可能性分布与mass函数

数学教学研究　可能性分　与ｎｌａｓｓ函数　李红霞　（陇尔学院数学与廊川数学系，Ｈ肃庆ｍ　７．１５ｌ００）　摘　要：本文首先给出了利用单调集的可能性ｊ她度推测可能性分布的方法．其次得到了根据有限论　域上单调集的可能性测度可以构造论域上的一个㈨・ｓｓ函数．同时．论域上协调的ｍ￣ｌｓｓ函数可以得　到论域上的可能性测度．进而得到其可能性分布．　关键词：可能性；可能性分布；模糊测度；可能性测度　中图分类号：（）ｌ５９　可能性理论最初是巾Ｚａｄｅｈ　。建立的．　则称Ｔ１为Ｘ的可能性测度．　是与模糊集密切相关的一种处理不确定性问　１Ｉｒ为Ｘ的可能性测度．记丌（　）一丌｛．Ｔ｝，　题的理论。可能性将随机性所无法表达的另　称丌：Ｘ一［０。１］为Ｘ　的可能性分布．若存　一种模糊现象，透过可能性测度来表现，从而　在　。∈Ｘ，使得丌（　。）一１．则称丌为Ｘ　的　使可能性理论成为与概率论平行前进的另一　正规可能性分布．　种处理不确定性的理论．与概率论，证据理论　定义１．２ｆ。　称　：妒（Ｘ）一［０，１］为　比较起来．可能性理论更方便地适合于评价　ｍａｓｓ函数，若满足：　的合成，传递与修正，在人工智能中起着更重　（１）７　（　）＝０；　要的作用．可能性理论中两个主要的概念是　（２）∑＾：ｘ　２（Ａ）一１．　可能性测度与可能性分布，可能性测度与可　设”　是Ｘ上的ｍａｓｓ函数，对于　（Ａ）　能性分布的关系类似于概率中的概率测度与　＞０的集合有序关系Ａ　Ａ：　…　Ａ　，则称　概率分布的关系．但是。可能性测度不具有概　Ｈｌａｓｓ函数是协调的．　率测度的可加性条件，而具有极大性．对一个　２可能性测度与可能性分布　事物的评价等于构成这个事物的两个不相容　根据可能性分布很容易得到可能性测　事物评价的最大值．Ｉ．）＝；ｉ此由可能性测度推测　度，但是根据可能性测度推知可能性分布就　可能　：分布是值得讨论的问题．本文给出了　值得我们探讨．下面我们用单调集的可能性　利删单凋集的可能性测度推测可能件分布的　测度来得到其可能性分布．　方法．同时．讯据有限论域一ｈ单调集的可能性　定义２．１设丌：　（Ｘ）一［０，１］为可能性　测度可以构造论域．卜的一个ｍａｓｓ函数．论域　测良，且Ｔ『（Ａ　）＝ｄ，，ｉ一１，２，…．ｎ．若对于任　｝：协凋的ｎｌａＳＳ函数可以得到论域一卜的可能　意∞＜“　，都有Ａ　Ａ，，则称｛Ａ　｝为单调集．　性测度．进而得到其可能性分布．　在实际应用中，我们得到的集类往往不　１预备知识　是单凋的，需要进行单调化修正．从测度最小　用　（Ｘ）表示有限集合Ｘ上子集合的全体．　的集开始，逐步扩大得到单凋集．下面我们用　定义１．１［：　称＿ｒｒ：　（Ｘ）一［Ｏ．１］为可能　具体例子来说明．　性测度，若满足：　４　２．２　没Ｘ＝：｛　ｌ，　！．　｛．　；．　－　．　６，　（１）Ｉｌ（　）一０，丌（Ｘ）一１；　．Ｔ７｝．ｔ己ＡＩ一（、ｒＩ，　ｒ４．　７｝，Ａ！一｛Ｊ’！　’　｝，Ａ｛一　（２）Ⅱ（ＡＵＢ）一＿【『（Ａ）Ｖ兀（Ｂ）．　（ｊ’ｌ，．ｒ　｝，Ａｌ一｛．ｒ　；．　’　｝，Ａ￡：＝＝｛．ｚ’：，　’ｓ｝，Ａ　＝：　收稿日期：２０儿一０卜Ｏ４　作者简介：李红霞（１９７／）　）．女，颐士．主要研究方向为模糊分析学、粗糙集理沧及其　确定推理　数学教学研究　拄第３湖　２Ｏ１　１年３月　｛　ｒ　｝．Ａ　＝＝｛　ｒ　，　ｒ｝．　１Ｉ｛　一¨（ｔ３　／ｔ３．）＝０．９．　其对应的可能性测度分别为：ＩＩ（Ａ　）＝＝＝　０．９，ＴＩ（Ａ　）一ｌ。