一类无限时滞随机泛函微分方程解的存在唯一性

第３５卷第３期　２　０　１　４年６月　衡阳师范学院学报　Ｎｏ．３Ｖｏｌ＿３５　一类无限时滞随机泛函微分方程解的存在唯一性　高正晖，罗李平，杨　柳　（衡阳师范学院数学与计算科学系，湖南衡阳４２１００８）　摘要：在Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件和线性增长条件下，利用压缩映像原理，获得了具有无穷时滞的随机泛函微分方程解　局部存在唯一的充分条件。　关键词：随机泛函微分方程；无穷时滞；Ｉ．ｉｐｓｅｈｉｔｚ条件；线性增长条件；存在性；唯一性　中图分类号：０１７７　文献标志码：Ａ　文章编号：１６７３—０３１３（２０１４）０３—０００５—０３　随机微分方程（ＳＤＥ）理论的研究已有很长历史，作为微分方程和随机分析的交叉领域成为随机微分方　程的主要研究对象。近年来，随机微分方程在系统科学、工程控制，经济管理与金融以及生态科学等诸多方　面有着广泛的应用…。因为时滞随机微分方程是用来描述一个与现在状态及过去状态有关的时问系统，此　类方程的广泛应用已吸引了大量的学者对其进行研究，如Ｍａｏ　，胡　等。但是由于在实际应用中难以确　定时间系统在时点ｔ“记忆”所及的长度区间ｒ，一种自然的想法是将时滞增大至无穷，这样便产生了无限时　滞随机微分方程的研究。Ｗｅｉ　得到了到无限时滞随机微分方程的解的存在唯一性，Ｚｈｏｕｃ　在Ｌｉｐｃｈｉｔｚ条　件和线性增长条件下得到了无限时滞中立型随机微分方程的解的存在唯一性。　我们考虑以下无限时滞随机泛函微分方程：　如’（ｔ）一厂（ｔ，　（ｆ），　，）ｄｔ＋ｇ（ｔ，ｚ（　），ｚ　）ｄｗ（　），ｔ　Ｅ　Ｅｏ，Ｔ］，　（１）　其中ＢＣ（Ｘ；ｙ）表示ｘ—ｙ的全体有界连续映射，－ｚ　一｛ｘ（ｔ＋　）：一Ｃ×３≤０≤０｝是一个ＢＣ（（一。。，０３；Ｒ　）　值随机过程，议，（￡）是一个定义在完备概率空间（Ｑ，Ｆ，Ｆ，，Ｐ）上的　一维的布朗运动，｛Ｆ　｝　≥。是满足一般条　件的　一代数流，．，　：［０，丁］×ＢＣ（（一ＣＸＤ，０］；Ｒ　）一Ｒ　，　ｇ：Ｆｏ，丁］×ＢＣ（（一。。，０３；Ｒ似　）一Ｒ　都是Ｂｏｒｅｌ可测和Ｆ，一适应的函数。我们给方程（１）如下的初始　条件：　。一　一｛　（　）：０　Ｅ（一。。，０３｝∈Ｍ。（（一Ｃ×。，０３）；Ｒ　）．　（２）　其中　。一　是Ｆ。可测的　维随机变量，以ｆ　（・）ｆ表示中的Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ范数，并且满足　Ｅ（ｓｕｐ　ｌ　（　）Ｉ　）＜＋Ｃｘ３。　…０＜　。　本文将运用压缩映像原理，仅在局部Ｉ　ｉｐｓｃｈｉｔｚ条件下，给出具有无限时滞的随机泛函微分方程的局部　解的存在唯一性。　１预备知识　在本节中，我们简要地给出一些预备知识。　（　）是一个ＢＣ（（一。。，７３；Ｒ　）一值随机过程，Ｌ　（Ｑ，ＢＣ）　收稿日期：２０１４　０４一ｌ１　基金项目：湖南省自然科学基金资助项目（１３ＪＪ６Ｏ６８）；湖南省“十二五”重点建设学科资助项目（湘教发Ｅ２Ｏｌ１３　７６号）　作者简介：高正晖（１９５９一），男，湖南衡阳人，教授，从事微分方程的研究．　