A．16cm
2
2
B．21cm 2
C．24cm cm2 D．32
9．在国家倡导的“阳光体育”活动中，老师给小明30元钱，让他买三样体育用品；大绳，小绳，毽子．其中大绳至多买两条，大绳每条10元，小绳每条3元，毽子每个1元．在把钱都用尽的条件下，买法共有（ ） A．6种
B．7种
C．8种
D．9种
10．某商店将巧克力包装成方形、圆形礼盒出售，且每盒方形礼盒的价钱相同，每盒圆形礼．某商店将巧克力包装成方形、圆形礼盒出售，且每盒方形礼盒的价钱相同，每盒圆形礼盒的价钱相同．阿郁原先想购买3盒方形礼盒和7盒圆形礼盒，但他身上的钱会不足240元，如果改成购买7盒方形礼盒和3盒圆形礼盒，他身上的钱会剩下240元．若阿郁最后购买10盒方形礼盒，则他身上的钱会剩下多少元？（ ） A．360
B．480
C．600
D．720
11．二元一次方程x+3y＝10的非负整数解共有（ ）对． A．1
B．2
C．3
D．4
12．若2x+5y+4z＝0，3x+y﹣7z＝0，则x+y﹣z的值等于（ ） A．0
B．1
C．2
D．不能求出
13．某种商品价格为33元/件，某人只带有2元和5元的两种面值的购物券各若干张，买了一件这种商品；若无需找零钱，则付款方式中张数之和（指付2元和5元购物券的张数）最少和张数之和最多的方式分别是（ ） A．8张和16张
B．8张和15张
C．9张和16张
D．9张和15张
14．若2x+5y+4z＝0，4x+y+2z＝0，则x+y+z的值等于（ ） A．0
B．1
C．2
D．不能求出
15．有一块矩形的牧场如图1，它的周长为700米．将它分隔为六块完全相同的小矩形牧场，如图2，每一块小矩形牧场的周长是（ ）
A．150米
B．200米
C．300米
D．400米
有整数解，则m的值为
2
16．已知m为正整数，且关于x，y的二元一次方程组（ ） A．4
B．1，4 C．1，4，49
第2页（共40页） 页）
D．无法确定
17．已知甲校原有1016人，乙校原有1028人，寒假期间甲、乙两校人数变动的原因只有转人，寒假期间甲、乙两校人数变动的原因只有转出与转入两种，且转出的人数比为出与转入两种，且转出的人数比为1：3，转入的人数比也为1：3．若寒假结束开学时甲、乙两校人数相同，则乙校开学时的人数与原有的人数相差多少？（ ） A．6 B．9 C．12 D．18 18．今年学校举行足球联赛，共赛17轮（即每队均需参赛17场），记分办法是：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．在这次足球比赛中，小虎足球队得16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，则小虎足球队所负场数的情况有（ ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 19．若（a﹣2）xA．2 |a|﹣1+3y＝1是关于x，y的二元一次方程，则a＝（ ） B．﹣2 C．2或﹣2 D．0 20．若关于x，y的方程组A．0，1 有非负整数解，则正整数m为（ ） C．0，1，3 D．1，3 B．1，3，7 二．填空题（共21小题） 21．“驴友”小明分三次从M地出发沿着不同的线路（A线，B线，C线）去N地．在每条线路上行进的方式都分为穿越丛林、涉水行走和攀登这三种．他涉水行走4小时的路程与攀登6小时的路程相等．B线、C线路程相等，都比A线路程多32%，A线总时间等于C线总时间的，他用了3小时穿越丛林、2小时涉水行走和2小时攀登走完A线，在B线中穿越丛林、涉水行走和攀登所用时间分别比A线上升了20%，50%，50%，若他用了x小时穿越丛林、y小时涉水行走和z小时攀登走完C线，且x，y，z都为正整数，则＝ ． 22．由菜鸟网络打造的一个仓库有相同数量的工人和机器人，均为x名（其中x＞5），平时每天都只工作8小时，每名机器人每小时加工包裹（分、拣、包装一体化）的数量是每名工人每小时加工包裹数量的2倍．随着“春节”临近，人工短缺，寄年货的包裹增多，公司决定再增加2名机器人，且将机器人每天工作时间延长至名机器人，且将机器人每天工作时间延长至12小时，并对每名机器人小时，并对每名机器人进行升级改造，让现在每名机器人每小时加工包裹的数量在原有基础上增加x个，结果现在所有机器人每天加工包裹的数量是所有工人平时每天加工包裹数量的6倍，则该仓库平时一天加工 个包裹． 23．定义一种新的运算“※”，规定：x※y＝mx+ny，其中m、n为常数，已知2※3＝﹣1，3※2＝8，则m※n＝ ． 第3页（共40页） 页） 2
24．已知方程组，当m 时，x+y＞0．
25．方程组：的解是 ．
26．已知方程组的解是，老师让同学们解方程组，
小聪先觉得这道题好象条件不够，后将方程组中的两个方程两边同除以5，整理得
，运用换元思想，得，所以方程组的
解为．现给出方程组的解是，请你写出方程组
的解 ．
27．解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把c写错而得到
，则
a＝ ，b＝ ，c＝ ．
28．对任意两个正整数x、y，定义一个运算“★”为x★y＝（x+2xy+y），若正整数a、b满足a★b＝1154，则有序正整数对（a，b）共有 对．
29．有一条长度为359mm的铜管料，把它锯成长度分别为59mm和39mm两种不同规格的小铜管（要求没有余料），每锯一次损耗1mm的铜管料，为了使铜管料的损耗最少，应分别锯成59mm的小铜管 段，39mm的小铜管 段．
30．三轮摩托车的轮胎安装在前轮上行驶12000公里后报废，安装在左后轮和右后轮则分别只能行驶7500公里和5000公里．为使该车行驶尽可能多的路程，采用行驶一定路程后将2个轮胎对换的方法，但最多可对换2次，那么安装在三轮摩托车上的3条轮胎最多可行驶 公里．
31．五羊公园门票规定为：每人20元；30人以上的团体购票，每人18元，每30人优惠1人免票（不足30人的余数不优惠）．今有花城旅行社、穗城旅行社、羊城旅行社的三支旅游团前来参观：如果花城团、穗城团合起来作为一个团体购票，应购门票3834元；如果穗城团、羊城团合起来购票，应购门票4770元；如果羊城团、花城团合起来购票，应购门票5220元，那么三个团共有人 ．
第4页（共40页） 页）
32．在一条街AB上，甲由A向B步行，乙骑车由B向A行驶，乙的速度是甲的速度的3倍，此时公共汽车由始发站A开出向B行进，且每隔x分发一辆车，过了一段时间，甲发现每隔10分有一辆公共汽车追上他，而乙感到每隔分有一辆公共汽车追上他，而乙感到每隔5分就碰到一辆公共汽车，那么在分就碰到一辆公共汽车，那么在始发站公共汽车发车的间隔时间x＝ 分钟．
33．某校运动会在400米环形跑道上进行10000米比赛，甲、米比赛，甲、乙两运动员同时起跑后，甲、乙两运动员同时起跑后，乙速乙两运动员同时起跑后，乙速超过甲速，在第15分钟时甲加快速度，在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙，在第23分钟时，甲再次追上乙，而在第23分50秒时，甲到达终点，那么乙跑完全程所用的时间是 分钟．
34．某旅游团一行50人到某旅社住宿，该旅社有三人间、双人间和单人间三种客房，其中三人间每人每晚20元，双人间每人每晚30元，单人间每晚50元．已知该旅行团住满了20间客房，且使总的住宿费用最省．那么这笔最省的住宿费用是 元，所住的三人间、双人间、单人间的间数依次是 ．
35．“雪龙”号科学考察船到南极锦绣科学考察活动，从上海出发以最快速度19节（1节＝1海里/小时）航行抵达南极需要30多天时间．该船以16节的速度从上海出发，若干天后，顺利抵达目的地．在极地工作了若干天，以12节的速度返回，从上海出发后第83天由于天气原因航行速度为2节，2天后以14节的速度继续航行4天返回上海．那么，“雪龙”号在南极工作了 天．
36．怡荣号渡轮时速40千米，单数日由A地顺流航行到B地，双数日由B地逆流航行到A地．（水速为每小时24千米）有一单数日渡轮航行到途中的C地时，失去动力，只能任船漂流到B地，船长计得该日所用的时间为原单数日的
倍．另一双数日渡轮航行到途
