适用于信息与计算科学专业、应用数学专业
《数学建模》这门课程注重培养学生分析问题解决问题的能力，所以它既具严密的理论性，同时也具有很强的实践性。学生在理论上学习并掌握各种数学建模方法，需要上机实践以完成具体模型的求解。本实验指导书首先给出数学建模中常用数学软件的使用知识，然后给出若干适合上机实践并学习数学软件的实验。
第一部分 Matlab软件的使用指南.....................................................................................................2
一、基础知识.................................................................................................................................2 二、编程.........................................................................................................................................5 三、微积分.....................................................................................................................................7 四、微分方程...............................................................................................................................13 五、数值分析...............................................................................................................................14 六、函数作图...............................................................................................................................17 七、线性代数...............................................................................................................................19 八、优化问题...............................................................................................................................20 第二部分 Lingo软件的使用指南.....................................................................................................23
一 LINGO快速入门..................................................................................................................23 二 LINGO中的集......................................................................................................................26 三 模型的数据部分和初始部分...............................................................................................29 四 LINGO函数..........................................................................................................................32 五 LINGO WINDOWS命令......................................................................................................43 六 LINGO的命令行命令............................................................................................................58 第三部分 实验项目...........................................................................................................................62
实验一 MATLAB基本操作..................................................................................................62 实验二 MATLAB编程..........................................................................................................62 实验三 函数作图.........................................................................................................................63 实验四 微分方程和数据拟和.....................................................................................................63 实验五 综合编程练习.................................................................................................................63 实验六 线性规划问题.................................................................................................................64 实验七 非线性规划.....................................................................................................................64 实验八 综合实验题目.................................................................................................................65
第一部分 Matlab软件的使用指南
一、基础知识
1.1 常见数学函数
函 数 名 abs（x） acos（x） acosh（x） angle（x） asin（x） asinh（x） atan（x） atan2（x,y） atanh（x） ceil（x） conj（x） cos（x） cosh（x） exp（x） 数 学 计 算 功 能 函 数 名 实数的绝对值或复数的幅值 floor（x） 反余弦arcsinx gcd（m，n）反双曲余弦arccoshx imag（x） 在四象限内求复数 x 的相角lcm（m，n）反正弦arcsinx log（x） 反双曲正弦arcsinhx log10（x）反正切arctanx real（x） 在四象限内求反正切 rem（m，n）反双曲正切arctanhx round（x）对x朝+∞方向取整 sign（x） 求复数x的共轭复数 sin（x） 余弦cosx sinh（x） 双曲余弦coshx sqrt（x） 指数函数 ex tan（x） 数 学 计 算 功 能 对x朝-∞方向取整 求正整数m和n的最大公约数 求复数x的虚部 求正整数m和n的最小公倍数 自然对数（以e为底数） 常用对数（以10为底数） 求复数x的实部 求正整数m和n的m/n之余数 对x四舍五入到最接近的整数 符号函数：求出x的符号 正弦sinx 反双曲正弦sinhx 求实数x的平方根：x 正切tanx 双曲正切tanhx fix（x） 对x朝原点方向取整 tanh（x） 如：输入 x=[-4.85 -2.3 -0.2 1.3 4.56 6.75]，则： ceil(x)= -4 -2 0 2 5 7 fix(x) = -4 -2 0 1 4 6 floor(x) = -5 -3 -1 1 4 6 round(x) = -5 -2 0 1 5 7
1.2 系统的在线帮助 1 help 命令：
1.当不知系统有何帮助内容时，可直接输入help以寻求帮助: >> help（回车）
2.当想了解某一主题的内容时，如输入：
>> help syntax （了解Matlab的语法规定）
3.当想了解某一具体的函数或命令的帮助信息时，如输入： >> help sqrt （了解函数sqrt的相关信息）
2 lookfor命令
现需要完成某一具体操作，不知有何命令或函数可以完成，如输入： >> lookfor line （查找与直线、线性问题有关的函数）
1.3 常量与变量
系统的变量命名规则：变量名区分字母大小写；变量名必须以字母打头，其后可以是任意字母，数字，或下划线的组合。此外，系统内部预先定义了几个有特殊意义和用途的变量，见下表： 特殊的变量、常量 ans pi eps inf NaN i，j 取 值 用于结果的缺省变量名 圆周率π的近似值（3.1416） 数学中无穷小（epsilon）的近似值（2.2204e - 016） 无穷大，如 1/0 = inf （infinity） 非数，如 0/0 = NaN （Not a Number），inf / inf = NaN 虚数单位：i = j =−1 1 数值型向量（矩阵）的输入
1．任何矩阵（向量），可以直接按行方式输入每个元素：同一行中的元素用逗号（，）或者．．．用空格符来分隔；行与行之间用分号（；）分隔。所有元素处于一方括号（[ ]）内；
例1： >> Time = [11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10] >> X_Data = [2.32 3.43；4.37 5.98]
2．系统中提供了多个命令用于输入特殊的矩阵：
函数 compan diag hadamard hankel invhilb kron magic pascal
功 能 伴随阵 对角阵 Hadamard矩阵 Hankel矩阵 Hilbert矩阵的逆阵Kronercker张量积
魔方矩阵 Pascal矩阵
函数 toeplitz vander zeros ones rand randn eye meshgrid
功 能
Toeplitz矩阵
Vandermonde矩阵 元素全为0的矩阵 元素全为1的矩阵
元素服从均匀分布的随机矩阵 元素服从正态分布的随机矩阵 对角线上元素为1的矩阵 由两个向量生成的矩阵
上面函数的具体用法，可以用帮助命令help得到。如：meshgrid(x,y) 输入 x=[1 2 3 4]; y=[1 0 5]; [X,Y]=meshgrid(x, y)，则 X = Y =
1 2 3 4 1 1 1 1 1 2 3 4 0 0 0 0 1 2 3 4 5 5 5 5
目的是将原始数据x，y转化为矩阵数据X，Y。
2 符号向量（矩阵）的输入
1．用函数 sym定义符号矩阵：
函数sym实际是在定义一个符号表达式，这时的符号矩阵中的元素可以是任何的符号或者是表达式，而且长度没有限制。只需将方括号置于单引号中。 例2：
>> sym_matrix = sym（'[a b c；Jack Help_Me NO_WAY]'） sym_matrix =
[ a, b, c] [Jack, Help_Me, NO_WAY]
2．用函数syms定义符号矩阵
先定义矩阵中的每一个元素为一个符号变量，而后像普通矩阵一样输入符号矩阵。 例3： >> syms a b c ；
>> M1 = sym（'Classical'）； >> M2 = sym（' Jazz'）； >> M3 = sym（'Blues'）； >> A = [a b c； M1， M2， M3；sym（[2 3 5]）]
A =
[ a, b, c] [Classical, Jazz, Blues] [ 2, 3, 5]
1.4 数组（矩阵）的点运算
运算符：+（加）、-（减）、./（右除）、.\\（左除）、.^（乘方）， 例4：
>> g = [1 2 3 4]；h = [4 3 2 1]； >> s1 = g + h, s2 = g.*h, s3 = g.^h, s4 = g.^2, s5 = 2.^h
1.5 矩阵的运算
运算符：+（加）、-（减）、*（乘）、/（右除）、\\（左除）、^（乘方）、’（转置）等； 常用函数：det（行列式）、inv（逆矩阵）、rank（秩）、eig（特征值、特征向量）、rref（化
矩阵为行最简形）
例5：
>> A=[2 0 –1;1 3 2]; B=[1 7 –1;4 2 3;2 0 1]; >> M = A*B % 矩阵A与B按矩阵运算相乘 >> det_B = det(B) % 矩阵A的行列式 >> rank_A = rank（A） % 矩阵A的秩
>> inv_B = inv（B） % 矩阵B的逆矩阵
>> [V,D] = eig(B) % 矩阵B的特征值矩阵V与特征向量构成的矩阵D >> X = A/B % A/B = A*B-1，即XB=A，求X >> Y = B\\A % B\\A = B-1*A，即BY=A，求Y
上机练习（一）：
1．练习数据和符号的输入方式，将前面的命令在命令窗口中执行通过； 2．输入A=[7 1 5；2 5 6；3 1 5]，B=[1 1 1; 2 2 2; 3 3 3]，在命令窗口中执行下列表达式，掌握其含义：
A(2, 3) A(:,2) A(3,:) A(:,1:2:3) A(:,3).*B(:,2) A(:,3)*B(2,:) A*B A.*B A^2 A.^2 B/A B./A 3．输入C=1:2:20，则C（i）表示什么？其中i=1,2,3,…,10； 4．查找已创建变量的信息，删除无用的变量；
5．欲通过系统做一平面图，请查找相关的命令与函数，获取函数的帮助信息。
二、编程 2.1 无条件循环
当需要无条件重复执行某些命令时，可以使用for循环： for 循环变量t=表达式1 : 达式2 : 表达式3 语句体 end
说明：表达式1为循环初值，表达式2为步长，表达式3为循环终值；当表达式2省略时则默认步长为1；for语句允许嵌套。
例6： 如：矩阵输入程序
生成3×4阶的Hiltber矩阵。 m=input(‘矩阵行数：m=’); for i=1 : 3 n= input(‘矩阵列数：n=’); for j=1 : 4 for i=1:m H（i，j）=1/（i+j-1）； for j=1:n
end disp([‘输入第’,num2str(i),’行，第’, num2str(j),’列元素’]) end A(i, j) = input (‘ ’) end end
2.2 条件循环
1) if-else-then语句
if-else-then语句的常使用三种形式为：
(1) if 逻辑表达式 (3) if 逻辑表达式1 语句体 语句体1
end elseif 逻辑表达式2 语句体2 (2) if 逻辑表达式1 elseif 逻辑表达式3
语句体1 … else else
语句体2 语句体n
end end
2) while循环语句
while循环的一般使用形式为：
while 表达式 语句体 end 例7：
用二分法计算多项式方程x−2x−5= 0在[0，3]内的一个根。 解：
a = 0；fa = -inf； b = 3；fb = inf； while b-a > eps*b x =（a+b）/2； fx = x^3-2*x-5； if sign(fx)== sign(fa) a =x；fa = fx； else
b = x；fb = fx； end end x
运行结果为：x = 2.0945515148154233
3
2.3 分支结构
若需要对不同的情形执行不同的操作，可用switch 分支语句： switch 表达式（标量或字符串） case 值1
语句体1 case 值2
语句体2 …
otherwise 语句体n end
说明：当表达式不是“case”所列值时，执行otherwise语句体。
2.4 建立M文件
将多个可执行的系统命令，用文本编辑器编辑后并存放在后缀为 .m 的文件中，若在．．．
MATLAB命令窗口中输入该m-文件的文件名（不跟后缀.m!），即可依次执行该文件中的多个命令。这个后缀为.m的文件，也称为Matlab的脚本文件(Script File)。
注意：文件存放路径必须在Matlab能搜索的范围内。
2.5 建立函数文件
对于一些特殊用户函数，系统提供了一个用于创建用户函数的命令function，以备用户随时调用。
1．格式：
function [输出变量列表]=fun_name(输入变量列表) 用户自定义的函数体
2．函数文件名为：fun_name，注意：保存时文件名与函数名最好相同； ．．．．．．
3．存储路径：最好在系统的搜索路径上。 4. 调用方法：输出参量=fun_name (输入变量) 例8：
计算s = n!，在文本编辑器中输入：
function s=pp(n);
s=1; for i=1:n s=s*i; end
s;
在MATLAB命令窗口中输入：s=pp(5)
结果为s = 120
上机练习（二）：
1．编写程序，计算1+3+5+7+…+(2n+1)的值（用input语句输入n 值）。
0≤x<1⎧x
2．编写分段函数 f(x)=⎨2−x1≤x≤2 的函数文件，存放于文件ff.m中，计算出f(−3)，
⎪
⎪0
⎩
其它
f(2)，f(∞)的值。
三、微积分 3.1 极限limit:
