2015-2016学年北京市第十三中学分校九年级数学上学期期中试卷.doc

2015---2016学年北京市第十三中学分校第一学期期中九年

级数学试卷

考 生 须 知 4.考试结束，将试卷、机读卡及答题纸一并交回监考老师。 第Ⅰ卷

一、选择题（每小题3分，共30分．下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．） ．．1. 抛物线yx12的对称轴为（ ）．

A．直线x1 B．直线x1 C．直线x2 D．直线x2 2．若将抛物线y=2x先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到一个新的抛物线，则新抛物线的顶点坐标是（ ）． A．(2,1)

B．(2,1) C．(2,1) D． (2,1)

22 1.本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷共 2 页，第Ⅱ卷共 6 页。 2.本试卷满分120分，考试时间120 分钟。 3.在试卷（包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号。 3.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD∶AB=1∶3，若△ADE的面积等于4，则△ABC的面积等于（ ）．

A．12 B．16 C．24 D．36 4. 如图，在4×4的正方形网格中，tanα 的值等于( ) ．

32213313A． B． C． D．

231313

5．如图，在平面直角坐标系中，以P (4，6)为位似中心，把△ABC缩小得到△DEF，若变换后，点A、B的对应点分别为点D、E，则点C的对应点F的坐标应为（ ）．

A. (4，2) B. (4，4) C. (4，5) D. (5，4)

α第4题图

6．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据,根据所测数据不能求出A，B间距离的是（ ）． ．． A．BC，∠ACB； B．DE，DC，BC；

C． EF，DE，BD； D．CD，∠ACB，∠ADB． 7．将抛物线 y2x21 绕原点O旋转180°，则旋转后 的抛物线的解析式为（ ）． A． y2x2 D．y2x21

8．如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥．当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）．

B． y2x21

C． y2x21

图（1） 图（2）

A．y121x B．y2x2 C．y2x2 D．yx2 2229．二次函数yaxbxc的部分对应值如下表：

x y … … －2 5 －1 0 0 －3 1 －4 2 －3 3 0 … … 当函数值y0时，x的取值范围是（ ）．

A． 2x0 B． 1x0 C．1x3 D． 0x2

10．如图，正△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），y=PC2，则y关于x的函数的图象大致为（ ）．

y9y9y9y9A PBCO6xO6xO36xO36xA.B.C.D.

第Ⅱ卷

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．已知△ABC∽△A1B1C1，AB:A1B12:3，则C△ABC：C△A1B1C1= ． 12.已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB4，则cosA= ． 3

13. 点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数yx24x1的图象上，若当1x12,（用“＞”、“＜”、“=”填空） 3x24时，则y1与y2的大小关系是y1 y2．

14．二次函数ymx(2m1)x1 的图像与x轴有两个交点，则m取值范围是 . 15．在研究了平行四边形的相关内容后，老师提出这样一个问题：

“四边形ABCD中，AD∥BC，请添加一个条件，使得四边形ABCD是平行四边形”． 经过思考：小明说“添加AD=BC”；

小红说“添加AB=DC”．

你同意的观点是： ，理由是： ．

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=－x2－2x图象位于x轴上方的部分记作

F1 ，与x轴交于点P1 和O；F2与F1关于点O对称，与x轴另一个交点为P2；F3与F2关于点P2对称，与x轴另一个交点为P3；„．这样依次得到F1，F2，F3，„，Fn，则其中F1的顶点坐标为 ， F8的顶点坐标为 ，Fn的顶点坐标为 （n为正整数，用含n的代数式表示）．

yF1P1OF2P2F3P3F4P4F5P522…x

三、解答题（本题共72分，第17—21题，每小题6分，第22—25题，每小题5分，第26题7分，第27题7分，第28题8分）

17．计算：3tan302cos45sin602sin30．

18．已知:二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过 （－3，0）、（1，0）、（0，－3）三点，

–5–4–3–27654321–1O–1–2–3–4–5123450000y(1)求：二次函数的表达式；

(2)求：二次函数的对称轴、顶点坐标，并画出此二 次函数的图像.

19．已知：如图，□ABCD中，点E在BA的延长线上，

连接CE，与AD相交于点F. （1）求证：△EBC∽△CDF；

（2）若BC＝8，CD＝3，AE＝1，求AF的长．

BAEFx–6–7DC

20. 已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，sinA= 求:AD的长和tanB的值.

21．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，

则水面CD的宽是10米．

（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；

（2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？

第21题图

22．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔

100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔 P的北偏东30°方向上的B处. （1）B处距离灯塔P有多远？

（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上，距离灯塔P

ADB4，AB=13，CD=12， 5C

200海里的O处.已知圆形暗礁区域的半径为50海里， 进入圆形暗礁区域就有触礁的危险.请判断若海轮到达 B处是否有触礁的危险，请写出你的解答思路．

23．已知：如图，在四边形ABCD中，∠C＝60º，∠B＝∠D＝90º，

AD＝2AB，CD＝3. 求： BC的长.

