二次函数知识点总结及分类试题[精华篇]

二次函数知识点

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数yax2bxc的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵ a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：yax2的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a0 0，0 0，0 y轴 x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值0． x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值0． a0 向下 y轴

2. yax2c的性质： 上加下减。 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a0 0，c 0，c y轴 x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值c． x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值c． a0 向下 y轴

3. yaxh的性质：

左加右减。 4.

a的符号 2开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a0 h，0 h，0 X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0． xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0． a0 向下 X=h yaxhk的性质：

. .专业知识分享. .

2. WORD格式整理. .

三、二数图平移

1. 骤：

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 次函象的

a0 h，k h，k X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k． xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k． a0 向下 X=h 平移步

2k； 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h，k处，具体平移方法如下： ⑵ 保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：

⑴yaxbxc沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，yaxbxc变成

22yax2bxcm（或yax2bxcm）

⑵yaxbxc沿轴平移：向左（右）平移m个单位，yaxbxc变成ya(xm)b(xm)c（或

222ya(xm)2b(xm)c）

四、二次函数yaxhk与yax2bxc的比较

从解析式上看，yaxhk与yax2bxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即b4acb2b4acb2yax，其中h，． k2a4a2a4a222五、二次函数yax2bxc图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya(xh)2k，确定其开口方向、对称轴及c、顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0，. .专业知识分享. .

. WORD格式整理. .

c关于对称轴对称的点2h，c、与x轴的交点x1，0，x2，0（若与x轴没有交点，则取两组关于以及0，对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.

六、二次函数yax2bxc的性质

b4acb2b 1. 当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为，．

2a4a2a4acb2bbb当x时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大；当x时，y有最小值．

4a2a2a2ab4acb2bb 2. 当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x，顶点坐标为，时，y随x的增．当x2a4a2a2a4acb2bb大而增大；当x时，y随x的增大而减小；当x时，y有最大值．

4a2a2a七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）； 2. 顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；

3. 两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线

与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

二次函数yax2bxc中，a作为二次项系数，显然a0．

⑴ 当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； ⑵ 当a0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a0的前提下，

当b0时，当b0时，当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab0，即抛物线对称轴在y轴的右侧． 2a⑵ 在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即 当b0时，当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2a. .专业知识分享. .

. WORD格式整理. .

b0，即抛物线对称轴在y轴的左侧． 2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置． 当b0时，ab的符号的判定：对称轴xb在y轴左边则ab0，在y轴的右侧则ab0，概括的说就是“左同右2a异” 总结：

3. 常数项c

⑴ 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置． 总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称

yax2bxc关于x轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

22 2. 关于y轴对称

yax2bxc关于y轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

22 3. 关于原点对称

yax2bxc关于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc； yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是yaxhk； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

22b2 yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是yaxbxc；

2a22yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是yaxhk．

22n对称 5. 关于点m，. .专业知识分享. .

. WORD格式整理. .

yaxhk关于点m，n对称后，得到的解析式是yaxh2m2nk

22 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

十、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数：

0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次方程① 当b24ac0时，图象与x轴交于两点Ax1，b24acaxbxc0a0的两根．这两点间的距离ABx2x1.

a2② 当0时，图象与x轴只有一个交点；

③ 当0时，图象与x轴没有交点.

1' 当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0；

2'当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0． 2. 抛物线yax2bxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数yax2bxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2bxc(a0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以

a0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

0 抛物线与x轴有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 0 0 抛物线与x轴只有一个交点 抛物线与x轴无交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根. 图像参考：

. .专业知识分享. .

. WORD格式整理. .

y=2x2y=x22y=x2

y=2x2+2y=2x2y=2x2-4y=2x2y=2(x-4)2y=2(x-4)2-3

. .专业知识分享. 2y= -x2y= -x2y=-2x2

y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2

.

. WORD格式整理. .

十一、函数的应用

刹车距离二次函数应用何时获得最大利润

最大面积是多少

二次函数考查重点与常见题型

1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：

已知以x为自变量的二次函数y(m2)xmm2的图像经过原点， 则m的值是

2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数

的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数ykxb的图像在第一、二、三象限内，那么函数ykxbx1的图像大致是（ ）

y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综

合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x2225，求这条抛物线的解析式。 34． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 3

已知抛物线yax2bxc（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－ 2（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 【例题经典】

由抛物线的位置确定系数的符号

例1 （1）二次函数yax2bxc的图像如图1，则点M(b,)在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2

（2）已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，•则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（ ）

. .专业知识分享. .

ca. WORD格式整理. .