limit(F, x, a) 计算limF(x)
x→a
limit(F, a) 符号表达式F中由命令findsym（F）返回独立的变量v，计算limF(v)
v→a
limit(F) 符号确定同上，设为v，计算limF(v)
v→0
limit(F, x, a, 'right') 计算lim+F(x)
x→a
limit(F, x, a, 'left') 计算lim−F(x)
x→a
例9：
2
−n+1, lim1+x−2 计算 lim6n32+
n→∞n
+n+2
x→3
x−3解：
>> syms n m x
>> f = (6*n^2-n+1)/(n^3-n^2+2) >> h = (sqrt(1+x)-2)/(x-3) >> lim_f=limit(f, n, inf) >> lim_h=limit(h,x,3,'right') 运算结果是： lim_f = 0 lim_h =
1/4
3.2 函数的导数diff:
diff(f, v) 计算df或∂f
dv∂vn
∂nf 或diff(f, v, n) 计算dfnndv∂v
n
∂nf 或diff(f, n) 独立变量确定同上,设为v,计算dfnndv∂v
例10:
已知z=lg(x+y)，证明：x⋅∂z+y⋅∂z=1。
∂x∂y2解：
>> x = sym('x') >> y = sym('y') >> z = log(sqrt(x)+sqrt(y))
>> result = x * diff(z, x) + y* diff(z, y) >> simple(result) 计算的结果为： result= 1/2
例11: 已知 arctg解：
设方程F(x, y , z) = 0确定了函数z = z(x, y)，则∂z=−
2y+z
=ln(x+y+z)，求 ∂z=? ∂z=? x∂x∂x∂y∂x'
Fx，再用类似的计算方法，可以计Fz'2
算∂z。 ∂x∂y >> syms x y z
>> F = atan((y+z)/x)-log(x+y+z) >> dFdx = diff(F, x) >> dFdz = diff(F, z)
>> dZdx = -dFdx/dFdz % 计算∂z
∂x >> dZdxdy = diff(dZdx, y) >> dZdxdz = diff(dZdx, z)
2
>> d2Zdxdy = -dZdxdy/dZdxdz % 计算∂z
∂x∂y3.3 单积分int、quad、quad8：
1. int—不定积分:
F = int(f)
F = int(f, var) f：被积函数，var：对函数f中的变量var积分。
F：函数f的原函数。F中没有常数。 ．．．．．．C．
例12:
计算 F1=∫exy+zdx， F2=∫exy+zdz 解：
>> syms x y z; >> f = exp(x*y+z); >> F1 = int(f) >> F2 = int(f, z)
2. int—定积分及广义积分:
F = int(f, a, b)
F = int(f, var, a, b) f：被积函数；a,b：积分上下限，可为无穷大∞（负无穷大：－
∞）； F：函数的积分值，有时为无穷大。
3．quad、quad8—定积分：
y = quad(‘f’, a, b, tol)
y = quad8(‘f’, a, b, tol) 参数说明：
f：被积函数；a, b：积分上下限；tol：计算精度，quad()的默认值为：tol=1e-3，quad8()的默认值为：tol=1e-6。quad()函数采用的是Simpson 方法计算定积分的近似值。quad8()函数采用的是Newton Cotes方法计算定积分的近似值，其精度比前者更高。 例13： 计算 F1=∫2解：
>> syms x
π
+∞11dxF2=dx ， ∫22−∞x+2x+3x+2x+3
>> f = 1/(x^2+2*x+3); >> F1 = int(f,2,pi) >> F2 = int(f,-inf,inf) 运算的结果是： F1 =
1/2*atan(1/2*2^(1/2)*(pi+1))*2^(1/2)-1/2*atan(3/2*2^(1/2))*2^(1/2) F2 =
1/2*2^(1/2)*pi 例14：
23
计算无初等原函数的定积分 1∫−3e−x/2dx
2π解：
先定义被积函数为函数文件，文件名为：f.m function y = f (x)
y=1/sqrt(2*pi)*exp(-x.^2/2); 保存后，在命令窗口键入 >> format long >> y = quad('f', -3, 3)
则显示结果为
y =
0.99730005055470
3.4 泰勒展式taylor：
taylor(f) f：待展开的函数表达式，可以不用单引号生成； taylor(f, n) n：把函数展开到n阶；若不包含n，则缺省地展开到６阶 taylor(f, v) v：对函数f中的变量v展开 taylor(f, a) a：对函数f在x=a点展开。
例15：
计算（1）把y =e−x展开到6阶；
（2）把y = lnx在x = 1点展开到6阶； （3）把y = xt关于变量t展开到3阶。 解：
>> syms x t >> t1 = taylor(exp(-x)) >> t2 = taylor(log(x),6,1) >> t3 = taylor(x^t,3,t) 运算结果为： t1 =
1-x+1/2*x^2-1/6*x^3+1/24*x^4-1/120*x^5 t2 =
x-1-1/2*(x-1)^2+1/3*(x-1)^3-1/4*(x-1)^4+1/5*(x-1)^5 t3 =
1+log(x)*t+1/2*log(x)^2*t^2
3.5 近似梯度gradient：
[FX,FY] = gradient(F) [FX,FY] = gradient(F,H) [FX,FY] = gradient(F,HX,HY) [FX,FY,FZ] = gradient(F) [FX,FY,FZ] = gradient(F,HX,HY,HZ) 参数说明：
F：待求梯度的数值矩阵。F可以为向量、二维矩阵、三维矩阵； FX,FY,FZ：矩阵F在x、y、z方向上的数值梯度； H：H为一标量，作为各个方向上各点之间的步长；
HX,HY,HZ：矩阵F在x、y、z方向上的具体步长。HX,HY,HZ可为标量或与矩阵F各
个方向上同维的向量。
例16：
计算函数 z=xe−x−y数值梯度，且以图形显示。 解：
>> [x,y] = meshgrid(-2:.2:2, -2:.2:2)； >> z = x .* exp(-x.^2 - y.^2)； >> [px,py] = gradient(z,.2,.2)； >> contour（z） >> hold on
>> quiver（px, py）
2
2
3.6 函数梯度和方向导数jacobian：
jacobian(f, v) 参数说明：
f：函数向量或标量，当f为标量时，jacobian(f, v) = gradient(f)； v：自变量向量或者单个变量。 例17：
求 ①u=xyz在点M(1,1,1) 处的梯度；
②u=x2+2y2+3z2+xy+3x−2y−6z在点O(0, 0, 0)及A(1, 2, 3)处的梯度。 解：
>> syms x y z >> u1 = x*y*z >> u2 = x^2+2*y^2+3*y^2+x*y+3*x-2*y-6*z >> v = [x, y, z] >> J1 = jacobian(u1,v) >> J2 = jacobian(u2,v) >> J1_M = subs(subs(subs(J1,x,1),y,1),z,1) >> J2_O = subs(subs(subs(J2,x,0),y,0),z,0) >> J2_A = subs(subs(subs(J1,x,1),y,2),z,3) 计算的结果为： J1_M =
1 1 1 J2_O =
3 -2 -6 J2_A =
6 3 2
3.7 方程（组）的求解solve、linsolve：
x = linsolve(A, B) 专门用于求解线性方程组 ss = solve (s) 可适用于所有代数方程（组） ss = solve(s, v) 参数说明：
s：包含方程（一个）等式的字符串（可以是函数名，或者是描述方程的字符串）； v：方程s 中的一个变量； 例18：
求解：（1）AX=B，其中A=⎜⎜
⎛25⎞⎛4−6⎞
⎜⎟⎟，； B=⎜⎟⎟
⎝13⎠⎝21⎠
（2）psin(2x+t)=q，其中t为未知数；
解：
>> A = [2,5;1,3]; B = [4,-6;2,1]; >> x = linsolve(A,B) 或X=A\\B >> solve('p*sin(2*x+t)=q'，'t')
例19:
⎧sin(x+y)−exy=0
求非线性方程组的解 ⎨2
xy−=2⎩
解：
>> [x,y] = solve('sin(x+y)-exp(x)*y = 0','x^2-y = 2') 计算结果为： x =
-6.0173272500593065641097297117905 y =
34.208227234306296508646214438330 上机练习（三）：
sinxdy
2. 求导数：y=lnx，求
x→0xdx
1dx2x
3．求不积分：∫edx 4. 求定积分：∫01+x2
⎧x+y2=2
5．解方程组：⎨2 6. 求y=sin(x)的5阶泰勒展开式。
⎩x−2y=1
1．求极限：lim
四、微分方程
4.1 常微分方程(组)的符号解dsolve：
[y1,y2,…] = dsolve('eqn1','qun2',…,'var1','var2',…,'inition','disp_var1','disp_var2'…) 参数说明：
'eqn1','eqn2',…：包含微分方程（组）在内的字符串，可以是函数名或是微分方程（组）
的表达式；每个'eqn_i'可以包含一个或多个微分方程。
'var1','var2',…：指定方程组中独立的变量（若方程组中有多个符号，要指定某个符号
为未知变量符号）；
'inition'：微分方程的初始条件（组），或者是初始条件的表达式。如：
d3y
'y(a) = b'表示y(x)x=a=b，'D3y(c) = d' 表示
dx3
例20：
求通解 （1）y''+3y'+2y = 0
x=c
=d
⎧xt′=x+y⎪
（2）⎨yt′=−x+y+1
⎪x(0)=0,y(0)=0⎩
解：
>> equ_1 = 'D2y+3*Dy+2*y=0' >> equ_41 = 'Dx=y+x' >> equ_42 = 'Dy=y-x+1' >> y1 = dsolve(equ_1,'x')
>> [x,y] = dsolve(equ_41, equ_42, 'x(0)=0, y(0)=0') 计算结果为（略）：
4.2 常微分方程（组）的数值解odeXX:
[t, y]=odeXX('F',tspan,y0,) 参数说明：
XX可为45或者为23，F是函数名。tspan为自变量t的积分范围，y0为方程的初始状态值。
例21：
把高阶（3阶）方程y′′′+2y′′+3y′+4y=0转化为同解的一阶导数方程组，写成函数文件，并在时间段 [0, 120] 内求解。 解：
'⎧y1=y2⎧y1=y
⎪⎪'
设 ⎨y2=y′，则原方程等价于方程组⎨y2=y3，
'⎪⎪y3
⎩y3=y′′⎩=−2y3−3y2−4y1令y（1）= y1=y，y（2）=y2=y′，y（3）=y′′， 1．写成函数文件为：
function y = my_fun（t，y）
y = [y（2）; y（3）; -2*y（3）-3*y（2）-4*y（1）] 2．保存于文件：my_fun.m 3．调用函数odeXX求解。
>> y0 = [10；9；8]； % 定解条件 >> [t, y] = ode23（'my_fun'，[0，120]，y0）; >> plot（t，y（：，1）） % y的第一列为方程的解 >> xlabel（'time'）
>> ylabel（'y = y（t）'）
五、数值分析
5.1 级数求和symsum：
S=symsum(s) s：数列的通项式；
S=symsum(s, v) v：通式S中的变量，求和时将对v从1求至v-1； S=symsum(s, v, a, b) a,b：对变量从a至b求和，b可以为无穷大；
例22：
求下列数列的和
1
∑2
(2k−1)k=0∞
1
②．S2=∑2 22
k=1k(k+1)(k+2)
①．S1=
解：
>> syms n >> s1 = 1/(2*n-1)^2; >> s2 = 1/(n*(n+1)*(n+2))^2; >> S1 = symsum(s1) >> S2 = symsum(s2, n, 1, inf)
n−1
5.2 拟合与插值polyfit、interp1： 1． 最小二乘法
例23：
在某实验中测得输入如下：
x 104 180 190y 100 200 210177 147185 155134 150135 170191 204205 235121 125 由此推测出x和y的函数关系：y=f（x）。 解：
先把数据点描出来，观察x和y大概满足的函数关系。为此先把数据x和y进行适当的调整，使自变量x的值从小到大排列，y也做相应的排列： >> x = [104 180 190 177 147 134 150 191 204 121]; >> y = [100 200 210 185 155 135 170 205 235 125]; >> [x,i] = sort(x) >> y = y(i) >> plot(x, y, 'r*') >> hold on （图略）
这些数据点大致分布于一直线上，由此推测x和y有线性函数关系：y = ax+b，由数学推断过程得：
a=
n∑xiyi−(∑xi)(∑yi)
i=1
i=1
i=1
nnn
n(∑xi2)−(∑xi)2
i=1
i=1
nn
， b=
(∑yi)(∑x)−(∑xi)(∑xiyi)
2i
i=1
nnnn
n(∑xi2)−(∑xi)2
i=1
i=1
i=1ni=1n
i=1
，
其中n为x和y的长度。用Matlab计算a与b为： >> n = length（x）； >> a_den = n*sum（x.*y）– sum（x）*sum（y）； >> b_den = sum (y).*sum(x.^2) – sum (x).*sum（x.*y）； >> ab_num = n*sum（x.^2）–（sum（x））^2； >> a = a_den/ab_num >> b = b_den/ab_num >> x = 100:0.5:220； >> y = a*x +b >> plot（x,y） （图略）
2. 一维拟合polyfit:
在MATLAB中，一般选用多项式作为拟合函数:
p=polyfit(x, y, n) x, y：测量数据的横纵坐标向量，n为多项式的次数，p：拟合多项式的
系数向量（按降幂排列）。
Y=polyval(p, x) p：多项式系数向量，x：自变量向量，Y：多项式在x处的值 例24：
在某次工程测量中得到如下数据：
X 15 20 25 30 35 40 45 50 Y 0 7442 26703 41635 49785 50209 50226 50230 对以上数据用一次数合适的多项式进行拟合，并画图比较。 解：
先把数据点描出来： >> x = 15:5:50; >> y = [0 7442 26703 41635 49785 50209 50226 50230] >> subplot(2,2,1), plot(x, y,'*')
用2、3、5次多项式对数据进行拟合，分别画出图形，与原数据点进行比较： >> p2 = polyfit(x,y,2) >> p3 = polyfit(x,y,3)
>> p5 = polyfit(x,y,5) >> xi = 15:0.1:50; >> y2i = polyval(p2,xi); >> y3i = polyval(p3,xi); >> y5i = polyval(p5,xi); >> subplot(2,2,2), plot(x, y,'*',xi,y2i,':') >> subplot(2,2,3), plot(x, y,'*',xi,y3i,'-') >> subplot(2,2,4), plot(x, y,'*',xi,y5i,'--') 计算结果为： p2 =
1.0e+004 *[-0.0066 0.5845 -7.6669] p3 =
1.0e+004 *[-0.0001 0.0035 0.2800 -4.8880] p5 =
1.0e+005 *
[-0.0000 0.0000 -0.0015 0.0526 -0.8082 4.5106] 从图中可以看得出来，5次多项式的拟合效果是最好的。
3. 一维插值interp1:
t = interp1(X, Y, X0, 'method') 参数说明：
X：原始数据的横坐标向量，必须是单调增加的向量； Y：原始数据的纵坐标向量；
X0：待插值的点的横坐标，可以是标量或单调增加的向量；
