2020/2021学年度第⼆学期⾼⼀测试卷 数 学 2021.05 ⼀、单项选择题：本⼤题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有⼀个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上． 1. 若A． B． ，则的⼀个可能值是（ ） C． D． 2.A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是⽅程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是（ ） A．钝角三角形 C．直角三角形 B．锐角三角形 D．⽆法确定 3.已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β，则α与β的位置关系是（ ） A．平⾏ C．平⾏或相交 4. 若点A．4 （ ） A．，在平面的同侧，则点B．3 ，点到α的距离为（ ） C．2 D．1 5. 侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是B．相交 D．以上都不对 到的距离分别为3和5，则的中a2 B．a2 C．a2 D．a2 6.如图所示，在坡度⼀定的⼭坡A处测得⼭顶上⼀建筑物CD的顶端C对于⼭坡的斜度为15°，向⼭顶前进100 m到达B处，又测得C对于⼭坡的斜度为45°，若CD＝50 m，⼭坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于 A． B．D． －1 C．－1
7. 已知（i为虚数单位，为z的共轭复数），则复数在复平面内对应的点在（ ） A．第⼀象限 （ ） A．−√𝟑 𝟔
B．第⼆象限 C．第三象限 D．第四象限 #⃗+=𝟐,+𝒂#⃗+=√𝟓，则向量##⃗满⾜|𝒂#⃗夹角的余弦值为8.已知向量##⃗+𝒃#⃗|=√𝟑,+𝒃𝒂⃗,𝒃𝒂⃗,𝒃
B．√𝟑 𝟔
C．−√𝟑 𝟑
D．√𝟑 𝟑
⼆、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上． 9.将直角△𝑨𝑩𝑪沿斜边上的⾼AD折成𝟏𝟐𝟎°的⼆面角，已知直角边𝑨𝑩=𝟒√𝟑，𝑨𝑪=
𝟒√𝟔，那么下面说法正确的是（ ） A．平面𝑨𝑩𝑪⊥平面ACD C．⼆面角𝑨−𝑩𝑪−𝑫的正切值是√𝟒𝟐 D．BC与平面ACD所成角的正弦值是√𝟐𝟏 𝟏𝟒𝟑
B．四面体𝑫−𝑨𝑩𝑪的体积是√𝟔 𝟑
𝟐
10.甲⼄两个质地均匀且完全⼀样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，⼄四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体⼀次，记事件A为“两个四面体朝下⼀面的数字之和为奇数”，事件B为“甲四面体朝下⼀面的数字为奇数”，事件C为“⼄四面体朝下⼀面的数字为偶数”，则下列结论正确的是( ) A. 𝑷(𝑨)=𝑷(𝑩)=𝑷(𝑪) C. 𝑷(𝑨𝑩𝑪)= 𝟖𝟏
B. 𝑷(𝑩𝑪)=𝑷(𝑨𝑪)=𝑷(𝑨𝑩) D. 𝑷(𝑨)⋅𝑷(𝑩)⋅𝑷(𝑪)= 𝟖𝟏
11. 在△𝑨𝑩𝑪中各角所对得边分别为a，b，c，下列结论正确的有 ( ) A. =𝐜𝐨𝐬𝑩=𝐜𝐨𝐬𝑪 则△𝑨𝑩𝑪为等边三角形； 𝐜𝐨𝐬𝑨
𝒂𝒃𝒄
B. 已知(𝒂+𝒃+𝒄)(𝒂+𝒃−𝒄)=𝟑𝒂𝒃，则∠𝑪=𝟔𝟎∘； C. 已知𝒂=𝟕，𝒃=𝟒√𝟑，𝒄=√𝟏𝟑，则最小内角的度数为𝟑𝟎∘； D. 在𝒂=𝟓，𝑨=𝟔𝟎∘，𝒃=𝟔，解三角形有两解． 12.下列四个选项中，化简正确的是 A．