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

(1) (2)

【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键．

例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且12)的下方．下列结论：①aO；③4a+cO，其中正确结论的个数为( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D．4个 答案：D

会用待定系数法求二次函数解析式

例3.已知：关于x的一元二次方程ax+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax+bx+c的对称轴是直线x=2，则

2

2

抛物线的顶点坐标为( )

A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D．(3，2) 答案：C 例4、（2006年烟台市）如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD

2

重合．设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym． （1）写出y与x的关系式；

（2）当x=2，3.5时，y分别是多少？ （3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时， 三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、 对称轴.

例5、已知抛物线y=

125x+x-． 22

（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．

【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系． 例6.已知：二次函数y=ax-(b+1)x-3a的图象经过点P(4，10)，交x轴于A(x1,0)，B(x2,0)两点(x1x2)，交y

2

轴负半轴于C点，且满足3AO=OB．

(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M，使锐角∠MCO>∠ACO?若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由．

(1)解：如图∵抛物线交x轴于点A(x1，0)，B(x2，O)， 则x1·x2=3<0，又∵x1∴x2>O，x122

∴x1·x2=-3x1=-3．∴x1=1. x1<0，∴x1=-1．∴．x2=3．

∴点A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2 b=3

2

∴．二次函数的解析式为y-2x-4x-6． (2)存在点M使∠MC0<∠ACO．

(2)解：点A关于y轴的对称点A’(1，O)，

∴直线A，C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为(0，-6)，(5，24)． ∴符合题意的x的范围为-1. .专业知识分享. .

. WORD格式整理. .

当点M的横坐标满足-1∠ACO． 例7、 “已知函数y12， xbxc的图象经过点A（c，－2）

2

求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。

（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。

（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。

点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A（c，－2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。 [解答] （1）根据y12，图象的对称轴是x=3，xbxc的图象经过点A（c，－2）

2得

122cbcc2,b3,解得 b3,c2.122所以所求二次函数解析式为y（2）在解析式中令y=0，得

12x3x2.图象如图所示。 212x3x20，解得x135,x235. 2所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3+5,0)”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是(35,0). 令x=3代入解析式，得y所以抛物线y5, 2125x3x2的顶点坐标为(3,),

225所以也可以填抛物线的顶点坐标为(3,)等等。

2函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。

用二次函数解决最值问题

例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．

【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．

例2 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）•与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：

x（元） 15 20 30 … y（件） 25 20 10 … 若日销售量y是销售价x的一次函数． （1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；

（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？•此时每日销售利润是多少元？

. .专业知识分享. .

. WORD格式整理. .

【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则5kb25,1202kb 解得k=-1，b=40，•即一次函数表达式为y=-x+40．

（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元

22

w=（x-10）（40-x）=-x+50x-400=-（x-25）+225．

产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．

【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，•“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）•问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．

例3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙

两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5 m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示) ( )

A．1．5 m B．1．625 m C．1．66 m D．1．67 m 分析：本题考查二次函数的应用 答案：B

. .专业知识分享. .

. WORD格式整理. .

分类试题

二次函数的定义

（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 .

222

①y=x－4x+1； ②y=2x； ③y=2x+4x； ④y=－3x；

2

⑤y=－2x－1； ⑥y=mx+nx+p； ⑦y =(4,x) ； ⑧y=－5x。

2

2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t+2t，则t＝4秒时，该物体所经过的路程为 。

22

3、若函数y=(m+2m－7)x+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为 。

m －2

4、若函数y=(m－2)x+5x+1是关于x的二次函数，则m的值为 。 6、已知函数y=(m－1)x

m2 +1

+5x－3是二次函数，求m的值。

二次函数的对称轴、顶点、最值

4ac-b

（技法：如果解析式为顶点式y=a(x－h)+k，则最值为k；如果解析式为一般式y=ax+bx+c则最值为

4a

22

1．抛物线y=2x+4x+m－m经过坐标原点，则m的值为 。

2

2．抛物y=x+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝ ，c＝ .

2

3．抛物线y＝x＋3x的顶点在( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2

4．若抛物线y＝ax－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )

2

2

2

A.13 B.10 C.15 D.14 2

5．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax＋bx＋c( ) A.开口向上，对称轴是y轴 B.开口向下，对称轴是y轴 C.开口向下，对称轴平行于y轴 D.开口向上，对称轴平行于y轴

12

6．已知抛物线y＝x＋(m－1)x－ 的顶点的横坐标是2，则m的值是_ .

4

2

7．抛物线y=x+2x－3的对称轴是 。

2

8．若二次函数y=3x+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝ 。

n

9．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)x＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.

2

10．已知二次函数y=x－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y的最小值为0.