t：若X0为标量，xi 'method'：指定插值的算法，取值如下： 'nearest'：最近插值。该方式不进行插值。而是找出与点X0最接近的原始数据点， 再返回其值； 'linear'：线性插值。该方式认为相邻的点之间是线性关系； 'cubic'：三次插值。该方式认为被插函数在点X0处的值落在过相临两点的三次曲线 上； 'spline'：样条插值。该方式认为被插函数在点X0处的值落在过相临两点的三次样条 曲线上。 例25： 在例24中，由于需要，现估计x = 22, 27, 36时y的值，比较几种插值方式的差异。 解： >> x = 15:5:50; >> y = [0 7442 26703 41635 49785 50209 50226 50230] >> X0 = [22 27 36]; >> Y0_n = interp1(x,y,X0,'nearest'); >> Y0_c = interp1(x,y,X0,'cubic'); >> Y0_s = interp1(x,y,X0,'spline'); >> Y0_l = interp1(x,y,X0,'linear'); >> p5 = polyfit(x,y,5); >> xi = 15:0.1:50; >> y5i = polyval(p5,xi); >> plot(x,y,'*',xi,y5i,':',X0,Y0_n,'s',X0,Y0_c,'p',X0,Y0_s,'h',X0,Y0_l,'d') 上机练习（四）： 1．对下列数据进行1次或3次拟合：(1,4)，(2,3)，(3,0)，(5,-2) 2．求微分方程的符号解：y′′+2y′−3y=e−3x。 六、函数作图 6.1 二维图形plot、fplot： plot(x, y) 平面曲线图形，x为自变量，y为函数值 fplot(FUN, LIMS) FUN为函数名或表达式，LIMS：变量范围 例26： 画下列函数的图形 11（1）y=+−6，x∈[01]； 2(x−0.3)+0.01(x−0.9)2+0.04 ⎧y=tanx⎪ （2）⎨y=sinx，x∈[−2π2π]，y∈[−2π2π]； ⎪⎩y=cosx解： >> x=0:0.01:1; >> y = 1/((x-0.3)^2+0.01)+1/((x-0.9)^2+0.04)-6 ; >> plot(y, [0 1]) >> fplot('[tan(x), sin(x), cos(x)]', 2*pi*[-1 1 -1 1]) 6.2 极坐标作图函数polar： polar(theta, rho) % 用角度theta（弧度表示）和极半径rho作极坐标图 例27： 画极坐标图 ρ=sin(3θ)cos(3θ)，0≤θ≤3π 解： >> theta = linspace(0，3*pi)； 或theta = 0:pi/180:3*pi; >> rho = sin(3*theta).*cos(3*theta)； >> polar(theta，rho，'k') 6.3 三维图形 1 三维曲线plot3: plot3(x_1,y_1,z_1,S_1,x_2,y_2,z_2,S_2,…) 参数说明： x_n, y_n, z_n：是数据点的x坐标，y坐标，z坐标。其中x_n,y_n，z_n为向量或矩阵；S_n：用来指定使用的颜色、标记符号或线形。与plot的形式完全相同。 例28： ⎧x=sint⎪ 画参数函数图 ⎨y=cost，0≤t≤10π. ⎪z=t⎩ 解： >> t = 0:pi/50:10*pi; >> plot3(sin(t),cos(t),t); >> title('Helix Plot') >> xlabel('sint'),ylabel('cost'),zlabel('t') >> text(0,1,0,'Start Point') 2 三维网格图mesh： mesh(x, y, z) x为某一区域内所有取值点的横坐标矩阵；y为所有取值点的纵坐标矩阵； z为函数在取值点的高度矩阵 例29： 在Matlab内部，预定义了一个曲面函数：山峰函数peaks。我们利用它来作为三维曲面的演示函数。 解： >> [X,Y,Z]=peaks(30) >> subplot(2,2,1), mesh(X,Y,Z) >> subplot(2,2,2), meshc(X,Y,Z), hidden on >> subplot(2,2,3), meshz(X,Y,Z), grid on 例30：作z= x2+y2的图形。 解： >> x=0:0.1:10; y=x; >> [X, Y]=meshgrid(x, y); >> Z=sqrt(X.^2+Y.^2); >> mesh(Z) 3 三维曲面图命令surf： surf(x, y, z) surf(z) 参数说明： x，y，z含义同网格图命令mesh。曲面图是在网格图的基础之上，在小网格之间用不同 颜色填充，使图形更加美观。surf的调用格式与mesh的调用格式完全相同。 4 球面sphere： [x, y, z]= sphere(N) %产生3个(N+1)*(N+1)矩阵, 然后再用surf可产生单位球面 sphere(N) %只绘图, 不返回任何值，N为正整数 5 柱面cylinder： [x, y, z]= cylinder(R, N) % R为母线，N等分刻度，用mesh(x,y,z)可产生柱面 例31： x=0 : pi/20 : 3*pi r=5+cos(x) [a,b,c]=cylinder(r, 30); mesh(a,b,c) 6 等高线contour、contour3： contour(z, n) %z为函数值，n为等高线条数，作平面等高线 contour3(z, n) %作三维等高线 z表示函数值，n表示等高线条数 上机练习（五）： 1．作出函数y=excosx在−10≤x≤10的图形； 2．画出z=sin(x2+y2)/(x2+y2)的示意图。 七、线性代数 1 向量运算dot、cross： dot(x, y) 向量x，y的点乘，即内积 cross(x, y) 向量x, y的叉乘，即外积 2 矩阵的转置（’）、transpose： A′或transpose(A) 与线性代数中矩阵的转置相同。 3 矩阵的逆矩阵 (^(-1))、inv: 例31: ⎛123⎞ ⎜⎟ 求A=⎜221⎟的逆矩阵 ⎜343⎟⎝⎠ 解: A = [1 2 3; 2 2 1; 3 4 3] inv(A)或A^(-1) 4 方阵的行列式det: det（A） 计算方阵A行列式的值 5 符号矩阵的运算 (1). 符号矩阵的四则运算： 符号矩阵的四则运算符有：加（＋）、减（－）、乘（×）、除（/、\\）等，或四则运算的函数运算：和（symadd）、差（symsub）、乘 （symmul）、除（symdiv）。 例32： A = sym(‘[1/x, 1/(x+1); 1/(x+2), 1/(x+3)]’) B = sym(‘[x, 1; x+2, 0]’) C = B-A D = A\\B (2). 其他基本运算： 符号矩阵的其他一些基本运算包括转置（'）、行列式（det）、逆（inv）、秩（rank）、幂（^）和指数（exp和expm）等都与数值矩阵相同。 6． 其他常用函数： rank(A) A为矩阵或向量组构成的矩阵 rref(A) 将矩阵A化成行最简形 [L,U] = lu (A) LU分解可把任意方阵分解为下三角矩阵的基本变换形式（行交换）和上 三角矩阵的乘积。即A=LU，L为下三角阵，U为上三角阵。 R = chol(A) 若A为对称正定矩阵，则Cholesky分解可将矩阵A分解成上三角矩阵和其 转置的乘积，即：A=R′∗R 其中R为上三角阵。 [Q, R] = qr(A) 对于任何长方矩阵A，都可以进行QR分解，其中Q为正交矩阵，R为上 三角矩阵的初等变换形式，即：A=QR z = null(A ) z的列向量为方程组AX = 0的正交规范基，满足Z′×Z=I z = null(A,’r’) z的列向量是方程AX=0的有理基 d = eig(A) d为矩阵A的特征值构成的向量 [V, D] = eig(A) D为A的特征值构成的对角阵，矩阵V的列向量为对应特征值的单位特 征向量 norm(X) 求X的范数 orth(A) 将矩阵A正交规范化 以上的函数可以通过帮助命令help获得。 八、优化问题 8.1 线性规化问题 在Matlab中，线性规化问题用linprog函数求解，linprog函数可求解如下形式的线性规化问题： minC′X sub.to:AX≤b X≥0 X=linprog(c,A,b) % 返回线性规划的解向量X X=linprog(c,A,b,vlb) X=linprog(c,A,b,vlb,vub) % vlb, vub分别为变量X的下、上边界约束，即： vlb≤X≤vub X=linprog(c,A,b,vlb,vub,xo) % 设置初始解向量xo 注意：当解无边界或不可行时，linprog产生警告信息。 例33： 某车间生产A和B两种产品，为了生产A和B，所需的原料分别为2和3个单位，而所需的工时分别为4和2个单位。现在可以应用的原料为100个单位，工时为120个单位，每生产一台A和B分别可获得利润6元和4元。应当安排生产A、B各多少台，才能获得最大的利润？ 解： 设该车间应安排生产A、B分别为x1、x2台，问题为： 求解函数 z=6x1+4x2 最大值。 x1、x2满足条件：原材料方面 2x1+3x2≤100 工时方面 4x1+2x2≤120 非负条件 x1、x2≥0 即下列优化问题的求解： max z=6x1+4x2 sub.to: 2x1+3x2≤100 4x1+2x2≤120 x1, x2≥0 化为标准形式： -6x1-4x2 min z= sub.to 2x1+3x2≤100 4x1+2x2≤120 x1, x2≥0 在命令窗口中输入： C=[-6 -4]; A=[2 3;4 2]; b=[100 120]; vlb=[0,0]; [X, lam]=linprog(C, A, b, vlb) 运行后结果如下： X = 20.0000 20.0000 lam = 0.5000 1.2500 0 0 即：条件2x1+3x2≤100、4x1+2x2≤120发挥了作用；X为最优解。 8.2 非线性无约束规划问题 无约束规划由3个功能函数fmin、fmins、fminu实现，其中fmin和fmins算法简单，用于处理简单方便的问题；fminu算法复杂，用于解决较复杂的问题。 1) fmin函数： x=fmin ('f ', x1, x2, options ) 参数说明：。 f为单变量目标函数的；x1, x2为自变量的取值区间；options为控制开关，是可选项。x为目标函数的最小函数值点，也就是一元函数的最小值点问题。 ．．．．．．例34： x3+cosx+xlogx 计算函数 y= 在（0，1）范围内的最小值点与函数最小值。 ex 解： y = inline('(x^3+cos(x)+x*log(x))/exp(x)') x_min = fmin('(x^3+cos(x)+x*log(x))/exp(x)',0,1) y_min = y(x_min) 2） fmins、fminu函数 fmins('f',x0) x=fminu('fun',X0) 参数说明： f为多变量目标函数；X0为初始值。用于求多元函数的最小函数值点。 例35： 求 2x13 + 4x1x23 -10x1x2+x22 的最小值点。 解： X_min =fmins('2*x(1)^3+4*x(1)*x(2)^3-10*x(1)*x(2)+x(2)^2', [0,0]) 例36： 求无约束非线性问题f(x)=100(x2−x1)+(1−x1)， 初始解向量：x0=[-1.2 1]。 解： 编写目标函数文件：文件名为multy_fun.m function f= multy_fun(x) f=100∗(x(2)−x(1)∧2)∧2+(1−x(1))∧2; 在命令窗口中输入： x0 = [-1.2,1]; x_min = fminu('multy_fun',x0) % 求最优解 y_min = multy_fun(x_min) % 求最优值 22 2 第二部分 Lingo软件的使用指南 LINGO是用来求解线性和非线性优化问题的简易工具。LINGO内置了一种建立最优化模型的语言，可以简便地表达大规模问题，利用LINGO高效的求解器可快速求解并分析结果。 一、 LINGO快速入门 当你在windows下开始运行LINGO系统时，会得到类似下面的一个窗口： 外层是主框架窗口，包含了所有菜单命令和工具条，其它所有的窗口将被包含在主窗口之下。在主窗口内的标题为LINGO Model – LINGO1的窗口是LINGO的默认模型窗口，建立的模型都都要在该窗口内编码实现。下面举两个例子。 例1.1 如何在LINGO中求解如下的LP问题： mins.t. 2x1+3x2x1+x2≥350x1 ≥100 2x1+x2≤600x1,x2≥0 在模型窗口中输入如下代码： min=2*x1+3*x2; x1+x2>=350; x1>=100; 2*x1+x2<=600; 然后点击工具条上的按钮 即可。 例1.2 使用LINGO软件计算6个发点8个收点的最小费用运输问题。产销单位运价如下表。 单 位 销地 运 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 产量 价 产地 A1 A2 A3 A4 A5 A6 销量 6 4 5 7 2 5 35 2 9 2 6 3 5 37 6 5 1 7 9 2 22 7 3 9 3 5 2 32 4 8 7 9 7 8 41 2 5 4 2 2 1 32 5 8 3 7 6 4 43 9 2 3 1 5 3 38 60 55 51 43 41 52 使用LINGO软件，编制程序如下： model: !6发点8收点运输问题; sets: warehouses/wh1..wh6/: capacity; vendors/v1..v8/: demand; links(warehouses,vendors): cost, volume; endsets !目标函数; min=@sum(links: cost*volume); !需求约束; @for(vendors(J): @sum(warehouses(I): volume(I,J))=demand(J)); !产量约束; @for(warehouses(I): @sum(vendors(J): volume(I,J))<=capacity(I)); !这里是数据; data: capacity=60 55 51 43 41 52; demand=35 37 22 32 41 32 43 38; cost=6 2 6 7 4 2 9 5 4 9 5 3 8 5 8 2 5 2 1 9 7 4 3 3 7 6 7 3 9 2 7 1 2 3 9 5 7 2 6 5 5 5 2 2 8 1 4 3; enddata end 然后点击工具条上的按钮 即可。 为了能够使用LINGO的强大功能，接着第二节的学习吧。 二、 LINGO中的集 对实际问题建模的时候，总会遇到一群或多群相联系的对象，比如工厂、消费者群体、交通工具和雇工等等。LINGO允许把这些相联系的对象聚合成集（sets）。一旦把对象聚合成集，就可以利用集来最大限度的发挥LINGO建模语言的优势。 现在我们将深入介绍如何创建集，并用数据初始化集的属性。学完本节后，你对基于建模技术的集如何引入模型会有一个基本的理解。 2.1 为什么使用集 集是LINGO建模语言的基础，是程序设计最强有力的基本构件。借助于集，能够用一个单一的、长的、简明的复合公式表示一系列相似的约束，从而可以快速方便地表达规模较大的模型。 2.2 什么是集 集是一群相联系的对象，这些对象也称为集的成员。一个集可能是一系列产品、卡车或雇员。每个集成员可能有一个或多个与之有关联的特征，我们把这些特征称为属性。属性值可以预先给定，也可以是未知的，有待于LINGO求解。例如，产品集中的每个产品可以有一个价格属性；卡车集中的每辆卡车可以有一个牵引力属性；雇员集中的每位雇员可以有一个薪水属性，也可以有一个生日属性等等。 LINGO有两种类型的集：原始集(primitive set)和派生集(derived set)。 一个原始集是由一些最基本的对象组成的。 一个派生集是用一个或多个其它集来定义的，也就是说，它的成员来自于其它已存在的 集。 2.3 模型的集部分 集部分是LINGO模型的一个可选部分。在LINGO模型中使用集之前，必须在集部分事先定义。集部分以关键字“sets:”开始，以“endsets”结束。一个模型可以没有集部分，或有一个简单的集部分，或有多个集部分。一个集部分可以放置于模型的任何地方，但是一个集及其属性在模型约束中被引用之前必须定义了它们。 2.3.1 定义原始集 为了定义一个原始集，必须详细声明： ·集的名字 ·可选，集的成员 ·可选，集成员的属性 定义一个原始集，用下面的语法： setname[/member_list/][:attribute_list]; 注意：用“[]”表示该部分内容可选。下同，不再赘述。 Setname是你选择的来标记集的名字，最好具有较强的可读性。集名字必须严格符合标准命名规则：以拉丁字母或下划线（_）为首字符，其后由拉丁字母（A—Z）、下划线、阿拉伯数字（0，1，…，9）组成的总长度不超过32个字符的字符串，且不区分大小写。 注意：该命名规则同样适用于集成员名和属性名等的命名。 Member_list是集成员列表。如果集成员放在集定义中，那么对它们可采取显式罗列和隐式罗列两种方式。如果集成员不放在集定义中，那么可以在随后的数据部分定义它们。 ① 当显式罗列成员时，必须为每个成员输入一个不同的名字，中间用空格或逗号搁开，允许混合使用。 例2.1 可以定义一个名为students的原始集，它具有成员John、Jill、Rose和Mike，属性有sex和age： sets: students/John Jill, Rose Mike/: sex, age; endsets ② 当隐式罗列成员时，不必罗列出每个集成员。可采用如下语法： setname/member1..memberN/[: attribute_list]; 这里的member1是集的第一个成员名，memberN是集的最末一个成员名。LINGO将自动产生中间的所有成员名。LINGO也接受一些特定的首成员名和末成员名，用于创建一些特殊的集。列表如下： 隐式成员列表格式 1..n StringM..StringN DayM..DayN MonthM..MonthN 1..5 示例 所产生集成员 1,2,3,4,5 Car2,Car3,Car4,…,Car14 Mon,Tue,Wed,Thu,Fri Oct,Nov,Dec,Jan Oct2001,Nov2001,Dec2001,Jan2002 Car2..car14 Mon..Fri Oct..Jan MonthYearM..MonthYearN Oct2001..Jan2002 ③ 集成员不放在集定义中，而在随后的数据部分来定义。 例2.2 !集部分; sets: students:sex,age; endsets !数据部分; data: students,sex,age= John 1 16 Jill 0 14 Rose 0 17 Mike 1 13; enddata 注意：开头用感叹号（!），末尾用分号（;）表示注释，可跨多行。 在集部分只定义了一个集students，并未指定成员。在数据部分罗列了集成员John、Jill、Rose和Mike，并对属性sex和age分别给出了值。 集成员无论用何种字符标记,它的索引都是从1开始连续计数。在attribute_ list可以指定一个或多个集成员的属性，属性之间必须用逗号隔开。 可以把集、集成员和集属性同C语言中的结构体作个类比。如下图： 集 ←→ 结构体 集成员 ←→ 结构体的域 集属性 ←→ 结构体实例 LINGO内置的建模语言是一种描述性语言，用它可以描述现实世界中的一些问题，然后再借助于LINGO求解器求解。因此，集属性的值一旦在模型中被确定，就不可能再更改。在LINGO中，只有在初始部分中给出的集属性值在以后的求解中可更改。这与前面并不矛盾，初始部分是LINGO求解器的需要，并不是描述问题所必须的。 2.3.2 定义派生集 为了定义一个派生集，必须详细声明： ·集的名字 ·父集的名字 ·可选，集成员 ·可选，集成员的属性 可用下面的语法定义一个派生集： setname(parent_set_list)[/member_list/][:attribute_list]; setname是集的名字。parent_set_list是已定义的集的列表，多个时必须用逗号隔开。如果没有指定成员列表，那么LINGO会自动创建父集成员的所有组合作为派生集的成员。派生集的父集既可以是原始集，也可以是其它的派生集。 例2.3 sets: product/A B/; machine/M N/; week/1..2/; allowed(product,machine,week):x; endsets LINGO生成了三个父集的所有组合共八组作为allowed集的成员。