中的C地时，又失去动力，船在漂流过程中，维修人员全力抢修了1小时后船以2倍时速前进到A地，结果船长发现该日所用的时间与原双数日所用时间一秒不差．请问地，结果船长发现该日所用的时间与原双数日所用时间一秒不差．请问A、B两地的距离为多少千米？
37．一个工厂得到任务，需要加工A零件6000个和B零件2000个，该厂共有工人214名，每个人加工A零件5个的时间可以加工B零件3个．现将工人分成两组，分别加工一种零件，同时开始，应怎样分组才能使任务最快完成 ． 38．若
是方程组
的解，则a+b＝ ．
39．设甲数为x，乙数为y，则甲数增加10%与乙数增加到原来的3倍后的和比甲、乙两数的和多8，则方程为 ．
第5页（共40页） 页）
40．某人沿电车路线行走，每12分钟有一辆电车从后面赶上，每4分钟有一辆电车迎面开来，若行人与电车都是匀速前进的，则电车每隔 分钟从起点开出一辆． 41．某车间每天能生产甲种零件300个，或者乙种零件500个，或者丙种零件600个，甲、乙、丙三种零件各一个配一套．现在要用63天使产品成套，那么生产甲种零件应当用 天，生产乙种零件应当用 天，生产丙种零件应当用 天． 三．解答题（共9小题） 42．在解关于x、y的方程组 时，可以用①×2﹣②消去未知数x，也可以用①×4+②×3消去未知数y，试求a、b的值． 43．若方程组44．已知和和方程组有相同的解，求a，b的值． 是二元一次方程mx﹣3ny＝5的两个解． （1）求m、n的值； （2）若x＜﹣2，求y的取值范围． 45．阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： （1）请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； （2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 cm； （3）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 第6页（共40页） 页）
46．当a，b都是实数，且满足2a﹣b＝6，就称点P（a﹣1，+1）为完美点． （1）判断点A（2，3）是否为完美点． （2）已知关于x，y的方程组y）是完美点，请说明理由．
47．某水果店购进苹果与橙子共50kg，这两种水果的进价、标价如下表所示，店主将这些水果按8折全部售出后，其获利258元，那么该水果点购进苹果和橙子分别多少kg？
苹果 橙子
进价（元/kg）
6 5
标价（元/kg）
15 12
，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，
48．随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元． （1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？
49．某校组织学生开展课外社会实践活动，现有甲、乙两种大客车可租，已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元．
第7页（共40页） 页）
（1）求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？
（2）学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人，共有师生330人，求最节省的租车费用是多少元？
50．对有理数x、y规定运算⊕：x⊕y＝ax﹣by．已知1⊕7＝9，3⊕8＝14，求2a+5b的值．
第8页（共40页） 页）
二元一次方程培优50题含答案参考答案与试题解析 一．选择题（共20小题） 1．若关于x，y的二元一次方程组A． B． 的解为C．1 ，则a+4b的值为（ ） D．3 【分析】方程组利用代入消元法求出解，然后把a、b的值代入即可求解． 【解答】解：由①得，y＝1﹣2x③， 把③代入②得，﹣x+3（1﹣2x）＝2，解得把代入③得，， ， ， ∴， ∴a+4b＝故选：D． ． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 2．某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力，他带的钱会差8元，如果购买5块方形和3块圆形巧克力，他带的钱会剩下8元．若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下（ ）元． A．8 B．16 C．24 D．32 【分析】根据题意可以设出二元一次方程组，然后变形即可解答本题． 【解答】解：设方形巧克力每块x元，圆形巧克力每块y元，小明带了a元钱， ， ①+②，得 8x+8y＝2a， ∴x+y＝a， ∵5x+3y＝a﹣8， 第9页（共40页） 页）
∴2x+（3x+3y）＝a﹣8， ∴2x+3×a＝a﹣8， ∴2x＝
，
∴8x＝a﹣32，
即他只购买8块方形巧克力，则他会剩下32元， 故选：D．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程的知识解答． 3．若A．15
是关于x、y的方程组
B．﹣15
的解，则（a+b）（a﹣b）的值为（ ）
C．16
D．﹣16
【分析】把方程组的解代入方程组可得到关于a、b的方程组，解方程组可求a，b，再代入可求（a+b）（a﹣b）的值． 【解答】解：∵∴解得
， ，
是关于x、y的方程组
的解，
∴（a+b）（a﹣b）＝（﹣1+4）×（﹣1﹣4）＝﹣15． 故选：B．
【点评】本题主要考查方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组中的每一个方程是解题的关键．
4．童威购买7块橡皮、5个作业本、1支圆珠笔共花费20元；购买10块橡皮、7个作业本、1支圆珠笔共花费26元；若购买11个橡皮、8个作业本、2支圆珠笔则要花费（ ）元． A．31
B．32
C．33
D．34
【分析】首先假设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，圆珠笔的单价是z元．购买铅笔11支，作业本8本，圆珠笔2支共需a元．根据题目说明列出方程组
，解方程组求出a的值，即为所求结果．
第10页（共40页） 页）
【解答】解：设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，圆珠笔的单价是z元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a元．
则由题意得：，
由②﹣①得3x+2y＝6 ④ 由②+①得17x+12y+2z＝46 ⑤ 由⑤﹣④×2﹣③得0＝46﹣12﹣a ∴a＝34 故选：D．
【点评】此题主要考查了方程组的应用，解答此题的关键是列出方程组，用加减消元法求出方程组的解． 5．已知
是二元一次方程y＝﹣x+5的解，又是下列哪个方程的解？（ ）
B．y＝x﹣1
C．y＝﹣x+1
D．y＝﹣x﹣1
A．y＝x+1
【分析】把x、y的值代入方程，看看方程两边是否相等即可． 【解答】解：A、把所以B、把所以C、把所以D、把所以
代入方程y＝x+1，左边≠右边，
不是方程y＝x+1的解，故本选项不符合题意； 代入方程y＝x﹣1，左边＝右边， 是方程y＝x﹣1的解，故本选项符合题意； 代入方程y＝﹣x+1，左边≠右边，
不是方程y＝﹣x+1的解，故本选项不符合题意； 代入方程y＝﹣x﹣1，左边＝右边，
不是方程y＝﹣x﹣1的解，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，能理解二元一次方程的解的意义是解此题的关键．
6．学校举办“创建文明城”演讲比赛，张老师拿出90元钱全部购买甲、乙两种笔记本作为
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奖品．已知甲种笔记本每本15元，乙种笔记本每本5元，且乙种笔记本的数量是甲种笔记本的整数倍，则购买笔记本的方案有（ ） A．2种
B．3种
C．4种
D．5种
