东兴区第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

东兴区第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 为了解决低收入家庭的住房问题，某城市修建了首批108套住房，已知A,B,C三个社区分别有低收入家 庭360户，270户，180户，现采用分层抽样的方法决定各社区所分配首批经济住房的户数，则应从C社 区抽取低收入家庭的户数为（ ）

A．48 B．36 C．24 D．18

【命题意图】本题考查分层抽样的概念及其应用，在抽样考查中突出在实际中的应用，属于容易题． 2． 若函数f（x）=3﹣|x﹣1|+m的图象与x轴没有交点，则实数m的取值范围是（ ） A．m≥0或m＜﹣1 （x）=（ ） A．x3+2x2

B．x3﹣2x2 C．﹣x3+2x2 D．﹣x3﹣2x2

4． 若圆x2y26x2y60上有且仅有三个点到直线axy10(a是实数）的距离为， 则a（ ）

A． 1 B． B．m＞0或m＜﹣1

C．m＞1或m≤0 D．m＞1或m＜0

3． 已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2，则x＜0时，函数f（x）的表达式为f

23 C．2 D． 425． 函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）

A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0

B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0

6． 我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a＝6 102，b＝2 016时，输出的a为（ ）

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精选高中模拟试卷

A．6 B．9 C．12 D．18

7． （文科）要得到gxlog22x的图象，只需将函数fxlog2x的图象（ ）

A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向上平移1个单位 D．向下平移1个单位 8． 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，则CD1与EF所成角为（

A．0° B．45° C．60° D．90°

 已知函数f（x）＝log2（a－x），x＜19．

2x，x≥1若f（－6）＋f（log26）＝9，则a的值为（ ）

A．4 B．3 C．2

D．1

10．下列语句所表示的事件不具有相关关系的是（ ）

A．瑞雪兆丰年

B．名师出高徒 C．吸烟有害健康 D．喜鹊叫喜

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）精选高中模拟试卷

11．已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P

22

的坐标满足不等式x+y≤2的概率为（ ）

A． B． C． D．

12．已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线,A,B为两切点,那么PAPB 的最小值为

A、42 B、32 C、422 D、322

二、填空题

13．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则

= ．

14．将曲线C1:y2sin(x最小值为_________.

4),0向右平移

个单位后得到曲线C2，若C1与C2关于x轴对称，则的6x21,x015．已知函数f(x)，g(x)2x1，则f(g(2)) ，f[g(x)]的值域为 ．

x1,x0【命题意图】本题考查分段函数的函数值与值域等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力. 16．在等差数列{an}中，a12016，其前n项和为Sn，若

S10S82，则S2016的值等于 . 108【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，对等差数列性质也有较高要求，属于中等难度. 17．1785与840的最大约数为 ． 18．若x，y满足线性约束条件

，则z=2x+4y的最大值为 ．

三、解答题

19．某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米． （Ⅰ）求底面积并用含x的表达式表示池壁面积； （Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？

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20．数列{an}中，a18，a42，且满足an22an1an0(nN*). （1）求数列{an}的通项公式； （2）设Sn|a1||a2|

21．已知向量，满足||=1，||=2，与的夹角为120°． （1）求

及|+|；

（2）设向量+与﹣的夹角为θ，求cosθ的值．

22．设0＜a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x2﹣3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B． （1）求集合D（用区间表示）

32

（2）求函数f（x）=2x﹣3（1+a）x+6ax在D内的极值点．

|an|，求Sn.

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23．（本题满分15分）

22正项数列{an}满足anan3an12an1，a11．

（1）证明：对任意的nN，an2an1；

（2）记数列{an}的前n项和为Sn，证明：对任意的nN，2**12n1Sn3．

【命题意图】本题考查数列的递推公式与单调性，不等式性质等基础知识，意在考查推理论证能力，分析和解决问题的能力.