列表如下： 编号 成员 1 (A,M,1) 2 2 (A,M,2) 3 3 (A,N,1) 4 4 (A,N,2) 5 5 (B,M,1) 6 6 (B,M,2) 7 7 (B,N,1) 8 8 (B,N,2) 成员列表被忽略时，派生集成员由父集成员所有的组合构成，这样的派生集成为稠密集。如果限制派生集的成员，使它成为父集成员所有组合构成的集合的一个子集，这样的派生集成为稀疏集。同原始集一样，派生集成员的声明也可以放在数据部分。一个派生集的成员列表有两种方式生成：①显式罗列；②设置成员资格过滤器。当采用方式①时，必须显式罗列出所有要包含在派生集中的成员，并且罗列的每个成员必须属于稠密集。使用前面的例子，显式罗列派生集的成员： allowed(product,machine,week)/A M 1,A N 2,B N 1/; 如果需要生成一个大的、稀疏的集，那么显式罗列就很讨厌。幸运地是许多稀疏集的成员都满足一些条件以和非成员相区分。我们可以把这些逻辑条件看作过滤器，在LINGO生成派生集的成员时把使逻辑条件为假的成员从稠密集中过滤掉。 例2.4 sets: !学生集：性别属性sex，1表示男性，0表示女性；年龄属性age. ; students/John,Jill,Rose,Mike/:sex,age; !男学生和女学生的联系集：友好程度属性friend，[0，1]之间的数。 ; linkmf(students,students)|sex(&1) #eq# 1 #and# sex(&2) #eq# 0: friend; !男学生和女学生的友好程度大于0.5的集; linkmf2(linkmf) | friend(&1,&2) #ge# 0.5 : x; endsets data: sex,age = 1 16 0 14 0 17 0 13; friend = 0.3 0.5 0.6; enddata 用竖线（|）来标记一个成员资格过滤器的开始。#eq#是逻辑运算符，用来判断是否“相等”，可参考§4. &1可看作派生集的第1个原始父集的索引，它取遍该原始父集的所有成员；&2可看作派生集的第2 个原始父集的索引，它取遍该原始父集的所有成员；&3，&4，……，以此类推。注意如果派生集B的父集是另外的派生集A，那么上面所说的原始父集是集A向前回溯到最终的原始集，其顺序保持不变，并且派生集A的过滤器对派生集B仍然有效。因此，派生集的索引个数是最终原始父集的个数，索引的取值是从原始父集到当前派生集所作限制的总和。 总的来说，LINGO可识别的集只有两种类型：原始集和派生集。 在一个模型中，原始集是基本的对象，不能再被拆分成更小的组分。原始集可以由显式罗列和隐式罗列两种方式来定义。当用显式罗列方式时，需在集成员列表中逐个输入每个成 员。当用隐式罗列方式时，只需在集成员列表中输入首成员和末成员，而中间的成员由LINGO产生。 另一方面，派生集是由其它的集来创建。这些集被称为该派生集的父集（原始集或其它的派生集）。一个派生集既可以是稀疏的，也可以是稠密的。稠密集包含了父集成员的所有组合（有时也称为父集的笛卡尔乘积）。稀疏集仅包含了父集的笛卡尔乘积的一个子集，可通过显式罗列和成员资格过滤器这两种方式来定义。显式罗列方法就是逐个罗列稀疏集的成员。成员资格过滤器方法通过使用稀疏集成员必须满足的逻辑条件从稠密集成员中过滤出稀疏集的成员。不同集类型的关系见下图。 集 派生集 原始集 稀疏集 稠密集 过滤器 显式罗列 LINGO集类型 三、 模型的数据部分和初始部分 在处理模型的数据时，需要为集指派一些成员并且在LINGO求解模型之前为集的某些属性指定值。为此，LINGO为用户提供了两个可选部分：输入集成员和数据的数据部分（Data Section）和为决策变量设置初始值的初始部分（Init Section）。 3.1 模型的数据部分 3.1.1 数据部分入门 数据部分提供了模型相对静止部分和数据分离的可能性。显然，这对模型的维护和维数的缩放非常便利。 数据部分以关键字“data:”开始，以关键字“enddata”结束。在这里，可以指定集成员、集的属性。其语法如下： object_list = value_list; 对象列（object_list）包含要指定值的属性名、要设置集成员的集名，用逗号或空格隔开。一个对象列中至多有一个集名，而属性名可以有任意多。如果对象列中有多个属性名，那么它们的类型必须一致。如果对象列中有一个集名，那么对象列中所有的属性的类型就是这个集。 数值列（value_list）包含要分配给对象列中的对象的值，用逗号或空格隔开。注意属性值的个数必须等于集成员的个数。看下面的例子。 例3.1 sets: set1/A,B,C/: X,Y; endsets data: X=1,2,3; Y=4,5,6; enddata 在集set1中定义了两个属性X和Y。X的三个值是1、2和3，Y的三个值是4、5和6。也可采用如下例子中的复合数据声明（data statement）实现同样的功能。 例3.2 sets: set1/A,B,C/: X,Y; endsets data: X,Y=1 4 2 5 3 6; enddata 看到这个例子，可能会认为X被指定了1、4和2三个值，因为它们是数值列中前三个，而正确的答案是1、2和3。假设对象列有n个对象，LINGO在为对象指定值时，首先在n个对象的第1个索引处依次分配数值列中的前n个对象，然后在n个对象的第2个索引处依次分配数值列中紧接着的n个对象，……，以此类推。 模型的所有数据——属性值和集成员——被单独放在数据部分，这可能是最规范的数据输入方式。 3.1.2 参数 在数据部分也可以指定一些标量变量（scalar variables）。当一个标量变量在数据部分确定时，称之为参数。看一例，假设模型中用利率8.5%作为一个参数，就可以象下面一样输入一个利率作为参数。 例3.3 data: interest_rate = .085; enddata 也可以同时指定多个参数。 例3.4 data: interest_rate,inflation_rate = .085 .03; enddata 3.1.3 实时数据处理 在某些情况，对于模型中的某些数据并不是定值。譬如模型中有一个通货膨胀率的参数，我们想在2%至6%范围内，对不同的值求解模型，来观察模型的结果对通货膨胀的依赖有多么敏感。我们把这种情况称为实时数据处理（what if analysis）。LINGO有一个特征可方便地做到这件事。 在本该放数的地方输入一个问号（?）。 例3.5 data: interest_rate,inflation_rate = .085 ?; enddata 每一次求解模型时，LINGO都会提示为参数inflation_rate输入一个值。在WINDOWS操作系统下，将会接收到一个类似下面的对话框： 直接输入一个值再点击OK按钮，LINGO就会把输入的值指定给inflation_rate，然后继续 求解模型。 除了参数之外，也可以实时输入集的属性值，但不允许实时输入集成员名。 3.1.4 指定属性为一个值 可以在数据声明的右边输入一个值来把所有的成员的该属性指定为一个值。看下面的例子。 例3.6 sets: days /MO,TU,WE,TH,FR,SA,SU/:needs; endsets data: needs = 20; enddata LINGO将用20指定days集的所有成员的needs属性。对于多个属性的情形，见下例。 例3.7 sets: days /MO,TU,WE,TH,FR,SA,SU/:needs,cost; endsets data: needs cost = 20 100; enddata 3.1.5 数据部分的未知数值 有时只想为一个集的部分成员的某个属性指定值，而让其余成员的该属性保持未知，以便让LINGO去求出它们的最优值。在数据声明中输入两个相连的逗号表示该位置对应的集成员的属性值未知。两个逗号间可以有空格。 例3.8 sets: years/1..5/: capacity; endsets data: capacity = ,34,20,,; enddata 属性capacity的第2个和第3个值分别为34和20，其余的未知。 3.2 模型的初始部分 初始部分是LINGO提供的另一个可选部分。在初始部分中，可以输入初始声明（initialization statement），和数据部分中的数据声明相同。对实际问题的建模时，初始部分并不起到描述模型的作用，在初始部分输入的值仅被LINGO求解器当作初始点来用，并且仅仅对非线性模型有用。和数据部分指定变量的值不同，LINGO求解器可以自由改变初始部分初始化的变量的值。 一个初始部分以“init:”开始，以“endinit”结束。初始部分的初始声明规则和数据部分的数据声明规则相同。也就是说，我们可以在声明的左边同时初始化多个集属性，可以把集属性初始化为一个值，可以用问号实现实时数据处理，还可以用逗号指定未知数值。 例3.9 init: X, Y = 0, .1; endinit Y=@log(X); X^2+Y^2<=1; 好的初始点会减少模型的求解时间。 在这一节中，我们仅带大家接触了一些基本的数据输入和初始化概念，不过现在你应该可以轻松的为自己的模型加入原始数据和初始部分啦。 四、 LINGO函数 有了前几节的基础知识，再加上本节的内容，你就能够借助于LINGO建立并求解复杂的优化模型了。 LINGO有9种类型的函数： 1． 1． 基本运算符：包括算术运算符、逻辑运算符和关系运算符 2． 2． 数学函数：三角函数和常规的数学函数 3． 3． 金融函数：LINGO提供的两种金融函数 4． 4． 概率函数：LINGO提供了大量概率相关的函数 5． 5． 变量界定函数：这类函数用来定义变量的取值范围 6． 6． 集操作函数：这类函数为对集的操作提供帮助 7． 7． 集循环函数：遍历集的元素，执行一定的操作的函数 8． 8． 数据输入输出函数：这类函数允许模型和外部数据源相联系，进行数据的输入 输出 9． 9． 辅助函数：各种杂类函数 4.1 基本运算符 这些运算符是非常基本的，甚至可以不认为它们是一类函数。事实上，在LINGO中它们是非常重要的。 4.1.1 算术运算符 算术运算符是针对数值进行操作的。LINGO提供了5种二元运算符： ＾ 乘方 ﹡ 乘 ／ 除 ﹢ 加 ﹣ 减 LINGO唯一的一元算术运算符是取反函数“﹣”。 这些运算符的优先级由高到底为： 高 ﹣（取反） ＾ ﹡／ 低 ﹢﹣ 运算符的运算次序为从左到右按优先级高低来执行。运算的次序可以用圆括号“（）”来改变。 例4.1 算术运算符示例。 2﹣5／3，(2﹢4)／5等等。 4.1.2 逻辑运算符 在LINGO中，逻辑运算符主要用于集循环函数的条件表达式中，来控制在函数中哪些集成员被包含，哪些被排斥。在创建稀疏集时用在成员资格过滤器中。 LINGO具有９种逻辑运算符： #not# 否定该操作数的逻辑值，＃not＃是一个一元运算符 #eq# 若两个运算数相等，则为true；否则为flase #ne# 若两个运算符不相等，则为true；否则为flase #gt# 若左边的运算符严格大于右边的运算符，则为true；否则为flase #ge# 若左边的运算符大于或等于右边的运算符，则为true；否则为flase #lt# 若左边的运算符严格小于右边的运算符，则为true；否则为flase #le# 若左边的运算符小于或等于右边的运算符，则为true；否则为flase #and# 仅当两个参数都为true时，结果为true；否则为flase #or# 仅当两个参数都为false时，结果为false；否则为true 这些运算符的优先级由高到低为： 高 #not# #eq# #ne# #gt# #ge# #lt# #le# 低 #and# #or# 例4.2 逻辑运算符示例 2 #gt# 3 #and# 4 #gt# 2，其结果为假（0）。 4.1.3 关系运算符 在LINGO中，关系运算符主要是被用在模型中，来指定一个表达式的左边是否等于、小于等于、或者大于等于右边，形成模型的一个约束条件。关系运算符与逻辑运算符#eq#、#le#、#ge#截然不同，前者是模型中该关系运算符所指定关系的为真描述，而后者仅仅判断一个该关系是否被满足：满足为真，不满足为假。 LINGO有三种关系运算符：“=”、“<=”和“>=”。LINGO中还能用“<”表示小于等于关系，“>”表示大于等于关系。LINGO并不支持严格小于和严格大于关系运算符。然而，如果需要严格小于和严格大于关系，比如让A严格小于B： A A+ε<=B， 这里ε是一个小的正数，它的值依赖于模型中A小于B多少才算不等。 下面给出以上三类操作符的优先级： 高 #not# ﹣（取反） ＾ ﹡ ／ ﹢﹣ #eq# #ne# #gt# #ge# #lt# #le# #and# #or# 低 <= = >= 4.2 数学函数 LINGO提供了大量的标准数学函数： @abs(x) 返回x的绝对值 @sin(x) 返回x的正弦值，x采用弧度制 @cos(x) 返回x的余弦值 @tan(x) 返回x的正切值 @exp(x) 返回常数e的x次方 @log(x) 返回x的自然对数 @lgm(x) 返回x的gamma函数的自然对数 @sign(x) 如果x<0返回-1；否则，返回1 @floor(x) 返回x的整数部分。当x>=0时，返回不超过x的最大整数；当x<0 时，返回不低于x的最大整数。 @smax(x1,x2,…,xn) 返回x1，x2，…，xn中的最大值 @smin(x1,x2,…,xn) 返回x1，x2，…，xn中的最小值 例4.3 给定一个直角三角形，求包含该三角形的最小正方形。 解：如图所示。 CE=asinx,AD=bcosx,DE=acosx+bsinx, 求最小的正方形就相当于求如下的最优化问题： minmax{CE,AD,DE}0≤x≤ πC a x E 2 LINGO代码如下： model: sets: object/1..3/: f; B b A D endsets data: a, b = 3, 4; !两个直角边长，修改很方便; enddata f(1) = a * @sin(x); f(2) = b * @cos(x); f(3) = a * @cos(x) + b * @sin(x); min = @smax(f(1),f(2),f(3)); @bnd(0,x,1.57); end 在上面的代码中用到了函数@bnd，详情请见4.5节。 4.3 金融函数 目前LINGO提供了两个金融函数。 1．@fpa(I,n) 返回如下情形的净现值：单位时段利率为I，连续n个时段支付，每个时段支付单位费用。若每个时段支付x单位的费用，则净现值可用x乘以@fpa(I,n)算得。@fpa的计算公式为 11−(1+I)−n =∑k I(1+)Ik=1。 n 净现值就是在一定时期内为了获得一定收益在该时期初所支付的实际费用。 例4.4 贷款买房问题 贷款金额50000元，贷款年利率5.31%，采取分期付款方式（每年年末还固定金额，直至还清）。问拟贷款10年，每年需偿还多少元？ LINGO代码如下： 50000 = x * @fpa(.0531,10); 答案是x=6573.069元。 2．@fpl(I,n) 返回如下情形的净现值：单位时段利率为I，第n个时段支付单位费用。@fpl(I,n)的计算公式为 (1+I)−n。 细心的读者可以发现这两个函数间的关系： @fpa(I,n)=∑@fpl(I,k) k=1 n 。 4.4 概率函数 1．@pbn(p,n,x) 二项分布的累积分布函数。当n和（或）x不是整数时，用线性插值法进行计算。 2．@pcx(n,x) 2 自由度为n的χ分布的累积分布函数。 3．@peb(a,x) 当到达负荷为a，服务系统有x个服务器且允许无穷排队时的Erlang繁忙概率。 4．@pel(a,x) 当到达负荷为a，服务系统有x个服务器且不允许排队时的Erlang繁忙概率。 5．@pfd(n,d,x) 自由度为n和d的F分布的累积分布函数。 6．@pfs(a,x,c) 当负荷上限为a，顾客数为c，平行服务器数量为x时，有限源的Poisson服务系统的等待或返修顾客数的期望值。a是顾客数乘以平均服务时间，再除以平均返修时间。当c和（或）x不是整数时，采用线性插值进行计算。 7．@phg(pop,g,n,x) 超几何（Hypergeometric）分布的累积分布函数。pop表示产品总数，g是正品数。从所有产品中任意取出n（n≤pop）件。pop，g，n和x都可以是非整数，这时采用线性插值进行计算。 8．@ppl(a,x) Poisson分布的线性损失函数，即返回max(0,z-x)的期望值，其中随机变量z服从均值为a的Poisson分布。 9．@pps(a,x) 均值为a的Poisson分布的累积分布函数。当x不是整数时，采用线性插值进行计算。 10．@psl(x) 单位正态线性损失函数，即返回max(0,z-x)的期望值，其中随机变量z服从标准正态分布。 11．@psn(x) 标准正态分布的累积分布函数。 12．@ptd(n,x) 自由度为n的t分布的累积分布函数。 13．@qrand(seed) 产生服从(0,1)区间的拟随机数。@qrand只允许在模型的数据部分使用，它将用拟随机数填满集属性。通常，声明一个m×n的二维表，m表示运行实验的次数，n表示每次实验所需的随机数的个数。在行内，随机数是独立分布的；在行间，随机数是非常均匀的。这些随机数是用“分层取样”的方法产生的。 例4.5 model: data: M=4; N=2; seed=1234567; enddata sets: rows/1..M/; cols/1..N/; table(rows,cols): x; endsets data: X=@qrand(seed); enddata end 如果没有为函数指定种子，那么LINGO将用系统时间构造种子。 14．@rand(seed) 返回0和1间的伪随机数，依赖于指定的种子。典型用法是U(I+1)=@rand(U(I))。注意如果seed不变，那么产生的随机数也不变。 例4.6 利用@rand产生15个标准正态分布的随机数和自由度为2的t分布的随机数。 model: !产生一列正态分布和t分布的随机数; sets: series/1..15/: u, znorm, zt; endsets !第一个均匀分布随机数是任意的; u( 1) = @rand( .1234); !产生其余的均匀分布的随机数; @for(series( I)| I #GT# 1: u( I) = @rand( u( I - 1)) ); @for( series( I): !正态分布随机数; @psn( znorm( I)) = u( I); !和自由度为2的t分布随机数; @ptd( 2, zt( I)) = u( I); !ZNORM 和 ZT 可以是负数; @free( znorm( I)); @free( zt( I)); ); end 4.5 变量界定函数 变量界定函数实现对变量取值范围的附加限制，共4种： @bin(x) 限制x为0或1 @bnd(L,x,U) 限制L≤x≤U @free(x) 取消对变量x的默认下界为0的限制，即x可以取任意实数 @gin(x) 限制x为整数 在默认情况下，LINGO规定变量是非负的，也就是说下界为0，上界为+∞。