【分析】设甲种笔记本购买了x本，乙种笔记本y本，就可以得出15x+5y＝90，根据解不定方程的方法求出其解即可．
【解答】解：设甲种笔记本购买了x本，乙种笔记本y本，由题意，得 15x+5y＝90 整理，得 3x+y＝18
因为y是x的整数倍， 所以当x＝1时，y＝15． 当x＝2时，y＝12． 当x＝3时，y＝9．
综上所述，共有3种购买方案． 故选：B．
【点评】本题考查了列二元一次不等式解实际问题的运用，分类讨论思想在解实际问题中的运用，解答时根据条件建立不等式是关键，合理运用分类是难点． 7．已知方程组A．﹣1
的解满足x﹣y＝m﹣1，则m的值为（ ） B．﹣2
C．1
D．2
【分析】先解关于x，y二元一次方程组，求出x，y的值后，再代入x﹣y＝m﹣1，建立关于m的方程，解方程求出m的值即可． 【解答】解：方法1：
，
解得，
∵
满足x﹣y＝m﹣1，
∴﹣﹣
＝m﹣1，
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解得m＝﹣1；
方法2：方程两边分别相减就可以得到36x﹣36y＝﹣72 则x﹣y＝﹣2 所以m﹣1＝﹣2 所以m＝﹣1． 故选：A．
【点评】考查了解二元一次方程组，解关于x，y二元一次方程组，求出x，y的值后，再求解关于m的方程，解方程组关键是消元．
8．如图，在长方形ABCD中，放入六个形状、大小相同的小长方形（即空白的长方形），若AB＝16cm，EF＝4cm，则一个小长方形的面积为（ ）
A．16cm2
B．21cm2
C．24cm2
cm2 D．32
【分析】设长方形的长和宽为未数，根据图示可得两个量关系：①小长方形的1个长+3个宽＝16cm，②小长方形的1个长﹣1个宽＝4cm，进而可得到关于x、y的两个方程，可求得解，从而可得到小长方形的面积．
【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，如图可知，
，
解得：
．
2
所以小长方形的面积＝3×7＝21（cm）． 故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，以及学生对图表的阅读理解能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
9．在国家倡导的“阳光体育”活动中，老师给小明30元钱，让他买三样体育用品；大绳，小绳，毽子．其中大绳至多买两条，大绳每条10元，小绳每条3元，毽子每个1元．在
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把钱都用尽的条件下，买法共有（ ） A．6种
B．7种
C．8种
D．9种
【分析】本题可设大绳买了x条，小绳买了y条，毽子买了z个．根据这三种体育用品的总价为30元，列出关于x、y、z的三元一次方程，根据x≤2，且x、y、z都是正整数，可求出x、y、z的取值，根据自变量的取值，可求出买法有多少种．
【解答】解：设大绳买了x条，小绳买了y条，毽子买了z个．则有：10x+3y+z＝30，根据已知，得x＝1或2，
当x＝1时，有z＝20﹣3y，此时有：y值可取1，2，3，4，5，6；共六种； 当x＝2时，有z＝10﹣3y，此时有：y值可取1，2，3；共三种． 所以共有9种买法． 故选：D．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的应用，解决本题的关键能够根据题意列出三元一次方程，根据未知数应是正整数和x小于等于2这些条件，进行分析求解． 10．某商店将巧克力包装成方形、圆形礼盒出售，且每盒方形礼盒的价钱相同，每盒圆形礼．某商店将巧克力包装成方形、圆形礼盒出售，且每盒方形礼盒的价钱相同，每盒圆形礼盒的价钱相同．阿郁原先想购买3盒方形礼盒和7盒圆形礼盒，但他身上的钱会不足240元，如果改成购买7盒方形礼盒和3盒圆形礼盒，他身上的钱会剩下240元．若阿郁最后购买10盒方形礼盒，则他身上的钱会剩下多少元？（ ） A．360
B．480
C．600
D．720
【分析】设每盒方形礼盒x元，每盒圆形礼盒y元，根据阿郁身上的钱数不变得出方程3x+7y﹣240＝7x+3y+240，化简整理得y﹣x＝120．那么阿郁最后购买10盒方形礼盒后他身上的钱会剩下（7x+3y+240）﹣10x，化简得3（y﹣x）+240，将y﹣x＝120计算即可． 【解答】解：设每盒方形礼盒x元，每盒圆形礼盒y元，则阿郁身上的钱有（3x+7y﹣240）元或（7x+3y+240）元．
由题意，可得3x+7y﹣240＝7x+3y+240， 化简整理，得y﹣x＝120．
若阿郁最后购买10盒方形礼盒，则他身上的钱会剩下： （7x+3y+240）﹣10x＝3（y﹣x）+240 ＝3×120+240 ＝600（元）． 故选：C．
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【点评】本题考查了二元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，得出每盒方形礼盒与每盒圆形礼盒的钱数之间的关系是解决问题的关键． 11．二元一次方程x+3y＝10的非负整数解共有（ ）对． A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】由于二元一次方程x+3y＝10中x的系数是1，可先用含y的代数式表示x，然后根据此方程的解是非负整数，那么把最小的非负整数y＝0代入，算出对应的x的值，再把y＝1代入，再算出对应的x的值，依此可以求出结果． 【解答】解：∵x+3y＝10， ∴x＝10﹣3y， ∵x、y都是非负整数， ∴y＝0时，x＝10； y＝1时，x＝7； y＝2时，x＝4； y＝3时，x＝1．
∴二元一次方程x+3y＝10的非负整数解共有4对． 故选：D．
【点评】由于任何一个二元一次方程都有无穷多个解，求满足二元一次方程的非负整数解，即此方程中两个未知数的值都是非负整数，这是解答本题的关键． 注意：最小的非负整数是0．
12．若2x+5y+4z＝0，3x+y﹣7z＝0，则x+y﹣z的值等于（ ） A．0
B．1
C．2
D．不能求出
【分析】理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，把x，y用z表示出来，代入代数式求值．
【解答】解：根据题意得：把（2）变形为：y＝7z﹣3x， 代入（1）得：x＝3z， 代入（2）得：y＝﹣2z， 则x+y﹣z＝3z﹣2z﹣z＝0． 故选：A．
第15页（共40页） 页）
，
【点评】本题的实质是解三元一次方程组，用加减法或代入法来解答．
13．某种商品价格为33元/件，某人只带有2元和5元的两种面值的购物券各若干张，买了一件这种商品；若无需找零钱，则付款方式中张数之和（指付2元和5元购物券的张数）最少和张数之和最多的方式分别是（ ） A．8张和16张
B．8张和15张
C．9张和16张
D．9张和15张
【分析】仔细读题，发现题中有一个等量关系：2×2元人民币的张数+5×5元人民币的张数＝33，如果设2元和5元的人民币分别有x张和y张，则根据等量关系可得一个二元一次方程，此方程有无穷多组解，再根据x，y是正整数，则可以得出符合条件的有限几组解．
【解答】解：设2元和5元的人民币分别有x张和y张， 根据题意，得2x+5y＝33， 则x＝
，即x＝16﹣2y+
，
又x，y是正整数， 则有
或
或
三种．
因为14+1＝15，9+3＝12，4+5＝9，15＞12＞9， 所以最少和张数之和最多的方式分别是9和15． 故选：D．
【点评】考查了二元一次方程的应用，注意：根据未知数应是正整数进行讨论． 14．若2x+5y+4z＝0，4x+y+2z＝0，则x+y+z的值等于（ ） A．0
B．1
C．2
D．不能求出
【分析】由2x+5y+4z＝0 ①，4x+y+2z＝0 ②，利用整体的思想①+②即可解决问题． 【解答】解：2x+5y+4z＝0 ①， 4x+y+2z＝0 ②， ①+②得到：6x+6y+6z＝0， ∴x+y+z＝0， 故选：A．
【点评】本题考查三元一次方程组，解题的关键是学会利用整体的思想思考问题，属于中考常考题型．