24．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．

（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；

（Ⅱ）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；

（Ⅲ）在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．

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东兴区第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】C

【解析】根据分层抽样的要求可知在C社区抽取户数为108180210824．

36027018092． 【答案】A

|x1|

【解析】解：∵函数f（x）=3﹣﹣+m的图象与x轴没有交点， ∴﹣m=3﹣∴0＜3﹣

|x﹣1|

无解，

∵﹣|x﹣1|≤0，

|x﹣1|

≤1，

∴﹣m≤0或﹣m＞1， 解得m≥0或m＞﹣1 故选：A．

3． 【答案】A

【解析】解：设x＜0时，则﹣x＞0，

323232

因为当x＞0时，f（x）=x﹣2x所以f（﹣x）=（﹣x）﹣2（﹣x）=﹣x﹣2x，

又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），

32

所以当x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=x+2x，故选A．

4． 【答案】B 【解析】

2222试题分析：由圆xy6x2y60，可得(x3)(y1)4，所以圆心坐标为(3,1)，半径为r2，

要使得圆上有且仅有三个点到直线axy10(a是实数）的距离为，则圆心到直线的距离等于

1r，即23aa211，解得a2，故选B. 1 4考点：直线与圆的位置关系.

【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系，其中解答中涉及到圆的标准方程、圆心坐标和圆的半径、点到直线的距离公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和转化的思想方法，本题的解答中，把圆上有且仅有三个点到直线的距离为，转化为圆心到直线的距离等于是解答的关键.

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5． 【答案】A

【解析】解：f（0）=d＞0，排除D， 当x→+∞时，y→+∞，∴a＞0，排除C，

2

函数的导数f′（x）=3ax+2bx+c，

则f′（x）=0有两个不同的正实根， 则x1+x2=﹣

＞0且x1x2=

＞0，（a＞0），

∴b＜0，c＞0，

2

方法2：f′（x）=3ax+2bx+c，

由图象知当当x＜x1时函数递增，当x1＜x＜x2时函数递减，则f′（x）对应的图象开口向上， 则a＞0，且x1+x2=﹣∴b＜0，c＞0， 故选：A

6． 【答案】

【解析】选D.法一：6 102＝2 016×3＋54，2 016＝54×37＋18，54＝18×3，18是54和18的最大公约数，∴输出的a＝18，选D.

法二：a＝6 102，b＝2 016，r＝54， a＝2 016，b＝54，r＝18， a＝54，b＝18，r＝0. ∴输出a＝18，故选D. 7． 【答案】C 【解析】

试题分析：gxlog22xlog22log2x1log2x，故向上平移个单位. 考点：图象平移．

8． 【答案】C

＞0且x1x2=

＞0，（a＞0），

【解析】解：连结A1D、BD、A1B，

∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，∴EF∥A1D， ∵A1B∥D1C，∴∠DA1B是CD1与EF所成角， ∵A1D=A1B=BD， ∴∠DA1B=60°．

∴CD1与EF所成角为60°．

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故选：C．

【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

9． 【答案】

【解析】选C.由题意得log2（a＋6）＋2log26＝9. 即log2（a＋6）＝3，

∴a＋6＝23＝8，∴a＝2，故选C.

10．【答案】D

【解析】解：根据两个变量之间的相关关系，

可以得到瑞雪兆丰年，瑞雪对小麦有好处，可能使得小麦丰收， 名师出高徒也具有相关关系， 吸烟有害健康也具有相关关系， 故选D．

【点评】本题考查两个变量的线性相关关系，本题解题的关键是根据实际生活中两个事物之间的关系确定两个 变量之间的关系，本题是一个基础题．

11．【答案】D

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图， 则对应的区域为△AOB， 由

，解得

，即B（4，﹣4），

由，解得，即A（，），

直线2x+y﹣4=0与x轴的交点坐标为（2，0）， 则△OAB的面积S=

=

，

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22

点P的坐标满足不等式x+y≤2区域面积S=

，

22

则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x+y≤2的概率为

=，

故选：D

【点评】本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件A的基本事件对 应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据几何概型的概率公式进行求解．

12．【答案】D.

PAPBt1【解析】设POt，向量PA与PB的夹角为，，

2sin21t，

22PAPBt223(t1)，依不等式PAPB的最小值为223.

tcos12sin21222PAPBPAPBcos(t1)(1)(t1)，，22tt二、填空题

13．【答案】 1 ．

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【解析】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6， ∴cosC=∴sinC=

=，cosA=

，sinA=

，

=

∴==1．

故答案为：1．

【点评】本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．

14．【答案】6

【解析】解析：曲线C2的解析式为y2sin[(x

)]2sin(x)，由C1与C2关于x轴对

6446称知sin(x)sin(x)，即1cos()sin(x)sin()cos()0x对一切

46464641cos()06xR恒成立，∴∴(2k1)，∴6(2k1),kZ，由0得的最小值为6.