Ｉ～ｆ（Ａ　）一０．８．１ｌ（　、　）一０．３．　兀｛ｊ　：＝：１Ｔ（Ｂ　／１３　）一１．　卜述方法，基于我们对钳Ｉ　的掌擗程度．　『Ｔ（Ａ。）一０．　，１１（Ａ　）一０．２．兀（Ａ一）一０．７．　如果知道的知ｉ只越　备．得到的分布越精确．　３可能性分布与ｍａｓｓ函数　从测度最小的集开始．我们可以得到其　对应单调集｛Ｂ，７．　Ｂｌ＝Ａ６＝｛　＾｝．　利用单渊集测度，我们可以得剑Ｘ卜的　一个ＩＩ）ａｓｓ　数，作为合成证据和推理的依据．　定理３．１　没｛Ａ，｝为单调集，ＴＴ（Ａ　）一　Ｂ：：Ｂ１　Ｕ　ＡＩ＝｛　６，　’　｝．　Ｂ：｛＝Ｂ：ＵＡｊ＝二－｛　ｒ！，　ｚ’　２’　｝，　“　（　１＜“！＜…＜　．　：１．　Ｂ４：Ｂ：ｌ　ＵＡ　＝＝：｛ｊ’！。、　，ｊ’　．ｊ’　｝。　／　、　Ｂｊ＝Ｂ｛ＵＡ　｛一｛Ｌｚ’１，　，　，』’　，　’７｝．　（、＿Ｊ　Ａ　，　・　Ｂｓ：Ｂｓ　Ｕ　Ａ１一｛　ｌ，　’　，丁４．　ｉＬ－　，ｊ’６，　７｝，　ｌＡ　ｌ／Ａ，，　一２，…川　Ｂ７：　ＵＡ：一｛．／７ｌ，　：，　｛．　Ｉ，　，．　．』’７　．　则　单调集｛Ｂ　｝对应的可能性测度为：　Ⅱ（Ｂ　）一Ⅱ（Ａ　）一０．２，　ｃ　一　丌（Ｂ：）一兀（Ｂ　ＵＡ　）　构成了　上的一个　一ｍａｘ｛Ｉｉ（Ｂ１），１１（Ａ　）｝一０．３。　证明　屁然　ＩＩ（Ｂ。）一丌（Ｂ！ＵＡ　）　＝／ＴＩａＸ｛丁Ｉ（Ｂ！），Ⅱ（Ａｊ））一０．５．　，”（ｃ，）一１．　ｉ　ｌ　ＩＩ（Ｂ　）＝＝：Ⅱ（Ｂ　ＵＡ　）　定理３．２　没ｍ为协调的ｍａｓｓ函数，且　一ｍａｘ｛ＩＩ（１３　），ＩＩ（Ａ　）｝一０．７，　使，，ｚ（Ａ）＞０的集合有序关系Ａ　Ａ：　…　丌（ｔ３　）一ｌ－［（Ｂ　ＵＡ。）　Ａ，，对任意Ａ　ｃ　，令Ⅱ（Ａ）一∑　ｎ　≠　，ｏｌ　一ｍａｘ｛Ⅱ（Ｂ４），ＩＩ（Ａ３）｝一０．８，　（Ａ，），则兀构成了可能性测度．　Ⅱ（Ｂ　）＝ＩＩ（Ｂ　ＵＡ　）　证明　对于　中任意集合Ａ和Ｂ，记　一ｍａｘ｛Ⅱ（／３　），Ⅱ（Ａ　）｝一０．９，　，：ｍｉｎ｛ｉｌＡ，ｆ３Ａ≠　），　Ⅱ（Ｂ　）一ＩＩ（Ｂ。ＵＡ：）　ｉ：一ｍｉｎ｛　｛Ａ，ｎＢ≠　），　一ｍａｘ｛ＴＴ（Ｂ６），ＩＩ（Ａ：）｝：１．　则Ａｆ　ｎ（Ａ　Ｕ　Ｂ）≠　当且仅当　≥ｍｉｎ｛ｉ　，　根据单调集的可能性测度及其可能性测度　！｝，于是　的性质，容易得到下列求可能性分布的方法：　定理２．３　没｛Ａ　为单调集，ＩＩ（Ａ　）一　ｎ（ＡｕＢ）一　∑　ｚ（Ａ　）　ｍＩ【　ｌ１・１２　“，。“１＜：“２＜…＜：“　，贝４　ＩＩ（Ａ　＋ｌ／Ａ　）一“，＋ｌ，　一ｍａｘ＝＝：１，２，…，，　一１．兀（Ａ　）一“　为Ｘ上的可能　｛∑，ｌ…１　，２（Ａ），ｉ∑，　２　　（Ａ，）｝ｊ　　性分布．　—ＩＩ（Ａ）Ｖ丌（Ｂ）．　在例２．２中，对于单调集测度｛Ｂ　｝，我们　即Ⅱ构成了可能性测度．　可以得到Ｘ＿ｌ卜的可能性分布，　参考文献　１｛　｝＝丌（Ｂ　）＝＝＝０．２，　［１］Ｉ　．Ａ．Ｚａｄｅｈ．ｆｕｚｚｙ　ｓｅｔｓ　ａｓ　ａ　ｂａｓｉｓ　ｆｏｒ　ａ　ｔｈｅｏｒｙ　ｎ｛　７｝一ｌＩ（Ｂ！／＇Ｂ　）一０．３，　ｏｆ　ｐｏｓｓｉｂｉｌｉｔｙ．Ｆｕｚｚｙ　ｓｅｔｓ　ａｎｄ　Ｓｙｓｔｅｍｓ　１００　ｓｕｐ—　ＴＴ｛．７ｃ：｝一Ｔ丁（Ｂ。／Ｂ：）一０．　，　ｐｌｅｍｅｎｔ（１【）９９）９－３　１．　Ⅱ｛　｝一兀（Ｂ　／　Ｂ）＝＝０．７，　［２　张文修，梁怡．徐萍．基于包含度的不确定推理　Ⅱ｛ｚ　｝一ｌＩ（Ｂ　／Ｂ　）一０．８，　［Ｍ］．北京：清华大学出版社．２００７．