，以直线KF为x轴，以K为坐标原点建立平面直角坐标系。

学生2：我也这样选定x轴，但我认为可以选点F为坐标原点；

学生3：由抛物线的定义知：线段KF的中点也在抛物线上，选KF的中点为坐标原点。 教师：三个同学对x轴的确定已经达成了共识，但对坐标原点的位置选取有不同的看法，我们一起回想一下初中学的抛物线，当顶点在什么位置时，所得的方程是最简单的。

学生：坐标原点。

教师：这也体现了建系应遵循简单、和谐的原则； 教师：解：以过点F垂直于l的直线为x轴，垂足为K， 线段KF的中垂线为y轴，如图，建立直角坐标系。设点

yK O

F

x

Mx,y为抛物线上任意一点，KFp（p0），

l

pp则焦点F的坐标为,0，准线l的方程为x；由抛物线的定义得到：

2222ppp2PMMFd，MFxy，dx，∴xy2xp

2222化简得y22px（p0）

教师：现在请大家把前面折纸所得的图形举起来，让周围的同学看看，有些同学的图形开口向右，有些向左，有些向上，有些向下，对这另外三种情况，我们将焦点放在左、上、下。顶点放在原点，分别得出三种不同形式的图形，现在分成三个小组，推导出抛物线的标准方程（教师此时在黑板上板书三种不同形式的抛物线建系。）

学生：演算：

教师：（巡视，给出表格，待推导过程完成后，每个小组抽一个人回答，完成下列表格中的标准方程）

教师：（用投影仪来展示学生的第三个推导成果）我们随便看一个同学的推导过程：再看一个同学的（唐发法）（发现他没做，叫他回答方程（2））唐发法用对称就得到了方程，此时教师鼓励，表扬，同学们，第四个方程可不可以也用对称来完成？大家一起说。（最后完成表格的其它部分）

引导学生填写表格，填写完成后。

图形 2y 2pxp0 标准方程 焦点坐标 准线方程 p(,0) 2 xp 2 y 22pxp0 (p,0) 2 xp 2 x22pyp0 p(0,) 2 yp 2 x22pyp0 p(0,) 2 yp 2 教师：我们初中学习抛物线时，主要从开口方向、顶点和对称轴来研究抛物线，到了高中我们引入了焦点和准线方程，现在请大家从这几个方面来观察四种抛物线的标准方程和对应图形的规律。大家讨论，前、后；左、右都可以。

学生：（讨论）

教师：（提示）请同学们一方面从方程中的数到形来思考（即有什么样的数就有什么样的形），另一方面，倒过来，从图形到数来思考（即有什么样的形时就有什么样的数）。

教师：抽学生回答（能说多少算多少）最后教师归纳总结： （1）顶点都在原点；

（2）开口方向：由一次项系数的正负决定； （3）对称轴（由一次项所对应的字母表示） （4）焦点与准线规律

①焦点的位置判断：抛物线看一次项，即一次项所对应的字母就是焦点所在的坐标轴（与开口方向一致）

②焦点的非零坐标为一次项系数的

1； 4③准线与对称轴垂直，且垂足与焦点关于原点对称； 教师：现在我们趁热打铁来练习两道题：

课堂基本练习：判断下列抛物线的焦点位置及开口方向： ①x2y；②y22x；③y2axa0 学生：（口答）

教师：（鼓掌）再来看一个例题

例1．（1）已知抛物线的标准方程为y26x，求焦点坐标和准线方程。 （2）已知抛物线的焦点坐标为F0,2，求抛物线的标准方程。 学生：分析思路：

教师：讲评（黑板上板书例题） 学生：练习

教师：帮助、订正、点评：

1思考题：（1）已知抛物线的准线为x，求抛物线的标准方程；

4（2）若焦点到准线的距离等于2，求抛物线的标准方程。 教师：好了，现在我们把今天的内容小结一下：（让学生总结） ①抛物线的定义；②抛物线的标准方程及其焦点、准线；

③通过实验感知图形特征，了解了圆锥曲线的统一性，加深了对数形结合、类比、分类讨论等数学思想方法的理解。 布置作业：

教师：我们已经学习了所有的圆锥曲线，最后我们来看看“嫦娥一号”探月轨道图。“嫦娥一号卫星”在前三次变轨时，轨道都是椭圆形的，在第四次变轨后成了抛物线，奔向神秘的月球，而在月球的附近又变轨成椭圆形。同学们，探月工程是我们国家崛起的象征，让我们努

力学习科学知识，“为中华之崛起而读书”（谢谢大家！）