15．有一块矩形的牧场如图1，它的周长为700米．将它分隔为六块完全相同的小矩形牧场，
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如图2，每一块小矩形牧场的周长是（ ）
A．150米
B．200米
C．300米
D．400米
【分析】首先设每一块小矩形牧场的长为x米，宽为y米，根据题意可得等量关系：小矩形的1个长＝2个宽，3个长+1个宽＝700÷2，根据等量关系列出方程组，再解即可． 【解答】解：设每一块小矩形牧场的长为x米，宽为y米，
，
解得
，
每一块小矩形牧场的周长是：100+100+50+50＝300（米）， 故选：C．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未知数，列出方程组． 16．已知m为正整数，且关于x，y的二元一次方程组（ ） A．4
B．1，4
C．1，4，49
D．无法确定 有整数解，则m的值为
2
【分析】首先解方程组求得方程组的解是：
，则3+m是10和15的公约数，且
是正整数，据此即可求得m的值，求得代数式的值． 【解答】解：两式相加得：（3+m）x＝10， 则x＝
，
，
代入第二个方程得：y＝
当方程组有整数解时，3+m是10和15的公约数． ∴3+m＝±1或±5． 即m＝﹣2或﹣4或2或﹣8． 又∵m是正整数，
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∴m＝2， 则m＝4． 故选：A．
【点评】本题考查了方程组的解，正确理解3+m是10和15的公约数是关键． 17．已知甲校原有1016人，乙校原有1028人，寒假期间甲、乙两校人数变动的原因只有转人，寒假期间甲、乙两校人数变动的原因只有转出与转入两种，且转出的人数比为出与转入两种，且转出的人数比为1：3，转入的人数比也为1：3．若寒假结束开学时甲、乙两校人数相同，则乙校开学时的人数与原有的人数相差多少？（ ） A．6
B．9
C．12
D．18
2
【分析】分别设设甲、乙两校转出的人数分别为x人、3x人，甲、乙两校转入的人数分别为y人、3y人，根据寒假结束开学时甲、乙两校人数相同，根据寒假结束开学时甲、乙两校人数相同，可得方程1016﹣x+y＝1028﹣3x+3y，整理得：x﹣y＝6，所以开学时乙校的人数为：1028﹣3x+3y＝1028﹣3（x﹣y）＝1028﹣18＝1010（人），即可解答．
【解答】解：设甲、乙两校转出的人数分别为x人、3x人，甲、乙两校转入的人数分别为y人、3y人，
∵寒假结束开学时甲、乙两校人数相同， ∴1016﹣x+y＝1028﹣3x+3y， 整理得：x﹣y＝6，
开学时乙校的人数为：1028﹣3x+3y＝1028﹣3（x﹣y）＝1028﹣18＝1010（人）， ∴乙校开学时的人数与原有的人数相差；1028﹣1010＝18（人）， 故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，解决本题的关键是关键题意列出方程． 18．今年学校举行足球联赛，共赛17轮（即每队均需参赛17场），记分办法是：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．在这次足球比赛中，小虎足球队得16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，则小虎足球队所负场数的情况有（ ） A．2种
B．3种
C．4种
D．5种
【分析】设小虎足球队踢平场数是所负场数的k倍，依题意建立方程组，解方程组从而得到用k表示的负场数，因为负场数和k均为整数，据此求得满足k为整数的负场数情况．
【解答】解：设小虎足球队胜了x场，平了y场，负了z场，依题意得
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，
把③代入①②得解得z＝
（k为整数）．
，
又∵z为正整数， ∴当k＝1时，z＝7； 当k＝2时，z＝5； 当k＝16时，z＝1．
综上所述，小虎足球队所负场数的情况有3种情况． 故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用．解答方程组是个难点，用了换元法． 19．若（a﹣2）xA．2
|a|﹣1
+3y＝1是关于x，y的二元一次方程，则a＝（ ）
B．﹣2
C．2或﹣2
D．0
【分析】根据二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整
式方程可得：|a|﹣1＝1，且a﹣2≠0，解可得答案． 【解答】解：由题意得：|a|﹣1＝1，且a﹣2≠0， 解得：a＝﹣2， 故选：B．
【点评】此题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 20．若关于x，y的方程组A．0，1
有非负整数解，则正整数m为（ ）
C．0，1，3
D．1，3
B．1，3，7
【分析】根据y的系数互为相反数，利用加减消元法求出方程组的解，再根据解为非负整数列出不等式求解得到m的取值范围，然后写出符合条件的正整数即可． 【解答】解：
，
①+②得，（m+1）x＝8， 解得x＝
，
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把x＝解得y＝代入①得，， ﹣y＝2， ∵方程组的解是非负整数， ∴， 解不等式①得，m＞﹣1， 解不等式②得，m≤3， 所以，﹣1＜m≤3， ∵x、y是整数， ∴m+1是8的因数， ∴正整数m是1、3． 故选：D． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解一元一次不等式，根据非负整数解列出不等式组求出m的取值范围是解题的关键，要注意整数的限制条件． 二．填空题（共21小题） 21．“驴友”小明分三次从M地出发沿着不同的线路（A线，B线，C线）去N地．在每条线路上行进的方式都分为穿越丛林、涉水行走和攀登这三种．他涉水行走4小时的路程与攀登6小时的路程相等．B线、C线路程相等，都比A线路程多32%，A线总时间等于C线总时间的，他用了3小时穿越丛林、2小时涉水行走和2小时攀登走完A线，在B线中穿越丛林、涉水行走和攀登所用时间分别比A线上升了20%，50%，50%，若他用了x小时穿越丛林、y小时涉水行走和z小时攀登走完C线，且x，y，z都为正整数，则＝ ． 【分析】因为他涉水行走4小时的路程与攀登6小时的路程相等，所以可以假设涉水行走的速度为3nkm/h与攀登的速度为2nkm/h，穿越丛林的速度为mkm/h．由题意：，可得m＝5n，5x+3y+2z＝33 ①，x+y+z＝14 ②，由①②消去z得到：3x+y＝5，求出整数解即可解决问题． 【解答】解：∵他涉水行走4小时的路程与攀登6小时的路程相等， 第20页（共40页） 页）
∴可以假设涉水行走的速度为3nkm/h与攀登的速度为2nkm/h，穿越丛林的速度为mkm/h． 由题意：
可得m＝5n，5x+3y+2z＝33 ① ∵x+y+z＝14 ②，
由①②消去z得到：3x+y＝5， ∵x，y是正整数， ∴x＝1，y＝2，z＝11， ∴
＝
＝，
，
故答案为．
【点评】本题考查三元一次方程组，解题的关键是理解题意，学会利用参数方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
22．由菜鸟网络打造的一个仓库有相同数量的工人和机器人，均为x名（其中x＞5），平时每天都只工作8小时，每名机器人每小时加工包裹（分、拣、包装一体化）的数量是每名工人每小时加工包裹数量的2倍．随着“春节”临近，人工短缺，寄年货的包裹增多，公司决定再增加2名机器人，且将机器人每天工作时间延长至名机器人，且将机器人每天工作时间延长至12小时，并对每名机器人小时，并对每名机器人进行升级改造，让现在每名机器人每小时加工包裹的数量在原有基础上增加x个，结果现在所有机器人每天加工包裹的数量是所有工人平时每天加工包裹数量的6倍，则该仓库平时一天加工 864 个包裹．
【分析】设工人每小时加工y个包裹，则改造前机器人每小时加工2y个包裹，改造后机器人每小时加工（2y+x）个包裹，依题意，得：12（x+2）（2y+x）＝6×8xy，推出x+4y﹣2xy+2x＝0，可得y＝