2

11．已知二次函数y=mx+(m－1)x+m－1有最小值为0，则m＝ ______ 。

2

12．已知二次函数y=x－4x+m－3的最小值为3，则m＝ 。

2

函数y=ax+bx+c的图象和性质

2

1．抛物线y=x+4x+9的对称轴是 。

. .专业知识分享. .

. WORD格式整理. .

2．抛物线y=2x－12x+25的开口方向是 ，顶点坐标是 。

3．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x＝－2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 。

4．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：

12122

（1）y= x－2x+1 ； （2）y=－3x+8x－2； （3）y=－ x+x－4

24

22

5．把抛物线y=x+bx+c的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x－3x+5，试求b、c的值。

2

6．把抛物线y=－2x+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。

7．某商场以每台2500元进口一批彩电。如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？

2

函数y=a(x－h)的图象与性质

1．填表：

抛物线 开口方向 对称轴 y3x2 22

顶点坐标 y2

21x32 22 2．已知函数y=2x,y=2(x－4)，和y=2(x+1)。 （1）分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。

222

（2）分析分别通过怎样的平移。可以由抛物线y=2x得到抛物线y=2(x－4)和y=2(x+1)？

2

3．试写出抛物线y=3x经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。

2

（1）右移2个单位；（2）左移 个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。

3

12

4．试说明函数y= (x－3) 的图象特点及性质（开口、对称轴、顶点坐标、增减性、最值）。

2

12

5．二次函数y=a(x－h)的图象如图：已知a= ，OA＝OC，试求该抛物线的解析式。

2

二次函数的增减性

1.二次函数y=3x－6x+5，当x>1时，y随x的增大而 ；当x<1时，y随x的增大而 ；当x=1时，函数有最 值是 。

2

2.已知函数y=4x－mx+5，当x> －2时,y随x的增大而增大；当x< －2时，y随x的增大而减少；则x＝1时,y

. .专业知识分享. .

2

. WORD格式整理. .

的值为 。

2

3.已知二次函数y=x－(m+1)x+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 .

125

4.已知二次函数y=－ x+3x+ 的图象上有三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且322

为 .

二次函数的平移

技法：只要两个函数的a 相同，就可以通过平移重合。将二次函数一般式化为顶点式y=a(x－h)+k，平移规律：左加右减，对x；上加下减，直接加减

32

6.抛物线y= － x向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的关系式为 。

222

7.抛物线y= 2x， ，可以得到y=2(x+4}－3。

2

8.将抛物线y=x+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。

2

9.如果将抛物线y=2x－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。

22

10.将抛物线y=ax+bx+c向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x－4x－1则a＝ ，b＝ ，c＝ .

2

11.将抛物线y＝ax向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为 _.

2

函数的交点

11.抛物线y=x+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为 。

2

12.直线y=7x+1与抛物线y=x+3x+5的图象有 个交点。

2

函数的的对称

13.抛物线y=2x－4x关于y轴对称的抛物线的关系式为 。

22

14.抛物线y=ax+bx+c关于x轴对称的抛物线为y=2x－4x+3，则 a= b= c=

2

函数的图象特征与a、b、c的关系

1.已知抛物线y=ax+bx+c的图象如右图所示，则a、b、c的符号为（ ） A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c=0

C.a>0,b<0,c=0 D.a>0,b<0,c<0

2

2.已知抛物线y=ax+bx+c的图象2如图所示，则下列结论正确的是（ ） A．a+b+c> 0 B．b> -2a C．a-b+c> 0 D．c< 0

2

3.抛物线y=ax+bx+c中，b＝4a，它的图象如图3，有以下结论：

2

①c>0； ②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b-4ac<0 ⑤abc< 0 ；其中正确的为（ ）

A．①② B．①④ C．①②③ D．①③⑤

2

4.当b<0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（ ）

2

5.已知二次函数y＝ax＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是图所示的( ) yyyy

O1x 1xO1xO1Ox

DABC

. .专业知识分享. .

2

. WORD格式整理. .

