2012南京理工大学高等数学1期中测验试及答案

2012级高等数学1期中测验试题

一填空（每小题3分，共30分）

2yarctan(x1x) ，则 dy______________. 1 设

2 极限

limnn24n_______________n.

3 已知x0 时，

ex1ax1bx 关于x 为三阶无穷小，则a_______b_______.

4 设

f(x)xln|x|,2x 则f(x) 的可去间断点为 _________________.

xy(lnx)5 已知 ，则y' _______________.

6 函数f(x)(x1)3x2 的极小值为____________________

2f(x)ln(1x),x0 拐点为__________， 在拐点处的曲率为_______________ 7. 曲线

8 函数f(x)tanx 的三阶麦克劳林公式是_____________(带Peano余项)。

5x9 方程 3x10 在区间[1,2] 内根的个数是_______________.

2x1yx21 的渐近线方程为 ______________________ 10 曲线

二求极限(每小题7分，共14分)

11tan2x1sin2xsinxx2limlim()x3x0(51)arcsinx1 2 x0x

三 根据要求求导 （每小题7分，共21分）

xarctantdy2t1 已知函数 yy(x)由 2ytye5 确定，求dx .

d2y1ysin(xy)2yy(x)22 已知隐函数由方程确定，求 dx.

2(10)yxln(x1),y3 设 求 .

四 （8分）从一个半径为R的圆铁片上挖去一个扇形做成锥形漏斗，问留下的扇形中心角 为多大时，做成的漏斗的容积最大。

五 （8分）设g(x) 一阶可导，g'(0)a. g(x)在x0 处二阶可导，g\"(0)b. 又x0 时

f(x)1(g(x)cosx).x

（1） 欲使f(x)在x0 处连续，求g(0),f(0)值。

（2）在（1）的条件下f'(x)是否存在？ 若存在求出f'(x).

六 （7分）设函数f(x),g(x) 在[0,1] 上可导，且g'(x)0, 证明 存在一点(01) 使

f(0)f()f'()g()g(1)g'(). 得

七 （6分）设数列{xn}由下面递推公式给出0x11, 有极限，并求{xn}的极限。

xn123xn,n1,2,1xn 验证数列{xn}

八 （6分）设函数f(x)在(0,)上可导，

limf(x)k0（1） 若

x，求证：xlimf(x)

（2） 若

xlimf(x)f(x)l(lR)，利用（1）的结论求xlimf(x)和xlimf(x)。

2012级高等数学1期中测验 答案

一填空（每小题3分，共30分）

11(x1x)221

dy(1x1x2)dx； 2 4； 3 a1/2,b1/2.

4 x0 ; 5

y'(lnx)x[lnlnx123]f()320lnx ; 6 525 . 1f(x)xx3o(x3)37 [1,ln2],0 ; 8 ； 9 1 。 10 x0,y1.

二 求极限(每小题7分，共14分)

1tan2x1sin2x1tan2x1sin2xlimlimx0x0(5x1)arcsin3xx4ln5x4ln5(1tan2x1sin2x)1tanxsinxtanxsinx1limlimx0xx32ln51 解 :2ln5x0x0limtan2xsin2x

sinxx2lim()x0x2 解

1sinxcosx1xsinxxlimxcosxsinxlimlim22x0x0x0x2x2xsinxsinxlnxxcosxsinx1xsinx12limlimlimex32x0x0x02x6x6而

ln三 根据要求求导 （每小题7分，共21分）

dx1dydyt22y2tye02dt1tdtdt1 解 ，

dyy2etdy(y2et)(1t2)2(1ty)于是 dt2(1ty) ， 因此 dx

1y'cos(xy)(1y')22 解 两边对x 求导可得 于是

y'cos(xy)212cos(xy)2cos(xy) 2sin(xy)(1y')4sin(xy)[2cos(xy)]2[2cos(xy)]3

y\"y(10)x2[ln(x1)](10)10[ln(x1)](9)2x90[ln(x1)](8)9!x2208!x908!109(x1)(x1)83 解: (x1)

Rh4222 高为2 。

四（8分）解 设留下的扇形中心角，做成的漏斗半径

R3222V4,02224于是漏斗的体积

rRR3222V'(83)62(0,2)243，令V'0 得 内唯一的驻点 ，

而实际问题V有最大值。于是

263时，V有最大。

五 （8分）解 （1）欲使f(x) 在零点连续，则

f(0)limx0g(x)cosxx 存在，于是

g(0)1lim(g(x)cosx)limf(x)x0x0x0，因此 g(0)1， 而

f(0)limx0g(x)cosxlimg'(x)sinxg'(0)ax0x

（2）只要f(x) 在0点可导，则f(x) 在(,) 上可导。

f(x)f(0)g(x)cosxaxlimx0x0xx2g'(x)sinxag'(x)g'(0)11limlim(b1)x0x02x2x22 f'(0)lim当x0 时，

f'(x)(g'(x)sinx)x(g(x)cosx)x2

(g'(x)sinx)x(g(x)cosx),x0x2f'(x)1(1b)x02于是,

六 （7分）证明 由于是有界数列。

xn123xn1=31xn1xn，利用归纳法易证 0xn3 ，于是数列{xn}

又

{xn}xn1xnxnxn1(1xn)(1xn1)，于是xn1xn与xnxn1同号，从而与x2x1 同号，这就验证了

是单调数列。于是{xn} 的极限存在，

设极限为A 。则

A23A1A ，因此A13 。

七（6分） 证明 令F(x)f(0)g(x)g(1)f(x)f(x)g(x) 则F(x) 在[0,1] 上可微，且

F(0)F(1)f(0)g(1) ，应用罗尔定理，存在(0,1) 使得F'()0 。

由于F'(x)f(0)g'(x)g(1)f'(x)f'(x)g(x)f(x)g'(x)

于是F'()f(0)g'()g(1)f'()f'()g()f()g'()。化简可得

g'()(f(0)f())f'()(g()g(1))

由于 g'()0,g()g(1)0. 否则存在c(,1) 使得g'(c)0 ，此与g'(x)0 矛盾。）于

f(0)f()f'()g()g(1)g'()。 是上式等价于

八 证：（1）若xlimf(x)k0，由极限的定义可知：存在N0，当xN后有

f(x)k02。

kf(x)f(N)f()(xN)f(N)(xN)limf(x)x2由拉格朗日中值定理，有，故

limf(x)f(x)l(lR)k(kR)l(lR)xkl0（2）对，取，使得，则由知：

xlimf(x)f(x)klk0(lR)，而

xlimexf(x)f(x)kxlimef(x)kx。由（1）得：

xlimef(x)kx，从而：

xxxef(x)kef(x)f(x)kelklklimf(x)klimlimlimxxxxexexex即：

xlimf(x)l

而

xlimf(x)limf(x)f(x)limf(x)ll0xx