43例谈椭圆定义在解题中的应用

定义是揭示事物的本质属性，对于某些数学问题，若能灵活运用定义解题，往往事半功倍，本文举例说明椭圆定义在解题中的应用。

一. 解方程 例1.

x22x2x22x24

分析：常规方法是经过两次平方去根号求解，但运算繁杂，难免不出错。如果联想到椭圆的第一定义，将方程配方后令1y2，得(x1)2y2(x1)2y24，则点M（x，y）的轨迹是以F1（-1，0），F2（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，从而原方程的解等价于已知椭圆上点的纵坐标去求它们的横坐标。

解：由原方程可得

2y1 2222(x1)y(x1)y4x2y21 43y21解得x

二. 判断方程表示的曲线

例2. 已知x、yR，且满足x24x4y2样的曲线。

分析：若将原方程平方，化简后并不能直接判断出轨迹是什么曲线，注意式子结构的特点，左边可看成点M到点（2，0）的距离，从而可联想右边可化为点M到直线xy20的距

26 31|xy2|，试判断点M的轨迹是怎2(x2)2y22离，即有，由此联想到椭圆的第二定义，就很简单地求出点M的轨迹是

|xy2|22椭圆。

三. 求参数的取值范围

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x2y21的两个焦点是F1（-c，0）例3. （2004年高考·全国卷III）设椭圆、F2（c，m10）（c>0），且椭圆上存在点P，使得直线PF1与直线PF2垂直，求m的取值范围。

解：由题意知m>0，am1，b1，cm，且

2222|PF1||PF2||F1F2|4c②|PF1||PF2|2a①

②2－①得：

|PF1||PF2|2a22c22b2

又|PF1||PF2|(|PF1||PF2|2)a2 2所以2b2a2，即2m1，所以m1

例4. （1997年全国联赛题）若方程m(x2y22y1)(x2y3)2表示的曲线为椭圆，则m的取值范围是（ ）

A. （0，1） C. （0，5）

B. （1，+∞） D. （5，+∞）

分析：由已知得m[x2(y1)2](x2y3)2

x2(y1)2即

|x2y5|55m

依题意，此方程表示椭圆，根据椭圆的第二定义，得e

四. 求最值

5(0，1)，解得m>5，选D。 mx2y21上动点，F例5. （1）（1999年全国联赛题）给定A（-2，2），已知B是椭圆

25165是左焦点，当|AB||BF|取最小值时，求B点坐标。

3x2y21内有一点P（1，-1）（2）已知椭圆，F为椭圆右焦点，M是椭圆上动点，求43|MP|+|MF|的最小值。

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分析：此题如果按一般求最值的方法先建立目标函数，再求最值，因含有两个根式的和，代入消元不易，难以求解，但如果我们注意数量特征，利用椭圆定义合理转化，则可得到如下简解。

解：（1）显然点A在椭圆内部，由椭圆第二定义可得：B到椭圆左准线l的距离d|BF|，所以|AB||BF||AB|d，结合平面几何知识，可知，当AB⊥l时，|AB|d最小，此时易求B点坐标为（535353，2） 2（2）设椭圆的左焦点为F'，由平面几何知识，得|MP||MF'||PF'|，当且仅当M为线段F'P的延长线与椭圆交点时取等号。

所以|MP||MF||MF'||PF'||MF|4|PF'|45 所以|MP||MF|的最小值为45。

五. 求轨迹方程

例6. （2002年春季高考题）已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ||PF2|，那么动点Q的轨迹是（ ）

A. 圆

B. 椭圆

C. 双曲线一支

D. 抛物线

解：因为|PQ||PF2|，所以|QF1||PQ||PF1||PF2||PF1|

由椭圆第一定义得|PF1||PF2|2a，故|QF1|2a，即Q点轨迹是以F1为圆心，以2a为半径的圆，选A。

六. 求焦点三角形的面积

x2y2例7. 已知点P是椭圆221(ab0)上的一点，F1、F2是两个焦点，且∠F1PF2＝

abα，求△F1PF2的面积S。

解：△PF1F2中，由余弦定理，得

|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1||PF2|cos(|PF1||PF2|)22|PF1||PF2|(1cos) 2b2所以|PF1||PF2|

1cos故SPF1F21b2sin|PF1||PF2|sinb2tan 21cos2第3页（共4页）

七. 求离心率

x2y2例8. 已知P是椭圆221(ab0)上一点，F1、F2是椭圆的左、右焦点若∠PF1F2

ab＝α，∠PF2F1＝β，求椭圆离心率。

解：△PF1F2中，由正弦定理有

|PF1||PF2||F1F2| sinsinsin[()]|PF1||PF2||F1F2|

sinsinsin()2a2c

sinsinsin()sin()c asinsine

八. 求离心率取值范围

x2y2例9. （2001年“希望杯”赛题）F1、F2是椭圆221(ab0)的两个焦点，若椭

ab圆上存在点P使得∠F1PF2＝120°，求椭圆离心率的取值范围。

解：由同例8得

esin()sinsincos2 cos2cos3033又60，所以ecos[，1)

222cos2

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