DACB

24．在平面直角坐标系xOy中，点P(x,y)经过变换得到点P(x,y)，该变换记作

xaxby,(x,y)(x,y)，其中(a,b为常数)．例如，当a1，且b1时，

yaxby(2,3)(1,5)．

(1) 当a1，且b2时，(0,1)= ； (2) 若(1,2)(0,2)，则a= ，b= ；

(3) 设点P(x,y)是直线y2x上的任意一点，点P经过变换得到点P(x,y)．若点P与点P重合，求a和b的值．

25．动手操作：小明利用等距平行线解决了二等分线段的问题.

作法：

（1）在e上任取一点C，以点C为圆心，AB长为半径画弧交c于点D，交d于点E； （2）以点A为圆心，CE长为半径画弧交AB于点M； ∴点M为线段AB的二等分点.

图1

解决下列问题：（尺规作图，保留作图痕迹）

（1）仿照小明的作法，在图2中作出线段AB的三等分点；

图2

（2）点P是∠AOB内部一点，过点P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，请找出一个满

足下列条件的点P. （可以利用图1中的等距平行线）

①在图3中作出点P，使得PMPN； ②在图4中作出点P，使得PM2PN.

图3 图4

26．小东同学在学习了二次函数图像以后，自己提出了这样一个问题：

11(x1)2的图象与性质。 2x1112小东根据学习函数的经验，对函数y(x1)的图象与性质进行了如下探究：

2x1探究：函数y下面是小东的探究过程，请补充完成： (1)函数y11(x1)2的自变量x的取值范围是___________； 2x112 231553  818(2)下表是y与x的几组对应值。 x y „ „ 2 1 0 25 63 21 24 355 183 217 82 3 4 m „ „ 3 25 2则m的值是 ；

(3)如下图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； yO12x

(4)小东进一步探究发现，该函数图象在第一象 限内的最低点的坐标是(2,)，结合函数的图象， 写出该函数的其他性质（一条即可）：___________．

27． 如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点E是BC边上一点，∠DEF=45°

且角的两边分别与边AB，射线CA交于点P，Q.

（1）如图2，若点E为BC中点，将∠DEF绕着点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P，

EF与CA的延长线交于点Q.设BP为x，CQ为y，试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）如图3，点E在边BC上沿B到C的方向运动（不与B，C重合），且DE始终经过

点A,EF与边AC交于Q点．探究：在∠DEF运动过程中，△AEQ能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．

32

28．已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．

（1）①如图2，求出抛物线yx2的“完美三角形”斜边AB的长； 一 选 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10 择 A B D C B B D A C D 题 ②抛物线yx2+1与yx2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是 ； （2）若抛物线yax2+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值；

（3）若抛物线ymx22x+n5的“完美三角形”斜边长为n，且ymx22x+n5的最大值为-1，求m，n的值．

yyy=x2ABOyAMBO(M)1xOxx图1图2备用图

二填 空 题

1411． 2015---20162:3； 12． ； 13． ＜； 14． m且m0 学年度北京市第十三中学分校5416．(-1，1) (13，-1) （2n-3，(-1)n+1）． 15．小明（1分）；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（2分）第一学期期中 九年级 数学答案 ； 17．计算：． 解：

3tan3002cos450sin6002sin300

2331 „„„„„„„„„„„„„„„„ 4分 22223231 2 332321. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 6分 218．解：（1）∵二次函数的图象经过（－3，0）、（1，0）两点

∴设二次函数解析式为:yax1x3 又∵图象经过（0，－3）点 ∴3a0103 解得: a1

∴二次函数解析式为: yx2x3„„„„„„„„„„„„„„„„ 3分 （2）∵ yx2x3(x1)4

∴二次函数的对称轴为：直线x1；顶点坐标为：1,4

列表、画图像正确 „„„„„„„„„„ 6分

19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

222

∴∠B=∠D，AB∥CD.

∴∠E=∠FCD„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 ∴△EBC∽△CDF. „„„„„„„„„„„„„„„3分

（2）解：∵△EAF∽△EBC，

∴

EAFDEAAF1AF，即. EBBC138BC解得AF2.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 20. 解：

在△ACD中，∵CD⊥AB, sinA=

4, CD=12 5C∴AC=15．……………………………………2分 ∴AD=9…………………………………………3分 ∵AB=13

∴BD=4 …………………………………4分 在Rt△CDB中， tanB=3. ……………6分

21．解：（1）设抛物线解析式为yax2

设点B(10,n)，点D(10,n3) „„„„„„„1分 由题意：

ADBn100a n325an4解得1 „„„„„„„2分

a25 ∴y12x „„„„„„„3分 2519 25 （2）方法一：

当x3时，y ∵9(4)3.6 „„„„„„„5分 25 ∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．„„„„„„„6分

方法二：

当y3.642212x 时，5525∴x10

∵103 „„„„„„„5分

∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．„„„„„„„6分 22．

解：（1）作PC⊥AB于C.（如图4）

在Rt△PAC中，∠PCA=90°，∠CPA=90°=45°. 45° ∴PCPAcos451002502. ………………2分 2 在Rt△PCB中，∠PCB=90°，∠PBC=30°. ∴PB2PC1002.