@free取消了默认的下界为0的限制，使变量也可以取负值。@bnd用于设定一个变量的上下界,它也可以取消默认下界为0的约束。 4.6 集操作函数 LINGO提供了几个函数帮助处理集。 1．@in(set_name,primitive_index_1 [,primitive_index_2,…]) 如果元素在指定集中，返回1；否则返回0。 例4.7 全集为I，B是I的一个子集，C是B的补集。 sets: I/x1..x4/; B(I)/x2/; C(I)|#not#@in(B,&1):; endsets 2．@index([set_name,] primitive_set_element) 该函数返回在集set_name中原始集成员primitive_set_element的索引。如果set_name被忽略，那么LINGO将返回与primitive_set_element匹配的第一个原始集成员的索引。如果找不到，则产生一个错误。 例4.8 如何确定集成员(B,Y)属于派生集S3。 sets: S1/A B C/; S2/X Y Z/; S3(S1,S2)/A X, A Z, B Y, C X/; endsets X=@in(S3,@index(S1,B),@index(S2,Y)); 看下面的例子，表明有时为@index指定集是必要的。 例4.9 sets: girls/debble,sue,alice/; boys/bob,joe,sue,fred/; endsets I1=@index(sue); I2=@index(boys,sue); I1的值是2，I2的值是3。我们建议在使用@index函数时最好指定集。 3．@wrap(index,limit) 该函数返回j=index-k*limit，其中k是一个整数，取适当值保证j落在区间[1，limit]内。该函数相当于index模limit再加1。该函数在循环、多阶段计划编制中特别有用。 4．@size(set_name) 该函数返回集set_name的成员个数。在模型中明确给出集大小时最好使用该函数。它的使用使模型更加数据中立，集大小改变时也更易维护。 4.7 集循环函数 集循环函数遍历整个集进行操作。其语法为 @function(setname[(set_index_list)[|conditional_qualifier]]: expression_list); @function相应于下面罗列的四个集循环函数之一；setname是要遍历的集；set_ index_list是集索引列表；conditional_qualifier是用来限制集循环函数的范围，当集循环函数遍历集的每个成员时，LINGO都要对conditional_qualifier进行评价，若结果为真，则对该成员执行@function操作，否则跳过，继续执行下一次循环。expression_list是被应用到每个集成员的表达式列表，当用的是@for函数时，expression_list可以包含多个表达式，其间用逗号隔开。这些表达式将被作为约束加到模型中。当使用其余的三个集循环函数时，expression_list只能有一个表达式。如果省略set_index_list，那么在expression_list中引用的所有属性的类型都是setname集。 1．@for 该函数用来产生对集成员的约束。基于建模语言的标量需要显式输入每个约束，不过@for函数允许只输入一个约束，然后LINGO自动产生每个集成员的约束。 例4.10 产生序列{1,4,9,16,25} model: sets: number/1..5/:x; endsets @for(number(I): x(I)=I^2); end 2．@sum 该函数返回遍历指定的集成员的一个表达式的和。 例4.11 求向量[5，1，3，4，6，10]前5个数的和。 model: data: N=6; enddata sets: number/1..N/:x; endsets data: x = 5 1 3 4 6 10; enddata s=@sum(number(I) | I #le# 5: x); end 3．@min和@max 返回指定的集成员的一个表达式的最小值或最大值。 例4.12 求向量[5，1，3，4，6，10]前5个数的最小值，后3个数的最大值。 model: data: N=6; enddata sets: number/1..N/:x; endsets data: x = 5 1 3 4 6 10; enddata minv=@min(number(I) | I #le# 5: x); maxv=@max(number(I) | I #ge# N-2: x); end 下面看一个稍微复杂一点儿的例子。 例4.13 职员时序安排模型 一项工作一周7天都需要有人（比如护士工作），每天（周一至周日）所需的最少职员数为20、16、13、16、19、14和12，并要求每个职员一周连续 工作5天，试求每周所需最少职员数，并给出安排。注意这里我们考虑稳定后的情况。 model: sets: days/mon..sun/: required,start; endsets data: !每天所需的最少职员数; required = 20 16 13 16 19 14 12; enddata !最小化每周所需职员数; min=@sum(days: start); @for(days(J): @sum(days(I) | I #le# 5: start(@wrap(J+I+2,7))) >= required(J)); end 计算的部分结果为 Global optimal solution found at iteration: 0 Objective value: 22.00000 Variable Value Reduced Cost REQUIRED( MON) 20.00000 0.000000 REQUIRED( TUE) 16.00000 0.000000 REQUIRED( WED) 13.00000 0.000000 REQUIRED( THU) 16.00000 0.000000 REQUIRED( FRI) 19.00000 0.000000 REQUIRED( SAT) 14.00000 0.000000 REQUIRED( SUN) 12.00000 0.000000 START( MON) 8.000000 0.000000 START( TUE) 2.000000 0.000000 START( WED) 0.000000 0.3333333 START( THU) 6.000000 0.000000 START( FRI) 3.000000 0.000000 START( SAT) 3.000000 0.000000 START( SUN) 0.000000 0.000000 从而解决方案是：每周最少需要22个职员，周一安排8人，周二安排2人，周三无需安排人，周四安排6人，周五和周六都安排3人，周日无需安排人。 4.8 输入和输出函数 输入和输出函数可以把模型和外部数据比如文本文件、数据库和电子表格等连接起来。 1．@file函数 该函数用从外部文件中输入数据，可以放在模型中任何地方。该函数的语法格式为@file(’filename’)。这里filename是文件名，可以采用相对路径和绝对路径两种表示方式。@file函数对同一文件的两种表示方式的处理和对两个不同的文件处理是一样的，这一点必须注意。 例4.14 以例1.2来讲解@file函数的用法。 注意到在例1.2的编码中有两处涉及到数据。第一个地方是集部分的6个warehouses集成员和8个vendors集成员；第二个地方是数据部分的capacity，demand和cost数据。 为了使数据和我们的模型完全分开，我们把它们移到外部的文本文件中。修改模型代码以便于用@file函数把数据从文本文件中拖到模型中来。修改后（修改处代码黑体加粗）的模型代码如下： model: !6发点8收点运输问题; sets: warehouses/ @file('1_2.txt') /: capacity; vendors/ @file('1_2.txt') /: demand; links(warehouses,vendors): cost, volume; endsets !目标函数; min=@sum(links: cost*volume); !需求约束; @for(vendors(J): @sum(warehouses(I): volume(I,J))=demand(J)); !产量约束; @for(warehouses(I): @sum(vendors(J): volume(I,J))<=capacity(I)); !这里是数据; data: capacity = @file('1_2.txt') ; demand = @file('1_2.txt') ; cost = @file('1_2.txt') ; enddata end 模型的所有数据来自于1_2.txt文件。其内容如下： !warehouses成员; WH1 WH2 WH3 WH4 WH5 WH6 ~ !vendors成员; V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 ~ !产量; 60 55 51 43 41 52 ~ !销量; 35 37 22 32 41 32 43 38 ~ !单位运输费用矩阵; 6 2 6 7 4 2 5 9 4 9 5 3 8 5 8 2 5 2 1 9 7 4 3 3 7 6 7 3 9 2 7 1 2 3 9 5 7 2 6 5 5 5 2 2 8 1 4 3 把记录结束标记（~）之间的数据文件部分称为记录。如果数据文件中没有记录结束标记，那么整个文件被看作单个记录。注意到除了记录结束标记外，模型的文本和数据同它们直接放在模型里是一样的。 我们来看一下在数据文件中的记录结束标记连同模型中@file函数调用是如何工作的。当在模型中第一次调用@file函数时，LINGO打开数据文件，然后读取第一个记录；第二次调用@file函数时，LINGO读取第二个记录等等。文件的最后一条记录可以没有记录结束标记，当遇到文件结束标记时，LINGO会读取最后一条记录，然后关闭文件。如果最后一条记录也有记录结束标记，那么直到LINGO求解完当前模型后才关闭该文件。如果多个文件保持打开状态，可能就会导致一些问题，因为这会使同时打开的文件总数超过允许同时打开文件的上限16。 当使用@file函数时，可把记录的内容（除了一些记录结束标记外）看作是替代模型中@file(’filename’)位置的文本。这也就是说，一条记录可以是声明的一部分，整个声明，或一系列声明。在数据文件中注释被忽略。注意在LINGO中不允许嵌套调用@file函数。 2．@text函数 该函数被用在数据部分用来把解输出至文本文件中。它可以输出集成员和集属性值。其语法为 @text([’filename’]) 这里filename是文件名，可以采用相对路径和绝对路径两种表示方式。如果忽略filename，那么数据就被输出到标准输出设备（大多数情形都是屏幕）。@text函数仅能出现在模型数据部分的一条语句的左边，右边是集名（用来输出该集的所有成员名）或集属性名（用来输出该集属性的值）。 我们把用接口函数产生输出的数据声明称为输出操作。输出操作仅当求解器求解完模型后才执行，执行次序取决于其在模型中出现的先后。 例4.15 借用例4.12，说明@text的用法。 model: sets: days/mon..sun/: required,start; endsets data: !每天所需的最少职员数; required = 20 16 13 16 19 14 12; @text('d:\\out.txt')=days '至少需要的职员数为' start; enddata !最小化每周所需职员数; min=@sum(days: start); @for(days(J): @sum(days(I) | I #le# 5: start(@wrap(J+I+2,7))) >= required(J)); end 3．@ole函数 @OLE是从EXCEL中引入或输出数据的接口函数，它是基于传输的OLE技术。OLE传输直接在内存中传输数据，并不借助于中间文件。当使用@OLE时，LINGO先装载EXCEL，再通知EXCEL装载指定的电子数据表，最后从电子数据表中获得Ranges。为了使用OLE函数，必须有EXCEL5及其以上版本。OLE函数可在数据部分和初始部分引入数据。 @OLE可以同时读集成员和集属性，集成员最好用文本格式，集属性最好用数值格式。原始集每个集成员需要一个单元(cell)，而对于n元的派生集每个集成员需要n个单元，这里第一行的n个单元对应派生集的第一个集成员，第二行的n个单元对应派生集的第二个集成员，依此类推。 @OLE只能读一维或二维的Ranges（在单个的EXCEL工作表(sheet)中），但不能读间断的或三维的Ranges。Ranges是自左而右、自上而下来读。 例4.16 sets: PRODUCT; !产品; MACHINE; !机器; WEEK; !周; ALLOWED(PRODUCT,MACHINE,WEEK):x,y; !允许组合及属性; endsets data: rate=0.01; PRODUCT,MACHINE,WEEK,ALLOWED,x,y=@OLE('D:\\IMPORT.XLS'); @OLE('D:\\IMPORT.XLS')=rate; enddata 代替在代码文本的数据部分显式输入形式，我们把相关数据全部放在如下电子数据表中来输入。下面是D:\\IMPORT.XLS的图表。 除了输入数据之外，我们也必须定义Ranges名：PRODUCT，MACHINE，WEEK，ALLOWED，x，y. 明确的，我们需要定义如下的Ranges名： Name Range PRODUCT B3:B4 MACHINE C3:C4 WEEK D3:D5 ALLOWED B8:D10 X F8:F10 Y G8:G10 rate C13 为了在EXCEL中定义Ranges名： ① 按鼠标左键拖曳选择Range， ② 释放鼠标按钮， ③ 选择“插入|名称|定义”， ④ 输入希望的名字， ⑤ 点击“确定”按钮。 我们在模型的数据部分用如下代码从EXECL中引入数据： PRODUCT,MACHINE,WEEK,ALLOWED,x,y=@OLE('D:\\IMPORT.XLS'); @OLE('D:\\IMPORT.XLS')=rate; 等价的描述为 PRODUCT,MACHINE,WEEK,ALLOWED,x,y =@OLE('D:\\IMPORT.XLS', PRODUCT,MACHINE,WEEK,ALLOWED,x,y); @OLE('D:\\IMPORT.XLS',rate)=rate; 这一等价描述使得变量名和Ranges不同亦可。 4．@ranged(variable_or_row_name) 为了保持最优基不变，变量的费用系数或约束行的右端项允许减少的量。 5．@rangeu(variable_or_row_name) 为了保持最优基不变，变量的费用系数或约束行的右端项允许增加的量。 6．@status() 返回LINGO求解模型结束后的状态： 0 Global Optimum（全局最优） 1 Infeasible（不可行） 2 Unbounded（无界） 3 Undetermined（不确定） 4 Feasible（可行） 5 Infeasible or Unbounded（通常需要关闭“预处理”选项后重新求解模型，以确定模型究竟是不可行还是无界） 6 Local Optimum（局部最优） 7 Locally Infeasible（局部不可行，尽管可行解可能存在，但是LINGO并没有找到一个） 8 Cutoff（目标函数的截断值被达到） 9 Numeric Error（求解器因在某约束中遇到无定义的算术运算而停止） 通常，如果返回值不是0、4或6时，那么解将不可信，几乎不能用。该函数仅被用在 模型的数据部分来输出数据。 例4.17 model: min=@sin(x); data: @text()=@status(); enddata end 部分计算结果为： Local optimal solution found at iteration: 33 Objective value: -1.000000 6 Variable Value Reduced Cost X 4.712388 0.000000 结果中的6就是@status()返回的结果，表明最终解是局部最优的。 7．@dual @dual(variable_or_row_name)返回变量的判别数（检验数）或约束行的对偶（影子）价格（dual prices）。 4.9 辅助函数 1．@if(logical_condition,true_result,false_result) @if函数将评价一个逻辑表达式logical_condition，如果为真，返回true_ result，否则返回false_result。 例4.18 求解最优化问题 mins.t. f(x)+g(y) x>0x≤0y>0y≤0 ⎧100+2x,f(x)=⎨ ⎩2x,⎧60+3y,g(y)=⎨ ⎩2y,x+y≥30x,y≥0 其LINGO代码如下： model: min=fx+fy; fx=@if(x #gt# 0, 100,0)+2*x; fy=@if(y #gt# 0,60,0)+3*y; x+y>=30; end 2．@warn(’text’,logical_condition) 如果逻辑条件logical_condition为真，则产生一个内容为’text’的信息框。 例4.19 示例。 model: x=1; @warn('x是正数',x #gt# 0); End 五、 LINGO WINDOWS命令 5.1 文件菜单（File Menu） 1． 1． 新建（New） 从文件菜单中选用“新建”命令、单击“新建”按钮或直接按F2键可以创建一个新的“Model”窗口。在这个新的“Model”窗口中能够输入所要求解的模型。 2． 2． 打开（Open） 从文件菜单中选用“打开”命令、单击“打开”按钮或直接按F3键可以打开一个已经存在的文本文件。这个文件可能是一个Model文件。 3． 3． 保存(Save) 从文件菜单中选用“保存”命令、单击“保存”按钮或直接按F4键用来保存当前活动窗口（最前台的窗口）中的模型结果、命令序列等保存为文件。 4． 4． 另存为．．．(Save As．．．) 从文件菜单中选用“另存为．．．”命令或按F5键可以将当前活动窗口中的内容保存为文本文件，其文件名为你在“另存为．．．”对话框中输入的文件名。利用这种方法你可以将任何窗口的内容如模型、求解结果或命令保存为文件。 5． 5． 关闭（Close） 在文件菜单中选用“关闭”(Close)命令或按F6键将关闭当前活动窗口。