+3+题．
【解答】解：设工人每小时加工y个包裹，则改造前机器人每小时加工2y个包裹，改造后机器人每小时加工（2y+x）个包裹， 依题意，得：12（x+2）（2y+x）＝6×8xy， ∴x+4y﹣2xy+2x＝0，
2
2
＝＝+＝+＝
，根据x是大于5的整数，y是整数，推出x＝6，y＝6，有由此即可解决问
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∴y＝
＝＝+＝+＝+3+，
∵x是大于5的整数，y是整数， ∴x＝6，y＝6，
∴该仓库平时一天加工6×6×8+6×12×8＝864（个）， 故答案为864．
【点评】本题考查二元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，学会求二元一次方程方程的整数解，属于中考填空题中的压轴题．
23．定义一种新的运算“※”，规定：x※y＝mx+ny2，其中m、n为常数，已知2※3＝﹣1，3※2＝8，则m※n＝ 15 ． 【分析】由2※3＝﹣1、3※2＝8可得解可得．
【解答】解：根据题意，得：解得：
，
2
，解之得出m、n的值，再根据公式求
，
则x※y＝4x﹣y，
∴4※（﹣1）＝4×4﹣（﹣1）＝15， 故答案为：15
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，根据题意列出关于本题主要考查解二元一次方程组，根据题意列出关于m、n的方程组，并利用加减消元法求得m、n的值是解题的关键． 24．已知方程组
，当m ＞﹣2 时，x+y＞0．
2
【分析】解此题首先要把字母m看做常数，然后解得x、y的值，结合题意，列得一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：
②×2﹣①得：x＝﹣3③， 将③代入②得：y＝m+5， 所以原方程组的解为∵x+y＞0， ∴﹣3+m+5＞0，
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，
，
解得m＞﹣2，
∴当m＞﹣2时，x+y＞0． 故答案为＞﹣2．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解的定义，提高了学生的计算能力，解题的关键是把字母m看做常数，然后解二元一次方程组与一元一次不等式． 25．方程组：
的解是
．
【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【解答】解：方程组整理得：
①×2+②得：15y＝﹣15，即y＝﹣1， 把y＝﹣1代入①得：x＝2， 则方程组的解为故答案为：
．
．
，
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 26．已知方程组
的解是
，老师让同学们解方程组
，
小聪先觉得这道题好象条件不够，后将方程组中的两个方程两边同除以5，整理得
，运用换元思想，得
，所以方程组
的
解为．现给出方程组的解是，请你写出方程组
的解 ．
【分析】根据示例，运用换元思想，即可列出简易方程组，很容易求出方程组的解． 【解答】解：∵
，
第23页（共40页） 页）
，
又∵的解是，
∴即
， ．
【点评】本题给出了一些材料，考查了同学们的阅读分析能力，需要同学们有一定的逻辑分析能力． 27．解方程组a＝
，b＝
时，甲同学正确解得 ，c＝
．
，乙同学因把c写错而得到
，则
【分析】本题可把正解代入方程得出c的值．乙同学是把c写错而得出错解，但a，b的值没有写错，因此可列出方程组
，再运用加减消元法，可得出a，b的值．
【解答】解：把x＝3，y＝2代入cx﹣7y＝8中，得 3c﹣14＝8， c＝
．
∵a，b的值没有写错
∴把两组解分别代入ax+by＝2中，得
，
①﹣②×2，得
．
∴a＝，b＝，c＝
．
【点评】本题考查的是二元一次方程的解法，学生在看到题目的时候有可能会一头雾水，本题考查的是二元一次方程的解法，学生在看到题目的时候有可能会一头雾水，不知道该从何处入手．因此在解本题的过程中我们会一步步进行分析，让学生能更好地接受和理解．
28．对任意两个正整数x、y，定义一个运算“★”为x★y＝（x+2xy+y），若正整数a、b满
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足a★b＝1154，则有序正整数对（a，b）共有 0 对．
【分析】要求有序正整数对（a，b）共有几对，就要根据题中给出的运算，变形求出a或b的值，然后分析情况．求出有几对． 【解答】解：由题意，得（a+2ab+b）＝1154， 即2ab+a＝1154﹣b a（2b+1）＝1154﹣b
a＝∴
11545＝5×2309 10b+5＝5无正整数解 10b+5＝2309无正整数解
＝﹣+＝（﹣1+）
∴有序正整数对（a，b）共有0对． 故答案为：0．
【点评】此题考查二元一次方程的解法，可用整体代入的思想进行求解．
29．有一条长度为359mm的铜管料，把它锯成长度分别为59mm和39mm两种不同规格的小铜管（要求没有余料），每锯一次损耗1mm的铜管料，为了使铜管料的损耗最少，应分别锯成59mm的小铜管 4 段，39mm的小铜管 3 段．
【分析】本题的等量关系是截59mm的钢管用的钢管料+截39mm的钢管用的钢管料+锯这两种钢管时损耗的钢管料＝359，列出方程，求出未知数． 然后将各种方案的损耗算出来，得出损耗最少的方案．
【解答】解：设应分别锯成59mm的小铜管x段，39mm的小铜管y段． 那么损耗的钢管料应是1×（x+y﹣1）＝x+y﹣1（mm）．根据题意得： 59x+39y+x+y﹣1＝359， x＝6﹣y．
由于x、y都必须是正整数，因此 x＝4，y＝3，x+y﹣1＝6； x＝2，y＝6，x+y﹣1＝7；
第25页（共40页） 页）
因此据此4段59mm的小钢管最省．
【点评】解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程．本题还需注意等量关系是：截59mm的钢管用的钢管料+截39mm的钢管用的钢管料+锯这两种钢管时损耗的钢管料＝359．以及各种方案的损耗要算出来．
要注意本题中未知数的取值必须是正整数这个隐藏条件．
30．三轮摩托车的轮胎安装在前轮上行驶12000公里后报废，安装在左后轮和右后轮则分别只能行驶7500公里和5000公里．为使该车行驶尽可能多的路程，采用行驶一定路程后将2个轮胎对换的方法，但最多可对换2次，那么安装在三轮摩托车上的3条轮胎最多可行驶 7200 公里．
【分析】易得在每个位置的轮胎行驶1公里的损耗度，那么3除以3种轮胎损耗度之和即为最多可行驶的公里数；验证方法为：先让前胎与后胎对换，再让左右轮胎对换，根据每种轮胎报废的损耗度为1得到相应的等量关系，即可求得对换需要的时间． 【解答】解：三轮摩托每行驶解：三轮摩托每行驶1公里，前胎、公里，前胎、左后胎和右后胎分别损耗前胎、左后胎和右后胎分别损耗
，
所以3条轮胎最多行驶3÷（
+
+
）＝7200公里．
，
和
设行驶x公里时，把前胎和右后胎对换，再走y公里，把左右后胎对换，再走z公里，报废．
解得，
x+y+z＝7200．
∴行驶3428公里时，把前胎和右后胎对换，再走3171公里，把左右后胎对换，再走600公里，报废． 故答案为：7200．
第26页（共40页） 页）
【点评】考查三元一次方程组的应用；判断出相应的对换方法是解决本题的突破点；根据每种轮胎报废的损耗度为1得到相应的等量关系是解决本题的难点．
31．五羊公园门票规定为：每人20元；30人以上的团体购票，每人18元，每30人优惠1人免票（不足30人的余数不优惠）．今有花城旅行社、穗城旅行社、羊城旅行社的三支旅游团前来参观：如果花城团、穗城团合起来作为一个团体购票，应购门票3834元；如果穗城团、羊城团合起来购票，应购门票4770元；如果羊城团、花城团合起来购票，应购门票5220元，那么三个团共有人 397 ．
