自考线性代数重点练习题04

第四章 向量组的线性相关性

1 设v1(1 1 0)T v2(0 1 1)T v3(3 4 0)T 求v1v2及3v12v2v3 解 v1v2(1 1 0)T(0 1 1)T

(10 11 01)T

(1 0 1)T

3v12v2v33(1 1 0)T 2(0 1 1)T (3 4 0)T (31203 31214 30210)T (0 1 2)T

2 设3(a1a)2(a2a)5(a3a) 求a 其中a1(2 5 1 3)T a2(10 1 5 10)T a3(4 1 1 1)T 解 由3(a1a)2(a2a)5(a3a)整理得

a1(3a12a25a3) 6 1[3(2, 5, 1, 3)T2(10, 1, 5, 10)T5(4, 1, 1, 1)T] 6 (1 2 3 4)T 3 已知向量组

A a1(0 1 2 3)T a2(3 0 1 2)T a3(2 3 0 1)T B b1(2 1 1 2)T b2(0 2 1 1)T b3(4 4 1 3)T 证明B组能由A组线性表示 但A组不能由B组线性表示 证明 由

01 (A, B)231r ~ 000301223012041r124~0 111002130312432204 16157281790312416157 04135000000316020041241r157~0 5152500135----完整版学习资料分享----

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知R(A)R(A B)3 所以B组能由A组线性表示 由

2041021124r022r0 B~~11101102130110

4 已知向量组

A a1(0 1 1)T a2(1 1 0)T

010021 00知R(B)2 因为R(B)R(B A) 所以A组不能由B组线性表示

B b1(1 0 1)T b2(1 2 1)T b3(3 2 1)T 证明A组与B组等价 证明 由

11301r11301r11301(B, A)02211~02211~02211

111100221100000知R(B)R(B A)2 显然在A中有二阶非零子式 故R(A)2 又R(A)R(B A)2 所以R(A)2 从而R(A)R(B)R(A B) 因此A组与B组等价

5 已知R(a1 a2 a3)2 R(a2 a3 a4)3 证明 (1) a1能由a2 a3线性表示 (2) a4不能由a1 a2 a3线性表示

证明 (1)由R(a2 a3 a4)3知a2 a3 a4线性无关 故a2 a3也线性无关 又由R(a1 a2 a3)2知a1 a2 a3线性相关 故a1能由a2 a3线性表示 (2)假如a4能由a1 a2 a3线性表示 则因为a1能由a2 a3线性表示 故a4能由a2 a3线性表示 从而a2 a3 a4线性相关 矛盾 因此a4不能由a1 a2 a3线性表示

6 判定下列向量组是线性相关还是线性无关

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(1) (1 3 1)T (2 1 0)T (1 4 1)T (2) (2 3 0)T (1 4 0)T (0 0 2)T

解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A 因为

121r121r121 A314~077~011

101022000所以R(A)2小于向量的个数 从而所给向量组线性相关 (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B 因为

210 |B|340220 002所以R(B)3等于向量的个数 从而所给向量组线性相无关

7 问a取什么值时下列向量组线性相关？ a1(a 1 1)T a2(1 a 1)T a3(1 1 a)T 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A 由

a11 |A|1a1a(a1)(a1) 11a知 当a1、0、1时 R(A)3 此时向量组线性相关

8 设a1 a2线性无关 a1b a2b线性相关 求向量b用a1 a2线性表示的表示式

解 因为a1b a2b线性相关 故存在不全为零的数1 2使 1(a1b)2(a2b)0 由此得 b设c1a12a21a1(11)a2 121212121 则 12 bca1(1c)a2 cR

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9 设a1 a2线性相关 b1 b2也线性相关 问a1b1 a2b2是否一定线性相关？试举例说明之 解 不一定

例如 当a1(1 2)T, a2(2 4)T, b1(1 1)T, b2(0 0)T时 有 a1b1(1 2)Tb1(0 1)T, a2b2(2 4)T(0 0)T(2 4)T 而a1b1 a2b2的对应分量不成比例 是线性无关的

10 举例说明下列各命题是错误的

(1)若向量组a1 a2    am是线性相关的 则a1可由a2    am线性表示

解 设a1e1(1 0 0    0) a2a3    am0 则a1 a2    am线性相关 但a1不能由a2    am线性表示 (2)若有不全为0的数1 2    m使