６　衡阳师范学院学报　２０１４年第３５卷　是一Ｂａｎａｃｈ空间，并具有范数　ｌ｛　（　）ｌｌ　Ｌ２一［Ｅ（ｓｕｐ　ｌ　（￡）Ｉ　）］专。　定义１：称随机过程　（ｆ）是方程（１）的解，若具有以下性质：　（１）　（￡）连续且Ｆ，一适应；　（２）－厂（ｔ，　（ｆ），　，）Ｅ　Ｌ２（Ｅｏ，Ｔ３；尺　），且ｇ（ｔ，　（ｆ），　，）Ｅ　Ｌ２（Ｅｏ，Ｔ３；Ｒ　）；　（３）　一　，并对ｔ　Ｅ　Ｅｏ，Ｔ３，依概率１成立　（ｔ）一　（０）＋ｌ，（　，　（　），　）ｄｓ＋Ｉ　ｇ（ｓ，　（　），　）ｄｗ（ｓ）．　定义２：称随机过程　（ｆ）是方程（１）的唯一解，若任意其它解ｊ（ｆ），具有　ｅｔ　Ｃｔ　Ｅ（ｓｕｐ　Ｉ　（ｆ）一　（ｆ）Ｉ　）一０。　＿－　一＜　：１　引理１ｌ６］：（Ｄｏｏｂ鞅不等式）令｛Ｍ，．｝　，是　值的鞅，［ｎ，　］是［ｏ，＋。。）上有界区间，若Ｐ＞１且Ｍ　∈ＬＰ（Ｑ；Ｒ　），则　Ⅱ≤ｕ　　≤ｐ　ｌ＾　　Ｍｊ　ｌ　）≤（＼　一　Ｐ　１／　Ｅ（１　ｌ　ｓ≤这里Ｌ　（Ｑ，Ｒ　）表示　值的Ｐ阶矩有界的随机变量集。　２主要结果　足理：假设存在两个正数Ｋ和Ｋ，使得　（１）（Ｉ　ｉｐｓｈｃｉｔｚ条件）对所有　，＿Ｔ２，Ｙ　，Ｙ　Ｅ（一ｃｘ３，０３｝∈Ｒ　和ｔ∈Ｅｏ，Ｔ３，有　１．，’（　，　，Ｙ　）一ｆ（ｔ，Ｉ『　，Ｙ２）ｌ　Ｖ　Ｊ　ｇ（ｔ，　。，Ｙ　）一ｇ（ｔ，　２，　２）ｌ　≤Ｋ（Ｉ　３７１一　２　ｌ　＋『Ｙ１一Ｙ２　１　）；　（２）（线性增长条件）对所有（￡，　，　）Ｅ　Ｅｏ，丁Ｊ×Ｒ　×Ｒ　，有　　Ｉｆ（ｔ，，２－，　）Ｉ　Ｖ　Ｉ　ｇ（ｔ，　，　）Ｉ　≤Ｋ（１＋Ｊ　Ｉ。＋Ｉ　Ｙ　Ｉ　）；　若４ＫＴ（Ｔ＋４）＜１，则方程（１）存在唯一解　（￡），而且Ｅ（ｓｕｐ　Ｉ　（￡）１　）＜＋ｃ）ｏ．　证明：定义映射Ｆ：　Ｆｘ（ｔ）一　（０）＋Ｉ　Ｌ，（　，　（　），－Ｔ　）ｄｓ＋Ｉ　ｇ（　，　（ｓ），　）　础（ｓ），　Ｆｘ（￡）＝＝＝　（ｆ）：ｔ　Ｅ（一。。，０３．　首先，证明Ｆ是从ＢＣ（（一。。，丁］；　）到其自身的映射。对任意ｔ　Ｅ　Ｅｏ，Ｔ３，有　Ｅ（ｓｕｐ　ｌ如（ｆ）Ｉ）　一Ｅ（ｓｕｐ　Ｊ　Ｆｚ（ｆ）ｌ　）　Ｏ≤ｆ≤Ｔ　Ｏ≤ｌ≤Ｔ　Ｅ（。ｓ≤ｕ，≤ｐ　ｆ　８（０）＋』：厂（　，　（ｓ），　）　＋　ｇ（ｓ，ｚ（ｓ），　）　（　）ｌ　）　≤３Ｅ（Ｉ　（。）　Ｉ）＋３Ｅ（。≤ｓｕ≤　ｐ　Ｊ』　厂（　，　（　），　）　ｌ　）＋３Ｅ（。ｓ≤ｕ≤　ｐ　ｆ　ｇ（ｓ，ｚ－（　），　）如（　）Ｉ　）　—≤３Ｅ（１　（０）Ｉ　）＋３Ｅ（、。０ｓ≤ｕｆ≤　ｐ　Ｊ　Ｔｔ　０　ｊ　Ｉ　　　ｆ（ｓ，ｚ（ｓ），　）ｌ　）＋３Ｅ（、。Ｏｓ≤ｕｔ≤　ｐ　Ｔ　０Ｊ［　　　Ｉｇ（ｓ，　（　），　）１。　（ｓ）１Ｉ　≤３Ｅ（１　（ｏ）Ｉ。）＋３丁Ｅ（ｎｓＴ、０　［　Ｉ０　　ｆ（　，　（ｓ），　）ｌ　）＋１２Ｅ（。ｓ≤ｕ≤　ｐＴ　　０［　Ｉ　　ｇ（　，　（　），　）Ｉ１／　≤３Ｅ（Ｉ　（０）Ｉ。）＋３丁Ｅ（、。０　Ｋ≤ｆ≤　ＪＴ　０　Ｊ　（　　１十ｆ　（　）　Ｉ＋ｌ　Ｉ　）　１／＋１２Ｅ（、。