6sin()0615．【答案】2，[1,).

【

解

析

】



16．【答案】2016

17．【答案】 105 ．

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【解析】解：1785=840×2+105，840=105×8+0． ∴840与1785的最大公约数是105．

故答案为105

18．【答案】 38 ．

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z=2x+4y得y=﹣x+，

平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时， 直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大， 由

，解得

，

即A（3，8），

此时z=2×3+4×8=6+32=32， 故答案为：38

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设水池的底面积为S1，池壁面积为S2， 则有

（平方米），

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可知，池底长方形宽为（Ⅱ）设总造价为y，则当且仅当

米，则

，即x=40时取等号，

所以x=40时，总造价最低为297600元． 答：x=40时，总造价最低为297600元．

29nn(n5)20．【答案】（1）an102n；（2）Sn2．

n9n40(n5)【解析】

试题分析：（1）由an22an1an0，所以{an}是等差数列且a18，a42，即可求解数列{an}的通项公式；（2）由（1）令an0，得n5，当n5时，an0；当n5时，an0；当n5时，an0，即可分类讨论求解数列Sn．

当n5时，Sn|a1||a2|29nn(n5)∴Sn2.1

n9n40(n5)|an|a1a2an9nn

2

考点：等差数列的通项公式；数列的求和． 21．【答案】

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【解析】解：（1）∴∴

；

； =

； =

； ；

（2）同理可求得

∴=． 求

的方法，以及向量夹角

【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式，根据

余弦的计算公式． 22．【答案】

222

【解析】解：（1）令g（x）=2x﹣3（1+a）x+6a，△=9（1+a）﹣48a=9a﹣30a+9=3（3a﹣1）（a﹣3）． ①当

时，△≥0，

，

方程g（x）=0的两个根分别为所以g（x）＞0的解集为因为x1，x2＞0，所以D=A∩B=②当综上所述，当当

时，△＜0，则g（x）＞0恒成立，所以D=A∩B=（0，+∞）

时，D=

；

时，D=（0，+∞）．

2

（2）f′（x）=6x﹣6（1+a）x+6a=6（x﹣a）（x﹣1）， 令f′（x）=0，得x=a或x=1， ①当

时，由（1）知D=（0，x1）∪（x2，+∞）

2

因为g（a）=2a﹣3（1+a）a+6a=a（3﹣a）＞0，g（1）=2﹣3（1+a）+6a=3a﹣1≤0

所以0＜a＜x1＜1≤x2，

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所以f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x a （0，a） （a，x1） （x2，+∞） + 0 + f′（x） ﹣ f（x） ↗ 极大值 ↘ ↗ 所以f（x）的极大值点为x=a，没有极小值点． ②当

时，由（1）知D=（0，+∞）

1 0 极小值 （1，+∞） + ↗ 所以f′（x），f（x）随x的变化情况如下表： x a （0，a） （a，1） f′（x） f（x） + ↗ 0 极大值 ﹣ ↘ 所以f（x）的极大值点为x=a，极小值点为x=1 综上所述，当当

时，f（x）有一个极大值点x=a，没有极小值点；

时，f（x）有一个极大值点x=a，一个极小值点x=1．

23．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

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24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）证明：因为A1A=A1C，且O为AC的中点， 所以A1O⊥AC．

又由题意可知，平面AA1C1C⊥平面ABC， 交线为AC，且A1O⊂平面AA1C1C， 所以A1O⊥平面ABC．

（Ⅱ）如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 由题意可知，A1A=A1C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴所以得： 则有：

．

，

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设平面AA1B的一个法向量为n=（x，y，z），则有令y=1，得

所以

．

．

，

因为直线A1C与平面A1AB所成角θ和向量n与（Ⅲ）设即所以

令OE∥平面A1AB，得即﹣1+λ+2λ﹣λ=0，得

，

，得，

，

所成锐角互余，所以

，得

，

．

即存在这样的点E，E为BC1的中点．

【点评】本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角、三角函数等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力

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