【分析】可设花城团有x人，穗城团有y人，羊城团有z人，每人18元，每30人优惠1人免票（不足30人的余数不优惠），实际上就是：540元，可进31人．可得方程组：
①或
②，解方程组求解即可．
【解答】解：设花城团有x人，穗城团有y人，羊城团有z人， 因为3834÷18＝213，4770÷18＝265，5220÷18＝290， 又213＝30×7+3，265＝30×8+25，290＝30×9+20． 根据公园门票优惠方法得方程组：x+y＝213+7，即x+y＝220； y+z＝265+8，即y+z＝273； z+x＝290+9，即z+x＝299．
三式相加得：2（x+y+z）＝792，故x+y+z＝396，即三个团共有396人．
由y+z＝273可知，穗城团与羊城团合起来有273人，而273应写成30×9+3，即273人只需有273﹣9＝264人买票，与题目中的265不符．因此，穗城团、羊城团的人数加起来不可能是273人而应是265+9＝274人，而274＝30×9+4，因为只有274人才需要购买274﹣9＝265人的票，同样，由z+x＝299人，若再增加一人，变为300人，则300＝3010，省10人的票，同样也是290人买票．所以羊城团、花城团合起来可能是299人，也可能是300人．即可能是z+x＝299，也可能是z+x＝300．综上所述，可得方程组：
①或
②
由方程组①可得：2（x+y+z）＝793，故x+y+z＝396.5，
由方程组②可得：2（x+y+z）＝794，故x+y+z＝397，由于人数不可能为小数， 所以方程组①不符合实际，应舍去，故三个团共有397人． 故答案为：397．
第27页（共40页） 页）
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是得出羊城团、花城团合起来可能是299人，也可能是300人，从而根据情况舍去不符合实际的．
32．在一条街AB上，甲由A向B步行，乙骑车由B向A行驶，乙的速度是甲的速度的3倍，此时公共汽车由始发站A开出向B行进，且每隔x分发一辆车，过了一段时间，甲发现每隔10分有一辆公共汽车追上他，而乙感到每隔分有一辆公共汽车追上他，而乙感到每隔5分就碰到一辆公共汽车，那么在分就碰到一辆公共汽车，那么在始发站公共汽车发车的间隔时间x＝ 8 分钟．
【分析】设公共汽车的速度为V1，甲的速度为V2．因为两辆车间隔距离相等，汽车与甲是追及问题，即甲与汽车之间距离为s＝10（V1﹣V2）．汽车与乙是相遇问题，即乙与汽车之间的距离为s＝5（V1+3V2）．根据上面两式可得到V1＝5V2．再代入①即可求得值．至此问题得解．
【解答】解：设公共汽车的速度为V1，甲的速度为V2． 由题意得
的
由①﹣②得 0＝5V1﹣25V2，即V1＝5V2③ 将③代入①得 s＝10（V1﹣V1） ∴
＝8
故答案为8．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用．解决本题的关键是将本题理解为追及与相遇问题，解得未知数的比例关系，即为本题的解．
33．某校运动会在400米环形跑道上进行10000米比赛，甲、米比赛，甲、乙两运动员同时起跑后，甲、乙两运动员同时起跑后，乙速乙两运动员同时起跑后，乙速超过甲速，在第15分钟时甲加快速度，在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙，在第23分钟时，甲再次追上乙，而在第23分50秒时，甲到达终点，那么乙跑完全程所用的时间是 25 分钟．
【分析】首先假设出发时甲速度为a米/分，乙速度为b米/分．第15分钟甲提高的速度为x米/分，则第15分钟后甲的速度是（a+x）米/分．
根据题意，到第15分钟时，乙比甲多跑15（b﹣a）米，甲提速后3分钟（即第18分）追上乙，
所以（a+x﹣b）×3＝15（b﹣a） ①
400米）再次追上乙， 接着甲又跑了5分钟（即第23分钟），已经超过乙一圈（第28页（共40页） 页）
所以（a+x﹣b）×5＝400 ②
到了第23分50秒时甲跑完10000米，这10000米 前（15分）是以速a跑完的，后面的所以15a+
（a+x）＝10000，
分是以速度a+x跑完的，
由①÷②得b﹣a＝16（米/分），x＝96米/分．
将b﹣a、x代入③得 a＝384米/分，所以b＝400米/分． 乙是一直以400米/分的速度跑完10000米的， ∴乙跑完全程所用的时间＝
＝25（分）．
【解答】解：设出发时甲速度为a米/分，乙速度为b米/分．第15分钟甲提高的速度为x米/分，
所以第15分钟后甲的速度是（a+x）米/分．
由题意得，
由①÷②得b﹣a＝16（米/分），那么x＝96米/分 将x代入③得 a＝384米/分 ∴b＝400米/分． ∴乙跑完全程所用的时间＝故答案为25．
【点评】解决本题的关键是从求甲的原速度与甲提高的速度为切入点，求得甲的速度，乙速度也就不难确定了．
34．某旅游团一行50人到某旅社住宿，该旅社有三人间、双人间和单人间三种客房，其中三人间每人每晚20元，双人间每人每晚30元，单人间每晚50元．已知该旅行团住满了20间客房，且使总的住宿费用最省．那么这笔最省的住宿费用是 1150 元，所住的三人间、双人间、单人间的间数依次是 15、0、5 ．
【分析】首先假设该旅行团住三人间x间，双人间y间，单人间z间，总住宿费为a元．根
＝25（分）．
据题目要求列出方程组．
第29页（共40页） 页）
分别求得y、z用x表示的关系式，且0≤x≤20，0≤y≤20，0≤z≤20，根据y、z用x表示的关系式，确定x的取值范围．将y、z关系式代入60x+60y+50z＝a，即得x用a表示的关系式，根据x的取值区间求得a的取值范围，确定a的最小值，此时可求得x的值，代入y、z关于x的关系式，可求得y、z的值．
【解答】解：设该旅行团住三人间x间，双人间y间，单人间z间，总住宿费为a元．
则由题意得
由②﹣①得 2x+y＝30，即y＝30﹣2x④ 由②﹣①×2得 x﹣z＝10，即z＝x﹣10 ⑤ ∵0≤y≤20，即0≤30﹣2x≤20，解得5≤x≤15 ⑥ 同理0≤z≤20，即0≤x﹣10≤20，解得10≤x≤30 ⑦ 由⑥⑦知 10≤x≤15
将④⑤代入③得 a＝60x+60（30﹣2x）+50（x﹣10）＝1300﹣10x⇒x＝130﹣∴10≤
≤15⇒1200≤a≤1150
∴这笔最省的住宿费用是1150元，此时x＝15 再将x的值代入④⑤得 y＝0、z＝5 故答案为1150，15、0、5．
【点评】本题考查三元一次方程组的应用．解决本题的关键是根据题目方程组，本题考查三元一次方程组的应用．解决本题的关键是根据题目方程组，求得用解决本题的关键是根据题目方程组，求得用x表示的y、z表达式，进而根据0≤x≤20，0≤y≤20，0≤z≤20，求得x的取值范围，进而确定a的取值范围，反过来求得x的取值，y、z的取值．
35．“雪龙”号科学考察船到南极锦绣科学考察活动，从上海出发以最快速度19节（1节＝1海里/小时）航行抵达南极需要30多天时间．该船以16节的速度从上海出发，若干天后，顺利抵达目的地．在极地工作了若干天，以12节的速度返回，从上海出发后第83天由于天气原因航行速度为2节，2天后以14节的速度继续航行4天返回上海．那么，“雪龙”号在南极工作了 3 天．
【分析】设去时用x天，工作y天，等量关系为：去时的路程＝返回时的路程，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：设去时用x天，工作y天，其中x大于30．得出方程为：
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16x＝12（82﹣x﹣y）+2×2+14×4 16x＝984﹣12x﹣12y+60 28x+12y＝1044 7x+3y＝261
上面说到x必须大于30，所以经过运算得出只有x＝33，y＝10和x＝36，y＝3时才符合题目．将第1组结果代入方程中算得x小于30所以解法错误，答案为第2组解． 故答案为3．
【点评】考查二元一次方程的应用，得到路程的等量关系是解决本题的关键；难点在于判断出整数解．
36．怡荣号渡轮时速40千米，单数日由A地顺流航行到B地，双数日由B地逆流航行到A地．（水速为每小时24千米）有一单数日渡轮航行到途中的C地时，失去动力，只能任船漂流到B地，船长计得该日所用的时间为原单数日的