1a1    mam1b1    mbm0

成立 则a1 a2    am线性相关, b1 b2    bm亦线性相关 解 有不全为零的数1 2    m使

1a1    mam 1b1    mbm 0

原式可化为

1(a1b1)    m(ambm)0

取a1e1b1 a2e2b2    amembm 其中e1 e2    em为单位坐标向量 则上式成立 而a1 a2    am和b1 b2    bm均线性无关

(3)若只有当1 2    m全为0时 等式

1a1    mam1b1    mbm0

才能成立 则a1 a2    am线性无关, b1 b2    bm亦线性无关 解 由于只有当1 2    m全为0时 等式

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由1a1    mam1b1    mbm 0

成立 所以只有当1 2    m全为0时 等式

1(a1b1)2(a2b2)    m(ambm)0

成立 因此a1b1 a2b2    ambm线性无关

取a1a2    am0 取b1    bm为线性无关组 则它们满足以上条件 但a1 a2    am线性相关

(4)若a1 a2    am线性相关, b1 b2    bm亦线性相关 则有不全为0的数 1 2    m使

1a1    mam0 1b1    mbm0

同时成立

解 a1(1 0)T a2(2 0)T b1(0 3)T b2(0 4)T

1a12a2 0122 1b12b2 01(3/4)2

120 与题设矛盾

11 设b1a1a2 b2a2a3 b3a3a4 b4a4a1 证明向量组b1 b2 b3 b4线性相关

证明 由已知条件得

a1b1a2 a2b2a3 a3b3a4 a4b4a1 于是 a1 b1b2a3 b1b2b3a4 b1b2b3b4a1 从而 b1b2b3b40

这说明向量组b1 b2 b3 b4线性相关

12 设b1a1 b2a1a2    br a1a2    ar 且向量组a1 a2     ar

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线性无关 证明向量组b1 b2     br线性无关 证明 已知的r个等式可以写成

10(b1, b2,    , br)(a1, a2,    , ar)0b2     br线性无关

11011 1上式记为BAK 因为|K|10 K可逆 所以R(B)R(A)r 从而向量组b1

13 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组

(1)a1(1 2 1 4)T a2(9 100 10 4)T a3(2 4 2 8)T 解 由

1921921921004r0820r01 (a1, a2, a3)~~1102019000448032000以a1 a2是一个最大无关组

20 00知R(a1 a2 a3)2 因为向量a1与a2的分量不成比例 故a1 a2线性无关 所 (2)a1T(1 2 1 3) a2T(4 1 5 6) a3T(1 3 4 7) 解 由

12(a1, a2, a3)13411411rr13~095~0540950018100674195 0000知R(a1T a2T a3T)R(a1 a2 a3)2 因为向量a1T与a2T的分量不成比例 故a1T a2T线性无关 所以a1T a2T是一个最大无关组

14 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组

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2575 (1)7525

3117439453132 9454134322048 解 因为

2575752510 (2)2112012130311743r23r1253r19453132r3~09454134r4r100322048251411 3111r2r13~103r4r1001122031171213134325rr34~305r3r20053117120100433 30所以第1、2、3列构成一个最大无关组.

解 因为

1021

1201213025142112255211rr13~201r3r400212002120252011 20所以第1、2、3列构成一个最大无关组

15 设向量组

(a 3 1)T (2 b 3)T (1 2 1)T (2 3 1)T

的秩为2 求a b

解 设a1(a 3 1)T a2(2 b 3)T a3(1 2 1)T a4(2 3 1)T 因为

13r111312a2r11(a3, a4, a1, a2)233b~01a11~01a11

1113011b6002ab5而R(a1 a2 a3 a4)2 所以a2 b5

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16 设a1 a2    an是一组n维向量 已知n维单位坐标向量e1 e2   en能由它们线性表示 证明a1 a2    an线性无关

证法一 记A(a1 a2    an) E(e1 e2   en) 由已知条件知 存在矩阵K 使

EAK

两边取行列式 得

|E||A||K|

可见|A|0 所以R(A)n 从而a1 a2    an线性无关

证法二 因为e1 e2   en能由a1 a2    an线性表示 所以

R(e1 e2   en)R(a1 a2    an)