如果这个窗口是新建窗口或已经改变了当前文件的内容，LINGO系统将会提示是否想要保存改变后的内容。 6． 6． 打印(Print) 在文件菜单中选用“打印” (Print)命令、单击“打印”按钮或直接按F7键可以将当前活动窗口中的内容发送到打印机。 7． 7． 打印设置(Print Setup．．．) 在文件菜单中选用“打印设置．．．”命令或直接按F8键可以将文件输出到指定的打印机。 8． 8． 打印预览(Print Preview) 在文件菜单中选用“打印预览．．．”命令或直接按Shift+F8键可以进行打印预览。 9． 9． 输出到日志文件(Log Output．．．) 从文件菜单中选用“Log Output．．．”命令或按F9键打开一个对话框，用于生成一个日志文件，它存储接下来在“命令窗口”中输入的所有命令。 10．提交LINGO命令脚本文件(Take Commands．．．) 从文件菜单中选用“Take Commands．．．”命令或直接按F11键就可以将LINGO命令脚本（command script）文件提交给系统进程来运行。 11．引入LINGO文件(Import Lingo File．．．) 从文件菜单中选用“Import Lingo File．．．”命令或直接按F12键可以打开一个LINGO格式模型的文件，然后LINGO系统会尽可能把模型转化为LINGO语法允许的程序。 12．退出（Exit） 从文件菜单中选用“Exit”命令或直接按F10键可以退出LINGO系统。 5.2 编辑菜单(Edit Menu) 1． 1． 恢复(Undo) 从编辑菜单中选用“恢复”（Undo）命令或按Ctrl+Z组合键，将撤销上次操作、恢复至其前的状态。 2． 2． 剪切(Cut) 从编辑菜单中选用“剪切”（Cut）命令或按Ctrl+X组合键可以将当前选中的内容剪切至剪贴板中。 3． 3． 复制(Copy) 从编辑菜单中选用“复制”（Copy）命令、单击“复制”按钮或按Ctrl+C组合键可以将当前选中的内容复制到剪贴板中。 4． 4． 粘贴(Paste) 从编辑菜单中选用“粘贴”（Paste）命令、单击“粘贴”按钮或按Ctrl+V组合键可以将粘贴板中的当前内容复制到当前插入点的位置。 5． 5． 粘贴特定..（Paste Special。。） 与上面的命令不同，它可以用于剪贴板中的内容不是文本的情形。 6． 6． 全选(Select All) 从编辑菜单中选用“Select All”命令或按Ctrl+A组合键可选定当前窗口中的所有内容。 7． 7． 匹配小括号(Match Parenthesis) 从编辑菜单中选用“Match Parenthesis”命令、单击“Match Parenthesis”按钮或按Ctrl+P组合键可以为当前选中的开括号查找匹配的闭括号。 8． 8． 粘贴函数(Paste Function) 从编辑菜单中选用“Paste Function”命令可以将LINGO的内部函数粘贴到当前插入点。 5.3 LINGO菜单 1． 1． 求解模型（Slove） 从LINGO菜单中选用“求解”命令、单击“Slove”按钮或按Ctrl+S组合键可以将当前模型送入内存求解。 2． 2． 求解结果．．．（Solution．．．） 从LINGO菜单中选用“Solution．．．”命令、单击“Solution．．．”按钮或直接按Ctrl+O组合键可以打开求解结果的对话框。这里可以指定查看当前内存中求解结果的那些内容。 3． 3． 查看．．．（Look．．．） 从LINGO菜单中选用“Look．．．”命令或直接按Ctrl+L组合键可以查看全部的或选中的模型文本内容。 4． 4． 灵敏性分析（Range，Ctrl+R） 用该命令产生当前模型的灵敏性分析报告：研究当目标函数的费用系数和约束右端项在什么范围（此时假定其它系数不变）时，最优基保持不变。灵敏性分析是在求解模型时作出的，因此在求解模型时灵敏性分析是激活状态，但是默认是不激活的。为了激活灵敏性分析，运行LINGO|Options…，选择General Solver Tab， 在Dual Computations列表框中，选择Prices and Ranges选项。灵敏性分析耗费相当多的求解时间，因此当速度很关键时，就没有必要激活它。 下面我们看一个简单的具体例子。 例5.1某家具公司制造书桌、餐桌和椅子，所用的资源有三种：木料、木工和漆工。生产数据如下表所示： 木料 漆工 木工 成品单价 每个书桌 8单位 4单位 2单位 60单位 每个餐桌 6单位 2单位 1.5单位 30单位 每个椅子 1单位 1.5单位 0.5单位 20单位 现有资源总数 48单位 20单位 8单位 若要求桌子的生产量不超过5件，如何安排三种产品的生产可使利润最大？ 用DESKS、TABLES和CHAIRS分别表示三种产品的生产量，建立LP模型。 max=60*desks+30*tables+20*chairs; 8*desks+6*tables+chairs<=48; 4*desks+2*tables+1.5*chairs<=20; 2*desks+1.5*tables+.5*chairs<=8; tables<=5; 求解这个模型，并激活灵敏性分析。这时，查看报告窗口（Reports Window）,可以看 到如下结果。 Global optimal solution found at iteration: 3 Objective value: 280.0000 Variable Value Reduced Cost DESKS 2.000000 0.000000 TABLES 0.000000 5.000000 CHAIRS 8.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 280.0000 1.000000 2 24.00000 0.000000 3 0.000000 10.00000 4 0.000000 10.00000 5 5.000000 0.000000 “Global optimal solution found at iteration: 3”表示3次迭代后得到全局最优解。 “Objective value:280.0000”表示最优目标值为280。 “Value”给出最优解中各变量的值：造2个书桌（desks）, 0个餐桌（tables）, 8个椅子（chairs）。所以desks、chairs是基变量（非0），tables是非基变量（0）。 “Slack or Surplus”给出松驰变量的值： 第1行松驰变量 =280（模型第一行表示目标函数，所以第二行对应第一个约束） 第2行松驰变量 =24 第3行松驰变量 =0 第4行松驰变量 =0 第5行松驰变量 =5 “Reduced Cost”列出最优单纯形表中判别数所在行的变量的系数，表示当变量有微小变动时, 目标函数的变化率。其中基变量的reduced cost值应为0， 对于非基变量 Xj, 相应的 reduced cost值表示当某个变量Xj 增加一个单位时目标函数减少的量( max型问题)。本例中：变量tables对应的reduced cost值为5，表示当非基变量tables的值从0变为 1时（此时假定其他非基变量保持不变,但为了满足约束条件，基变量显然会发生变化），最优的目标函数值 = 280 - 5 = 275。 “DUAL PRICE”（对偶价格）表示当对应约束有微小变动时, 目标函数的变化率。输出结果中对应于每一个约束有一个对偶价格。 若其数值为p， 表示对应约束中不等式右端项若增加1 个单位，目标函数将增加p个单位（max型问题）。显然，如果在最优解处约束正好取等号（也就是“紧约束”，也称为有效约束或起作用约束），对偶价格值才可能不是0。本例中：第3、4行是紧约束，对应的对偶价格值为10，表示当紧约束 3) 4 DESKS + 2 TABLES + 1.5 CHAIRS <= 20 变为 3) 4 DESKS + 2 TABLES + 1.5 CHAIRS <= 21 时，目标函数值 = 280 +10 = 290。对第4行也类似。 对于非紧约束（如本例中第2、5行是非紧约束），DUAL PRICE 的值为0, 表示对应约束中不等式右端项的微小扰动不影响目标函数。有时, 通过分析DUAL PRICE, 也可对产生不可行问题的原因有所了解。 灵敏度分析的结果是 Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease DESKS 60.00000 0.0 0.0 TABLES 30.00000 0.0 0.0 CHAIRS 20.00000 0.0 0.0 Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 2 48.00000 0.0 0.0 3 20.00000 0.0 0.0 4 8.000000 0.0 0.0 5 5.000000 0.0 0.0 目标函数中DESKS变量原来的费用系数为60，允许增加（Allowable Increase）=4、允许减少（Allowable Decrease）=2，说明当它在[60-4，60+20] = [56，80]范围变化时，最优基保持不变。对TABLES、CHAIRS变量，可以类似解释。由于此时约束没有变化（只是目标函数中某个费用系数发生变化），所以最优基保持不变的意思也就是最优解不变（当然，由于目标函数中费用系数发生了变化，所以最优值会变化）。 第2行约束中右端项（Right Hand Side，简写为RHS）原来为48，当它在[48-24，48+∞] = [24，∞]范围变化时，最优基保持不变。第3、4、5行可以类似解释。不过由于此时约束发生变化，最优基即使不变，最优解、最优值也会发生变化。 灵敏性分析结果表示的是最优基保持不变的系数范围。由此，也可以进一步确定当目标函数的费用系数和约束右端项发生小的变化时，最优基和最优解、最优值如何变化。下面我们通过求解一个实际问题来进行说明。 例5.2一奶制品加工厂用牛奶生产A1,A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲车间用12小时加工成3公斤A1，或者在乙车间用8小时加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1,A2全部能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间480小时，并且甲车间每天至多能加工100公斤A1，乙车间的加工能力没有限制。试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题： 1） 若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛 奶？ 2） 若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？ 3） 由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否改变生产计划？ 模型代码如下： max=72*x1+64*x2; x1+x2<=50; 12*x1+8*x2<=480; 3*x1<=100; 求解这个模型并做灵敏性分析，结果如下。 Global optimal solution found at iteration: 0 Objective value: 3360.000 Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 2 0.000000 48.00000 3 0.000000 2.000000 4 40.00000 0.000000 Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 72.00000 24.00000 8.000000 X2 64.00000 8.000000 16.00000 Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 2 50.00000 10.00000 6.666667 3 480.0000 53.33333 80.00000 4 100.0000 INFINITY 40.00000 结果告诉我们：这个线性规划的最优解为x1=20，x2=30，最优值为z=3360，即用20桶牛奶生产A1, 30桶牛奶生产A2，可获最大利润3360元。输出中除了告诉我们问题的最优解和最优值以外，还有许多对分析结果有用的信息，下面结合题目中提出的3个附加问题给予说明。 3个约束条件的右端不妨看作3种“资源”：原料、劳动时间、车间甲的加工能力。输出中Slack or Surplus给出这3种资源在最优解下是否有剩余：原料、劳动时间的剩余均为零，车间甲尚余40（公斤）加工能力。 目标函数可以看作“效益”，成为紧约束的“资源”一旦增加，“效益”必然跟着增长。输出中DUAL PRICES 给出这3种资源在最优解下“资源”增加1个单位时“效益”的增量：原料增加1个单位（1桶牛奶）时利润增长48（元），劳动时间增加1个单位（1小时）时利润增长2（元），而增加非紧约束车间甲的能力显然不会使利润增长。这里，“效益”的增量可以看作“资源”的潜在价值，经济学上称为影子价格，即1桶牛奶的影子价格为48元，1小时劳动的影子价格为2元，车间甲的影子价格为零。读者可以用直接求解的办法验证上面的结论，即将输入文件中原料约束milk）右端的50改为51，看看得到的最优值（利润）是否恰好增长48（元）。用影子价格的概念很容易回答附加问题1）：用35元可以买到1桶牛奶，低于1桶牛奶的影子价格48，当然应该作这项投资。回答附加问题2）：聘用临时工人以增加劳动时间，付给的工资低于劳动时间的影子价格才可以增加利润，所以工资最多是每小时2元。 目标函数的系数发生变化时（假定约束条件不变），最优解和最优值会改变吗？这个问题不能简单地回答。上面输出给出了最优基不变条件下目标函数系数的允许变化范围：x1的系数为（72-8，72+24）=（64，96）；x2的系数为（64-16，64+8）=（48，72）。注意：x1系数的允许范围需要x2系数64不变，反之亦然。由于目标函数的费用系数变化并不影响约束条件，因此此时最优基不变可以保证最优解也不变，但最优值变化。用这个结果很容易回答附加问题3）：若每公斤A1的获利增加到30元，则x1系数变为30×3=90，在允许范围内，所以不应改变生产计划，但最优值变为90×20+64×30=3720。 下面对“资源”的影子价格作进一步的分析。影子价格的作用（即在最优解下“资源”增加1个单位时“效益”的增量）是有限制的。每增加1桶牛奶利润增长48元（影子价格），但是，上9 面输出的CURRENT RHS 的ALLOWABLE INCREASE 和 ALLOWABLE DECREASE 给出了影子价格有意义条件下约束右端的限制范围： milk）原料最多增加10（桶牛奶），time）劳动时间最多增加53（小时）。现在可以回答附加问题1）的第2问：虽然应该批准用35元买1桶牛奶的投资，但每天最多购买10桶牛奶。顺便地说，可以用低于每小时2元的工资聘用临时工人以增加劳动时间，但最多增加53.3333小时。 需要注意的是：灵敏性分析给出的只是最优基保持不变的充分条件，而不一定是必要条件。比如对于上面的问题，“原料最多增加10（桶牛奶）”的含义只能是“原料增加10（桶牛奶）”时最优基保持不变，所以影子价格有意义，即利润的增加大于牛奶的投资。反过来，原料增加超过10（桶牛奶），影子价格是否一定没有意义？最优基是否一定改变？一般来说，这是不能从灵敏性分析报告中直接得到的。此时，应该重新用新数据求解规划模型，才能做出判断。所以，从正常理解的角度来看，我们上面回答“原料最多增加10（桶牛奶）”并不是完全科学的。 5． 5． 模型通常形式．．．（Generate．．．） 从LINGO菜单中选用“Generate．．．”命令或直接按Ctrl+G组合键可以创建当前模型的代数形式、LINGO模型或MPS格式文本。 6． 6． 选项．．．（Options．．．） 从LINGO菜单中选用“Options．．．”命令、单击“Options．．．”按钮或直接按Ctrl+I组合键可以改变一些影响LINGO模型求解时的参数。该命令将打开一个含有7个选项卡的窗口，你可以通过它修改LINGO系统的各种参数和选项。如上图。 修改完以后，你如果单击“Apply（应用）”按钮，则新的设置马上生效；如果单击“OK（确定）”按钮，则新的设置马上生效，并且同时关闭该窗口。如果单击“Save（保存）”按钮，则将当前设置变为默认设置，下次启动LINGO时这些设置仍然有效。单击“Default（缺省值）”按钮，则恢复LINGO系统定义的原始默认设置（缺省设置）。 （1）Interface（界面）选项卡 选项组 General （一般选项） 选项 含义 如果选择该选项，求解程序遇到错误时将打开一 Errors In 个对话框显示错误，你关闭该对话框后程序才会 Dialogs(错误对话 继续执行；否则，错误信息将在报告窗口显示， 框) 程序仍会继续执行 Splash Screen （弹出屏幕） Status Bar （状态栏） Status Window （状态窗口） Terse Output （简洁输出） Toolbar （工具栏） 如果选择该选项，则LINGO每次启动时会在屏幕上弹出一个对话框，显示LINGO的版本和版权信息；否则不弹出 如果选择该选项，则LINGO系统在主窗口最下面一行显示状态栏；否则不显示 如果选择该选项，则LINGO系统每次运行LINGO|Solve命令时会在屏幕上弹出状态窗口；否则不弹出 如果选择该选项，则LINGO系统对求解结果报告等将以简洁形式输出；否则以详细形式输出 如果选择该选项，则显示工具栏；否则不显示 Solution Cutoff （解的截断） File Format （文件格式） 小于等于这个值的解将报告为“0”（缺省值是-9 10） lg4 （extended） 模型文件的缺省保存格式是lg4格式（这是一种（lg4，扩展格式） 二进制文件，只有LINGO能读出） lng （text only） （lng，纯文本格模型文件的缺省保存格式是lng格式（纯文本） 式） 语法配色的行数限制（缺省为1000）。LINGO模型窗口中将LINGO关键此显示为兰色，注释为绿色，其他为黑色，超过该行数限制后则不再区分颜色。特别地，设置行数限制为0时，整个文件不再区分颜色。 设置语法配色的延迟时间（秒，缺省为0，从最后一次击键算起）。 