B．sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝ C． D． 三、填空题：本⼤题共4小题，每小题5分，其中第13题，第⼀空2分，第⼆空3分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应的位置上． 13.⼀个正四棱台，其上、下底面均为正⽅形，边长分别为8 cm和18 cm，侧棱长为13 cm，则其表面积为____ cm2. 14. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A=，cos C=，a=1，则b=___. 15. 如果z＝，那么z100＋z50＋1＝________. 16.在𝜟𝑨𝑩𝑪中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若#####⃗∙𝐀𝐁#####⃗−𝐁𝐀#####⃗∙𝐁𝐂#####⃗=𝟐𝐂𝐀#####⃗∙𝐂𝐁#####⃗,𝟐𝒃=𝒃𝒄𝒐𝒔𝑪+𝒄𝒄𝒐𝒔𝑩，则𝟑𝐀𝐂
𝒄𝒐𝒔𝑪的值为________. 四、本⼤题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知（1）化简（2）若 18. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，P为AB边上⼀动点，PD∥BC交； ，求的值. . AC于点D，现将△PDA沿PD翻折⾄△PDA1，E是A1C的中点． （1）若P为AB的中点，证明：DE∥平面PBA1． （2）若平面PDA1⊥平面PDA，且DE⊥平面CBA1，求四棱锥A1﹣PBCD的体
积． 19.（1）在复数范围内解⽅程（2）设是虚数，（i）求（ii）设是实数，且（i为虚数单位） 的值及的实部的取值范围； ，求证：为纯虚数； 的最小值． （iii）在（ii）的条件下求 #####⃗对应的复数为20. 已知复平面内平⾏四边形ABCD中，点A对应的复数为−𝟏，#𝑨𝑩#####⃗对应的复数为4-4i. 2+2i，#𝑩𝑪（1）求D点对应的复数； （2）求平⾏四边形ABCD的面积. 21. ）在中，它的内角，，的对边分别为，，，且满⾜．再从条件①，条件②，这两个条件中选择⼀个作为已知，求： （1）的值 （2）条件①：条件②：
的面积； ； ． ，，
22. 如图，在直角梯形𝑶𝑨𝑩𝑪中，𝑶𝑨//𝑪𝑩,𝑶𝑨⊥𝑶𝑪,𝑶𝑨= 𝟐𝑩𝑪=𝟐𝑶𝑪,𝑴为𝑨𝑩上靠近B的三等分点，𝑶𝑴交𝑨𝑪于𝑫,𝑷为线段𝑩𝑪上的⼀个动点． ######⃗和𝑶𝑪######⃗表示𝑶𝑴#######⃗； （1）用𝑶𝑨（2）求
𝑶𝑫𝑫𝑴
； ######⃗=𝝀𝑪𝑨#####⃗+𝝁𝑶𝑷######⃗，求𝝀⋅𝝁的取值范围． （3）设𝑶𝑩
数学参考答案 01-05 AACAA 06-08 CBA 09 CD 10 ABD 11 ABC 12 CD 13. 1012 14. 17. （1） 15. I 16. − 𝟖𝟏
； （2）. 18.（1）证明：令, 所以因为是是的中位线，所以的中点,且F为，且所以四边形的中点,所以, , ,是. 的中位线,所以的中点为，连接，.因为为的中点且 ，于是有为平⾏四边形,所以
又平面，平面 所以有平面. （2）解：因为平面，所以. 又因为是的中点，所以， 即是的中点.由可得，是的中点. 因为在中,，，沿翻，且平面平面， 利用面面垂直的性质可得平面， 所以. 19.（1） 设，则 ，解得： （2）（i）设且 为实数 ，整理可得： 即 （ii） 由（i）知：，则 且
折⾄