而R(e1 e2   en)n R(a1 a2    an)n 所以R(a1 a2    an)n 从而a1 a2    an线性无关

17 设a1 a2    an是一组n维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是 任一n维向量都可由它们线性表示

证明 必要性 设a为任一n维向量 因为a1 a2    an线性无关 而a1 a2    an a是n1个n维向量 是线性相关的 所以a能由a1 a2    an线性表示 且表示式是唯一的

充分性 已知任一n维向量都可由a1 a2    an线性表示 故单位坐标向量组e1 e2    en能由a1 a2    an线性表示 于是有

nR(e1 e2    en)R(a1 a2    an)n

即R(a1 a2    an)n 所以a1 a2    an线性无关

18 设向量组a1 a2    am线性相关 且a10 证明存在某个向量ak

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(2km) 使ak能由a1 a2    ak1线性表示

证明 因为a1 a2    am线性相关 所以存在不全为零的数1 2   

m 使

1a12a2    mam0

而且2 3   m不全为零 这是因为 如若不然 则1a10 由a10知

10 矛盾 因此存在k(2km) 使

k0 k1k2    m0

于是

1a12a2    kak0

ak(1/k)(1a12a2    k1ak1)

即ak能由a1 a2    ak1线性表示

19 设向量组B b1    br能由向量组A a1    as线性表示为 (b1    br)(a1    as)K 其中K为sr矩阵 且A组线性无关 证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)r 证明 令B(b1    br) A(a1    as) 则有BAK 必要性 设向量组B线性无关

由向量组B线性无关及矩阵秩的性质 有 rR(B)R(AK)min{R(A) R(K)}R(K) 及 R(K)min{r s}r 因此R(K)r

Er 充分性 因为R(K)r 所以存在可逆矩阵C 使KCO为K的标准

形 于是

(b1    br)C( a1    as)KC(a1    ar)

因为C可逆 所以R(b1    br)R(a1    ar)r 从而b1    br线性无

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关

20 设

1 23    n21 3    n                           n123n1证明向量组1 2    n与向量组1 2    n等价 证明 将已知关系写成

01(1, 2,    , n)(1, 2,    , n)11将上式记为BAK 因为

10111101111 001|K|1110111101111(1)n1(n1)0 0所以K可逆 故有ABK 1 由BAK和ABK 1可知向量组1 2    n与向量组1 2    n可相互线性表示 因此向量组1 2    n与向量组1 2    n等价

21 已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x3AxA2x 且向量组x Ax A2x线性无关

(1)记P(x Ax A2x) 求3阶矩阵B 使APPB 解 因为

APA(x Ax A2x) (Ax A2x A3x) (Ax A2x 3AxA2x)

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000 (x, Ax, A2x)103

011000所以B103

011 (2)求|A|

解 由A3x3AxA2x 得A(3xAxA2x)0 因为x Ax A2x线性无关 故3xAxA2x0 即方程Ax0有非零解 所以R(A)3 |A|0 22 求下列齐次线性方程组的基础解系 x18x210x32x40 (1)2x14x25x3x40

3x18x26x32x40 解 对系数矩阵进行初等行变换 有

018102r104 A2451 ~ 013/41/4

38620000于是得

x14x3 x(3/4)x(1/4)x

234 取(x3 x4)T(4 0)T 得(x1 x2)T(16 3)T 取(x3 x4)T(0 4)T 得(x1 x2)T(0 1)T 因此方程组的基础解系为

1(16 3 4 0)T 2(0 1 0 4)T 2x13x22x3x40 (2)3x15x24x32x40

8x17x26x33x40 解 对系数矩阵进行初等行变换 有

2321r102/191/19 A3542 ~ 0114/197/19

87630000----完整版学习资料分享----

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于是得

x1(2/19)x3(1/19)xx(14/19)x(7/19)4x

234 取(x3 x4)T(19 0)T 得(x1 x2)T(2 14)T 取(x3 x4)T(0 19)T 得(x1 x2)T(1 7)T 因此方程组的基础解系为

1(2 14 19 0)T 2(1 7 0 19)T

(3)nx1 (n1)x2    2xn1xn0. 解 原方程组即为

xnnx1(n1)x2    2xn1

取x11 x2x3    xn10 得xnn

取x21 x1x3x4    xn10 得xn(n1)n1    

取xn11 x1x2    xn20 得xn2 因此方程组的基础解系为 1(1 0 0    0 n)T 2(0 1 0    0 n1)T   

n1(0 0 0    1 2)T

23 设A29251238, 求一个42矩阵B, 使AB0, 且 R(B)2.