如果选择该选项，则模型中当前光标所在处的括号及其相匹配的括号将以红色显示；否则不使用该功能 Line limit （行数限制） Syntax Coloring （语法配色） Delay （延迟） Paren Match （括号匹配） Send Reports to Command Window 如果选择该选项，则输出信息会发送到命令窗（报告发送到命令口；否则不使用该功能 窗口） 如果选择该选项，则用File|Take Command命令 Echo Input 执行命令脚本文件时，处理信息会发送到命令窗 （输入信息反馈） 口；否则不使用该功能 命令窗口能显示的行数的最大值为Maximum（缺 Line Count Limits 省为800）；如果要显示的内容超过这个值，每次（行数限制） 从命令窗口滚动删除的最小行数为Minimum（缺 省为400） 命令窗口每次显示的行数的最大值为Length（缺 Page Size Limit省为没有限制），显示这么多行后会暂停，等待（页面大小限制） 用户响应；每行最大字符数为Width（缺省为74， 可以设定为64-200之间），多余的字符将被截断 （2）General Solver（通用求解器）选项卡 选项组 选项 含义 缺省值为32M，矩阵生成器使用的内存超过该限 Generator Memory Limit （MB） 制，LINGO将报告\"The model generator ran out 矩阵生成器的内存限制（兆） of memory\" Runtime Limits 运行限制 Iterations 迭代次数 求解一个模型时，允许的最大迭代次数（缺省值为无限） Command Window （命令窗口） Time (sec) 求解一个模型时，允许的最大运行时间（缺省值运行时间（秒） 为无限） Dual Computations （对偶计算） 求解时控制对偶计算的级别，有三种可能的设置： ·None: 不计算任何对偶信息； ·Prices：计算对偶价格（缺省设置）； ·Prices and Ranges：计算对偶价格并分析敏感性。 控制重新生成模型的频率，有三种可能的设置： ·Only when text changes：只有当模型的文本修改后才再生成模型； ·When text changes or with external references：当模型的文本修改或模型含有外部引用时（缺省设置）； ·Always：每当有需要时。 决定求解模型时线性化的程度，有四种可能的设置： Solver Decides：若变量数小于等于12个，则尽可能全部线性化；否则不做任何线性化（缺省设置） ·None：不做任何线性化 ·Low：对函数@ABS(), @MAX(), @MIN(), @SMAX(), @SMIN()，以及二进制变量与连续变量的乘积项做线性化 ·High：同上，此外对逻辑运算符#LE#, #EQ#, #GE#, #NE#做线性化 Model Regeneration （模型的重新生成） Linearization（线性化） Degree （线性化程度） Big M（线性化6 。 设置线性化的大M系数（缺省值为10） 的大M系数） Delta（线性化的误差限） Allow Unrestricted Use of Primitive Set Member Names （允许无限制地使用基本集合的成员名） 设置线性化的误差限（缺省值为10）。 选择该选项可以保持与LINGO4.0以前的版本兼容：即允许使用基本集合的成员名称直接作为该成员在该集合的索引值（LINGO4.0以后的版本要求使用@INDEX函数）。 -6 Check for Duplicate Names in 选择该选项,LINGO将检查数据和模型中的名称是 Data and Model(检查数据和模否重复使用，如基本集合的成员名是否与决策变型中的名称是否重复使用) 量名重复。 Use R/C format names for MPS 在MPS文件格式的输入输出中，将变量和行名转 I/O （在MPS文件格式的输入输 换为R/C格式 出中使用R/C格式的名称） （3）Linear Solver（线性求解器）选项卡 选项组 Method 求解方法 选项 含义 求解时的算法，有四种可能的设置： ·Solver Decides：LINGO自动选择算法 （缺省设置） ·Primal Simplex：原始单纯形法 ·Dual Simplex：对偶单纯形法 ·Barrier: 障碍法 (即内点法) Initial Linear Feasibility 控制线性模型中约束满足的初始误差限（缺省值 -6Tol 初始线性可行性误差限 为3*10） Final Linear Feasibility 控制线性模型中约束满足的最后误差限（缺省值-7Tol. 最后线性可行性误差限 为10） 控制是否检查模型中的无关变量，从而降低模型的规模： Model Reduction ·Off：不检查 模型降维 ·On：检查 ·Solver Decides：LINGO自动决定（缺省设置） 有三种可能的设置： ·Solver Decides：LINGO自动决定（缺省设置） ·Partial：LINGO 对一部分可能的出基变量进行 Primal Solver 尝试 原始单纯形法 ·Devex：用Steepest-Edge（最陡边）近似算法对所有可能的变量进行尝试，找到使目标值下降最多的出基变量 有三种可能的设置： ·Solver Decides：LINGO自动决定（缺省设置） Dual Solver ·Dantzig：按最大下降比例法确定出基变量 对偶单纯形法 ·Steepest-Edge：最陡边策略，对所有可能的变量进行尝试，找到使目标值下降最多的出基变量 选择该选项，LINGO将尝试将一个大模型分解为几个小模型求解；否则不尝试 选择该选项,LINGO检查模型中的数据是否平衡（数量级是否相差太大）并尝试改变尺度使模型平衡；否则不尝试 Pricing Strategies 价格策略（决定出基变量的策略） Matrix Decomposition 矩阵分解 Scale Model 模型尺度的改变 （4）Nonlinear Solver（非线性求解器）选项卡 选项组 选项 含义 Initial Nonlinear -3 Feasibility Tol. 初始非线性控制模型中约束满足的初始误差限（缺省值为10） 可行性误差限 Final Nonlinear Feasibility -6 控制模型中约束满足的最后误差限（缺省值为10） Tol. 最后非线性可行性误差限 Nonlinear Optimality Tol. 非线性规划的最优性误差限 当目标函数在当前解的梯度小于等于这个值以后，停止迭代（缺省值为2*10） -7 Slow Progress Iteration 当目标函数在连续这么多次迭代没有显著改进以 Limit缓慢改进的迭代次数的上 后，停止迭代（缺省值为5） 限 Derivatives 导数 Numerical 数值法 Analytical 解析法 用有限差分法计算数值导数（缺省值） 用解析法计算导数（仅对只含有算术运算符的函数使用） Crash Initial 选择该选项, LINGO将用启发式方法生成初始解； Solution 否则不生成（缺省值） 生成初始解 Quadratic 选择该选项, LINGO将判别模型是否为二次规划，Recognition 若是则采用二次规划算法（包含在线性规划的内点识别二次规划 法中）；否则不判别（缺省值） Selective Constraint Eval 有选择地检查约束 SLP Directions SLP方向 选择该选项, LINGO在每次迭代时只检查必须检查的约束（如果有些约束函数在某些区域没有定义，这样做会出现错误）；否则，检查所有约束（缺省值） 选择该选项, LINGO在每次迭代时用SLP (Successive LP，逐次线性规划)方法寻找搜索方向（缺省值） Strategies 策略 选择该选项, LINGO在每次迭代时将对所有可能的 Steepest Edge 变量进行尝试，找到使目标值下降最多的变量进行 最陡边策略 迭代；缺省值为不使用最陡边策略 （5）Integer Pre-Solver（整数预处理求解器）选项卡 选项组 Heuristics 启发式方法 选项 Level Min Seconds 含义 控制采用启发式搜索的次数（缺省值为3，可能的值为0-100）. 启发式方法的目的是从分枝节点的连续解出发，搜索一个好的整数解。 每个分枝节点使用启发式搜索的最小时间（秒） 控制采用探测（Probing）技术的级别（探测能够用于混合整数线性规划模型，收紧变量的上下界和约束的右端项的值）。可能的取值为： ·Solver Decides：LINGO自动决定（缺省设置） ·1-7：探测级别逐步升高。 Probing Level 探测水平（级别） Application 应用节点 控制在分枝定界树中，哪些节点需要增加割（平面），可能的取值为： ·Root Only：仅根节点增加割（平面） ·All Nodes：所有节点均增加割（平面） ·Solver Decides：LINGO自动决定（缺省设置） 控制生成的割（平面）的个数相对于原问题的约束个数的上限（比值），缺省值为0.75 为了寻找合适的割，最大迭代检查的次数。有两个参数： ·Root：对根节点的次数（缺省值为200） ·Tree：对其他节点的次数（缺省值为2） 控制生成的割（平面）的策略，共有12种策略可供选择。 （如想了解细节，请参阅整数规划方面的专著） Constraint Cuts 约束的割（平面） Relative Limit 相对上限 Max Passes 最大迭代检查的次数 Types 类型 （6）Integer Solver（整数求解器）选项卡 整数预处理程序只用于整数线性规划模型（ILP模型），对连续规划和非线性模型无效。 选项组 选项 含义 控制分枝策略中优先对变量取整的方向，有三种 选择： ·Both：LINGO自动决定（缺省设置） ·Up：向上取整优先 ·Down：向下取整优先 控制分枝策略中优先对哪些变量进行分枝，有两种选择： ·LINGO Decides：LINGO自动决定（缺省设置） ·Binary：二进制（0-1）变量优先 当变量与整数的绝对误差小于这个值时，该变量 -6 被认为是整数。缺省值为10 当变量与整数的相对误差小于这个值时，该变量 -6 被认为是整数。缺省值为8*10 当以前面的求解结果为基础，热启动求解程序时采用的算法，有四种可能的设置： ·LINGO Decides：LINGO自动选择算法（缺省设置） ·Primal Simplex：原始单纯形法 ·Dual Simplex：对偶单纯形法 ·Barrier: 障碍法 (即内点法) 当不以前面的求解结果为基础，冷启动求解程序时采用的算法，有四种可能的设置：（同上，略） Direction Branching 分枝 Priority Absolute Integrality 绝对误差限 整性 Relative 相对误差限 LP Solver LP求解程序 Warm Start 热启动 Cold Start 冷启动 Absolute 目标函数的绝对误差限 Optimality Relative 最优性 目标函数的相对 误差限 当当前目标函数值与最优值的绝对误差小于这个值时，当前解被认为是最优解（也就是说：只需要搜索比当前解至少改进这么多个单位的解）。缺 -8 省值为8*10 当当前目标函数值与最优值的相对误差小于这个值时，当前解被认为是最优解（也就是说：只需要搜索比当前解至少改进这么多百分比的解）。缺 -8 省值为5*10 Time To Relative 在程序开始运行后这么多秒内，不采用相对误差开始采用相对误限策略；此后才使用相对误差限策略。缺省值为差限的时间（秒）100秒。 Hurdle 篱笆值 同上一章LINDO部分的介绍 控制如何选择节点的分枝求解，有以下选项： ·LINGO Decides： LINGO自动选择（缺省设置） Node Selection ·Depth First：按深度优先 节点选择 Tolerances ·Worst Bound：选择具有最坏界的节点 误差限 ·Best Bound：选择具有最好的界的节点 控制采用强分枝的层数。也就是说，对前这么多 层的分枝，采用强分枝策略。所谓强分枝，就是在一个节点对多个变量分别尝试进行预分枝，找出其中最好的解（变量）进行实际分枝。 Strong Branch 强分枝的层数 （7）Global Solver（全局最优求解器）选项卡 选项组 Global Solver 全局最优求解程序 选项 含义 选择该选项,LINGO将用全局最优求解程序 Use Global Solver 求解模型，尽可能得到全局最优解（求解花 使用全局最优求解 费的时间可能很长）；否则不使用全局最优求 程序 解程序，通常只得到局部最优解 有两个域可以控制变量上界（按绝对值）： 1、 Value：设定变量的上界，缺省值为10；2、 Application列表框设置这个界的三种 Upper 应用范围： ·None: 所有变量都不使用这个上界； ·All: 所有变量都使用这个上界； ·Selected：先找到第1个局部最优解，然后对满足这个上界的变量使用这个上界（缺省设置） 10 Variable Bound 变量上界 有两个域可以控制变量上界（按绝对值）： Tolerances 误差限 1、 Optimality：只搜索比当前解至少改进这么多个单位的解（缺省值为10）； 2、 Delta：全局最优求解程序在凸化过程中 -7 。 增加的约束的误差限（缺省值为10）可以控制全局最优求解程序的三类策略： 1、Branching：第1次对变量分枝时使用的分枝策略： ·Absolute Width（绝对宽度） ·Local Width（局部宽度） ·Global Width（全局宽度） ·Global Distance（全局距离） ·Abs (Absolute) Violation（绝对冲突） ·Rel (Relative) Violation（相对冲突，缺省设置） 2、Box Selection: 选择活跃分枝节点的方法： ·Depth First（深度优先） ·Worst Bound（具有最坏界的分枝优先，缺省设置） 3、Reformulation：模型重整的级别： ·None（不进行重整） ·Low（低） ·Medium（中） ·High（高，缺省设置） 尝试多少个初始点求解，有以下几种可能的设置： ·Solver Decides：由LINGO决定（缺省设置，对小规模NLP问题为5次，对大规模问题不使用多点求解） ·Off：不使用多点求解 ·N（>1的正整数）：N点求解 ·Barrier: 障碍法 (即内点法) -6 Strategies 策略 Multistart Solver 多初始点求解程序 Attempts 尝试次数 5.4 窗口菜单（Windows Menu） 1． 1． 命令行窗口（Open Command Window） 从窗口菜单中选用“Open Command Window”命令或直接按Ctrl+1可以打开LINGO的命令行窗口。在命令行窗口中可以获得命令行界面，在“:”提示符后可以输入LINGO的命令行命令。 2． 2． 状态窗口（Status Window） 从窗口菜单中选用“Status Window”命令或直接按Ctrl+2可以打开LINGO的求解状态窗口。 如果在编译期间没有表达错误，那么LINGO将调用适当的求解器来求解模型。当求解器开始运行时，它就会显示如下的求解器状态窗口（LINGO Solver Status）。 求解器状态窗口对于监视求解器的进展和模型大小是有用的。求解器状态窗口提供了一个中断求解器按钮（Interrupt Solver），点击它会导致LINGO在下一次迭代时停止求解。在绝大多数情况，LINGO能够交还和报告到目前为止的最好解。一个例外是线性规划模型，返回的解是无意义的，应该被忽略。但这并不是一个问题，因为线性规划通常求解速度很快，很少需要中断。注意：在中断求解器后，必须小心解释当前解，因为这些解可能根本就不最优解、可能也不是可行解或者对线性规划模型来说就是无价值的。 在中断求解器按钮的右边的是关闭按钮（Close）。点击它可以关闭求解器状态窗口，不过可在任何时间通过选择Windows|Status Window再重新打开。 在中断求解器按钮的右边的是标记为更新时间间隔（Update Interval）的域。LINGO将根据该域指示的时间（以秒为单位）为周期更新求解器状态窗口。可以随意设置该域，不过若设置为0将导致更长的求解时间——LINGO花费在更新的时间会超过求解模型的时间。 变量框（Variables） Total显示当前模型的全部变量数，Nonlinear显示其中的非线性变量数，Integers显示其中的整数变量数。非线性变量是指它至少处于某一个约束中的非线性关系中。例如，对约束 X+Y=100; X和Y都是线性变量。对约束 X*Y=100; X和Y的关系是二次的，所以X和Y都是非线性变量。对约束 X*X+Y=100; X是二次方是非线性的，Y虽与X构成二次关系，但与X*X这个整体是一次的，因此Y是线性变量。被计数变量不包括LINGO确定为定值的变量。例如： X=1; X+Y=3; 这里X是1，由此可得Y是2，所以X和Y都是定值，模型中的X和Y都用1和2代换掉。 约束（Constraints）框 Total显示当前模型扩展后的全部约束数，Nonlinear显示其中的非线性约束数。非线性约束是该约束中至少有一个非线性变量。如果一个约束中的所有变量都是定值，那么该约束就被剔除出模型（该约束为真），不计入约束总数中。 非零（Nonzeroes）框 Total显示当前模型中全部非零系数的数目，Nonlinear显示其中的非线性变量系数的数目。 内存使用（Generator Memory Used，单位：K）框 显示当前模型在内存中使用的内存量。可以通过使用LINGO|Options命令修改模型的最大内存使用量。 已运行时间（Elapsed Runtime）框 显示求解模型到目前所用的时间，它可能受到系统中别的应用程序的影响。 求解器状态（Solver Status）框 显示当前模型求解器的运行状态。域的含义如下。 域名 含义 Model Class 当前模型的类型（请 参阅本书第1章） 可能的显示 LP，QP，ILP，IQP，PILP， PIQP，NLP，INLP，PINLP （以I开头表示IP，以PI开头表示PIP）\"Global Optimum\\"Local Optimum\\"Feasible\\"Infeasible\"（不可行）, \"Unbounded\"（无界）, \"Interrupted\"（中断）, \"Undetermined\"（未确定） State 当前解的状态 Objective 当前解的目标函数值 实数 实数（即使该值=0，当前解也可能不可行，因为这个量中没有考虑用上下界形式给出的约束） 当前约束不满足的总 Infeasibility 量（不是不满足的约 束的个数） Iterations 目前为止的迭代次数 非负整数 扩展求解器状态（Extended Solver Status）框 显示LINGO中几个特殊求解器的运行状态。包括分枝定界求解器（Branch-and- Bound Solver）、全局求解器（Global Solver）和多初始点求解器（Multistart Solver）。该框中的域仅当这些求解器运行时才会更新。域的含义如下。 