是纯虚数 （iii）令，则， （当且仅当即 的最小值为：1 时取等号） ######⃗对应的复数为2+2i， 20. 解：（1）依题点A对应的复数为−𝟏，𝑨𝑩#####⃗ =(2，2)，可得B(1，2). 得A(-1，0)，#𝑨𝑩
######⃗对应的复数为4-4i，得######⃗=(4,-4)，可得C(5,-2). 又𝑩𝑪𝑩𝑪设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R. ######⃗=(x-5，y+2)，######⃗=(-2，-2). 得𝑪𝑫𝑩𝑨
######⃗=𝑪𝑫######⃗，解得x=3，y=-4， ∵ABCD为平⾏四边形，∴𝑩𝑨故D点对应的复数为3-4i. #####⃗=(2，2)，######⃗=(4,-4)， （2）#𝑨𝑩𝑩𝑪######⃗=𝟎，∴ ######⃗⋅𝑩𝑪#####⃗⊥######⃗ 可得：#𝑨𝑩𝑨𝑩𝑩𝑪######⃗+=𝟐√𝟐，+𝑩𝑪######⃗+=𝟒√𝟐 +𝑨𝑩
故平⾏四边形ABCD的面积为𝟐√𝟐⋅𝟒√𝟐=𝟏𝟔 21. （1）∵∴由正弦定理得则（2）由（1）及余弦定理可得 ∵，∴． ， ，解得 ， ，
∵∴，，∴ 若选择条件②： （1）∵∴由正弦定理得则由余弦定理可得又∵则，所以． ，所以． ，即， ， ． ， ， 由正弦定理及，可得． （2）∵∴，，， ∴ #######⃗=𝟐𝑨𝑩######⃗， #####⃗=𝟏######⃗，𝑨𝑴22. (1)依题意#𝑪𝑩𝑶𝑨
######⃗−#######⃗+𝑪𝑩######⃗)−#######⃗−𝑶𝑨######⃗=𝑶𝑪######⃗−𝑶𝑨######⃗， ######⃗=(𝑶𝑩#####⃗)=(𝑶𝑪#####⃗=######⃗+𝑶𝑨∴#𝑨𝑴𝑶𝑨𝑶𝑨𝑶𝑪𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑##⃗=######⃗+#######⃗=######⃗+(######⃗−######⃗)=######⃗+######⃗； ∴#####𝑶𝑴𝑶𝑨𝑨𝑴𝑶𝑨𝑶𝑪𝑶𝑨𝑶𝑨𝑶𝑪𝟑𝟑𝟑𝟑(2)因𝑶𝑴交𝑨𝑪于D， 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟏
#######⃗=𝒕(𝟐#######⃗=𝟐𝒕𝑶𝑨######⃗+𝟐𝒕######⃗+𝟐######⃗)=𝑶𝑫#####⃗， 由(1)知######⃗𝑶𝑫=𝒕𝑶𝑴𝑶𝑨𝑶𝑪𝑶𝑪
𝟑
𝟑
由共起点的三向量终点共线的充要条件知，+
777777⃗||𝑶𝑫
7777777⃗||𝑫𝑴
𝟑
𝟐𝒕
𝟑
𝟐𝒕𝟑𝟑
#######⃗，=𝟏，则𝒕=𝟒，######⃗𝑶𝑫=𝟑𝑫𝑴
𝟑
=𝟑；
######⃗+𝑪𝑩######⃗=𝑶𝑪######⃗+𝟏####⃗=𝑶𝑪#####⃗， (3)由已知###𝑶𝑩𝑶𝑨
######⃗(𝟎≤𝒙≤𝟏)， 因P是线段BC上动点，则令#####⃗𝑪𝑷=𝒙𝑶𝑨
𝟐
𝟐
#########⃗=𝝀(𝑶𝑨######⃗−𝑶𝑪######⃗+#####⃗######⃗+(𝝁−𝝀)𝑶𝑪######⃗， ###⃗=𝝀𝑪𝑨#####⃗+𝝁𝑶𝑷######⃗)+𝝁(𝑶𝑪𝑶𝑩𝑪𝑷)=(𝝀+𝝁𝒙)𝑶𝑨
𝝁−𝝀=𝟏𝝀=𝝁−𝟏
######⃗,𝑶𝑨######⃗不共线，则有S又𝑶𝑪𝟏⇒S𝟑， 𝝀+𝝁𝒙=𝟐𝝁=𝟐9𝟐𝒙𝟎≤𝒙≤𝟐⇒𝟏≤𝒙+𝟏≤𝟐⇒𝟏≤𝝁≤𝟐， 𝝀⋅𝝁=𝝁(𝝁−𝟏)=(𝝁−𝟐)𝟐−𝟒在𝝁∈[𝟏,𝟐]上递增， 所以𝝁=𝟏,(𝝀⋅𝝁)𝟐𝟒 𝟑𝟑
𝟏
𝟏
𝟑
𝟏
𝟑
𝟑
故𝝀⋅𝝁的取值范围是[𝟎,]. 𝟒
𝒎𝒂𝒙𝟑
，
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