解 显然B的两个列向量应是方程组AB0的两个线性无关的解为

r A22139528 ~ 101/81/8015/811/8 所以与方程组AB0同解方程组为

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x1(1/8)x3(1/8)x4 x(5/8)x(11/8)x

234 取(x3 x4)T(8 0)T 得(x1 x2)T(1 5)T 取(x3 x4)T(0 8)T 得(x1 x2)T(1 11)T 方程组AB0的基础解系为

1(1 5 8 0)T 2(1 11 0 8)T

15 因此所求矩阵为B80

111 08 24 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为

1(0 1 2 3)T  2(3 2 1 0)T 

解 显然原方程组的通解为

x10x13k23x12xk2k2xk12k21, 即x221kk2 (k1 k2R) 330x33k1241x4消去k1 k2得

2x13x2x40 x3x2x0134此即所求的齐次线性方程组.

25 设四元齐次线性方程组

x1x20 I xx0  II

24x1x2x30 xxx0234求 (1)方程I与II的基础解系 (2) I与II的公共解

x1x4 解 (1)由方程I得xx

24 取(x3 x4)T(1 0)T 得(x1 x2)T(0 0)T 取(x3 x4)T(0 1)T 得(x1 x2)T(1 1)T

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因此方程I的基础解系为

1(0 0 1 0)T 2(1 1 0 1)T

x1x4 由方程II得xxx

234 取(x3 x4)T(1 0)T 得(x1 x2)T(0 1)T 取(x3 x4)T(0 1)T 得(x1 x2)T(1 1)T 因此方程II的基础解系为

1(0 1 1 0)T 2(1 1 0 1)T (2) I与II的公共解就是方程 x1x20x2x40 III 

x1x2x30xxx0234的解 因为方程组III的系数矩阵

10 A101111001101r1 ~0 001001000101 1200所以与方程组III同解的方程组为

x1x4 x2x4

x32x4 取x41 得(x1 x2 x3)T(1 1 2)T 方程组III的基础解系为 (1 1 2 1)T

因此I与II的公共解为xc(1 1 2 1)T cR

26 设n阶矩阵A满足A2A E为n阶单位矩阵, 证明

R(A)R(AE)n

证明 因为A(AE)A2AAA0 所以R(A)R(AE)n 又R(AE)R(EA) 可知

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R(A)R(AE)R(A)R(EA)R(AEA)R(E)n

由此R(A)R(AE)n

27 设A为n阶矩阵(n2) A*为A的伴随阵 证明

n 当R(A)nR(A*)1 当R(A)n1

0 当R(A)n2 证明 当R(A)n时 |A|0 故有 |AA*|||A|E||A|0 |A*|0 所以R(A*)n

当R(A)n1时 |A|0 故有 AA*|A|E0

即A*的列向量都是方程组Ax0的解 因为R(A)n1 所以方程组Ax0的基础解系中只含一个解向量 即基础解系的秩为1 因此R(A*)1 当R(A)n2时 A中每个元素的代数余子式都为0 故A*O 从而R(A*)0

28 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系

x1x25 (1)2x1x2x32x41

5x13x22x32x43 解 对增广矩阵进行初等行变换 有

11005r10108B21121 ~ 011013 5322300012 与所给方程组同解的方程为

x1x38x2 x313 x4 2 当x30时 得所给方程组的一个解(8 13 0 2)T 与对应的齐次方程组同解的方程为

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x1x3x2 x3 x40 当x31时 得对应的齐次方程组的基础解系(1 1 1 0)T

x15x22x33x411 (2)5x13x26x3x41

2x14x22x3x46 解 对增广矩阵进行初等行变换 有

152311r109/71/21 B53611 ~ 011/71/22

2421600000 与所给方程组同解的方程为

x1(9/7)x3(1/2)x41

x(1/7)x(1/2)x2234 当x3x40时 得所给方程组的一个解

(1 2 0 0)T

与对应的齐次方程组同解的方程为

x1(9/7)x3(1/2)x4 x(1/7)x(1/2)x234 分别取(x3 x4)T(1 0)T (0 1)T 得对应的齐次方程组的基础解系

1(9 1 7 0)T 2(1 1 0 2)T

29 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3 已知1 2 3是它的三个解向量 且

1(2 3 4 5)T 23(1 2 3 4)T

求该方程组的通解

解 由于方程组中未知数的个数是4 系数矩阵的秩为3 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量 且由于1 2 3均为方程组