6．二次函数y＝ax＋bx＋c的图象如图5所示，那么abc，b－4ac， 2a＋b，a＋b＋c 四个代数式中，值为正数的有( )

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

c2

7.在同一坐标系中，函数y= ax+c与y= (ax

22

A B C D

k22

8.反比例函数y= 的图象在一、三象限，则二次函数y＝kx-kx-1c的图象大致为图中的（ ）

x

A B C D

k2

9.反比例函数y= 中，当x> 0时，y随x的增大而增大，则二次函数y＝kx+2kx的图象大致为图中的（ ）

x

A B C D

2

10.已知抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论： ①a，b同号； ②当x＝1和x＝3时，函数值相同； ③4a＋b＝0; ④当y＝－2时，x的值只能取0； 其中正确的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2

11.已知二次函数y＝ax＋bx＋c经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线y＝ax＋bc不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

二次函数与x轴、y轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）

1. 如果二次函数y＝x＋4x＋c图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝ （写一个即可）

2

2. 二次函数y＝x-2x-3图象与x轴交点之间的距离为

2

3. 抛物线y＝－3x＋2x－1的图象与x轴交点的个数是( )

A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点

2

4. 如图所示，二次函数y＝x－4x＋3的图象交x轴于A、B两点， 交y 轴于点C， 则△ABC的面积为( ) A.6 B.4 C.3 D.1

492

5. 已知抛物线y＝5x＋(m－1)x＋m与x轴的两个交点在y轴同侧，它们的距离平方等于为 ，则m的值为( )

25

A.－2 B.12 C.24 D.48

2

6. 若二次函数y＝(m+5)x+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方，则m 的取值范围是

2

7. 已知抛物线y＝x-2x-8，

（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。

. .专业知识分享. .

2

. WORD格式整理. .

函数解析式的求法

一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax+bx+c，然后解三元方程组求解； 1．已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。

2．已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点且BC＝5，求该二次函数的解析式。

二、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a(x－2

h)+k求解。

3．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。

4．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P（2，0）点，求二次函数的解析式。

三、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x－x1)(x－x2)。 5．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。

6．已知x＝1时，函数有最大值5，且图形经过点（0，－3），则该二次函数的解析式 。

2

7．抛物线y=2x+bx+c与x 轴交于（2，0）、（－3，0），则该二次函数的解析式 。

22

8．若抛物线y=ax+bx+c的顶点坐标为（1，3），且与y=2x的开口大小相同，方向相反，则该二次函数的解析式 。

2

9．抛物线y=2x+bx+c与x 轴交于（－1,0）、（3,0），则b＝ ，c＝ . 10．若抛物线与x 轴交于(2，0)、（3，0），与y轴交于(0，－4)，则该二次函数的解析式 。 11．根据下列条件求关于x的二次函数的解析式 （1）当x=3时，y最小值=－1，且图象过（0，7）

3

（2）图象过点（0，－2）（1，2）且对称轴为直线x= 2

（3）图象经过（0，1）（1，0）（3，0）

（4）当x=1时，y=0; x=0时,y= －2，x=2 时，y=3

. .专业知识分享. .

2

. WORD格式整理. .

（5）抛物线顶点坐标为（－1，－2）且通过点（1，10）

11．当二次函数图象与x轴交点的横坐标分别是x1= －3，x2=1时，且与y轴交点为（0，－2），求这个二次函数的解析式

2

12．已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x 轴交于(2，0)、（4，0），顶点到x 轴的距离为3，求函数的解析式。

111

13．知二次函数图象顶点坐标（－3， ）且图象过点（2， ），求二次函数解析式及图象与y轴的交点坐标。

22

14．已知二次函数图象与x轴交点(2,0)， (－1,0)与y轴交点是(0,－1)求解析式及顶点坐标。

12

15．若二次函数y=ax+bx+c经过（1，0）且图象关于直线x= 对称，那么图象还必定经过哪一点？

2

22

16．y= －x+2(k－1)x+2k－k，它的图象经过原点，求①解析式 ②与x轴交点O、A及顶点C组成的△OAC面积。

122

17．抛物线y= (k－2)x+m－4kx的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= － x+2上，求函数解析式。

2

二次函数应用

(一）经济策略性

1.某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。经检验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件。假定每月销售件数y(件）是价格X的一次函数. (1)试求y与x的之间的关系式.

(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少？（总利润=总收入－总成本）

. .专业知识分享. .

. WORD格式整理. .

2.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。 （1）设X天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于X的函数关系式。

（2）如果放养X天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售额为Q元，写出Q关于X的函数关系式。 （2）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额—收购成本—费用），最大利润是多少？

3.某商场批单价为25元的旅游鞋。为确定 一个最佳的销售价格，在试销期采用多种价格进性销售，经试验发现：按每双30元的价格销售时，每天能卖出60双；按每双32元的价格销售时，每天能卖出52双，假定每天售出鞋的数量Y（双）是销售单位X的一次函数。 (1)求Y与X之间的函数关系式；

(2)在鞋不积压，且不考虑其它因素的情况下，求出每天的销售利润W（元）与销售单价X之间的函数关系式； (3)销售价格定为多少元时，每天获得的销售利润最多？是多少？

. .专业知识分享. .