倍．另一双数日渡轮航行到途
中的C地时，又失去动力，船在漂流过程中，维修人员全力抢修了1小时后船以2倍时速前进到A地，结果船长发现该日所用的时间与原双数日所用时间一秒不差．请问地，结果船长发现该日所用的时间与原双数日所用时间一秒不差．请问A、B两地的距离为多少千米？
【分析】两个等量关系为：A、C两地的距离顺流行驶需要的时间+B、C两地的距离顺流漂流需要的时间＝A、B两地的距离顺流行驶需要的时间×
；B、C两地的距离逆流行
驶需要的时间+抢修的时间+（A、C两地的距离+24千米）逆流需要的时间＝A、B两地的距离逆流行驶需要的时间，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：设A、B两地的距离为x千米，A、C两地的距离为y千米，
则解得
，
，
答：A、B两地的距离为192千米．
【点评】本题主要考查了用二元一次方程组解决行程问题；关键是根据时间得到相应的等量关系；用到的知识点为：顺流速度＝静水速度+水流速度；逆流速度＝静水速度﹣水流速度．
37．一个工厂得到任务，需要加工A零件6000个和B零件2000个，该厂共有工人214名，
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每个人加工A零件5个的时间可以加工B零件3个．现将工人分成两组，分别加工一种零件，同时开始，应怎样分组才能使任务最快完成 加工A，B零件的人数分别为137，77名时可以最快地完成任务． ．
【分析】设有x人加工A零件，则有214﹣x人加工B零件，在单位时间内，一个工人加工A零件的数目为5k，加工B零件的数目为3k，当同时完成任务时能最快完成任务． 【解答】解：设有x人加工A零件，则有214﹣x人加工B零件，在单位时间内，一个工人加工A零件的数目为5k，加工B零件的数目为3k，根据题意得：TA＝
TB}＝其中k是一个常数．最后完成任务的时间就是T＝max{TA，TB}表示TA与TB中的较大者，而f（x）＝max{
，
fx）（，其中max{TA，}；
，TB＝
现在问题转化为：自然数现在问题转化为：自然数x（1≤x≤213）取何值时，f（x）有最小值？当时，
解得：x＝137，则x＝137或138， 当x＝137时，f（x）＝f（137）＝max{当x＝138时，f（x）＝f（138）＝max{∴f（137）＜f（138）， 当x＜137时，∵当x＞138时，∵
，∴f（x）＞f（137）；
，∴f（x）＞f（138）；所以f（x）的最小值，，
}＝}＝
； ；
在x＝137时取到，即加工A，B零件的人数分别为137，77名时可以最快地完成任务． 【点评】本题考查了二元一次方程的应用，涉及到最值的求法，方案的设计，最值的求法是解题的难点． 38．若
是方程组
的解，则a+b＝ 4 ．
【分析】所谓方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．
把x、y的值代入原方程组可转化成关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值．
【解答】解：把x，y的值代入方程组，
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得a﹣2＝b，4+b＝2a﹣1， 解得a＝3，b＝1， 所以a+b＝4．
【点评】一要注意方程组的解的定义；
二要熟练解方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法．
39．设甲数为x，乙数为y，则甲数增加10%与乙数增加到原来的3倍后的和比甲、乙两数的和多8，则方程为 （1+10%）x+3y＝x+y+8 ．
x+3y．【分析】甲数增加10%与乙数增加到原来的3倍后的和，用代数式表示为（1+10%） 再根据增加后的和比甲、乙两数的和多8，可得方程．
【解答】解：根据甲数增加10%与乙数增加到原来的3倍后的和比甲、乙两数的和多8，可得方程（1+10%）x+3y＝x+y+8．
【点评】注意甲数增加10%应表示为（1+10%）x，而不是10%x．
40．某人沿电车路线行走，每12分钟有一辆电车从后面赶上，每4分钟有一辆电车迎面开来，若行人与电车都是匀速前进的，则电车每隔 6 分钟从起点开出一辆．
【分析】每12分钟有一辆电车从后面赶上属于追及问题，等量关系为：电车12分走的路程＝行人12分走的路程+两辆电车相间隔的路程；每4分钟有一辆电车迎面开来，是相遇问题，等量关系为：电车4分走的路程+行人4分走的路程＝两辆电车相间隔的路程，两辆电车间隔的路程为两辆电车相隔的时间×电车的速度．
【解答】解：设电车的每分走x，行人每分走y，电车每隔a分钟从起点开出一辆． 则
两式相减得：x＝2y
把x＝2y代入方程组任何一个式子都可以得到a＝6
【点评】本题考查行程问题中的相遇问题和追及问题，那么就需要弄清相应的模式加以分析．
41．某车间每天能生产甲种零件300个，或者乙种零件500个，或者丙种零件600个，甲、乙、丙三种零件各一个配一套．现在要用63天使产品成套，那么生产甲种零件应当用 30
天，生产乙种零件应当用 18 天，生产丙种零件应当用 15 天．
【分析】用二元一次方程组解决问题的关键是找到2个合适的等量关系．本题要求三个未知数，但最好设两个未知数．可设生产甲种零件应当用x天，生产乙种零件用y天．则
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生产丙种零件需（63﹣x﹣y）天．那么等量关系为：甲x天生产的零件＝乙y天生产的零件＝丙（63﹣x﹣y）天生产的零件；从其中任取两个等式组成方程组． 【解答】解：设生产甲种零件应当用解：设生产甲种零件应当用x天，生产乙种零件用天，生产乙种零件用y天．则生产丙种零件需（则生产丙种零件需（63﹣x﹣y）天． 则解得 ∴63﹣x﹣y＝15 答：生产甲种零件应当用30天，生产乙种零件应当用18天，生产丙种零件应当用15天． 【点评】当最后的问题要求三个未知数时，尽量设两个未知数，因为解多元未知数的途径是消元，还需要消成两个未知数，多了做题环节就多了错的环节．本题中甲、乙、丙三种零件各一个配一套，意思的最后甲x天生产的零件＝乙y天生产的零件＝丙（63﹣x﹣y）天生产的零件；应从其中任取两个等式组成方程组． 三．解答题（共9小题） 42．在解关于x、y的方程组 时，可以用①×2﹣②消去未知数x，也可以用①×4+②×3消去未知数y，试求a、b的值． 【分析】根据题意得出关于a、b的方程组，求出方程组的解即可． 【解答】解：由题意可得：， 解之，， 所以a＝6，b＝． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组的应用，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键． 43．若方程组和方程组有相同的解，求a，b的值． 分别代入ax+y【分析】将3x﹣y＝7和2x+y＝8组成方程组求出x、y的值，再将＝b和x+by＝a求出a、b的值． 【解答】解：由题意知， 第34页（共40页） 页）
解得：将
，
代入ax+y＝b和x+by＝a得： ，
解得：．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，将x、y的值代入，转化为关于a、b的方程组是解题的关键． 44．已知
和
是二元一次方程mx﹣3ny＝5的两个解．
（1）求m、n的值；
（2）若x＜﹣2，求y的取值范围．
【分析】（1）把x与y的两对值代入方程计算求出m与n的值即可； （2）由方程求出x的表达式，解不等式即可． 【解答】解：（1）把①×2+②得：15n＝15， 解得：n＝1，
把n＝1代入①得：m＝2， 则方程组的解为（2）当解得x＝∵x＜﹣2， ∴
＜﹣2，
；
和
代入方程得：
，
时，原方程变为：2x﹣3y＝5， ，
解得y＜﹣3．
故y的取值范围是y＜﹣3．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 45．阅读材料：