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的解 由非齐次线性方程组解的结构性质得

21(23)(12)(13) (3 4 5 6)T

为其基础解系向量 故此方程组的通解

xk(3 4 5 6)T(2 3 4 5)T (kR)

30 设有向量组A a1( 2 10)T a2(2 1 5)T a3(1 1 4)T 及b(1

 1)T 问 为何值时

(1)向量b不能由向量组A线性表示

(2)向量b能由向量组A线性表示 且表示式唯一

(3)向量b能由向量组A线性表示 且表示式不唯一 并求一般表示式

1121r12 解 (a3, a2, a1, b)112~ 0111

451010043 (1)当4 0时 R(A)R(A b) 此时向量b不能由向量组A线性表示

(2)当4时 R(A)R(A b)3 此时向量组a1 a2 a3线性无关 而向量组a1 a2 a3 b线性相关 故向量b能由向量组A线性表示 且表示式唯一 (3)当4 0时 R(A)R(A b)2 此时向量b能由向量组A线性表示 且表示式不唯一 当4 0时

1241r1021(a3, a2, a1, b)1120~ 0131

451010000方程组(a3 a2 a1)xb的解为

x1212c1 x2c313c1 cR

x10c3因此 b(2c1)a3(3c1)a2ca1 即 b ca1(3c1)a2(2c1)a3 cR

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31 设a(a1 a2 a3)T b(b1 b2 b3)T c(c1 c2 c3)T 证明三直线 l1 a1xb1yc10

l2 a2xb2yc20 (ai2bi20 i1 2 3) l3 a3xb3yc30

相交于一点的充分必要条件为 向量组a b线性无关 且向量组a b c线性相关

证明 三直线相交于一点的充分必要条件为方程组

a1xb1yc10a1xb1yc1a2xb2yc20 即a2xb2yc2 a3xb3yc30a3xb3yc3有唯一解 上述方程组可写为xaybc 因此三直线相交于一点的充分必要条件为c能由a b唯一线性表示 而c能由a b唯一线性表示的充分必要条件为向量组a b线性无关 且向量组a b c线性相关

32 设矩阵A(a1 a2 a3 a4) 其中a2 a3 a4线性无关 a12a2 a3 向量ba1a2a3a4 求方程Axb的通解

解 由ba1a2a3a4知(1 1 1 1)T是方程Axb的一个解 由a12a2 a3得a12a2a30 知(1 2 1 0)T是Ax0的一个解 由a2 a3 a4线性无关知R(A)3 故方程Axb所对应的齐次方程Ax0的基础解系中含一个解向量 因此(1 2 1 0)T是方程Ax0的基础解系 方程Axb的通解为

xc(1 2 1 0)T(1 1 1 1)T cR

33 设*是非齐次线性方程组Axb的一个解, 1 2    nr 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系, 证明 (1)* 1 2    nr线性无关 (2)* *1 *2    *nr线性无关

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证明 (1)反证法, 假设* 1 2    nr线性相关 因为1 2   

nr线性无关 而* 1 2    nr线性相关 所以*可由1 2    nr线

性表示 且表示式是唯一的 这说明*也是齐次线性方程组的解 矛盾 (2)显然向量组* *1 *2    *nr与向量组* 1 2   

nr可以相互表示 故这两个向量组等价 而由(1)知向量组* 1 2    nr线性无关 所以向量组* *1 *2    *nr也线性无关

34 设1 2    s是非齐次线性方程组Axb的s个解 k1 k2    ks为实数 满足k1k2    ks1. 证明

xk11k22    kss

也是它的解.

证明 因为1 2    s都是方程组Axb的解 所以 Aib (i1 2    s)

从而 A(k11k22    kss)k1A1k2A2    ksAs (k1k2    ks)bb 因此xk11k22    kss也是方程的解

35 设非齐次线性方程组Axb的系数矩阵的秩为r 1 2    nr1是它的nr1个线性无关的解 试证它的任一解可表示为

xk11k22    knr1nr1 (其中k1k2    knr11).

