武汉理工大学whut08高数A(下)试卷及解答

__________________________________________________ 武汉理工大学考试试题（A卷） 课程名称：高等数学A（下） 专业班级：2008级理工科专业 题号 题分 一 15 二 20 三 16 四 16 五 16 六 10 七 7 总分 100 备注：学生不得在试题纸上答题（含填空题、选择题等客观题）应按顺序答在答题纸上。 一、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分） 1. 函数zf(x,y)有fx(x0,y0),A．dzC．(x0,y0)fy(x0,y0)存在，则有（ ）. (x,y)(x0,y0)fx(x0,y0)dxfy(x0,y0)dy B.limf(x,y)f(x0,y0) (x,y)(x0,y0)limfx(x,y)f(x0,y0) D．f(x0,y0)存在 2. L是平面上单连通区域G内的光滑曲线，P(x,y),Q(x,y)在G内有一阶连续的偏导数，则P(x,y)dxQ(x,y)dy与路径无关的充要条件是（ ）. LA．PQPQPQPQ0 D． 0 B． C．yxxyxyyx3. 若D＝(x,y)x2y2R2，则二重积分A． 0 B．π C．2π D 3π 4. 下列级数中发散的级数是（ ）. A．（ ）. x+ydxdy的值是：Dn11n11nsinn(1)n B．2 C．nn1nn1 D．n 3n-2n+2n15. 用待定系数法求微分方程y2yxsin2x的特解时，y的形式可设为（ ）. A．(axb)xsin2x(cxd)xcos2x B．(axb)sin2x(cxd)cos2x C．(axb)xsin2x D．(axb)sin2x. 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1. 函数Uxxyz在点(1,2,1)处的梯度gradU = . 2. L是xoy平面上的曲线：xy1；设ds是曲线长的微元，则曲线积分 22221__________________________________________________ __________________________________________________ 的计算结果L1ds= . 222xyz3. 将二次积分01dx2f(x,y)dy交换积分次序是= . x14. 函数f(x)以2为周期，在(,上 f(x)0x0xx0，将函数f(x)展开成周期为2的傅立叶级数,其和函数为S(x),则S(3)= . 5. 微分方程y 1y2x2在条件yxx=10下的特解为y= . 2__________________________________________________ __________________________________________________ 三、计算题(本题共2小题，每小题8分，满分16分) 1. 设函数zz(x,y)由方程zfxy,yz所确定，期中f具有连续的正值偏导数，求dz. 2. 求微分方程yy2y4xe的通解。 x四、计算题(本题共2小题，每小题8分，满分16分) 1. 计算密度为的均匀锥面∑：z对oz轴的转动惯量。 x2y2，0z1；2. 求幂级数n(x1)的收敛域及和函数，并求数项级数nn=1n的和。 n2n=1五、计算题(本题共2小题，每小题8分，满分16分) 1. 用格林公式计算(exsiny5y)dx(excosy5)dy，其中L是从点（2，0）沿椭圆Lx2y21至点（0，3）的小弧段。 492. 用高斯公式计算222zxy5xzdydz2yzdzdx(z1)dxdy，其中是曲面 与z1围成的空间立体的表面外侧。 六、应用题(10分) z2x2y2 研究并求出空间曲线:上的点到xoy坐标平面的最长、最短的距离。 xy1七、证明题(本题满分7分) 设函数F(x，y，z)有一阶连续的偏导数，且F(1，1，1)=0。证明在空间曲面 ：F(x，y，z)0上过点A（1，1，1）的任意一条在A点切线存在的曲线，在A点处的切向量都与一个定向量垂直。 3__________________________________________________ __________________________________________________

试卷解答： 一、D、D、A、A、B．

二、1.（4，1，-2）；2.2；3.dy010yf(x,y)dx; 4.; 5.yx3x.

2f1f1f2dxdy 三、1. dz1f21f22. 特征根r11,r22。对应齐次方程的通解：yc1exc2e2x。

设非齐次方程的解为：y原方程得通解是：y(axb)ex代入方程得到：a=2,b=1.

c1exc2e2x(2x1)ex。

xy21222四、1．对z轴的转动惯量为Iz(xy)dS=(x2y2)2dxdy

=

2202drdr

02132．收敛域：（0，2）

令x-1=t, 则T(t)nt(n1)tt，而tnnnnn1n1n1n111， 1t

n(n1)tn11t， 。 1T(t)22(1t)(1t)x(0,2) n3S()2。 n2n12x1 和函数S(x)T(x1)(2x)2五、1．加有向线段BO、OA。其中B（0，3）、O（0，0）、A（2，0）,

设曲线L+BO+OA所包围的平面区域为D。

原式=

LBOOA(exsiny5y)dx(excosy5)dy

xx(esiny5y)dx(ecosy5)dy -

BO(exsiny5y)dx(excosy5)dy-

OA4__________________________________________________

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=

5dxdy(cosy5)dyD010315sin315。 22．原式=

2zdVzdz3

六、法一：由于z0， 设Lz(z2x2y2)(xy1)

Lx4x0Ly2y0122 令：Lz10 解得唯一点：(,,)

33322Lz2xy0Lxy10 根据问题的几何特征最大距离是+∞，最小距离是（2/3）

法二：过曲线平行于y轴的投影柱面是:z3x22x1,开口向z正半轴的抛物

柱面，原问题可以转化成，求xoz平面上的投影曲线到x轴的最大、最小距离。最大距离是+∞。最小距离就是函数z3x22x1的最小值。

1z3x22x1， z6x2 令z6x2=0 解得：x。

3曲线上点(122,,)到xoy平面的距离最小，最小距离是（2/3）。 333xx(t)七、设曲面上过A点的任意一条曲线为L：yy(t)，A点对应的参变量tt0；

zz(t) 则有：F(x(t),y(t),z(t))0，且(Fx)x(t)(Fy)y(t)(Fz)(z(t) 即：Fx(1,1,1)x(t0)Fy(1,1,1)y(t0)Fz(1,1,1)z(t0)论成立。

A0。

0。由L的任意性可证结

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