Ｏ　Ｋ　≤，≤　ＪＴ　０Ｊ　　（１＋ｌ　（　）Ｉ。＋ｌ’　Ｉ。　）　１／　≤３Ｅ（１　（ｏ）Ｉ　）＋３丁Ｅ（、。ｏ　＝≤ｆ≤Ｔ　Ｊｆ（Ｊ　。ｏ　（１＋Ｉ　ｘ（　）　Ｉ＋Ｉ　ｘ　Ｉ　）　１／　＋１２Ｅ（、。ｏｓ≤ｕｔ≤　ｐＴ　Ｋ　　Ｊｊ　。ｏ　（１＋Ｉ　ｘ（ｓ）Ｉ＋ｌ’　。ｌ　。）　１１　≤３Ｅ（１　（ｏ）Ｉ。）＋３ＴＫ　Ｔ＋２　Ｉ０１　　。０　≤ｓｕ，≤ｐ丁　Ｉ　　ｘ（　）１　）　）＋１２Ｋ（Ｔ＋２ＩＴ０　Ｅ（。ｓ≤ｕ≤　ｐ　ＩＴ　（　ｘ　）Ｉ。）　１／　ｕｐ０≤ｆ≤Ｊ　．０≤ｆ≤　≤３Ｅ（Ｉ　（ｏ）Ｉ　）＋３Ｔ　良＋１２　＋６ＲＴ（Ｔ＋４）（ＩｉｒＥ（。　ｓｕ　ｐ　Ｉ　ｘ（　）ｌ　）　）＜＋。。，　２ｏｌ４年第３期　高正晖，罗李平，杨柳：一类无限时滞随机泛函微分方程解的存在唯一性　７　又对ｔ∈（一。。，ｏ］，有Ｅ（ｓｕｐ　Ｉ　（　）ｌ　）＜＋ｃ＞ｏ。　。。＜　≤０　这说明对任意　（￡）∈ＢＣ（（一ｏｏ，Ｗ－１；Ｒ　），有ＩＩ　（￡）Ｉ　ＩＩ．２＜＋ｃ×３，因此，Ｆ是从ＢＣ（（一Ｃｘ３，Ｔ］；　）到　其自身的映射。　Ｉ　ＩＦｘ（ｆ）一　（ｆ）Ｉ　１Ｉ－２一Ｅ（ｓｕｐ　ｌ　（ｆ）一　（ｆ）Ｉ）。一Ｅ（ｓｕｐ　ｌ　（ｆ）一　（￡）ｌ　）　０≤，≤７’　Ｏ≤ｆ≤丁　一Ｅ（，　。　Ｔ　ｌ　Ｊ　（ｒ，　／（　，　），　）一厂（　，　），　））ｄｓ＋ｊｒ　。（ｇ（　，　（５），Ｘｓ）一ｇ（　，　（　），　））　（ｓ）　㈩　））　≤２Ｅ（　ｓｕｐ　（　㈤“　）一　十２Ｅ（　≤ｓｕ　ｐ　ｌ』　（ｇ（　，　（　），　）一ｇ（　，　（　），　））知（　）如（　）Ｉ　）　≤２ＴＥ（　、　４　，≤　７　Ｊ　０　－厂　㈤　，　）　）ｌ　）　＋８Ｅ（ｓ０＜　ｕ　ｐ　ｌ　Ｉ　ｇ（　，　（　）一ｇ（　，　（　Ｉ　ｄｗ（））≤２ＴＥ（ｓｕｐＫ　（１　（　）一　（　）Ｉ　＋ｌ　—　Ｉ。）　）　＋８Ｅ（ｓｕｐＫ　（Ｉ　ｘ（　）一　（　）ｌ　＋ｌ　一　ｌ。）　）　≤４Ｔ　ＫＥ（ｓｕｐ　ｌ　（　）一　（　）ｌ　）＋１６ＴＫＥ（ｓｕｐ（１　（　）一　（ｓ）１　）　（）≤ｆ≤７’　ｏ≤，≤１　—４ＴＫ（丁＋４）Ｅ（　ｓｕ　ｐ　Ｉ　（　）一　（　）ｌ。）一４ＴＫ（丁＋４）ＩＩ　（　）一　（　）ＩＩ　Ｌ２，　由４ＫＴ（丁＋４）＜１，知Ｆ是压缩映射。所以Ｆ在ＢＣ（（一ｏｏ，Ｔ］；Ｒ　）中有唯一的不动点，即方程（１）在　ＢＣ（（一Ｃ×３，丁］；Ｒ　）上存在唯一解。　参考文献：　［１］胡适耕，黄乘明，吴付科．随机微分方程［Ｍ］．北京：科学出版社，２００８．　［２］Ｍａｏ　Ｘ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｄｅｌａｙ　ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｓｔｏ．Ａｎａｌ　Ａｐｐ．，１９８９（７）：５９—７４．　［３］Ｈｕ　ｓ．，Ｌｉａｏ　Ｘ．，Ｍａｏ　Ｘ．Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　ｈｏｐｆｉｅｌｄ　ｎｅｕｔｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ［Ｊ］．