证明 因为1 2    nr1均为Axb的解 所以121 231    nr nr11均为Axb的解 用反证法证 1 2    nr线性无关

设它们线性相关 则存在不全为零的数1 2    nr 使得 11 22      nr  nr0

即 1(21) 2(31)      nr(nr11)0

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亦即 (12    nr)11223     nrnr10 由1 2    nr1线性无关知

(12    nr)12    nr0

矛盾 因此1 2    nr线性无关 1 2    nr为Axb的一个基础解系 设x为Axb的任意解 则x1为Ax0的解 故x1可由1 2   

nr线性表出 设

x1k21k32    knr1nr

k2(21)k3(31)    knr1(nr11) x1(1k2k3    knr1)k22k33    k nr1nr1 令k11k2k3    knr1 则k1k2k3    knr11 于是 xk11k22    knr1nr1

36 设

V1{x(x1 x2  xn)T | x1  xnR满足x1x2 xn0} V2{x(x1 x2  xn)T | x1  xnR满足x1x2 xn1}

问V1 V2是不是向量空间？为什么？ 解 V1是向量空间 因为任取

(a1 a2  an)T V1 (b1 b2  bn)T V1 R 有 a1a2 an0 b1b2 bn0

从而 (a1b1)(a2b2) (anbn) (a1a2 an)(b1b2 bn)0 a1a2 an(a1a2 an)0 所以 (a1b1 a2b2  anbn)TV1 (a1 a2  an)T V1 V2不是向量空间 因为任取

(a1 a2  an)T V1 (b1 b2  bn)T V1

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有 a1a2 an1 b1b2 bn1

从而 (a1b1)(a2b2) (anbn) (a1a2 an)(b1b2 bn)2 所以 (a1b1 a2b2  anbn)TV1

37 试证 由a1(0 1 1)T a2(1 0 1)T a3(1 1 0)T所生成的向量空间就是R3.

证明 设A(a1 a2 a3) 由

011|A|10120

110知R(A)3 故a1 a2 a3线性无关 所以a1 a2 a3是三维空间R3的一组基, 因此由a1 a2 a3所生成的向量空间就是R3.

38 由a1(1 1 0 0)T a2(1 0 1 1)T所生成的向量空间记作V1,由b1(2 1 3 3)T b2(0 1 1 1)T所生成的向量空间记作V2, 试证V1V2. 证明 设A(a1 a2) B(b1 b2) 显然R(A)R(B)2 又由

11 (A, B)001011213301r1 ~0 10101100230001 00知R(A B)2 所以R(A)R(B)R(A B) 从而向量组a1 a2与向量组b1 b2等价 因为向量组a1 a2与向量组b1 b2等价 所以这两个向量组所生成的向量空间相同 即V1V2.

39 验证a1(1 1 0)T a2(2 1 3)T a3(3 1 2)T为R3的一个基, 并把

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v1(5 0 7)T v2(9 8 13)T用这个基线性表示. 解 设A(a1 a2 a3) 由

123|(a1, a2, a3)|11160

032知R(A)3 故a1 a2 a3线性无关 所以a1 a2 a3为R3的一个基. 设x1a1x2a2x3a3v1 则

x12x23x35x1x2x30 3x22x37解之得x12 x23 x31 故线性表示为v12a13a2a3 设x1a1x2a2x3a3v2 则

x12x23x39x1x2x38 3x22x313解之得x13 x23 x32 故线性表示为v23a13a22a3

40 已知R3的两个基为

a1(1 1 1)T a2(1 0 1)T a3(1 0 1)T b1(1 2 1)T b2(2 3 4)T b3(3 4 3)T 求由基a1 a2 a3到基b1 b2 b3的过渡矩阵P 解 设e1 e2 e3是三维单位坐标向量组 则

111 (a1, a2, a3)(e1, e2, e3)100

111111 (e1, e2, e3)(a1, a2, a3)100

1111----完整版学习资料分享----

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123于是 (b1, b2, b3)(e1, e2, e3)234

143111123 (a1, a2, a3)100234

1111431由基a1 a2 a3到基b1 b2 b3的过渡矩阵为 111123234 P100234010

111143101

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