域名 含义 可能的显示 Solver Type Best Obj 使用的特殊求解程序 目前为止找到的可行解的最佳目标函数值 B-and-B （分枝定界法） Global （全局最优求解） Multistart（用多个初始点求解） 实数 实数 Obj Bound 目标函数值的界 Steps 特殊求解程序当前运行步数： 分枝数（对B-and-B程序）； 非负整数 子问题数（对Global程序）； 初始点数（对Multistart程序） Active 有效步数 非负整数 其余几个命令都是对窗口的排列，这里不作介绍，试一试便知。 5.5 帮助菜单(Help Menu) 1． 1． 帮助主题（Help Menu） 从帮助菜单中选用“Help Menu”可以打开LINGO的帮助文件。 2． 2． 关于LINGO(About Lingo) 关于当前LINGO的版本信息等。 六、 LINGO的命令行命令 以下将按类型列出在LINGO命令行窗口中使用的命令，每条命令后都附有简要的描述说明。 在平台中，从的窗口菜单中选用“Command Window”命令或直接按Ctrl+1可以打开LINGO的命令行窗口，便可以在命令提示符“:”后输入以下命令。 如果需要以下命令的详细描述说明，可以查阅LINGO的帮助。 1． 1． LINGO信息 Cat 显示所有命令类型 Com 按类型显示所用LINGO命令 Help 显示所需命令的简要帮助信息 Mem 显示内存变量的信息 2． 2． 输入(Input) model 以命令行方式输入一个模型 take 执行一个文件的命令正本或从磁盘中读取某个模型文件 3． 3． 显示(Display) look 显示当前模型的内容 genl 产生LINGO兼容的模型 gen 生成并显示整个模型 hide 为模型设置密码保护 pause 暂停屏幕输出直至再次使用此命令 4． 4． 文件输出(File Ouput) div 将模型结果输出到文件 svrt 将模型结果输出到屏幕 save 将当前模型保存到文件 smps 将当前模型保存为MPS文件 5． 5． 求解模型(Solution) go 求解当前模型 solu 显示当前模型的求解结果 6． 6． 编辑模型(Problem Editing) del 从当前模型中删除指定的某一行或某两行之间(包括这两行)的所有行 ext 在当前模型中添加几行 alt 用新字符串替换掉某一行中、或某两行之间的所有行中的旧字符串 7． 7． 退出系统(Quit) quit 退出LINGO系统 8． 8． 系统参数(System Parameters) page 以“行”为单位设置每页长度 ter 以简略方式输出结果 ver 以详细方式输出结果 wid 以“字符”为单位设置显示和输出宽度 set 重新设置默认参数 freeze 保存当前参数设置，以备下一次重新启动LINGO系统时还是这样的设置 time 显示本次系统的运行时间 这里详细说明SET指令。凡是用户能够控制的LINGO系统参数，SET命令都能够对它进行设置。SET命令的使用格式为： SET parameter_name | parameter_index [ parameter_value ]， 其中parameter_name是参数名，parameter_index是参数索引（编号），parameter _value是参数值。当不写出参数值时，则SET命令的功能是显示该参数当前的值。此外，“setdefault”命令用于将所有参数恢复为系统的默认值（缺省值）。这些设置如果不用“freeze”命令保存到配置文件lingo.cnf中，则退出LINGO系统后这些设置就无效了。 索引 参数名 缺省值 简要说明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 ILFTOL FLFTOL INFTOL FNFTOL RELINT NOPTOL ITRSLW DERCMP ITRLTM TIMLIM OBJCTS MXMEMB CUTAPP ABSINT HEURIS HURDLE IPTOLA IPTOLR TIM2RL NODESL LENPAG LINLEN TERSEO STAWIN SPLASH OROUTE WNLINE WNTRIM 0.3e-5 0.1e-6 0.1e-2 0.1e-5 0.8e-5 0.2e-6 5 0 0 0 1 32 2 初始线性可行误差限 最终线性可行误差限 初始非线性可行误差限 最终非线性可行误差限 相对整性误差限 非线性规划（NLP）的最优性误差限 缓慢改进的迭代次数的上限 导数 (0:数值导数, 1:解析导数) 迭代次数上限 (0:无限制) 求解时间的上限（秒） (0:无限制) 是否采用目标割平面法 (1:是, 0:否) 模型生成器的内存上限（兆字节）(对某些机器，可 能无意义) 割平面法的应用范围(0:根节点, 1:所有节点, 2:LINGO自动决定) 整数规划（IP）启发式求解次数 (0:无, 可设定为0~100) 整数规划（IP）的“篱笆”值(none:无, 可设定为任意实数值) 整数规划（IP）的绝对最优性误差限 整数规划（IP）的相对最优性误差限 采用IPTOLR作为判断标准之前，程序必须求解的时间（秒） 分枝节点的选择策略（0： LINGO自动选择；1：深度优先；2: 最坏界的节点优先；3: 最好界的节点优先） 终端的页长限制 (0:没有限制；可设定任意非负整数) 终端的行宽限制(0:没有限制；可设定为64-200) 输出级别 (0:详细型, 1:简洁型) 是否显示状态窗口 (1:是, 0:否, Windows系统才能使用) 弹出版本和版权信息 (1:是, 0:否, Windows系统才能使用) 将输出定向到命令窗口 (1:是, 0:否, Windows系统才能使用) 命令窗口的最大显示行数(Windows系统才能使用) 每次从命令窗口滚动删除的最小行数 (Windows系统才能使用) .000001 整性绝对误差限 3 none .8e-7 .5e-7 100 0 0 76 0 1 1 0 800 400 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 STABAR FILFMT TOOLBR CHKDUP ECHOIN ERRDLG USEPNM NSTEEP NCRASH NSLPDR SELCON PRBLVL 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 显示状态栏(1:是, 0:否, Windows系统才能使用) 文件格式(0:lng格式, 1:lg4格式, Windows系统才能使用) 显示工具栏(1:是, 0:否, Windows系统才能使用) 检查数据与模型中变量是否重名 (1:是, 0:否) 脚本命令反馈到命令窗口(1:是, 0:否) 错误信息以对话框显示 (1:是, 0:否, Windows系统才能使用) 允许无限制地使用基本集合的成员名(1:是, 0:否) 在非线性求解程序中使用最陡边策略选择变量(1:是, 0:否) 在非线性求解程序中使用启发式方法生成初始解(1:是, 0:否) 在非线性求解程序中用SLP法寻找搜索方向 (1:是, 0:否) 在非线性求解程序中有选择地检查约束(1:是, 0:否) 对混合整数线性规划（MILP）模型，采用探测（Probing）技术的级别(0:LINGO自动决定；1:无；2-7：探测级别逐步升高) 线性求解程序(0: LINGO自动选择, 1: 原始单纯形法, 2: 对偶单纯形法, 3: 障碍法 (即内点法)) 模型降维(2:LINGO决定, 1:是, 0:否) 变换模型中的数据的尺度 (1:是, 0:否) 原始单纯形法决定出基变量的策略(0: LINGO自动决定, 1: 对部分出基变量尝试, 2: 用最陡边法对所有变量进行尝试) 对偶单纯形法决定出基变量的策略(0: LINGO自动决定, 1:按最大下降比例法确定, 2: 用最陡边法对所有变量进行尝试) 指定对偶计算的级别 (0: 不计算任何对偶信息；1：计算对偶价格；2：计算对偶价格并分析敏感性) Use RC format names for MPS I/O (1:yes, 0:no) 重新生成模型的频率（0：当模型的文本修改后;1：当模型的文本修改或模型含有外部引用时；3:每当有需要时） 分枝时对变量取整的优先方向(0：LINGO自动决定;1:向上取整优先;2：向下取整优先) 分枝时变量的优先级 (0:LINGO自动决定, 1:二进制（0-1）变量) 解的截断误差限 指定强分枝的层次级别 IP热启动时的LP算法 (0: LINGO自动选择；1：障碍法 (即内点法)；2：原始单纯形法；3: 对偶单纯 41 42 43 44 SOLVEL REDUCE SCALEM PRIMPR 0 2 1 0 45 DUALPR 0 46 47 48 DUALCO RCMPSN MREGEN 1 0 1 49 50 51 52 53 BRANDR BRANPR CUTOFF STRONG REOPTB 0 0 .1e-8 10 0 形法) 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 REOPTX MAXCTP RCTLIM GUBCTS FLWCTS LFTCTS PLOCTS DISCTS KNPCTS LATCTS GOMCTS COFCTS GCDCTS SCLRLM SCLRDL PRNCLR MULTIS USEQPR GLOBAL LNRISE LNBIGM LNDLTA BASCTS MAXCTR HUMNTM DECOMP GLBOPT GLBDLT GLBVBD GLBUBD 0 200 .75 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1000 0 1 0 0 0 0 .1e-5 0 2 0 0 .1e-5 .1e-6 .1e+11 2 IP冷启动时的LP算法（选项同上） 分枝中根节点增加割平面时，最大迭代检查的次数 割（平面）的个数相对于原问题的约束个数的上限（比值） 是否使用广义上界（GUB）割 (1:是, 0:否) 是否使用流（Flow）割 (1:是, 0:否) 是否使用Lift割 (1:是, 0:否) 是否使用选址问题的割 (1:是, 0:否) 是否使用分解割 (1:是, 0:否) 是否使用背包覆盖割 (1:是, 0:否) 是否使用格（Lattice）割 (1:是, 0:否) 是否使用Gomory割(1:是, 0:否) 是否使用系数归约割 (1:是, 0:否) 是否使用最大公因子割 (1:是, 0:否) 语法配色的最大行数 (仅Windows系统使用) 语法配色的延时（秒） (仅Windows系统使用) 括号匹配配色 (1:是, 0:否, 仅Windows系统使用) NLP多点求解的次数 (0:无, 可设为任意非负整数) 是否识别二次规划 (1:是, 0:否) 是否对NLP采用全局最优求解程序 (1:是, 0:否) 线性化级别 (0:LINGO自动决定, 1:无, 2:低, 3:高) 线性化的Delta误差系数 是否使用基本（Basis） 割 (1:是, 0:否) 分枝中非根节点增加割平面时，最大迭代检查的次数 分枝中每个节点使用启发式搜索的最小时间（秒） 是否使用矩阵分解技术 (1:是, 0:否) 全局最优求解程序的最优性误差限 全局最优求解程序在凸化过程中增加的约束的误差限 全局最优求解程序中变量的上界 全局最优求解程序中变量的上界的应用范围(0: 所有变量都不使用上界; 1: 所有变量都使用上界; 2:部分使用) 全局最优求解程序中第1次对变量分枝时使用的分枝策略（0：绝对宽度；1：局部宽度；2：全局宽度；3：全局距离；4：绝对冲突；5：相对冲突） 全局最优求解程序选择活跃分枝节点的方法（0：深度优先；1：具有最坏界的分枝优先） 全局最优求解程序中模型重整的级别：（0：不进行重整；1：低；2：中；3：高） 100,000 线性化的大M系数 84 GLBBRN 5 85 86 GLBBXS GLBREF 1 3 第三部分 实验项目 实验一 MATLAB基本操作 1．练习数据的输入方式 2．矩阵运算练习： （1）自己输入两个矩阵； （2）进行矩阵的（+；-；*；.*；/；\\；./；.\\；^；.^；’）等运算，其中/；\\；./；.\\的运算练习用在解矩阵方程Ax=B或xC=D中； （3）了解A(:,j)及A(i,:)、A(i1:i2, j1:j2)、 A(i2:-1：i1，：）、A(:, j2:-1:j1 ）、A(i1:i2，:)=[ ]、 A(:，j1:j2)=[ ]、[A B]=[A；B]的含义及其使用； （4）了解f(i)、A(i,j)的含义及使用。 3．了解一些常用函数及命令使用 实验二 MATLAB编程 1．几种常用循环语句的练习 （1） 对n=1,2,…,10，求xn=sin nπ的值，并记录在x中。 10 （2）设银行年利率为11.25%。将10000元钱存入银行，问多长时间会连本带利翻一番？ ⎧x2+1x>1 , 求f(2),f(−1) （3）设f(x)=⎨ x≤1⎩2x ⎧x2+1x>1 ⎪ （4）设 f(x)=⎨2x0 x≤0⎩ 2．编写函数文件练习 （1）编写计算n!的函数，并求 2 20 ∑n!之值。 n=1 （2）有一函数f(x,y)=x+sinxy+2y，写一程序，输入自变量的值，输出函数值。 （3）编写函数：f(x1,x2)=100(x2−x1)+(1−x1)，输入自变量的值，输出函数值。 22 2 实验三 函数作图 1. 在一幅图象中作出函数及其导函数的图形 ：Y=x3-3x+4 Y=3x2-3 2. 作出函数Y=sin(x)/x的图形；注意，x=0时，需要单独处理。 3. 无穷级数逼近：正弦函数Y=sin(X)与其Taylor展开式的前几项构成的多项式函数的逼 近关系；y= ∑(−1)n=1 +∞ n−1 x2n−1 (2n−1)! ⎧x=5cost+6t 。 ⎩y=15sint 4. 作出参数方程函数的图象⎨ 5. 已知一个教室长为20米，宽为15米，在距离地面高2.5米的位置均匀的安放8个光源， 假设各个光源到墙壁横纵向之间的距离是相等的，各个光源的光照强度均为一个单位。光源对目标点的光照强度与该光源到目标点距离的平方成反比，与该光源的强度成正比。 实验四 微分方程和数据拟和 1. 用给定的多项式，如y=x-6x+5x-3，产生一组数据(x,y，i=1,2,…,n),再在y上添加 ii i 3 2 随机干扰(可用rand产生(0,1)均匀分布随机数,或用rands产生N(0,1)分布随机数)，然后用x和添加了随机干扰的y作的3次多项式拟合，与原系数比较。如果作2或4 i i 次多项式拟合，结果如何？ 2. 讨论资金积累、国民收入、与人口增长的关系. （1）若国民平均收入x与按人口平均资金积累y成正比，说明仅当总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时，国民平均收入才是增长的。 （2）作出k(x)和r(x)的示意图，分析人口激增会引起什么后果？ 实验五 综合编程练习 1．层次分析法建模：三个层次，第一层对第二层由自己给出四阶判断矩阵，第三层对第二 层自己给出四个三阶判断矩阵，用最大特征值的近似算法求最大特征值和权向量，不进行一致性检验，求出第三层对第一层的权向量。 2．某零件上有一段曲线，为了在程序控制机床上加工这一零件，需要求这段曲线的解析表 达式，在曲线横坐标xi处测得纵坐标yi共11对数据如下： xi 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0.6 2.0 4.4 7.5 11.8 17.1 23.3 31.2 39.6 49.7 61.7 yi 求这段曲线的纵坐标y关于横坐标x的二次多项式回归方程。 3．这是导弹追击军舰的微分方程 (1−x)y''= 1 1+y2 5 初始条件：y(0)=0，y′(0)=0，用解析解和数值解法求解并作图比较。 实验六 线性规划问题 1．用MATLAB或 Lingo求解线性规划问题 minz=13x1+9x2+10x3+11x4+12x5+8x6 ⎧x1+x4=400⎪x+x=600 5⎪2 ⎪⎪x3+x6=500 s.t. ⎨ xxx++≤0.41.1800123⎪ ⎪0.5x4+1.2x5+1.3x6≤900⎪⎪⎩xi≥0,i=1,2,\",6 2．用MATLAB或 Lingo求解线性规划问题 max z=0.4x1+0.28x2+0.32x3+0.72x4+0.64x5+0.6x6 3．用MATLAB或 Lingo求解线性规划问题 0.01x1+0.01x2+0.01x3+0.03x4+0.03x5+0.03x6≤850 0.02x1+0.05x4≤700 0.02x2+0.05x5≤100 0.03x3+0.08x6≤900 j=1,2,\"6 xj≥0min s.t. z=6x1+3x2+4x3 x1+x2+x3=120 s.t. x1≥30 0≤x2≤50 x3≥20 实验七 非线性规划 1．用MATLAB或 Lingo求解非线性规划问题 minf(x1,x2)=2x1−6x2+x1−2x1x2+2x2 s.t. x1+x2≤2 2 2 −x1+2x2≤2 x1≥0，x2≥0 2．用MATLAB或 Lingo求解非线性规划问题 minf=−x1−2x2+ 1212x1+x2 22 2x1+3x2≤6 s.t. x1+4x2≤5 x1,x2≥0 3．用MATLAB或 Lingo求解非线性规划问题 minf(X)=−2x1−x2 2 s.t. g1(X)=25−x12−x2≥0 g2(X)=7−x+x≥0 2 1 22 0≤x1≤5, 0≤x2≤10 实验八 综合实验题目 某洁具生产产家打算开发一种男性用的全自动洁具，它的单位时间内流水量为常数v，为达到节能的目的，现有以下两个控制放水时间的设计方案供使用。 方案一：使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为T，然后自动停止放水。若使用时间不超过T-5秒，则只放水一次，否则，为保持清洁，为使用者离开后再放水一次，持续时间为10秒。 方案二：使用者开始使用洁具，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为T，然后自动停止放水。若使用时间不超过T-5秒，则只放水一次，否则，为保持清洁，到2T时刻再开始第二次放水，持续时间也为T。但若使用时间超过2T-5秒，则到4T时刻再开始第三次放水，持续时间也为T…… 在设计时，为了使洁具的寿命尽可能延长，一般希望对每位使用者放水次数不超过两次。 该厂家随即调查了100人次男性从开始使用到离开洁具为止的时间（单位：秒）见下表： 时间（秒） 12 13 14 15 16 17 18 人次 1 5 12 60 13 6 3 （1）请你根据以上数据，比较这两种设计方案从节约能源的角度来看，哪一种更好？并为 该厂家提供设计参数T（秒）的最优值，使这种洁具在相应设计方案下能达到最大限度节约水、电的目的； （2）从既能保持清洁又能节约能源出发，你是否能提出更好的设计方案，请通过建立数学模型与前面的方案进行比较。 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容