答：B处距离灯塔P有1002海里. …………………3分

（2）若海轮到达B处没有触礁的危险.

理由如下：

∵OBOPPB2001002， 而1002150， ∴2001002200150. ∴OB50.

5分

4分

∴B处在圆形暗礁区域外，没有触礁的危险.

23．解：延长DA、CB交于点E ………………1分 在Rt△CDE中，tanC=

DE3， CDADcosC

CD1EC2

∴DE33，EC6………………………2分 AD=2AB

设ABk，则AD2k

∴∠C＝60º，∠B＝∠D＝90º ∴∠E＝30º

BCsinE 在Rt△ABE中，

AB1AB3tanEAE2，EB3

∴AE2AB2k，EB3AB3k

∴DE4k33 解得：k33………………………4分 49915BC64，44………………………5分

EB

24．解：(1)(0,1)=(2,2)； ……………………… 1分

(2)a=1，b=

12； ……………………… 3分

(3) ∵点P(x,y)经过变换得到的对应点P(x,y)与点P重合， ∴(x,y)(x,y).

∵点P(x,y)在直线y2x上， ∴(x,2x)(x,2x). ∴xax2bx,2xax2bx. ……………………………… 4分

(1a2b)x0,即

(2a2b)x0.∵x为任意的实数，

3a,1a2b0,2∴ 解得

12a2b0.b.4∴a

25. 解：（1）

32，b14. ………………… 5分

……………………2分

（注：直接等分不给分，在等距平行线上有正确痕迹的给分,作出一个给1分.）

(2)① ②

……………………4分 ……………………5分

26. 解：(1) 变量x的取值范围是x1；…1分

(2) m的值是

29 ………………3分 6(3) 如图 ………………5分

(4) 该函数的其他性质………………7分 当x＜1时，y随x的增大而减小； 当1＜x＜2时，y随x的增大而减小；等

27．解：（1）∵ ∠BAC=90°，AB=AC=2，

∴ ∠B=∠C，BC22．

又∵FEBFEDDEBEQCC,DEFC, ∴ ∠DEB=∠EQC. ∴ △BPE∽△CEQ． ∴

BPCE． BECQ设BP为x，CQ为y， ∴

x2． y22． x∴ y自变量x的取值范围是0＜x＜1． ……………………………..3分

（2）解：∵ ∠AEF=∠B=∠C,且∠AQE＞∠C,

∴ ∠AQE＞∠AEF . ∴ AE≠AQ .

当AE=EQ时，可证△ABE≌ECQ. ∴ CE=AB=2 .

∴ BE=BC-EC=222.

当AQ=EQ时，可知∠QAE=∠QEA=45°. ∴ AE⊥BC .

∴ 点E是BC的中点.

∴ BE=2.

综上，在∠DEF运动过程中，△AEQ能成等腰三角形，此时BE的长为222 或

2. ……………………………..7分

28．解：

（1）①过点B作BN⊥x轴于N，

由题意可知△AMB为等腰直角三角形，AB∥x轴，

易证MN=BN，设B点坐标为（n，-n），代入抛物线yx2， 得nn2，

∴n1，n0（舍去），

∴抛物线yx2的“完美三角形”的斜边AB2．…..…………….……… 1分

②相等；…..…………….……………………………………………..…… 2分 （2）∵抛物线yax2与抛物线yax24的形状相同， ∴抛物线yax2与抛物线yax24的“完美三角形”全等，

∵抛物线yax2+4的“完美三角形”斜边的长为4，………………………..….… 3分 ∴抛物线yax2的“完美三角形”斜边的长为4， ∴B点坐标为（2，2）或（2，-2）， ∴a=1．…..………………………………………………….… 4分（一个答案1分） 2

（3）∵ymx22x+n5的最大值为-1， ∴

4mn544m5分

1，…………………………………………………………………………….…

∴mn4m10，

∵抛物线ymx22x+n5的“完美三角形”斜边长为n， ∴抛物线ymx2的“完美三角形”斜边长为n， ∴B点坐标为,，

n2n22nn∴代入抛物线ymx，得， m22∴mn2（n0不合题意舍去），………………………………………….……………. 6分

∴m，∴

234n8．…..……………………………………………………………..….….…… 8分 3