Ｊ．Ｐｈｙｓ．Ａ．，２００３（３６）：２２３５—２２４９．　Ｅ４］Ｗｅｉ　Ｆ．，Ｗａｎｇ　Ｋ．Ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ｉｎｆｉｎｉｔｅ　ｄｅｌａｙ［Ｊ］．Ｊ．Ｍａｔｈ．Ａｐｐ．，２００７，３３１：５１６—５３１．　Ｅ５］Ｚｈｏｕ　Ｓ．，Ｘｕｅ　Ｍ．Ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｎｅｕｔｒａｌ　ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ｉｎｆｉｎｉｔｅ　ｄｅｌａｙ　ＥＪ］．Ｍａｔｈ．Ａｐｐ．，２００８（２１）：７５—８３．　［６］Ｍａｏ　Ｘ　Ｒ．Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．ＣｈｉＣｈｅｓｔｅｒ：Ｈａｒｗｏｏｄ　Ｐｕｂｌｉｃａｔｉｏｎ，ｌ９９７．　Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　Ｉｎｆｉｎｉｔｅ　Ｄｅｌａｙ　ＧＡＯ　Ｚｈｅｎｇ—ｈｕｉ，ＬＵＯ　Ｌｉ—ｐｉｎｇ，ＹＡＮＧ　Ｌｉｕ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｈｅｎｇｙａｎｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｅｎｇｙａｎｇ　Ｈｕｎａｎ　４２１００２，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｗｅ　ａｐｐｌｙ　ｃｏｎｔｒａｃｔｉｏｎ　ｍａｐｐｉｎｇ　ｔｈｅｏｒｅｍ，ａｎｄ　ｏｂｔａｉｎｓ　ｔｈｅ　ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｌｏｃａｌ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ　ｏｆ￣ｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ｉｎｆｉｎｉｔｅ　ｄｅｌａｙ，ｕｎｄｅｒ　Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｌｉｎｅａｒ　ｇｒｏｗｔｈ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｉｎｆｉｎｉｔｅ　ｄｅｌａｙ；ＩＡｐｓｃｈｉｔｚ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ；ｌｉｎｅａｒ　ｇｒｏｗｔｈ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ；ｅｍｓｔｅｎｃｅ；ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