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小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积．
小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题：
（1）请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积；
（2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 20 cm；
（3）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程．
【分析】（1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方y的值，程组，解之即可得出x、再根据长方形的面积公式即可得出每个小正方形的面积； （2）通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即单独一个纸杯的高度+3个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高的高度＝9，单独一个纸杯的高度+8个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高的高度＝14．根据这两个等量关系可列出方程组；
（3）设小长方形的面积为x，宽为y，根据长方形ABCD的长为19，宽的两种不同表达方式列出方程组求出小长方形的长和宽，进一步求出图中阴影部分的面积． 【解答】解：（1）设小长方形的长为x，宽为y，
第36页（共40页） 页）
根据题意得：∴xy＝10×6＝60．
，解得：，
故每个小长方形的面积为60；
（2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高xcm，单独一个纸杯的高度为ycm， 则
，解得
，
则12x+y＝12×1+8＝20．
即小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是20cm．
（3）设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得
，
解得
，
∴S阴影＝19×（7+3×3）﹣8×10×3＝64． 故答案为：64．
【点评】考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
46．当a，b都是实数，且满足2a﹣b＝6，就称点P（a﹣1，+1）为完美点． （1）判断点A（2，3）是否为完美点． （2）已知关于x，y的方程组y）是完美点，请说明理由．
【分析】（1）根据完美点的定义判定即可； （2）用m表示a、b，构建方程即可解决问题；
【解答】解：（1）a﹣1＝2，可得a＝3，+1＝3，可得b＝4， ∵2a﹣b≠6，
∴A（2，3）不是完美点． （2）∵
，
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，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，
∴，
3+m＝a﹣1，可得a＝m+4， 3﹣m＝+1，可得b＝4﹣2m， ∵2a﹣b＝6， ∴2m+8﹣4+2m＝6， ∴m＝，
∴当m＝时，点B（x，y）是完美点．
【点评】本题考查二元方程组，点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考创新题目．
47．某水果店购进苹果与橙子共50kg，这两种水果的进价、标价如下表所示，店主将这些水果按8折全部售出后，其获利258元，那么该水果点购进苹果和橙子分别多少kg？
苹果 橙子
进价（元/kg）
6 5
标价（元/kg）
15 12
【分析】设苹果购进了x千克，则橙子购进了y千克，根据题意得出方程组，解之即可得出结论；
【解答】解：设苹果购进了x千克，则橙子购进了y千克，根据题意可得：
，
解得：
，
答：该水果点购进苹果和橙子分别20kg，30kg．
【点评】本题考查了二元一次方程组应用，根据题意得出方程组是解题的关键． 48．随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元． （1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子
第38页（共40页） 页）
比不打折节省了多少钱？ 【分析】（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据“打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据节省钱数＝甲品牌粽子节省的钱数+乙品牌粽子节省的钱数，即可求出节省的钱数． 【解答】解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元， 根据题意得：解得：． ， 答：打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元． （2）80×70×（1﹣80%）+100×80×（1﹣75%）＝3120（元）． 答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，列式计算． 49．某校组织学生开展课外社会实践活动，现有甲、乙两种大客车可租，已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元． （1）求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？ （2）学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人，共有师生330人，求最节省的租车费用是多少元？ 【分析】（1）设1辆甲种客车的租金是x元，1辆乙种客车的租金是y元，根据“1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租甲种客车t辆，租车总费用为w元，则租乙种客车（8﹣t）辆，根据总租金＝每辆甲种客车的租金×租车数量+每辆乙种客车的租金×租车数量，即可得出w关于t的函数关系式，由全校师生共有330人，即可得出关于t的一元一次不等式，解之即可求出t的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设1辆甲种客车的租金是x元，1辆乙种客车的租金是y元， 根据题意得：， 第39页（共40页） 页）
解得：．
答：1辆甲种客车的租金是400元，1辆乙种客车的租金是280元． （2）设租甲种客车t辆，租车总费用为w元，则租乙种客车（8﹣t）辆， 根据题意得：w＝400t+280（8﹣t）＝120t+2240． ∵45t+30（8﹣t）≥330， 解得：t≥6． ∵k＝120＞0，
∴w随t值的增大而增大，
∴当t＝6时，w取最小值，最小值＝120×6+2240＝2960． 答：最节省的租车费用是2960元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据总租金＝每辆甲种客车的租金×租车数量+每辆乙种客车的租金×租车数量，列出w关于t的函数关系式．
50．对有理数x、y规定运算⊕：x⊕y＝ax﹣by．已知1⊕7＝9，3⊕8＝14，求2a+5b的值． 【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【解答】解：由题意可知：解这个方程组得：所以2a+5b＝﹣1．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义计算即可得到结果．
，
，
第40页（共40页） 页）
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