人教版数学高二年级《椭圆中最大值、最小值问题的常用方法》教学设计[1]

22

［例5］已知x,y∈R,且x,y满足方程x+4y=1，试求f(x,y)=3x+4y的最大值、最小值. 分析：将所求f(x,y)=3x+4y经过令z=f(x,y)变形为y=2

2

3zzx，而是直线在y轴444上的截距，再根据A(x,y)是x+4y=1上的点，故可采用判别式法去解决.

3z① yx解：44

x24y21② ①代入②中，得

22

13x-6zx+z-4=0

22

∴Δ=36z-4×13(z-4)≥0 ∴-13≤z≤13

∴3x+4y的最大值为13，最小值为-13. 注意：直线-3x±13=4y是椭圆的斜率为-2

2

3的两条切线. 4［例6］已知椭圆x+2y=98及点P（0，5），求点P到椭圆距离的最大值与最小值. 分析：以（0，5）为圆心，内切于椭圆的圆半径为r1，即点P到椭圆的最小值，以（0，5）为圆心外切于椭圆的圆的半径为r2,即点P到椭圆的最大值.

22

解：∵0+2×5＜98

∴点（0，5）在椭圆内部

设以（0，5）为圆心和椭圆相切圆的方程为： x2+(y-5)2=r2 ①

22

将椭圆方程x+2y=98代入①中，得 r2=-(y+5)2+148(-7≤y≤7)

2

∴当y=-5时，rmax=148

即：rmax=237

当y=7时，rmin=4， 即rmin=2

注意：本题的解法称为辅助圆法.

2

x2y21上的点之间的最短距离. ［例7］求定点A（a,0）到椭圆2解：设B（x,y）为椭圆上任意一点.

x2∴|AB|=（x-a）+y=(x-a)+1- 22

2

2

2

∴|AB|=

2

122

(x-2a)+1-a 2∵x∈［-2,2］

若|a|≤

2,则x=2a时， 2|AB|min=1a2 若a＞

2,则x=2时， 2|AB|min=|a-2|

若a＜-

2,则x=-2时， 2|AB|min=|a+2| 注意：本题解法是函数法.